学案18 关于功的计算
1．单个恒力做功时，直接用公式W＝__________________计算．
2．多个恒力同时作用时，有两种方法求功：
①总功等于各个力做功的________________，即W总＝________________
②先求各个力的合力F合，再求合力做的功，即W总＝____________.
3．先求各个力做的功，再求总功时，应用的是算术运算法则，则不是________运算法则．
4．某一个力做的功，不受其他力存在的影响.
一、关于变力功的求解方法
1．平均值法
力F是变力时，可求出力F的平均值，再利用公式W＝F·lcos α求解，这种方法一般有两种情况：
①题目中明确指出了是平均力，如一小球从高处掉下，落入泥土的深度为l，泥土的平均阻力为F阻，则泥土做的功为W＝－F阻·l.
②力随位移按照线性规律变化时(比如：力与位移成正比或是一次函数关系)，若在一段过程的初、末位置力分别为F1和F2，则该过程的平均力为.
例1 如图1所示，轻质弹簧的自然长度为L0，劲度系数为k，现用水平推力推弹簧，使弹簧缩短Δx，求推力做的功．
图1
2．图象法：变力做的功W可用F－l图线中所包围的面积表示．l轴上方的面积表示力对物体做了多少正功，l轴下方的面积表示力对物体做了多少负功．
例2 一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时其速度为1 m/s.从此刻开始在滑块运动方向上再施加一水平作用力F，力F和滑块的速度v随时间的变化规律分别如图2(a)和图(b)所示．设在第1秒内、第2秒内、第3秒内力F对滑块做的功分别为W1、W2、W3，则以下关系式正确的是( )
(a) (b)
图2
A．W1＝W2＝W3 B．W1C．W13．分段法(或微元法)：当力 ( http: / / www.21cnjy.com )的大小不变，力的方向时刻与速度同向(或反向)时，可以把物体的运动过程分为很多小段，这样每一小段都可以看成直线，先求力在每一小段上做的功，再求和即可．
例3 用水平拉力拉着滑块沿半径为R的水平圆轨道运动一周，如图3所示，已知物块与轨道间的动摩擦因数为μ，物块质量为m，求此过程中摩擦力做的功．
图3
4.化变为恒法：有时候表面看起来是变力做功，但是经过适当变换可以转换成恒力做功．
例4 如图4所示，摆球质量为m，悬线的长为l，把悬线拉到水平位置后放手．设在摆球运动过程中空气阻力Ff的大小不变，求摆球从A运动到竖直位置B时，重力mg、绳的拉力FT、空气阻力Ff各做了多少功？
图4
5．对应路程计算的功
摩擦力做的功是路程与力的乘积，如果大小不变，只有方向变化，可以直接用力的大小乘以路程．
例5 以一定的初速度竖直向上抛出一个小球，小球上升的最大高度为h，空气阻力大小恒为Ff，则从抛出至落回到原出发点的过程中，空气阻力对小球做的功为( )
A．0 B．－Ffh
C．－2Ffh D．－4Ffh
二、作用力、反作用力及摩擦力做功的特点
1．摩擦力做功的特点
(1)滑动摩擦力和静摩擦力都可以对物体不做功．
(2)滑动摩擦力和静摩擦力都可以对物体做负功．
(3)滑动摩擦力和静摩擦力都可以对物体做正功．
2．作用力、反作用力做功的特点
(1)作用力与反作用力特点：__________________________________________
(2)作用力、反作用力作用 ( http: / / www.21cnjy.com )下的物体运动特点：可能向相反方向运动，也可能向____________运动．也可能一个运动，而另一个静止，还可能两物体都________．
(3)由W＝Flcos α不难判断，作用力做的功与反作用力做的功没有必然的关系，即不一定是一正一负、绝对值也不一定相等．
例6 如图5所示，B物体在拉力F的作用下向左运动，在运动的过程中，A、B之间有相互作用力，则对各力做功情况的下列说法中正确的是( )
图5
A．A、B都克服摩擦力做功
B．A、B间弹力对A、B都不做功
C．摩擦力对B做负功，对A不做功
D．弹力对A不做功，对B做正功
例7 如图6所示，滑块A和B叠放在固定的斜面体上，从静止开始以相同的加速度一起沿斜面加速下滑．已知B与斜面体间光滑接触，则在A、B下滑的过程中，下列说法正确的是( )
图6
A．B对A的支持力不做功
B．B对A的合力不做功
C．B对A的摩擦力做正功
D．B对A的摩擦力做负功
学案18 关于功的计算
答案
课前准备区
1．Flcos α 2.①代数和 W1＋W2＋W3＋… ②F合lcos α 3.矢量
课堂活动区
核心知识探究
例1 kΔx2
解析 弹簧压缩Δx时，其平均弹力＝＝kΔx.
由于推力所做的功等价于推力克服平均弹力做的功，由胡克定律和恒力做功的公式，有W＝·Δx＝FΔx＝kΔx2.
例2 B [设滑块开始运动的方向为正方向，则
由F－t图象和v－t图象可知第1秒内、第2 ( http: / / www.21cnjy.com )秒内、第3秒内的力和位移均为正方向，l1＝t＝ m，l2＝t＝ m，l3＝v0t＝1 m，F1＝1 N，F2＝3 N，F3＝2 N
W1＝F1l1＝ J，W2＝F2l2＝ J，W3＝F3l3＝2 J
所以：W1例3 －2μmgπR
解析 由题意知，物体受的摩擦力在整个过程中大 ( http: / / www.21cnjy.com )小均为F＝μmg不变、方向时刻变化且与滑块运动方向相反，是变力，但是我们可以把圆周分成无数段小微元段，每一小段可近似成小直线，从而摩擦力在每一小段上方向不变，每一小段上可用恒力做功的公式计算，然后各
段累加起来，便可求得结果．如图所示，把圆轨道 ( http: / / www.21cnjy.com )分成s1、s2、s3、…、sn微小段，摩擦力在每一段上为恒力，则在每一段上做的功W1＝－μmgs1，W2＝－μmgs2，W3＝－μmgs3，…，Wn＝－μmgsn，摩擦力在一周内所做的功W＝W1＋W2＋W3＋…＋Wn＝－μmg(s1＋s2＋s3＋…＋sn)＝－μmg·2πR.
所以滑块运动一周摩擦力做功为－2μmgπR.
例4 WFT＝0，WG＝mgl，WFf＝－Ffπl
解析 因为拉力FT在运动过程中，始终与运动方向垂直，故不做功，即WFT＝0.
重力在整个运动过程中始终不变，小球在重力方向上的位移为AB在竖直方向上的投影OB，且OB＝l，所以WG＝mgl.
空气阻力虽然大小不变，但方向 ( http: / / www.21cnjy.com )不断改变，且任何时刻都与运动方向相反，即沿圆弧的切线方向，因此属于变力做功问题．如果将分成许多小弧段，使每一小段弧小到可以看成直线，在每一小段弧上Ff的大小、方向可以认为是不变的(即为恒力)，这样就把变力做功的问题转化为了恒力做功的问题，如图所示．因此Ff所做的总功等于每一小段弧上Ff所做功的代数和．即
WFf＝－(FfΔl1＋FfΔl2＋…)＝－Ffπl
故重力mg做的功为mgl，绳子拉力FT做功为零，空气阻力Ff做的功为－Ffπl.
例5 C
二、
2．(1)大小相等、方向相反，但作用在不同物体上 (2)同一方向 静止
例6 BC
[A、B间相互作用力有Ff1与 ( http: / / www.21cnjy.com )Ff2、FAB与FBA，如图所示，A没有位移，Ff2、FBA对A不做功，B有位移，Ff1做负功，FAB与B物体位移方向垂直，不做功，B、C对，A、D错．]
例7 BC [
以A、B整体为研究对象，应用牛顿第二定律得
a＝gsin θ；如图所示，隔离A分析，有 ( http: / / www.21cnjy.com )mgsin θ＋Ffcos θ－FNsin θ＝ma，得Ffcos θ＝FNsin θ，Ff与FN的合力沿＋y方向，由功的公式可判定B对A的支持力做负功，B对A的摩擦力做正功，B对A的合力不做功，B、C对，A、D错．]学案25 实验：验证机械能守恒定律
1．机械能守恒定律的条件是什么？
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
2．回顾以前学过的运动，哪种运动形式符合验证机械能守恒定律的条件？
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
3．如何利用纸带求解瞬时速度？
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
一、实验原理及实验过程
1．实验目的
验证机械能守恒定律．
2．实验原理
做自由落体运动的物体下落的高度为h时速 ( http: / / www.21cnjy.com )度为v，则物体的重力势能减少量为mgh，动能增加量为mv2，如果mgh＝mv2，即gh＝v2，就验证了机械能守恒定律．
3．实验器材
铁架台(带铁夹)、电磁打点计时器、重锤(带纸带夹子)、纸带、复写纸、导线、毫米刻度尺、低压交流电源(4～6 V)．
4．实验步骤
(1)安装：将打点计时器固定在铁架台上；用导线将打点计时器与低压交流电源相连接．
(2)接电源，打纸带：把纸带的一端在重物上用 ( http: / / www.21cnjy.com )夹子固定好，另一端穿过打点计时器的限位孔，用手提着纸带使重物停靠在打点计时器附近，接通电源，待打点稳定后松开纸带，让重物自由下落．
重复几次，打下3～5条纸带．
(3)选纸带：选取点迹较为清晰的．挑选纸带上第一个点及距离第一个点较远的点，并依次标上0,1,2,3….
(4)数据测量：测出0到点1、点2、点3…的距离，即为对应的下落高度h1、h2、h3….
[问题延伸]
在本实验操作的具体过程中会遇到哪些问题？通过该问题的设置，学生对实验中可能遇到的问题进行预测，并提出相应的解决方法．
(1)重物下落的过程中除受重力外，还受到哪些阻力？怎样减小这些阻力对实验的影响？
(2)重物下落时最好选择哪两个位置作为过程的开始和结束的位置？
(3)本实验中用的重锤，质量大一些好还是小一些好？为什么？
(4)质量是否为本实验必须测量的量？
例1 用自由落体验证机械能守恒定律，就是看mv是否等于mghn(n为计时点的编号0、1、2…n…)．下列说法中正确的是( )
A．打点计时器打第一个点0时，物体的速度为零
B．hn是计时点n到起始点0的距离
C．必须要测量重物的质量
D．用vn＝gtn计算vn时，tn＝(n－1)T(T为打点周期)
例2 某同学为验证机械能守恒定律编排了如下实验步骤：
A．用天平称出重物的质量
B．把纸带固定到重物上，并把纸带穿过打点计时器，提升到一定高度
C．拆掉导线，整理仪器
D．断开电源，调整纸带，重做两次
E．用秒表测出重物下落的时间
F．用毫米刻度尺测出计数点与起点的距离，记录数据，并计算出结果，得出结论
G．把打点计时器接到低压交流电源上
H．接通电源，释放纸带
I．把打点计时器接到低压直流电源上
J．把打点计时器固定到桌边的铁架台上
上述实验步骤中错误的是____________，可有可无的是______________，其余正确且必要的步骤按实验操作顺序排列是____________．(均只需填步骤的代号)
二、数据处理、误差分析和注意的问题
1．数据处理
(1)利用公式vn＝，计算出点1、点2、点3…的瞬时速度v1、v2、v3….
(2)要验证的是mv2＝mgh或mv－mv＝mgΔh，只需验证v2＝gh或v－v＝gΔh，因此不需要测量重物的质量m.
验证：通过计算，在误差允许的范围之内验证v与ghn是否相等或v－v与ghmn是否相等．
2．误差分析
(1)本实验的误差主要是由于纸带测量产生的偶然误差以及重物和纸带运动中的空气阻力及打点计时器的摩擦阻力引起的系统误差．
(2)测量时采取多次测量求平均值来减小偶然误差，安装打点计时器使两限位孔中线竖直，并且选择质量适当大些，体积尽量小些的重物来减小系统误差．
3．实验注意事项
(1)打点计时器安装要稳固，并使两限位孔在同一竖直线上，以减小摩擦阻力．
(2)应选用质量和密度较大的重物，增大重力可使阻力的影响相对减小，增大密度可以减小体积，可使空气阻力减小．
(3)实验时，应先接通电源，让打点计时器正常工作后再松开纸带让重物下落．
(4)本实验中的两种验证方法均不需要测重物的质量m.
