章末总结
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一、运动的合成与分解
1．曲线运动
(1)现象：物体运动的轨迹为曲线，曲线向受力的方向一侧弯曲．
(2)分类：①若物体所受外力为变力，物体做一般的曲线运动．②物体所受外力为恒力，物体做匀变速曲线运动．
2．运动合成的常见类型
(1)不在一条直线上的两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动．
(2)不在一条直线上的两个分运动，一个为匀速直线运动，一个为匀变速直线运动，其合运动一定是匀变速曲线运动．
(3)不在一条直线上的两个分运动，分别做匀变速直线运动，其合运动可能是匀变速直线运动，也可能是匀变速曲线运动．
例1 一个探空气球正以5 m/s的速度竖直升高，t＝0时刻突然有一水平向南的气流使气球产生a＝2 m/s2的加速度，经时间t＝2 s后，求：
(1)此过程内气球的位移；
(2)2 s时气球的速度；
(3)2 s时气球的加速度．
二、平抛运动问题的分析思路
1．平抛运动的性质
平抛运动是匀变速曲线运动．平抛运动的动力学特征是：水平方向是初速度为v0的匀速直线运动，竖直方向是自由落体运动．
2．平抛运动的时间和水平距离
由h＝gt2，得t＝，可知平抛运动的时间取决于落地点到抛出点的高度h；再由
x＝v0t＝v0，可知平抛运动的水平距离取决于初速度v0和抛出点的高度h.
图1
3．平抛运动的偏转角
设平抛物体下落高度为h，水平位移为s时，速度vA与初速度v0的夹角为θ，由图1可得：
tan θ＝＝＝ ①
将vA反向延长与s相交于O点，
设A′O＝d，则有：tan θ＝＝
解得：d＝s
tan θ＝2＝2tan α ②
①②两式揭示了偏转角和其他各物理量的关系，是平抛运动的一个规律，运用这个规律能巧解平抛运动的一些习题．
例2 如图2所示，水平屋顶高H＝5 m，墙高h＝3.2 m，墙到房子的距离L＝3 m，墙外马路宽x＝10 m，小球从房顶水平飞出，落在墙外的马路上，求小球离开房顶时的速度v0.(取g＝10 m/s2)
图2
例3 如图3所示，排球场总长为18 m，设球网高度为2 m，运动员站在离网3 m的线上(图中虚线所示)正对网前跳起将球水平击出(空气阻力不计)．(g取10 m/s2)
图3
(1)设击球点在3 m线正上方高度为2.5 m处，试问球被水平击出时的速度在什么范围内才能使球既不触网也不出界？
(2)若击球点的高度小于某个值，那么无论球被水平击出时的速度多大，球不是触网就是出界，试求出此高度．
三、圆周运动问题的分析方法
例4 如图4所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角θ＝30°，一条长为L的绳(质量不计)，一端固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小物体(物体可看做质点)，物体以速率v绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动．
图4
(1)当v1＝时，求绳对物体的拉力；
(2)当v2＝时，求绳对物体的拉力．
[即学即用]
1．关于物体的运动下列说法正确的是( )
A．物体做曲线运动时，它所受的合力一定不为零
B．做曲线运动的物体，有可能处于平衡状态
C．做曲线运动的物体，速度方向一定时刻改变
D．做曲线运动的物体，所受的合外力的方向有可能与速度方向在一条直线上
2．加速度不变的运动( )
A．一定是直线运动
B．可能是直线运动，也可能是曲线运动
C．可能是匀速圆周运动
D．若初速度为零，一定是直线运动
3．在平坦的垒球运动场上，击球手挥动球棒将垒球水平击出，垒球飞行一段时间后落地．若不计空气阻力，则( )
A．垒球落地时瞬时速度的大小仅由初速度决定
B．垒球落地时瞬时速度的方向仅由击球点离地面的高度决定
C．垒球在空中运动的水平位移仅由初速度决定
D．垒球在空中运动的时间仅由击球点离地面的高度决定
4．一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上 ( http: / / www.21cnjy.com )时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图5中虚线所示．小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为( )