(5)速度不能用v＝gt或v＝计算，应根据纸带上测得的数据计算瞬时速度．
例3 (1)从下列器材中选出做验证机械能守恒定律实验时所必需的器材，其编号为________．
A．打点计时器(包括纸带)
B．重物
C．天平
D．毫米刻度尺
E．秒表
F．运动小车
(2)打点计时器的安装放置要求为________；开始打点计时的时候，应先________，然后________．
(3)实验中产生系统误差的原因 ( http: / / www.21cnjy.com )主要是________________，使重物获得的动能往往________．为减小误差，悬挂在纸带下的重物应选择________．
(4)如果以v2/2为纵轴，以h为横轴，根据实验数据绘出v2/2－h图线是________，该线的斜率等于________．
例4 在“验证机械能守恒定律”的实验中，某同学实验时，手总是抖动，找不出一条起始点迹清晰的纸带，该同学便选取一段纸带进行测量，如图1所示，A、B、C、D、E、F都是以2个计时点为1个计数点，其测量结果是AB＝4.53 cm，AC＝10.58 cm，AD＝18.17 cm，AE＝27.29 cm，AF＝37.94 cm.(频率为50 Hz)
图1
(1)若重锤质量为m，从B到E重力势能减少了多少？
(2)从B到E动能增加了多少？
(3)试对实验结果进行分析．
学案25 实验：验证机械能守恒定律
答案
1．BD [测量下落高度需用刻度尺，打点计时器打出纸带并能标识时间，选B、D.]
2．(1)C (2)>
解析 (1)本实验需要验证mgh与mv2的关系，所以不需要测量重物质量m，C正确．
(2)重物在下落过程中克服阻力做功，使减小的重力势能不能完全转化为动能，所以mgh>mv2.
3．(1)O (2)0.98 ( http: / / www.21cnjy.com ) m/s (3)0.49 J 0.48 J (4)> 重物和纸带下落时受到阻力作用 (5)在实验误差允许的范围内，重力势能的减少量等于动能的增加量
解析 (1)纸带释放时速度较小，打点较密，先打距重物近的一侧，故O端与重物相连．
(2)B点速度vB＝＝ cm/s＝0.98 m/s
(3)从O点到打B点，重力势能减少量
ΔEp＝mghB＝1×9.8×0.0501 J＝0.49 J
动能增加量mv＝0.48 J；
(4)由(3)中计算结果知ΔEp>ΔEk，因为重物和纸带下落时受到阻力作用；
(5)由(3)中计算结果可知，在实验误差允许的范围内，机械能守恒．
4．甲同学选择从O到C段验证机械能守恒，计算 ( http: / / www.21cnjy.com )C点的速度用v＝2ghOC的话，犯了用机械能守恒定律去验证机械能守恒的错误．计算vC可以选择vC＝.
乙同学选择了从B到C段验证机械能守恒，由于BC较近，造成误差偏大，选择BD段相对较为合适．
5.·f ·f
mf2(hC－hA)2－mghB
mf2(hE－hC)2－mghD ＝
解析 根据纸带上瞬时速度的计算方法，得vB＝＝·f，vD＝＝·f
打B点时，重物的动能和重力势能分别为
EkB＝mv＝m2
＝mf2(hC－hA)2
EpB＝－mghB.此时重物的机械能EB＝EkB＋EpB＝mf2(hC－hA)2－mghB，同理
EkD＝mv＝mf2(hE－hC)2，
EpD＝－mghD，ED＝mf2(hE－hC)2－mghD
如果EB＝ED，则说明重物在下落过程中机械能守恒．
6．(1)mgh2 (2)9.71(9.64～9.77均可)
解析 (1)从打下O点到打下F点的过程中，重物重力势能的减少量
ΔEp＝mgh2，vF＝
动能的增加量
ΔEk＝mv＝.
(2)由mv2＝mg′h可得
v2＝2g′h，
由v2－h图线可求得：图线的斜率k＝19.42
由k＝2g′可得：物体下落的加速度
g′＝9.71 m/s2.
7．(1)1.91m J (2)1.86m J (3)见解析
解析 (1)重力势能的减少量为
ΔEp减＝mghOB＝m×9.8×0.195＝1.91m (J)
(2)重锤下落到B点时的速度
vB＝＝ m/s＝1.94 m/s
所以重锤从开始下落到B点增加的动能为
ΔEk增＝mv＝m×(1.94)2＝1.88m (J)
(3)从(1)(2)中计算的数据得出在实验误差允许的范围内重锤减少的重力势能等于其增加的动能，机械能守恒．
重锤减少的重力势能略大于其增加的动能的原因是：重锤在下落时要受到阻力作用(打点计时器对纸带的摩擦力，空气阻力)，克服阻力做功．学案19 功 率
1．加速度的物理意义：a＝，表示速度变化的________，其大小由Δv和Δt共同决定．
2．牛顿第二定律：物体运动的加速度与物体所
受的________成正比，与物体的______成反比，加速度的方向与物体所受________的方向一致．
3．功是力和____________________的乘积，是一过程量．
一、功率
[问题情境]
建筑工地上的几台起重机正在忙碌着，我们怎样比较它们做功的快慢呢？
起重机编号 被吊物体重量 被吊物体运动情况 所用时间 做功
A 2×103 N 4 m/s匀速上升 4 s 3.2×104 J
B 4×103 N 3 m/s匀速上升 4 s 4.8×104 J
C 1.6×104 N 2 m/s匀速上升 1 s 3.2×104 J
[要点提炼]
1．定义
如果在时间t内，一个力所做的功为W，则功W与完成这些功所用时间t的________叫做功率．
2．功率是表示物体做功________的物理 ( http: / / www.21cnjy.com )量，它由物体所做的功和做这些功所需的时间共同决定，并不单纯由__________决定，也不单纯由做功____________决定．
3．功率是____量．
4．功是力的功，那么功率也就是力的功率．我们经常说的物体做功的功率，实际上是物体的力的功率．例如，汽车的功率就是汽车牵引力的功率．
例1 如图1所示，质量为m的物体A从斜面的顶端滑下，经过时间t滑到斜面的底端，斜面是固定在水平面上的，其倾角为α，斜面的长度为l，试求：物体在时间t内的重力的功率．
图1
二、功率与速度
[问题情境]
一个物体在力F的作用下以速度v匀速运动，在时间t内发生的位移为l，已知作用力F的方向和位移方向相同，求：
(1)力F所做的功；
(2)力F的功率．
[要点提炼]
1．根据公式P＝Fv可分析
(1)当功率P一定时，F与v成___ ( http: / / www.21cnjy.com )_比，即做功的力越大，其速度就越____．当交通工具的功率一定时，要增大牵引力，就要减小速度．所以汽车上坡时，司机要用换挡的办法减小速度来得到较大的牵引力．
(2)当速度v一定时，P ( http: / / www.21cnjy.com )与F成____比，即做功的力越大，它的功率就越____．汽车从平路到上坡时，若要保持速率不变，必须加大油门，增大发动机功率来得到较大的牵引力．
(3)当力F一定时，功率P与速度v成正比，即速度越____，功率越____．
起重机吊起同一物体时以不同的速度匀速上升，输出的功率不等，速度越大，起重机输出的功率越大．
2．关于平均功率和瞬时功率
(1)利用P＝Fv这一表达式，可以求恒力在某时刻的功率，也可以求变力在某时刻的功率；可以求某个力的功率，也可以求合力的功率．
(2)公式P＝Fv，一般用来计算______功率，但如果F为恒力，v取______速度，此式也可用来计算平均功率．
(3)P＝Fv，适用于F与v同向的情况，但如果二者夹角为θ，则用P＝__________来计算功率．
例2 质量m＝3 kg的物体，在水平力F＝6 N的作用下，在光滑的水平面上从静止开始运动，运动时间t＝3 s，求：
(1)力F在t＝3 s内对物体所做的功；
(2)力F在t＝3 s内对物体所做功的平均功率；
(3)在3 s末力F对物体做功的瞬时功率．
例3 如图2所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知：sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取g＝10 m/s2，求：
图2
(1)前2 s内重力做的功．
(2)前2 s内重力做功的平均功率．
(3)2 s末重力做功的瞬时功率．
[即学即用]
重为2×104 N的汽车，在水平路面上行驶，若保持40 kW的输出功率不变，阻力为车重的0.02倍．求：
(1)行驶150 m后，速度从10 m/s增加到20 m/s，此时汽车的加速度；
(2)汽车以恒定的功率启动后能达到的最大速度．
学案19 功 率
答案
课前准备区
1．快慢 2.合外力 质量 合外力 3.在力的方向上发生的位移
课堂活动区
核心知识探究
一、
[问题情境]
比较A和B：它们做功时间相等，而B做功比A多，我们可以说B做功比A快，不难发现>.
比较A和C：它们做功相等，而tC.
比较B和C：它们做功不相等，所用时间也不相等，我们可以比较二者在单位时间内做的功，不难发现<，我们可以说C做功比B快．
[要点提炼]
1．比值 2.快慢 做功多少 所用的时间 3.标
例1
解析 根据功率的定义，重力在时间t内的功率等于重力做的功WG和所用时间t的比值，即P＝
由于WG＝mgh＝mglsin α，所以重力的功率为
P＝＝
二、
[问题情境]
(1)W＝F·l (2)P＝＝＝Fv
[要点提炼]
1．(1)反 小 (2)正 大 (3)大 大 2.(2)瞬时 平均 (3)Fvcos θ
例2 (1)54 J (2)18 W (3)36 W
解析 物体在水平力F的作用下，在光滑水平面上做初速度为零的匀加速直线运动，根据牛顿第二定律可求出加速度a＝F/m＝2 m/s2
则物体在3 s末的速度v＝at＝6 m/s
物体在3 s内的位移l＝at2＝×2×32 m＝9 m
(1)力F做的功W＝Fl＝54 J
(2)力F在3 s内做功的平均功率＝＝18 W
(3)3 s末力F做功的瞬时功率P＝Fv＝36 W
例3 (1)48 J (2)24 W (3)48 W
解析 可分别用W＝F·l，P＝W/t和P＝F·v求解．
(1)木块所受的合外力为
F合＝mgsin θ－μmgcos θ
＝mg(sin θ－μcos θ)
＝2×10×(0.6－0.5×0.8) N
＝4 N
物体的加速度为
a＝＝ m/s2＝2 m/s2
前2 s内木块的位移
l＝at2＝×2×22 m＝4 m
所以，重力在前2 s内做的功为
W＝mgsin θ·l＝2×10×0.6×4 J＝48 J
(2)重力在前2 s内做功的平均功率为
＝＝ W＝24 W
(3)木块在2 s末的瞬时速度
v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s
2 s末重力做功的瞬时功率
P＝mg·sin θ·v＝2×10×0.6×4 W＝48 W
[即学即用]
(1)0.8 m/s2 (2)100 m/s
解析 (1)当速度为20 m/s时，牵引力
F＝＝ N＝2×103 N，
此时汽车所受阻力
F阻＝2×104×0.02 N＝400 N，
由牛顿第二定律得
a＝＝ m/s2＝0.8 m/s2
(2)汽车以恒定的功率行驶，当加速度为零时，汽车的速度最大，
由F－F阻＝ma得Fmin＝F阻＝μmg＝400 N，
由v＝得vmax＝＝＝100 m/s.学案23 动能和动能定理
1．动能：物体由于运动而具有的能量．
2．匀变速直线运动的基本规律：速度公式：vt ( http: / / www.21cnjy.com )＝____________________，位移公式：x＝__________________，推论公式：__________________.
3．功的定义式：W＝__________，F若为某一个力，对应的功即为该力的功；F若为合力，对应的功为合力的功．用此式求功，力F必为______．
4．功是能量转化的______.
一、动能
[问题情境]
一个质量为m、初速度为v的物体，在水平桌面 ( http: / / www.21cnjy.com )上运动，因受摩擦阻力Ff的作用，运动一段位移x后静止下来，在这一过程中，外力做了多少功？物体损失了多少动能？动能的表达式是什么呢？
[要点提炼]
1．物体由于______而具有的能量叫做动能，用Ek表示，其表达式为Ek＝mv2.
2．动能的单位是焦耳，符号是J，与功的单位相同，这是因为1 kg·m2/s2＝1 N·m＝1 J.
3．动能是____量，只有正值，与物体运动的速度______无关．
4．动能是状态量，具有瞬时性，在某一时刻，物体具有一定的速度，也就具有一定的动能．
5．动能具有______性．物体运动速度的 ( http: / / www.21cnjy.com )大小与选定的参考系有关，相对于不同参考系，物体具有不同的速度，也就具有不同的动能．无特别说明均以地球为参考系．
[即学即用]
1．关于对动能的理解，下列说法正确的是( )
A．动能是普遍存在的机械能的一种基本形式，凡是运动的物体都具有动能
B．动能总是正值，但对于不同的参考系，同一物体的动能大小是不同的
C．一定质量的物体，动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化
D．动能不变的物体，一定处于平衡状态
2．关于动能，下列说法中正确的是( )
①动能是标量；
②动能的大小由物体的质量和速率决定，与物体运动的方向无关；
③物体以相同的速率向东和向西运动，动能的大小相等但方向不同；
④物体以相同的速率做匀速直线运动和曲线运动，其动能不同．
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
二、动能定理
[问题情境]
1．设某物体的质量为m，在与运动方向相同的恒力F的作用下沿光滑水平面发生一段位移l，速度由v1增加到v2，如图1所示．
图1
(1)力F对物体所做的功是多大？
(2)物体的加速度是多大？
(3)物体的初速度、末速度、位移之间有什么关系？
(4)结合上述三式你能推导出什么样的式子？
2．假设物体原来就具有速度v1，且水 ( http: / / www.21cnjy.com )平面存在摩擦力Ff，在外力F作用下，经过一段位移x，该物体的速度达到v2，如图2所示，则此过程中，外力做功与动能之间又存在什么关系呢？
图2
[要点提炼]
1．动能定理的表达式
力在一个过程中对物体做的功，等于物体 ( http: / / www.21cnjy.com )在这个过程中________________．这个结论叫做动能定理，表达式为W＝mv－mv＝__________，式中W表示________做的功，Ek2＝mv为物体的末动能，Ek1＝mv为物体的初动能．
2．对动能定理的理解
(1)动能定理揭示了__________________；
(2)表达式中“＝”的意义 ( http: / / www.21cnjy.com )是一种数值上相等的符号，它并不意味着“功就是动能的增量”，也不意味着“功转变成了动能”，而是意味着“功引起物体动能的变化”，即物体动能的变化是通过外力做功的过程来实现的；
(3)动能定理虽然是在物体受恒力作用且做直线运动的情况下得出的，但它也适用于________做功及物体做________运动的情况；
(4)物体运动过程中若包含几个不同的过程，应用动能定理时，既可以分段考虑，也可以把全过程作为一个整体来处理；
(5)动能定理研究的对象一般是________物体．
例1 有一质量为m的木块，从半径为r的圆弧曲面上的a点滑向b点，如图3所示．如果由于摩擦使木块的运动速率保持不变，则以下叙述正确的是( )
图3
A．木块所受的合外力为零
B．因木块所受的力都不对其做功，所以合外力做的功为零
C．重力和摩擦力的合力做的功为零
D．重力和摩擦力的合力为零
[即学即用]
3．关于合力、合力做的功及物体动能变化的说法中，正确的是( )
A．物体所受合力不为0，动能一定改变
B．物体的动能不变，它所受合力一定为0
C．合力不做功，物体的动能就不变
D．所有外力做功的代数和为负值，物体的势能就减少
三、动能定理的应用
1．应用动能定理解题的一般步骤
(1)选取研究对象(通常是单个物体)，明确它的运动过程．
(2)对研究对象进行受力分析，明确各力做功的情况，求出外力做功的代数和．
(3)明确物体在初、末状态的动能Ek1和Ek2.
(4)列出动能定理的方程W＝Ek2－Ek1，结合其他必要的解题方程，求解并验算．
2．应用动能定理解题的优点
动能定理对应的是一个过程，只涉及到物体 ( http: / / www.21cnjy.com )初、末状态的动能和整个过程合力做的功，无需关心中间运动过程的细节．而且功和能都是标量、无方向性，计算方便，因此当题目中不涉及a和t，而涉及F、l、m、v、W、Ek等物理量时，优先考虑使用动能定理．
例2 质量为m的物体静止在水平桌面上，它与桌面之间的动摩擦因数为μ，物体在水平力F作用下开始运动，发生位移x1时撤去力F，问物体还能运动多远？
例3 如图4所示的“S”形玩具轨道是用内壁光滑的薄壁细圆管弯成的，放置在竖直平面内，轨道弯曲部分是由两个半径相等的半圆对接而成的，圆半径比细管内径大得多，轨道底端与水平地面相切，轨道在水平方向不可移动，弹射装置将一个小球(可视为质点)从a点水平弹射向b点并进入轨道，经过轨道后从最高点d水平抛出(抛出后小球不会再碰轨道)．已知小球与地面ab段间的动摩擦因数μ＝0.2，不计其他机械能损失，ab段长L＝1.25 m，圆的半径R＝0.1 m，小球质量m＝0.01 kg，轨道质量为M＝0.26 kg，g取10 m/s2，求：
图4
(1)若v0＝5 m/s，小球从最高点d抛出后的水平射程；
(2)若v0＝5 m/s，小球经过轨道的最高点d时，管道对小球作用力的大小和方向；
(3)设小球进入轨道之前，轨道对地面的压力大小等于轨道自身的重力，当v0至少为多少时，小球经过两半圆的对接处c点时，轨道对地面的压力为零．
( http: / / www.21cnjy.com )
学案23 动能和动能定理
答案
1．A
2．C [由动能定理可知
W1＝mv2－0，
W2＝m(2v)2－mv2＝mv2，
故W2＝3W1，C正确．]
3．C [应由动能定理求解．
由动能定理得：WF＋WG＝0
又WG＝－mgl(1－cos θ)
所以WF＝mgl(1－cos θ)，故应选C.]
4．B [由动能定理得：mgh＋Wf＝mv－mv，故Wf＝mv－mv－mgh＝－3 800 J，故B正确．]
5．D [汽车开始做匀加速直线运动，功率不 ( http: / / www.21cnjy.com )是恒定的，故A错误；由牛顿第二定律知，开始的匀加速阶段，机车牵引力为Ff＋ma，但达到最大速度vm前，有一段变加速过程，牵引力逐渐变小，故B错误；由动能定理可得：W牵－Ffl＝mvm2，所以W牵＝mvm2＋Ffl，D正确，C错误．]
6．A [根据物体的速度图象可知，物体在0 ( http: / / www.21cnjy.com )～1 s内做匀加速运动，合外力做正功，A正确；1 s～2 s内做匀减速运动，合外力做负功，根据动能定理可知在0～3 s内合外力做功为零，B、C、D均错误．]
7．C [小车克服重力做功W＝Gh＝m ( http: / / www.21cnjy.com )gh，A选项正确；由动能定理知，小车受到的合力做的功等于小车动能的增加，W合＝ΔEk＝mv2，B选项正确；由动能定理，W合＝W推＋W重＋W阻＝mv2，所以推力做的功W推＝mv2－W阻－W重＝mv2＋mgh－W阻，C选项错误；阻力对小车做的功W阻＝mv2－W推－W重＝mv2＋mgh－Fs，D选项正确．]
8.R≤h≤5R
解析 设物块在圆形轨道最高点的速度为v，由机械能守恒定律得
mgh＝2mgR＋mv2 ①
物块在最高点受的力为重力mg、轨道的压力FN.重力与压力的合力提供向心力，有
mg＋FN＝m ②
物块能通过最高点的条件是
FN≥0 ③
由②③式得
v≥ ④
由①④式得
h≥R ⑤
按题目要求，FN≤5mg，由②式得
v≤ ⑥
由①⑥式得
h≤5R
h的取值范围是
R≤h≤5R
9．(1)3.46 m/s (2)1.0 m
解析 (1)对儿童由A到B应用动能定理
mg(hAE－R)－μmgcos 37°＝mv
解得：vB＝3.46 m/s
(2)对儿童，在C处mg≥m
－μmgsBC＝mv－mv
解得：sBC＝1.0 m第七章 机械能守恒定律
学案16 追寻守恒量——能量
学案17 功
1．我们在初中就已经学习过功的概念：功是____________________________．
2．做功的两个必要因素是：一是______________；二是______________________．
3．请回答下面两个问题：
(1)在图中两个人分别向前、后拉车，他们所用的力对车产生的效果相同吗？
(2)拖拉机耕地时，对犁的拉力F是斜向上方的，而犁是在水平方向运动的，此时拖拉机的拉力F对犁做功吗？
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
一、伽利略斜面实验
[问题情境]
1．当小球沿斜面从高处由静止滚下时，小球的高度不断减小，而速度不断增大，说明了什么？
2．当小球沿另一个斜面向上滚时，小球的位置不断升高，而速度不断减小，说明了什么问题？
[要点提炼]
1．能量：物体在运动变化过程中存在着守恒量，这个量叫能量．
2．势能：相互作用的物体凭借其________而具有的能量叫做势能．
3．动能：物体由于________而具有的能量叫做动能．
4．动能和势能统称为________能．势能可以转化为动能，动能也可以转化为势能．
[问题延伸]
伽利略的斜面理想实验说明了 ( http: / / www.21cnjy.com )小球的势能和动能的转化情况．在这个例子中是否存在着能的总量保持不变？如果空气阻力和摩擦阻力不能忽略，人们寻找的守恒量还存在吗？
[即学即用]
1．如图1所示，一根不可伸长的细绳拴着 ( http: / / www.21cnjy.com )一个小球在竖直平面内摆动，图中a、b、c三点分别表示小球摆动过程中的三个不同位置，其中a、c等高．在小球摆动的整个过程中，动能最大时是在________点，在________点势能最大；如果没有空气阻力的影响，小球在a点的势能________(填“大于”“等于”或“小于”)在b点的动能．
图1
二、功
[问题情境]
1．请根据下面的四个问题准确地判断出力做功的必要因素：
(1)人推车前进，推力对车做了功．
(2)竖直下落的小球，重力对小球做了功．
(3)足球沿水平地面滚动，地面对足球的支持力不做功．
(4)运动员用脚将足球踢出去，在足球滚动的过程中，运动员对足球没有做功．
2．求解下列两种情况下力F做的功
图2
(1)如果力的方向与物体的运动方向一致，应该怎样计算这个力做的功？
物体在水平力F的作用下水平向右的位移为l，如图2所示，求力F对物体做的功．
(2)若力的方向与物体的运动方向成某一角度，该怎样计算功呢？
物体在与水平方向成α角的力F的作用下，沿水平方向向前行驶的距离为l，如图3所示，求力F对物体所做的功．
图3
[要点提炼]
(1)力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积，即W＝Flcos α.
(2)式中的力F、位移l都是矢量，但功W却是标量．
(3)功的单位是焦耳，符号是J，1 J＝1 N×1 m＝1 N·m.
(4)式中的F应为恒力，因此要先判断在做功的过程中力是恒力还是变力，若是恒力，方可利用公式直接进行计算．
图4
例1 如图4所示，质量为m＝2 kg的物体静止在水平地面上，受到与水平面的夹角为θ＝37°、大小F＝10 N的拉力作用，物体移动了l＝2 m，物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.3，g取10 m/s2.求：
(1)拉力F所做的功W1；
(2)摩擦力Ff所做的功W2；
(3)重力G所做的功W3；
(4)弹力FN所做的功W4；
(5)合力F合所做的功W.
[即学即用]
2．如图所示，力F大小相等，物体沿水平面运动的位移l也相同，下列哪种情况F做功最少( )
三、正功和负功
[问题情境]
功是标量，但因为力和位移的夹角不同，使功有正、负之分．那么，当力的大小和位移大小确定后，力做功与否以及做功的正、负由什么决定呢？
请同学们分析一个力做功时可能出现的下列各种情形：
(1)当α＝时，cos α＝0， ( http: / / www.21cnjy.com )W＝0.这表示力F的方向跟位移l的方向______时，力F__________.例如，物体在水平桌面上运动，重力G和支持力FN都跟位移方向垂直，这两个力________．
(2)当0≤α<时，cos α>0，W>0.这表示力F对物体做____功．例如，人用力拉车前进时，人的拉力F对车做____功．
(3)当<α≤π时，cos α< ( http: / / www.21cnjy.com )0，W<0.这表示力F对物体做____功．例如，推着小车跑动的人，接近目的地时要减速，人向后拉车的力F对车做____功．某力对物体做负功，往往说成“物体克服某力做功”．
[要点提炼]
1．由W＝Flcos α可知
(1)当0≤α<时，W>0，力对物体做正功；
(2)当<α≤π时，W<0，力对物体做负功，或称物体克服这个力做功；
(3)当α＝时，W＝0，力对物体不做功．
2．力对物体做正功，表示该力是动力；力对物体做负功，表示该力是阻力．
3．功的正、负并不表示方向，也不表示功的大小，只表示是动力做功还是阻力做功．
例2 如图5所示，物体A、B叠放在一起，A用绳系在固定的墙上，用力F拉着B右移．用F拉、FAB、FBA分别表示绳中拉力、A对B的摩擦力和B对A的摩擦力，则下面叙述中正确的是( )
图5
A．F做正功，FAB做负功，FBA做正功，F拉不做功
B．F、FBA做正功，FAB、F拉不做功
C．F做正功，FAB做负功，FBA和F拉不做功
D．F做正功，其他力都不做功
[即学即用]
3．如图6所示，沿斜面下滑的物体所受的三个力中做正功的是________，做负功的是________，不做功的是________．
图6
( http: / / www.21cnjy.com )
1．功是力作用在物体上对空间的积累效应，即谈 ( http: / / www.21cnjy.com )到“功”，必有力作用在物体上并在力的方向上发生一段位移．功是能量变化的量度，这个观点是贯穿全章的主线．
2．对公式W＝Flcos ( http: / / www.21cnjy.com )α要从三个方面理解：(1)功是针对某一力的，谈到功时，一定要指明是哪个力对物体做了功；(2)力对物体做功只和物体的运动过程有关，只要F、l、α相同，则恒力F做的功就相同，而与物体的运动状态无关，即不管物体是加速运动、减速运动还是匀速运动；(3)由于位移与参考系的选取有关，所以功具有相对性．
3．功是标量，功的正负由 ( http: / / www.21cnjy.com )夹角α来确定．正、负功的意义是：力对物体做正功，表示施力物体能够把能量传递给受力物体、受力物体的能量增加；力对物体做负功表示受力物体把能量传递给其他的物体，受力物体的能量减少，即物体克服外力做功．
4．公式W＝Flcos α只适用于恒力做功的情形．对于变力做功的问题可以用其他方式求解(“动能定理”一节里将会讲得很透彻)．
第七章 机械能守恒定律
学案16 追寻守恒量——能量
学案17 功
答案
课前准备区
1．力的大小与在力的方向上发生的位移大小的乘积
2．作用在物体上的力 物体在力的方向上发生的位移
3．(1)效果不同．(2)做功．
课堂活动区
核心知识探究
一、
[问题情境]
1．说明小球凭借其位置而具有的物理量不断减少，而由于运动而具有的物理量不断增大．
2．说明小球凭借其位置而具有的物理量不断增加，而由于运动而具有的物理量不断减少．
[要点提炼]
2．位置 3.运动 4.机械
[问题延伸]
小球向下滚动的过程中，势能逐渐减小，动 ( http: / / www.21cnjy.com )能逐渐增大，势能转化为动能；小球向上滚动的过程中，动能逐渐减小，势能逐渐增大，动能又转化为势能．在小球运动过程中，小球的机械能总量保持不变．
通过实验可以发现，在这个实验中，在有阻 ( http: / / www.21cnjy.com )力的情况下，小球滚上斜面时的高度跟原来相比减小了，因此与物体高度相对应的重力势能就减少了，能量看起来不再守恒．那么减少的能量到哪儿去了呢？如果没有消失，它转化为其他哪种形式的能量了呢？原来小球在运动的过程中有摩擦就会生热，有一部分机械能转化为系统的内能，能量还是守恒的．
[即学即用]
1．b a、c 等于
解析 在小球来回摆动的过程中，动能 ( http: / / www.21cnjy.com )与势能不停地相互转化，但总量不变．在a、c两点时位置最高，势能最大，动能为零．在b点时位置最低，势能最小，动能最大．
二、
[问题情境]
1．(1)人推车前进，车在人的推力作用下发生了一段位移．
(2)竖直下落的小球，小球在重力作用下发生了一段位移．
(3)地面对足球的支持力的方向垂直于地面，而足球的位移沿水平方向，在支持力的方向上无位移．
(4)脚与足球脱离后就不再对球施加作用力，无力当然谈不上做功．
2．(1)W＝F·l
(2)虽然F与位移方向不一致，但可以根据力F的作用效果把F沿两个方向分解：即与位移方向一致的分力F1、与位移方向垂直的分力F2.
则分力F1所做的功等于F1l，分力F2的方向跟位移的方向垂直，物体在F2的方向上没有发生位移，所以F2所做的功等于零．
因此，力F对物体所做的功W等于F1l，而F1＝Fcos α，所以，W＝Flcos α.
例1 (1)16 J (2)－8.4 J (3)0 (4)0 (5)7.6 J
解析
(1)对物体进行受力分析，如图所示．
W1＝Flcos θ＝10×2×0.8 J＝16 J
(2)FN＝G－Fsin θ＝20 N－10×0.6 N＝14 N
Ff＝μFN＝0.3×14 N＝4.2 N
W2＝Fflcos 180°＝－4.2×2 J＝－8.4 J
(3)W3＝Glcos 90°＝0
(4)W4＝FNlcos 90°＝0
(5)W＝W1＋W2＋W3＋W4＝7.6 J
或由合力求总功
F合＝Fcos θ－Ff＝10×0.8 N－4.2 N＝3.8 N
F合与l方向相同，则W＝F合l＝3.8×2 J＝7.6 J
[即学即用]
2．D [由公式W＝Flcos α可知，由于几种情况下，F、l都相同，因此cos α越小，力F做的功越少，D中cos α最小，故选D.]
三、
[问题情境]
(1)垂直 不做功 都不做功
(2)正 正 (3)负 负
例2 C [根据W＝Flcos α可知，力F的作用点的位移不为零，且与F方向相同，所以F做正功；绳中拉力F拉的作用点的位移为零，所以F拉不做功；FBA作用点的位移为零，所以FBA不做功；FAB作用点的位移不为零，且与FAB反向，所以FAB做负功，应选C.]
[即学即用]
3．G F阻 FN
解析 重力方向与位移方向的夹角小于90° ( http: / / www.21cnjy.com )，所以重力做正功；F阻与位移方向的夹角大于90°，所以F阻做负功；支持力方向与位移方向的夹角为90°，所以支持力不做功．学案22 实验：探究功与速度变化的关系
1．前面我们学过哪几种势能？
________________________________________________________________________
2．它们的变化与什么有关？
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
3．本章的第二节学习了功的基本知识， ( http: / / www.21cnjy.com )知道功有两个要素：力和在_______________．功的定义式：W＝____________________.
一、实验原理和实验操作
1．实验目的
(1)通过实验探究力对物体做的功与物体速度变化的关系．
(2)体会探究的过程和所用的方法．
2．实验原理
如图1所示，小车在橡皮筋的 ( http: / / www.21cnjy.com )作用下弹出．当我们用2条、3条……同样的橡皮筋进行第2次、第3次……实验时，每次橡皮筋拉伸的长度保持一致，那么第2次、第3次……实验中橡皮筋对小车做的功就是第1次的2倍、3倍……如果把第1次实验时橡皮筋的功记为W，以后各次的功就是2W、3W……
图1
由于橡皮筋对小车做功而使小车获得速度，小车速度可以由纸带和打点计时器测出，也可以用其他方法测出．进行多次测量，得到若干组功和速度的数据．
以橡皮筋对小车做的功为纵坐标，小车获得的速度 ( http: / / www.21cnjy.com )为横坐标，以第1次实验时的功W为单位，作出W－v曲线．分析这条曲线，可以得出橡皮筋对小车做的功与小车获得的速度的定量关系．
3．实验器材
①平板；②小车；③细橡皮筋；④钉子；⑤打点计时器和纸带；⑥低压交流电源和导线；⑦毫米刻度尺；⑧复写纸．
4．实验过程
(1)先把带有小钉的长木板平放在实验桌上，把打点计时器固定在木板上，再将小车放在长木板上．
(2)把木板的一端垫起来让木板适当倾斜，使小车能在木板上匀速运动即可．
(3)把纸带夹在小车上，把橡皮筋的一端固定在小车上，另一端挂在小钉上．
(4)拉开小车使橡皮筋伸长，记下小车此时的位置．
(5)接通电源，放开小车，小车在弹力的作用下带着纸带沿木板滑行，打点计时器在纸带上打下了一系列的点迹．
(6)用2条、3条……橡皮筋重做上述实验．
例1 某同学在“探究功与物体速度变化的关系”的实验中，设计了如图2甲所示的实验．将纸带固定在重物上，让纸带穿过电火花打点计时器或电磁打点计时器，先用手提着纸带，使重物静止在靠近计时器的地方，然后接通电源，松开纸带，让重物自由下落，计时器就在纸带上打下一系列小点，得到的纸带如图乙所示，O点为计时器打下的第1个点，该同学对数据进行了下列处理：取OA＝AB＝BC，并根据纸带算出了A、B、C三点的速度分别为vA＝0.12 m/s，vB＝0.17 m/s，vC＝0.21 m/s.根据以上数据你能否大致判断W∝v2
甲 乙
图2
二、数据处理、误差分析和注意事项
1．数据处理
(1)速度数值的获得：实验获得的是如图 ( http: / / www.21cnjy.com )3所示的纸带，为探究橡皮筋弹力做功与小车速度的关系，需要测量的是弹力做功结束时小车的速度，即小车做匀速运动的速度．所以，应该在纸带上测量的物理量是图中A1、A3间的距离x，小车速度的表达式为v＝，其中T是打点计时器的振动周期．即选择相邻距离基本相同的若干点来计算小车匀速时的速度．
图3
(2)根据数据，确定W与v的关系
因为图象上的直线关系最容易判断两个物理量间 ( http: / / www.21cnjy.com )的关系，所以可分别试探画出W与v、W与v2、W与v3、W与间关系的图象，找出哪一组的图象是直线，从而确定功与速度的正确关系．
2．误差分析及注意事项
(1)误差分析
①忘记平衡摩擦力或没有完全平衡或平衡过度；
②橡皮筋的规格及固定时伸长的长度不完全相同；
③计算小车速度时，取点不准确；
④做图象时坐标系不合理或描点不准确．
(2)注意事项
①实验前应将木板的一端垫起以平衡摩擦力；
②改变橡皮筋条数做实验时，要保证每次橡皮筋拉伸的长度相同；
③计算小车的速度时，采用点间距分布均匀的点．
例2 探究力对原来静止的物体做的功与物体获得的速度的关系，实验装置如图4所示，实验主要过程如下：
图4
(1)设法让橡皮筋对小车做的功分别为W、2W、3W、……；
(2)分析打点计时器打出的纸带，求出小车的速度v1、v2、v3、……；
(3)作出W—v草图；
(4)分析W—v图象．如果W—v图象是一条直线，表明W∝v；如果不是直线，可考虑是否存在W∝v2、W∝v3、W∝等关系．
以下关于该实验的说法中有一项不正确，它是________．
A．本实验设法让橡皮筋对小车做的功分别为W、 ( http: / / www.21cnjy.com )2W、3W、…….所采用的方法是选用同样的橡皮筋，并在每次实验中使橡皮筋拉伸的长度保持一致．当用1条橡皮筋进行实验时，橡皮筋对小车做的功为W，用2条、3条、……橡皮筋并在一起进行第2次、第3次、……实验时，橡皮筋对小车做的功分别是2W、3W、…….
B．小车运动中会受到阻力，可以使木板适当倾斜来平衡摩擦力．
C．某同学在一次实验中，得到一条记录纸带．纸带上打出的点，两端密、中间疏．出现这种情况的原因，可能是没有使木板倾斜或倾角太小．
D．根据记录纸带上打出的点，求小车获得的速度的方法，是以纸带上第一点到最后一点的距离来进行计算
例3 下表为按照课本上的装置进行的某一实验的测量数据，其中实验所用计时器为电火花计时器，小车质量为300 g，可用的橡皮筋有6根，从1根开始，每次增加1根．小车受力的位移即橡皮筋被拉伸的长度为19 cm.根据以上数据，怎样才能找出W与v的关系？
功与速度的关系
v/(m·s－1) W/J
0.00 0.00
0.80 1.00
1.10 2.00
1.28 3.00
1.53 4.00
1.76 5.00
1.89 6.00
学案22 实验：探究功与速度变化的关系
答案
1．D [本实验无需测出橡皮筋具体做功 ( http: / / www.21cnjy.com )的数值，只要测出以后每次实验橡皮筋做的功是第一次的多少倍就足够了，A错；每次实验橡皮筋拉伸的长度必须保持一致，只有这样才能保证以后每次实验时，橡皮筋做的功是第一次的整数倍，否则，功的数值难以确定，B错；小车运动过程中会受到阻力，只有使木板倾斜到一定程度，才能减小误差，C错；实验时，应该先接通电源，让打点计时器开始工作，然后再让小车在橡皮筋的作用下弹出．D正确．]
2．BC
3．C [橡皮筋的拉力是变力，只有C的说法是完全符合实验原理的．]
4．ABCF [左端垫高利用小车的重力沿斜面向下的分力来平衡摩擦力，减小实验误差．
实验中要求橡皮筋规格相同 ( http: / / www.21cnjy.com )，拉伸长度相同即每个橡皮筋做功相等，所以只要通过改变橡皮筋条数就可以改变做功的数值，利用打点计时器时应该先接通电源再释放纸带．当橡皮筋松驰时，即加速结束时，小车做匀速运动，此时速度即为小车获得的最大速度．]
5．(1)1.18 1.57 1.96 2.35
2．74 (2)0.69 1.23 1.92
2．76 3.76
(3)如下图所示
重力做的功WG 速度的平方v2 速度的平方v2 正比
解析 (1)各点速度可由公式v＝＝求出
vB＝＝ m/s≈1.18 m/s
同理vC≈1.57 m/s，vD≈1.96 m/s，vE≈2.35 m/s，vF≈2.74 m/s
(2)重力做的功由W＝mgΔx求出
WB＝mg＝1×9.8×70.6×10－3 J≈0.69 J
同理WC≈1.23 J，WD≈1.92 J，WE≈2.76 J，WF≈3.76 J
6．(1)①平衡摩擦力 ②钩码的重力远小于小车的重力 (2) 钩码的重力和小车的质量学案27 章末总结
( http: / / www.21cnjy.com )
一、功和功能关系
功 牵引力做的功 功率P已知，用W＝Pt计算
恒力功 某个力或合力为恒力，用W＝Flcos α计算该力或合力做的功
变力功 将变力“化为”恒力，用W＝Flcos α计算变力功
功能关系 合力做的功 W合＝ΔEk增
重力做的功 WG＝ΔEp减
除重力(弹力)外其他力的合力做的功 W其＝ΔE机
守恒定律 机械能守恒 ΔEk增＝ΔEp减，E1＝E2
能量守恒 ΔE1增＝ΔE2减
例1 一小滑块放在图1所示的凹形斜面上，用力F沿斜面向下拉小滑块，小滑块沿斜面运动了一段距离．若已知在这一过程中，拉力F所做的功的大小(绝对值)为A，斜面对滑块的作用力所做的功的大小为B，重力做功的大小为C，空气阻力做功的大小为D.当用这些量表达时，小滑块的动能的改变量(指末态动能减去初态动能)等于________；滑块的重力势能的改变量等于________；滑块机械能(指动能与重力势能之和)的改变量等于________．
图1
例2 一个质量为m的物体以a＝2g的加速度竖直向下运动，则在此物体下降h高度的过程中，物体的( )
A．重力势能减少了2mgh
B．动能增加了2mgh
C．机械能保持不变
D．机械能增加了mgh
二、功率
1．P＝，此式求出的是t时间内的平均功率，当然若功率一直不变，亦为瞬时功率．
2．P＝Fv·cos α，即功率等于力F、运动的速度v以及力和速度的夹角α的余弦的乘积．
当α＝0时，公式简化为P＝Fv.
3．机车以恒定功率启动或以恒定加速度启动：
(1)P＝Fv指的是牵引力的瞬时功率．
(2)依据P＝Fv及a＝讨论各相关量的变化，最终状态三个量的特点：P＝Pm，a＝0(F＝Ff)，v＝vm.
例3 质量为m＝4 000 kg的卡车，额定输出功率为P＝60 kW.当它从静止出发沿坡路前进时，每行驶100 m就升高5 m，所受阻力大小为车重的0.1倍，g取10 m/s2，试求：
(1)卡车能否保持牵引力为8 000 N不变在坡路上行驶？
(2)卡车在坡路上行驶时能达到的最大速度为多大？这时牵引力为多大？
(3)如果卡车用4 000 N的牵引力以 ( http: / / www.21cnjy.com )12 m/s的初速度上坡，到达坡顶时速度为4 m/s，那么卡车在这一段路程中的最大功率为多少？平均功率是多少？
三、动能定理和机械能守恒定律
1．应用动能定理应该注意
(1)明确研究对象和研究过程，确定始、末状态的速度情况．
(2)对物体进行正确的受力分析(包括重力、弹力等)，弄清各力做功大小及功的正、负情况．
(3)有些力在运动过程中不是始终存在，物体运动状态、受力等情况均发生变化，则在考虑外力做功时，必须根据不同情况分别对待，正确表示出总功．
(4)若物体运动过程中包含几个不同的子过程，解题时，可以分段考虑，也可视为一个整体过程，列出动能定理方程求解．
2．机械能守恒定律
(1)状态式
Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2，理解为物体(或系统)初状态的机械能与末状态的机械能相等．
(2)变量式
①ΔEk＝－ΔEp，表示动能与势能在相互转化的过程中，系统减少(或增加)的势能等于增加(或减少)的动能．
②ΔE增＝ΔE减，适用于系统，表示由A、B组成的系统，A部分机械能的增加量与B部分机械能的减少量相等．
例4 如图2所示，某滑板爱好者在离地h＝1.8 m 高的平台上滑行，水平离开A点后落在水平地面的B点，其水平位移x1＝3 m，着地时由于存在能量损失，着地后速度变为v＝4 m/s，并以此为初速度沿水平地面滑行x2＝8 m 后停止．已知人与滑板的总质量m＝60 kg.求：
图2
(1)人与滑板在水平地面滑行时受到的平均阻力大小．
(2)人与滑板离开平台时的水平初速度．(空气阻力忽略不计，g取10 m/s2)
例5 某兴趣小组设计了如图3所示的玩具轨道，其中“2008”四个等高数字用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，固定在竖直平面内(所有数字均由圆或半圆组成，圆半径比细管的内径大得多)，底端与水平地面相切．弹射装置将一个小物体(可视为质点)以v0＝5 m/s的水平初速度由a点弹出，从b点进入轨道，依次经过“8002”后从p点水平抛出．小物体与地面ab段间的动摩擦因数μ＝0.3，不计其它机械能损失．已知ab段长L＝1.5 m，数字“0”的半径R＝0.2 m，小物体质量m＝0.01 kg，g＝10 m/s2.求：
图3
(1)小物体从p点抛出后的水平射程．
(2)小物体经过数字“0”的最高点时，管道对小物体作用力的大小和方向．
[即学即用]
1．把一个物体从粗糙斜面的底端匀加速拉到斜面顶端的过程中，下列说法不正确的是( )
A．拉力与摩擦力做功的代数和等于物体动能的增量
B．拉力、摩擦力和重力做功的代数和等于物体动能的增量
C．拉力、摩擦力、重力和支持力的合力做的功等于物体动能的增量
D．物体所受外力的合力做的功等于物体动能的增量
2．质量为m的物体由固定在地面上的斜面顶端匀速滑到斜面底端，斜面倾角为θ，物体下滑速度为v，如图4所示，以下说法中正确的是( )
图4
A．重力对物体做功的功率为mgvsin θ
B．重力对物体做功的功率为mgv
C．物体克服摩擦力做功的功率为mgvsin θ
D．物体克服摩擦力做功的功率为mgv
3．静止在粗糙水平面上的物块A受方向 ( http: / / www.21cnjy.com )始终水平向右、大小先后为F1、F2、F3的拉力作用做直线运动，t＝4 s时停下，其v－t图象如图5所示，已知物块A与水平面间的动摩擦因数处处相同，下列判断正确的是( )
图5
A．全过程中拉力做的功等于物块克服摩擦力做的功
B．全过程中拉力做的功等于零
C．一定有F1＋F3＝2F2
D．有可能F1＋F3>2F2
4．如图6所示，一小物块(可 ( http: / / www.21cnjy.com )视为质点)从竖直平面上圆弧轨道顶点A由静止开始下滑，滑出圆轨道最低点B后恰好做平抛运动，而后落在水平地面上的D点，已知小物块质量m＝0.1 kg，圆弧轨道半径R＝1 m，BC高度h＝1.8 m，CD＝2.4 m，g取10 m/s2，问：
图6
(1)在轨道AB上，小物块克服摩擦力做了多少功？
(2)飞离B点前的瞬间，小物块对轨道的压力多大？
5. 如图7所示，四分之一圆轨道OA与水平轨 ( http: / / www.21cnjy.com )道AB相切，它们与另一水平轨道CD在同一竖直面内，圆轨道OA的半径R＝0.45 m，水平轨道AB长x1＝3 m，OA与AB均光滑．一滑块从O点由静止释放，当滑块经过A点时，静止在CD上的小车在F＝1.6 N的水平恒力作用下启动，运动一段时间后撤去力F.当小车在CD上运动了x2＝3.28 m时速度v＝2.4 m/s，此时滑块恰好落入小车中．已知小车质量M＝0.2 kg，与CD间的动摩擦因数μ＝0.4.(g取10 m/s2)求：
图7
(1)恒力F的作用时间t；
(2)AB与CD的高度差h.
学案27 章末总结
答案
知识体系区
力的方向上发生的位移 能量转化 标量 比值 平均 瞬时 Ep1－Ep2 Ek2－Ek1
课堂活动区
一、
例1 A－B＋C－D －C A－B－D
解析 根据动能定理，动能的改变量等于外力做 ( http: / / www.21cnjy.com )功的代数和，其中做负功的有空气阻力和斜面对滑块的作用力的功(因弹力不做功，实际上为摩擦阻力做的功)，因此ΔEk＝A－B＋C－D；重力势能的改变量等于重力做功的负值，因此ΔEp＝－C；滑块机械能的改变量等于重力之外的其他力做功的代数和，因此ΔE＝A－B－D.
例2 BD [物体下降h高度，重力做正功，重力势能减少了mgh；由牛顿第二定律知物体所受合外力大小为2mg，方向向下，则物体下落h过程中合外力做功为2mgh，由动能定理知物体动能增加了2mgh；物体以a＝2g的加速度向下运动，除了受重力之外，还受其他力，故机械能不守恒；机械能为重力势能与动能之和，故机械能增加了mgh.]
二、
例3 (1)不能 (2)10 m/s 6 000 N
(3)48 kW 32 kW
解析 汽车能否保持牵引力为8 0 ( http: / / www.21cnjy.com )00 N上坡要考虑两点：第一，牵引力是否大于阻力？第二，汽车若一直加速，其功率是否将超过额定功率，依据P＝F·v求解．
分析汽车上坡过程中的受力情况如图所示：牵引力F，重力mg＝4×104 N，Ff＝kmg＝4×103 N，支持力FN，依题意sin θ＝.
(1)汽车上坡时，若F＝8 ( http: / / www.21cnjy.com ) 000 N，而Ff＋mgsin θ＝4×103＋4×104×＝6×103 N，即F>Ff＋mgsin θ，汽车将加速上坡，速度不断增大，其输出功率P＝Fv也不断增大，长时间后，将超过其额定输出功率，所以，汽车不能保持牵引力为8 000 N不变上坡．
(2)汽车上坡时，速度越来越大，必须不 ( http: / / www.21cnjy.com )断减小牵引力保证输出功率不超过额定输出功率，当牵引力为F1＝Ff＋mgsin θ时，汽车加速度为零，速度达到最大值，设为vmax，则
P＝F1v＝(Ff＋mgsin θ)vmax，
vmax＝＝ m/s＝10 m/s，
这时牵引力F1＝Ff＋mgsin θ＝6×103 N.
(3)若牵引力为F2＝4 000 N，汽车上坡时，速度不断减小，所以，最初的功率即为最大功率．
P＝F2v＝4 000×12 W＝4.8×104 W.
整个过程中，平均功率为
＝F2＝4 000× W＝3.2×104 W.
三、
例4 (1)60 N (2)5 m/s
解析 (1)设人与滑板在水平地面滑行时受到的平均阻力为Ff，根据动能定理有
－Ffx2＝0－mv2 ①
由①式解得Ff＝＝ N＝60 N ②
(2)人和滑板一起在空中做平抛运动，设离开平台时的水平初速度为v0，飞行时间为t，根据平抛运动规律有
h＝gt2 ③
x1＝v0t ④
由③④两式解得
v0＝＝ m/s＝5 m/s ⑤
例5 (1)0.8 m (2)0.3 N 竖直向下
解析 (1)设小物体运动到p点时的速度大小为v，则小物体由a运动到p的过程应用动能定理得
－μmgL－2mgR＝mv2－mv ①
小物体自p点做平抛运动，设运动时间为t，水平射程为x，则
2R＝gt2 ②
x＝vt ③
联立①②③式，代入数据解得
x＝0.8 m ④
(2)设在数字“0”的最高点时管道对小物体的作用力大小为F，取竖直向下为正方向
F＋mg＝ ⑤
联立①⑤式，代入数据解得F＝0.3 N，方向竖直向下．
[即学即用]
1．A [物体从粗糙斜面底端被匀加速拉到 ( http: / / www.21cnjy.com )顶端的过程中，受拉力、重力、支持力、摩擦力，其中拉力做正功，重力做负功，支持力不做功，摩擦力做负功，根据动能定理，合力做的总功(或各力做功的代数和)等于物体动能的增量，所以说法不正确的只有A.]
2．AC [物体沿斜面匀速下 ( http: / / www.21cnjy.com )滑，说明沿斜面方向的摩擦力Ff＝mgsin θ，根据功率公式P＝Fvcos α(式中α是F与v的夹角)，则重力对物体做功的功率PG＝mgvcos (90°－θ)＝mgvsin θ，A对，B错；物体克服摩擦力做功的功率PFf＝Ffv＝mgvsin θ，C对，D错．]
3．AC [由动能定理知，A正确，B错误；第 ( http: / / www.21cnjy.com )1 s内F1－μmg＝ma,1 s末至3 s末，F2＝μmg，第4 s内μmg－F3＝ma，所以F1＋F3＝2F2，故C正确，D错误．]
4．(1)0.2 J (2)2.6 N
解析 (1)设从B到D所用时间为t，
由h＝gt2，得t＝＝ s＝0.6 s
水平方向CD＝vBt，
故B点速度为vB＝＝ m/s＝4 m/s，
从A到B，由动能定理得mgR－Wf＝mv，
解得小物块克服摩擦力做功Wf＝0.2 J.
(2)在B点，合力提供向心力，FN－mg＝m，解得支持力FN＝2.6 N，
根据牛顿第三定律知，压力FN′＝2.6 N.
5．(1)1 s (2)0.8 m
解析 (1)小车受恒力F作用时加速度为a1，则由牛顿第二定律得
F－μMg＝Ma1 ①
经时间t，小车速度v1＝a1t ②
设撤去恒力F到小车速度为2.4 m/s时的时间为t2，则
μMg＝Ma2 ③
v＝a1t－a2t2 ④
x2＝a1t2＋v1t2－a2t ⑤
代入数据，解①②③④⑤得t＝1 s，t2＝0.4 s
(2)滑块从O滑至A时机械能守恒，设到A时速度为v2，
则mgR＝mv ⑥
设滑块从A到B所用时间为t3，则t3＝ ⑦
代入数据，解⑥⑦得t3＝1 s，由题意设滑块从B点平抛到落入小车的时间为t4，则
t4＋t3＝t＋t2 ⑧
则t4＝0.4 s
由平抛运动规律知：h＝gt＝0.8 m学案21 探究弹性势能的表达式
1．势能：相互作用的物体凭借其________而具有的能量．
2．如图1所示表示撑竿跳运动的几个阶段：助跑、撑竿起跳、越横杆．试定性地说明在这几个阶段中能量的转化情况．
图1
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一、弹性势能
[要点提炼]
1．发生__________的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，也具有势能，这种势能叫做弹性势能．
2．发生形变的物体________具有弹性势能，只有发生__________的物体才具有弹性势能．
3．弹性势能属于发生弹性形变的物体．
4．弹性势能的大小也具有______性，与零势能位置的规定有关，一般规定自然长度处弹性势能为零．
[即学即用]
1．关于弹性势能，下列说法中正确的是( )
A．任何发生弹性形变的物体，都具有弹性势能
B．任何具有弹性势能的物体，一定发生了弹性形变
C．物体只要发生形变，就一定具有弹性势能
D．弹簧的弹性势能只跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关
2．关于弹性势能和重力势能，下列说法正确的是( )
A．重力势能属于物体和地球这个系统，弹性势能属于发生弹性形变的物体
B．重力势能是相对的，弹性势能是绝对的
C．重力势能和弹性势能都是相对的
D．重力势能和弹性势能都是状态量
二、探究弹性势能的表达式
[问题情境]
1．我们在研究重力势能的时候，是从分析重力做功入手的，那么分析弹性势能是否可以从分析弹力做功入手呢？
2．重力做功可以直接应用公式W＝Flcos α来求，弹力做功可以用此公式求吗？为什么？
[要点提炼]
决定弹性势能大小的相关因素的猜想
1．猜想依据：弹性势能和重力势能同属______，且重力势能大小与物体的______和______有关．
2．猜想结论：弹性势能与弹簧的________和______有关，在弹簧的形变量l相同时，弹簧的劲度系数k越大，弹簧的弹性势能越____．在弹簧的劲度系数k相同时，弹簧的形变量l越大，弹簧的弹性势能越____．
[问题情境]
(1)前面在求解变力做功时，我们都学习了哪几种方法？
(2)教材中求解变力做功应用了什么方法？
(3)请用平均力法和面积法探究弹性势能的表达式？
[要点提炼]
1．弹簧弹性势能的表达式：E＝kl2，式中k为弹簧的劲度系数，l为弹簧的形变量．
2．弹力做功与弹性势能变化的关系
当用外力拉伸弹簧时，外力对弹簧做正功， ( http: / / www.21cnjy.com )弹簧弹性势能增加；当用外力压缩弹簧时，同样对弹簧做正功，弹簧弹性势能也增加；总之，无论是拉伸还是压缩弹簧都需对弹簧做功，弹力做的功等于弹性势能的变化．
例1 在水平地面上放一个竖直轻弹簧，弹簧上端与一质量为2.0 kg的木块相连，若在木块上再作用一个竖直向下的力F，使木块缓慢向下移动0.10 m，力F做功2.5 J，此时木块再次处于平衡状态，力F的大小为50 N，如图2所示．求：
图2
(1)在木块下移0.10 m的过程中弹簧弹性势能的增加量．
(2)弹簧的劲度系数．(g取10 N/kg)
例2 如图3所示，在光滑水平面上有一物体，它的左端连一弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力F作用下物体处于静止状态，当撤去F后，物体将向右运动，在物体向右运动的过程中下列说法正确的是( )
图3
A．弹簧对物体做正功，弹簧的弹性势能逐渐减少
B．弹簧对物体做负功，弹簧的弹性势能逐渐增加
C．弹簧先对物体做正功，后对物体做负功，弹簧的弹性势能先减少再增加
D．弹簧先对物体做负功，后对物体做正功，弹簧的弹性势能先增加再减少
一、弹性势能
发生弹性形变的物体各部分之间，由于弹力的相互作用而具有的势能．
问题(1)：弹性势能的大小可能与哪些因素有关？
问题(2)：弹性势能的大小跟弹簧的形变量成正比吗？它的表达式是什么？
二、探究方案
1．实验探究：(控制变量法)
(1)同样的形变量，不同硬度的弹簧，比较弹性势能的大小
结论：_____________________________________________________________________.
(2)同一根弹簧，不同的形变量，比较弹性势能的大小
结论：_____________________________________________________________________.
2．理论探究(如图4所示)
图4
弹性势能的表达式Ep＝kl2.
学案21 探究弹性势能的表达式
答案
1．C [弹簧弹性势能的大 ( http: / / www.21cnjy.com )小与弹簧的劲度系数k的大小及弹簧的形变量(被拉伸或被压缩的长度)有关，k越大、弹簧的形变量越大，弹簧的弹性势能就越大；反之，就越小．如果弹簧原来处在压缩的状态，当它变长时，它的弹性势能应先减小，在原长处，它的弹性势能最小，所以A、B、D均不对．]
2．C [重力势能与物体被举起的高 ( http: / / www.21cnjy.com )度(即位置改变)有关，弹性势能与弹簧被拉伸的长度(即长度变化量)有关，②对；重力势能与物体质量(物体属性)有关，弹性势能与弹簧的劲度系数(本身性质)有关，③对，故选C.]
3．C [F—l围成的面积的数值表示弹力做的功．
W＝×0.08×60 J－×0.04×30 J＝1.8 J
弹性势能减少1.8 J，C对．]
4．D [可将整个过程分为两 ( http: / / www.21cnjy.com )个阶段：一是弹簧伸长到物体m刚要离开地面时，拉力克服弹力做功WF1＝－W弹，等于弹性势能的增加，二是弹簧长度不变，物体上升h，拉力克服重力做功WF2＝－WG＝mgh，等于重力势能的增加，又由WF1＋WF2＝WF可知A、B、C错，D对．]
5．C [由F＝kl可知，F—l图线的 ( http: / / www.21cnjy.com )斜率为弹簧的劲度系数，由图可知，ka>kb，当拉力为F1时，两弹簧的形变量为la＝，lb＝，可得：Ea＝kal＝，Eb＝，故Ea6．ABCD [人由高空跌下，到最低点的过 ( http: / / www.21cnjy.com )程中，重力方向和位移方向均向下，重力对人做正功，重力势能减少，A、B正确；在人和橡皮绳相互作用的过程中，橡皮绳对人的拉力向上，人的位移向下，绳的拉力对人做负功，橡皮绳的弹性势能增加，C、D正确．]
7．(1)天平 刻度尺 (2)重力势能 小球质量 小球上升的高度
(3)设计的数据表格如下表所示
小球的质量m＝________kg
弹簧 劲度系数k/(N/m) 压缩量l/m 上升高度h/m E＝mgh/J
A
B
C
8.(1)做正功 (2)做负功 (3)减少
(4)增加 (5)A点
解析 根据力和位移的关系 ( http: / / www.21cnjy.com )可得：此过程中重力做正功，弹力做负功；弹簧的弹力与重力在做功的特点方面是相同的：做功与路径无关，只与初、末位置有关，并且做功过程中同样伴随着势能的变化；重力做正功，重力势能减少，反之，重力做负功，重力势能增加；弹力做正功，弹性势能减少，反之，弹力做负功，弹性势能增加；在A点弹簧的形变量最大，故A点弹性势能最大．学案26 能量守恒定律与能源
一、能量守恒定律
[问题情境]
1．在验证机械能守恒定律的实验中，重物带着 ( http: / / www.21cnjy.com )纸带下落时，计算结果发现，减少的重力势能的值大于增加的动能的值，即机械能的总量在减少．原因就是存在纸带和打点计时器之间的摩擦力和空气的阻力等．是不是考虑了各种摩擦和阻力后这部分能量就消失了呢？
2．请说明下列现象中能量是如何转化的？
(1)植物进行光合作用．(2)放在火炉旁的冰融化变热．
(3)电流通过灯泡，灯泡发光．
[要点提炼]
1．内容：能量既不会凭空产 ( http: / / www.21cnjy.com )生，也不会凭空消失，它只能从一种形式________为另一种形式，或者从一个物体________到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量____________．
2．几个重要的功能关系
(1)合外力所做的功或外力所做功的代数和等于物体或物体系____________——动能定理．
(2)除了重力和弹力外，其他力对物体系所做的功等于物体系____________——功能原理；
(3)重力或弹力对物体所做的功与重力势能或弹性势能的变化数值相等；
(4)两物体间滑动摩擦力对物体系所做的功与物体系增加的内能数值相等．
[即学即用]
1．质量为4 kg的物体被人由静止开始向上提升0.25 m 后速度达到1 m/s，则下列判断正确的是( )
A．人对物体传递的功是12 J
B．合外力对物体做功2 J
C．物体克服重力做功10 J
D．人对物体做的功等于物体增加的动能
2．如图1所示，一个质量为m的物体 ( http: / / www.21cnjy.com )(可视为质点)以某一速度由A点冲上倾角为30°的固定斜面，做匀减速直线运动，其加速度的大小为g，在斜面上上升的最大高度为h，则在这个过程中，物体( )
图1
A．机械能损失了mgh
B．重力势能增加了3mgh
C．动能损失了mgh
D．机械能损失了mgh
3．如图2所示在光滑的水平面上 ( http: / / www.21cnjy.com )，有一质量为M的长木块以一定的初速度向右匀速运动，将质量为m的小铁块无初速地轻放到木块右端，小铁块与木块间的动摩擦因数为μ，当小铁块在木块上相对木块滑动L时与木块保持相对静止，此时长木块对地的位移为l，求这个过程中
图2
(1)系统产生的热量；
(2)小铁块增加的动能；
(3)木块减少的动能；
(4)系统机械能减少量．
二、能源和能量耗散
1．人类对能源的利用大致经历了三个 ( http: / / www.21cnjy.com )时期，即________时期、______时期、______时期．自工业革命以来，______和______成为人类的主要能源．
2．__________和__________已经成为关系到人类社会能否持续发展的大问题．
3．燃料燃烧时一旦把自己的热量释放出去，就不 ( http: / / www.21cnjy.com )会再次________聚集起来供人类重新利用．电池中的化学能转化为电能，电能又通过灯泡转化为内能和光能，热和光被其他物质吸收之后变成周围环境的内能，我们无法把这些内能收集起来重新利用．这种现象叫做能量的耗散．
4．能量耗散表明，在能源的 ( http: / / www.21cnjy.com )利用过程中，即在能量的转化过程中，能量在数量上__________，但在可利用的品质上______了，从便于利用的变成__________的了．这是能源危机的深层次的含意，也是“自然界的能量虽然守恒，但还是要节约能源”的根本原因．
5．能量的耗散从能量转化的角度反映出自然界中宏观过程的________．
[即学即用]
4．能源短缺和环境恶化指的是( )
①煤炭和石油的开采与技术有关，在当前技术条件下，煤炭和石油的开采是有限度的，这叫能源短缺；
②煤炭和石油资源是有限的，以今天的开采和消耗速度，石油储藏将在百年内用尽，煤炭资源也不可能永续，这叫能源短缺；
③煤炭和石油具有很大的气味，在开采、存放和使用过程中这些气味会聚集在空气中污染空气，使环境恶化；
④大量煤炭和石油产品在燃烧时排出的有害气体污染了空气，改变了大气成分使环境恶化．
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
5．下列关于“能量耗散”的说法中，正确的是( )
①能量在转化过程中，有一部分能量转化为内能，我们无法把这些内能收集起来重新利用，这种现象叫做能量耗散；
②能量在转化过程中变少的现象叫做能量耗散；
③能量耗散表明，在能源的利用过程中，即 ( http: / / www.21cnjy.com )在能量的转化过程中，能量的数量并未减少，但在可利用的品质上降低了，从便于利用的变成不便于利用的了，而自然界的能量是守恒的；
④能量耗散表明，各种能量在不转化时是守恒的，但在转化时是不守恒的．
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
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学案26 能量守恒定律与能源
答案
1．D 2.A
3．AB [由题意可知，小 ( http: / / www.21cnjy.com )球落地的速度比抛出时大，即从抛出到落地的过程中，动能变大了．根据动能定理W合＝ΔEk，则W合>0，即重力所做的功大于阻力所做的功．而这个过程中重力对小球做的功为WG＝mgh，所以A、B正确．从抛出到落地的过程中，合外力做的功等于小球动能的变化量，即W合＝m(2v0)2－mv＝mv>mv，故C、D均错．]
4．ABD [物体在平衡力作用下的 ( http: / / www.21cnjy.com )运动只有匀速直线运动，动能一定不变，若在水平面内直线运动，重力势能不变，机械能也不变；若在竖直方向上或沿斜面直线运动，则动能不变，重力势能改变，机械能一定变化，综上所述，选项A、B、D均正确．]
5．D
6．BD [A物体所受的合外力等于B对A的 ( http: / / www.21cnjy.com )摩擦力，对A物体运用动能定理，则有B对A的摩擦力所做的功等于A的动能的增量，即B对．A对B的摩擦力与B对A的摩擦力是一对作用力与反作用力，大小相等，方向相反，但是由于A在B上滑动，A、B对地的位移不等，故二者做功不等，C错．对B应用动能定理，WF－WFf＝ΔEkB，即WF＝ΔEkB＋WFf就是外力F对B做的功，等于B的动能增量与B克服摩擦力所做的功之和，D对．由上述讨论知B克服摩擦力所做的功与A的动能增量(等于B对A的摩擦力所做的功)不等，故A错．]
7．B
8．W＋mg2t2
解析 自行车由C点冲出后做竖直上抛运动
上升高度等于下降高度h＝gt ①
上、下时间相等t上＝t下＝ ②
由功能关系知，在从B到C再到D的过程中，自行车运动员做的功W人应当等于他克服摩擦力做的功W与增加的重力势能之和，W人＝W＋mgh ③
联立①②③式得W人＝W＋mgh＝W＋mg2t2
9．(1)4.5 J (2)4.5 J (3)9 J
解析 (1)μmg＝ma，a＝1.5 m/s2
μmgs′＝mv2
所以s′＝3 m<4.5 m，即物体可与皮带达共同速度，Ek＝mv2＝×1×32 J＝4.5 J
(2)v＝at，t＝2 s
Q＝μmg(vt－s′)＝0.15×1×10×(6－3) J＝4.5 J
(3)E＝Ek＋Q＝4.5 J＋4.5 J＝9 J学案24 机械能守恒定律
1．本章中我们学习了哪几种形式的能？
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
2．动能定理的内容和表达式是什么？
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
3．重力所做的功与物体重力势能的变化之间有什么关系？
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
4．我们在初中学习时知道，在一定条件下，物体的动能和势能可以__________.
一、动能与势能的相互转化
[问题情境]
1．物体沿光滑斜面下滑，重力对物体做正功，物体重力势能减少，减少的重力势能到哪里去了？
2．射箭时，发生弹性形变的弓弦恢复到原来形状时，弹性势能减少了，减少的弹性势能到哪里去了？
[要点提炼]
1．重力势能的变化是由于重力或弹力做功而引 ( http: / / www.21cnjy.com )起的．如果重力做正功，重力势能________，动能________，意味着重力势能转化为动能；反之，如果重力做负功，重力势能________，动能________，意味着动能转化为重力势能．在转化过程中，动能与重力势能之和不变．
2．动能与弹性势能间的转化
只有弹力做功时，若弹力做正功，弹性势能__ ( http: / / www.21cnjy.com )________，动能__________，弹性势能转化为动能；若弹力做负功，弹性势能________，动能________，动能转化为弹性势能．在转化过程中，动能与弹性势能之和不变．
[即学即用]
1．跳伞运动员在空中做自由落体运动的过程中，他具有的( )
A．动能增加，势能减少
B．动能增加，势能不变
C．动能减少，势能增加
D．动能不变，势能减少
2．如图1所示，地面上竖直放一根轻弹簧，其下端和地面固定连接，一物体从弹簧正上方距弹簧一定高度处自由下落，则( )
图1
A．物体和弹簧接触时，物体的动能最大
B．与弹簧接触的整个过程，物体的动能和弹簧弹性势能的和不断增加
C．与弹簧接触的整个过程，物体的动能与弹簧弹性势能的和先增加后减小
D．物体在反弹阶段，动能一直增加，直到物体脱离弹簧为止
二、机械能守恒定律
[问题情境]
质量为m的物体自由下落的过程中， ( http: / / www.21cnjy.com )经过高度h1处时速度为v1，下落至高度h2处时速度为v2，不计空气阻力，分析由h1下落到h2过程中机械能的变化？
[要点提炼]
1．内容：在只有________或________做功的物体系统内，动能和势能可以互相转化，而总的机械能保持不变，这叫做机械能守恒定律．
2．几种表达式
①用系统的状态量表达：E初＝E末，或者Ek1＋Ep1＝__________，即系统初态的机械能总量等于末态的机械能总量．
②用系统的状态量的增量表述：ΔE＝0，即系统机械能的________为零．
③用系统动能增量和势能增量间的关系表述：
ΔEk＝－ΔEp，即系统动能的增加量等于____________．
④若系统只由两个物体组成，则物体A增加的机 ( http: / / www.21cnjy.com )械能等于物体B减少的机械能，反之也成立，即ΔEA＝－ΔEB或－ΔEA＝ΔEB，或ΔEA＋ΔEB＝______.
3．守恒条件
(1)从能量特点看：只有系统______和______相互转化，无其他形式能量之间(如内能)的转化，则系统机械能守恒．如物体间发生相互碰撞、物体间发生相对运动且有相互间的摩擦作用时，有内能的产生，机械能一般不守恒．
(2)从做功特点看：只有______和系统内的______做功，具体表现在：
①只受重力(或系统内弹力)，如所有做抛体运动的物体(不计空气阻力)．
②除重力、弹力外，物体还受其他力，但其他力不做功，如物体沿光滑的曲面下滑，尽管受到支持力，但支持力不做功．
③其他力做功，但做功的代数和为零．
如图2所示，A、B构成的系统，忽略绳的 ( http: / / www.21cnjy.com )质量和绳与滑轮间摩擦，在A向下、B向上运动的过程中，FA和FB都做功，但WA＋WB＝0，不存在机械能与其他形式能量的转化，则A、B系统机械能守恒．
图2
[即学即用]
3．下列关于机械能是否守恒的叙述中正确的是( )
A．做匀速直线运动的物体机械能一定守恒
B．做曲线运动的物体机械能可能守恒
C．外力对物体做功为零时，机械能一定守恒
D．除重力外，其他力均不做功，物体的机械能守恒
4．如图3所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )
图3
A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒
B．乙图中，在大小等于摩擦力的拉力作用下沿斜面下滑时，物体B机械能守恒
C．丙图中，不计任何阻力时，A加速下落，B加速上升过程中，A、B机械能守恒
D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒
5．桌面高为h，质量为m的小球从桌面上方高为H处自由下落．不计空气阻力，假设桌面处于零势能位置，则小球落到地面前瞬间的机械能为( )
A．mgh B．mgH
C．mg(H＋h) D．mg(H－h)
三、机械能守恒定律的应用
应用机械能守恒定律解题的步骤
(1)确定研究对象；
(2)对研究对象进行正确的受力分析；
(3)判断各个力是否做功，并分析是否符合机械能守恒的条件；
(4)视解题方便选取零势能参考平面，并确定研究对象在始、末状态时的机械能；
(5)根据机械能守恒定律列出方程，或再辅之以其他方程，进行求解．
例1 一个人站在阳台上，以相同的速率v0，分别把三个球竖直向上抛出、竖直向下抛出、水平抛出，不计空气阻力，则三球落地时的速率( )
A．上抛球最大 B．下抛球最大
C．平抛球最大 D．三球一样大
例2 如图4所示，质量为m的物体，以某一初速度从A点向下沿光滑的轨道运动，不计空气阻力，若物体通过轨道最低点B时的速度为3，求：
图4
(1)物体在A点时的速度大小；
(2)物体离开C点后还能上升多高．
例3 如图5所示，在倾角为α＝30°的光滑斜面上通过滑轮连接着质量mA＝mB＝10 kg的两个物体A和B，开始时物体A固定在离地高h＝5 m的地方，物体B位于斜面底端，静止释放物体A后，求：
图5
(1)物体A即将着地时A的动能．
(2)物体B离开斜面底端的最远距离．
(g＝10 m/s2)
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学案24 机械能守恒定律
答案
1．D [上升到同一高度时由Ep＝mgh可 ( http: / / www.21cnjy.com )知，m不同Ep不同，又因为整个过程中物体机械能守恒且初动能相同，则在同一高度时两物体所具有的动能不同，D正确，A、B、C错．]
2．BCD [重力势能Ep随h增大而减小，A错，B对；Ek＝－ΔEp＝mgh，C对；E不随h而变化，D对．]
3．B [下滑时高度降低，则重力势能减小，加速运动，动能增加，摩擦力做负功，机械能减小，B对，A、C、D错．]
4．B [物体若在水平面内做匀 ( http: / / www.21cnjy.com )速圆周运动，动能、势能均不变，物体的机械能不变；物体在竖直平面内做匀速圆周运动，动能不变，势能改变，故物体的机械能发生变化；物体沿光滑的曲面下滑，只有重力做功，机械能守恒；用一沿固定斜面向上、大小等于物体所受摩擦力的拉力作用在物体上时，除重力以外的力做功为零，物体的机械能守恒，故选B]
5．C [物体的重力做功时，物体 ( http: / / www.21cnjy.com )下落，重力势能一定减小，物体克服重力做功，说明重力做负功，物体重力势能增加，若只有重力做功，机械能守恒，若还有其他力如阻力做功，则机械能不守恒，A、B均错；物体以g加速下落且重力势能减小时，说明只有重力做功，机械能守恒，C对；物体以g/2加速下落且重力势能减小时，说明除有重力做功外，还有其他力做功，机械能一定不守恒，D错．]
6．C [0～t1时间内小球做自由落体运动， ( http: / / www.21cnjy.com )落到弹簧上并往下运动的过程中，小球重力与弹簧对小球弹力的合力方向先向下后向上，故小球先加速后减速，t2时刻到达最低点，动能为0，A、B错；t2～t3时间内小球向上运动，合力方向先向上后向下，小球先加速后减速，动能先增加后减少，C对；t2～t3时间内由能量守恒知小球增加的动能等于弹簧减少的弹性势能减去小球增加的重力势能，D错．]
7．(1)10 m/s (2)43 N，方向竖直向下 (3)－68 J
解析 (1)设小球经过B点时的速度大小为vB，
由动能定理得
mg(H－h)＝mv
求得vB＝10 m/s.
(2)设小球经过C点时的速度为vC，对轨道的压力为FN，则轨道对小球的压力FN′＝FN，
根据牛顿第二定律可得FN′－mg＝
由机械能守恒得mgR(1－cos 53°)＋mv＝mv
联立，解得FN＝43 N
方向竖直向下．
(3)设小球由D到达S的过程中阻力所做的功为W，易知vD＝vB，
由动能定理可得mgh＋W＝mv－mv
代入数据，解得W＝－68 J.
8．(1) (2)mg (3)绳长为时有最大水平距离为2d
解析 (1)设绳断后球飞行的时间为t，由平抛运动规律，有
竖直方向：d＝gt2
水平方向：d＝v1t
解得v1＝
由机械能守恒定律，有mv＝mv＋mg(d－d)，解得v2＝
(2)设绳能承受的最大拉力大小为FT，这也是球受到绳的最大拉力大小．
球做圆周运动的半径为R＝d
由圆周运动向心力公式，有FT－mg＝
得FT＝mg
(3)设绳长为l，绳断时球的速度大小为v3，绳承受的最大拉力不变，有FT－mg＝m，解得v3＝
绳断后球做平抛运动，竖直位移为d－l，水平位移为x，时间为t1.有d－l＝gt，x＝v3t1
得x＝4，当l＝时，x有极大值xmax＝d.学案20 重力势能
1．势能：相互作用的物体凭借其________而具有的能量．
2．重力势能：物体由于________而具有的能量．
3．水力发电站是利用了__________来发电的．
4．功是力与__________________________的乘积.
一、重力做的功
[问题情境]
请同学们根据已有的知识求解下列三种情况下重力做的功．
[要点提炼]
1．重力做功的特点
物体运动时，重力对它做的功只跟 ( http: / / www.21cnjy.com )它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的________无关，功的大小等于物重跟起点高度的乘积与物重跟终点高度的乘积这两者之差．
2．重力做功的大小与物体的运动状态无关，与物体是否受其他的力无关(如：斜面是否光滑等)．
3．如果重力做负功，我们常说物体克服重力做了功．
4．对于物体沿任意曲线运动的情况，采用“________”，这种方法有时可以帮助我们解决很多问题．
5．重力做功的大小WG＝mgh＝mgh1－mgh2，式中的h指物体运动的起点高度跟终点高度之差．
[即学即用]
1．沿着高度相同、坡度不同、粗糙程度也不同的斜面将同一物体分别从底端拉到顶端，下列说法正确的是( )
A．沿坡度小的斜面运动时物体克服重力做功多
B．沿坡度大、粗糙程度大的斜面运动时物体克服重力做功多
C．沿坡度小、粗糙程度大的斜面运动时物体克服重力做功多
D．不管沿怎样的斜面运动，物体克服重力做的功相同
2．如图1所示，质量为m的小球在半径为R的半圆形轨道上来回运动，下列说法正确的是( )
图1
A．若A、B等高，从A到B重力做功mg·2R
B．若A、B等高，从A到B重力做功为零
C．若轨道有摩擦，重力做的功最多是mgR
D．若轨道有摩擦，重力做的功可以大于mgR
二、重力势能
[要点提炼]
1．定义：我们把物理量mgh叫做物体的重力势 ( http: / / www.21cnjy.com )能，常用Ep表示，即Ep＝mgh.上式表明，物体的重力势能等于它所受重力与__________的乘积．
2．重力势能Ep是标量，但有________．
正值：即Ep>0，表示位于参考平面以上的物体的重力势能；
零：即Ep＝0，表示位于参考平面上的物体的重力势能；
负值：即Ep<0，表示位于参考平面以下的物体的重力势能．
可见，Ep的符号仅表示其相 ( http: / / www.21cnjy.com )对大小．例如，在同一参考平面内，Ep1＝100 J，Ep2＝－100 J，则Ep1>Ep2，这与功的正、负的物理意义是不同的，类似于温度＋2 ℃高于－5 ℃.
3．单位：重力势能的单位在国际单位制中是焦耳(J)，1 J＝1 kg·m·s－2·m＝1 N·m.
4．重力势能是状态量．
5．重力势能的相对性
(1)重力势能有________性，即Ep与选取的参考平面(零势能面)________．因此，在计算重力势能时，必须首先选取参考平面．
(2)重力势能的变化是________的，它与参考平面的选取________．
6．重力势能是属于____ ( http: / / www.21cnjy.com )____的，如果没有地球，就没有重力，也就谈不上重力势能了，所以，重力势能是地球与物体所组成的这个“________”所共有的，而不是地球上的物体单独具有的．
[即学即用]
3．楼上某房间地板高出楼外地面4 m ( http: / / www.21cnjy.com )，窗台比地板高1 m．一个质量为10 kg的重物分别放在窗台上A处、地板上B处和楼外地面上C处．(g取9.8 m/s2)
(1)以楼外地面为参考平面(零势能面)， ( http: / / www.21cnjy.com )重物在A、B、C三处的重力势能分别为EpA＝________，EpB＝________，EpC＝________.
(2)以该房间地板为参考平面，重物 ( http: / / www.21cnjy.com )在A、B、C三处的重力势能分别为EpA＝________，EpB＝________，EpC＝________.
(3)重物在A、B两处的重力势能之 ( http: / / www.21cnjy.com )差EpA－EpB＝________________，A、C两处的重力势能之差EpA－EpC＝______________.
(4)物体在某处的重力势能的量值，跟参考平面的选取________关．
三、重力做功与重力势能变化的关系
[问题情境]
如图2所示，质量为m的物体自高度为h2的A处下落至高度为h1的B处，求此过程中重力做的功和重力势能的变化量，并分析它们之间的关系．
图2
[要点提炼]
1．关系：重力做正功，重力势 ( http: / / www.21cnjy.com )能减少，重力做的功等于重力势能的减少量；重力做负功，重力势能增加，重力做的功等于重力势能的增加量，即WG＝－ΔEp.
2．当物体从高处向低处运动时，重力做正功，重力势能减小，也就是WG>0，Ep1>Ep2.这时，重力势能减小的数量等于重力所做的功．
3．当物体从低处向高处运动时，重力做负功，重力势能增加，也就是WG<0，Ep1例题 关于重力势能与重力做功的下列说法中正确的是( )
A．物体克服重力所做的功等于重力势能的增加量
B．在同一高度，将物体以初速度v0向不同方向抛出，从抛出到落地的过程中，重力所做的功相等，物体所减少的重力势能也一定相等
C．重力势能等于零的物体，不可能对别的物体做功
D．用手托住一个物体匀速上举时，手的支持力做的功等于克服重力所做的功与物体的重力势能增量之和
1．重力做功的特点：物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关．
2．重力势能
(1)重力势能：等于它所受重力与所处高度的乘积．
(2)重力势能的公式：Ep＝mgh.
(3)重力势能是标量，其单位与功的单位相同，在国际单位制中都是焦耳，符号为J.
(4)重力做功与重力势能变化量之间的关系：
①重力做正功时，重力势能减少，减少的重力势能等于重力所做的功．
②物体克服重力做功(重力做负功)，重力势能增加，增加的重力势能等于物体克服重力所做的功．
3．重力势能的相对性
(1)零势能面．
(2)参考平面的选择：通常选择地面为参考平面．
4．势能是系统所共有的．
学案20 重力势能
答案
课前准备区
1．位置 2.被举高 3.重力势能
4．在力的方向上发生的位移
课堂活动区
核心知识探究
一、
[问题情境]
(1)如图甲，设一个质量为m的物体，从高度为h1的位置，竖直向下运动到高度为h2的位置，这个过程中重力做的功是
WG＝mgh＝mgh1－mgh2
(2)如图乙，物体沿倾斜直线运动的距离是L，在这一过程中重力所做的功是
WG＝mgcos θ·L＝mgh＝mgh1－mgh2
(3)如图丙，我们把整个路径分成许多很短的间隔AA1，A1A2，A2A3……
由于每一段都很小很小，它们都可以 ( http: / / www.21cnjy.com )近似地看做一段倾斜的直线．设每段小斜线的高度差分别是Δh1，Δh2，Δh3，…，则物体通过每段小斜线时重力所做的功分别为mgΔh1，mgΔh2，mgΔh3，…，物体通过整个路径时重力所做的功，等于重力在每小段上所做的功的代数和，即
WG＝mgΔh1＋mgΔh2＋mgΔh3＋…＝mg(Δh1＋Δh2＋Δh3＋…)＝mgh＝mgh1－mgh2
[要点提炼]
1．路径 4.极限法
[即学即用]
1．D [物体运动过程中克服重力所做 ( http: / / www.21cnjy.com )的功等于物体所受重力与物体升高的高度的乘积，与物体的运动路径无关，也与是否受到其他力无关，所以A、B、C错误，D正确．]
2．BC [若A、B等高，从A到B， ( http: / / www.21cnjy.com )小球在竖直方向上的位移为零，故重力做功为零，A错，B对；小球下落的高度最大为R，故若轨道粗糙，重力做功最多是mgR，故C对，D错．]
二、
[要点提炼]
1．所处高度 2.正、负 5.(1)相对 有关 (2)绝对 无关 6.系统 系统
[即学即用]
3．(1)490 J 392 J 0 (2)98 J 0 －392 J (3)98 J 490 J (4)有
三、
[问题情境]
重力做功WG＝ mg(h2－h1) ( http: / / www.21cnjy.com )＝mgΔh，物体的重力势能由mgh2变为mgh1，重力势能的改变量ΔEp＝mgh1－mgh2＝－mgΔh，可见WG＝－ΔEp.所以，重力做的功等于重力势能的变化量．
例题 AB [重力势能具有相对性，重力对物体所做的功等于物体重力势能的变化，即WG＝－ΔEp，故A、B正确；重力势能等于零，只能说明物体在参考平面上，不影响其对别的物体做功，故C错；对于D，物体匀速上升，手的支持力大小等于物体的重力，二者移动的距离也相同，所以手的支持力做的功等于克服重力做的功，又WG＝－ΔEp，故手的支持力做的功也等于物体重力势能的增加量，而不是等于二者之和，故D错．]