图5
A．tan θ B．2tan θ
C. D.
5．下列现象是为了防止物体产生离心运动的有( )
A．汽车转弯时要限制速度
B．转速很高的砂轮半径不能做得太大
C．在修筑铁路时，转弯处轨道的内轨要低于外轨
D．离心水泵工作时
6．在高度为h的同一位置向水平方向同时抛出两个小球A和B，若A球的初速度vA大于B球的初速度vB，则下列说法中正确的是( )
A．A球比B球先落地
B．在飞行过程中的任一段时间内，A球的水平位移总是大于B球的水平位移
C．若两球在飞行中遇到一堵墙，A球击中墙的高度大于B球击中墙的高度
D．在空中飞行的任意时刻，A球总在B球的水平正前方，且A球的速率总是大于B球的速率
7．如图6所示，从高为H的A点平抛一物体 ( http: / / www.21cnjy.com )，其水平射程为2s；在A点正上方高为2H的B点同方向平抛另一物体，其水平射程为s，已知两物体在空中的运行轨道在同一竖直面内，且都从同一个屏M的顶端擦过，求：屏M的高度．
图6
8．如图7所示，水平转盘上放 ( http: / / www.21cnjy.com )有质量为m的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为r，物块与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，转盘的角速度由零逐渐增大，求：当角速度分别为和时，绳子对物体拉力的大小．
图7
学案8 章末总结
答案
知识体系区
切线 当物体所受合力的方 ( http: / / www.21cnjy.com )向与它的速度方向不在同一直线上时 平行四边形定则 匀速直线 自由落体 匀变速曲线 重力提供向心力 最高点速度恰好为零
课堂活动区
例1 (1)10.77 m (2)6.4 m/s (3)2 m/s2
解析 (1)在2 s内竖直方向x1＝v1t＝5×2 m＝10 m.
水平方向x2＝at2＝×2×22 m＝4 m，
合位移x＝＝ m＝10.77 m，
与水平方向的夹角θ满足tan θ＝＝＝2.5
(2)2 s时竖直方向v1＝5 m/s，
水平方向v2＝at＝2×2 m/s＝4 m/s
合速度v＝＝ m/s＝6.4 m/s.
与水平方向的夹角α满足tan α＝＝＝1.25.
(3)2 s时竖直方向a1＝0，水平方向a2＝2 m/s2，
合加速度a＝a2＝2 m/s2，方向为水平向南．
例2 5 m/s≤v0≤13 m/s
解析 设小球恰好越过墙的边缘时的水平初速度为v1，由平抛运动规律可知：
H－h＝gt ①
L＝v1t1 ②
由①②得：v1＝＝ m/s＝5 m/s
又设小球恰落到路沿时的初速度为v2，由平抛运动的规律得：
由③④得
v2＝＝ m/s＝13 m/s
所以球抛出时的速度为
5 m/s≤v0≤13 m/s
例3 (1)9.5 m/s解析
(1)如图所示，排球恰不 ( http: / / www.21cnjy.com )触网时其运动轨迹为Ⅰ，排球恰不出界时其轨迹为Ⅱ.根据平抛物体的运动规律：x＝v0t和h＝gt2可得，当排球恰不触网时有：
x1＝3 m，x1＝v1t1 ①
h1＝2.5 m－2 m＝0.5 m，h1＝gt ②
由①②可得：v1＝9.5 m/s
当排球恰不出界时有
x2＝3 m＋9 m＝12 m，x2＝v2t2 ③
h2＝2.5 m，h2＝gt ④
由③④可得：v2＝17 m/s
所以既不触网也不出界的速度范围是：
9．5 m/s(2)如图所示为球恰不触网也恰不出界的临界轨迹．设击球点的高度为h，根据平抛运动的规律有：
x1′＝3 m，x1′＝v0t1′ ⑤
h1′＝(h－2) m，h1′＝gt1′2 ⑥
x2′＝3 m＋9 m＝12 m，x2′＝v0t2′ ⑦
h2′＝h＝gt2′2 ⑧
解⑤～⑧式可得击球点高度
h＝2.13 m
例4 (1)1.03mg (2)2mg
解析 水平方向：FTsin θ－FNcos θ＝m ①
竖直方向：FTcos θ＋FNsin θ＝mg ②
联立①②两式解得：FN＝mgsin θ－m
由上式可看出当θ、L、m一定时，线速度v越 ( http: / / www.21cnjy.com )大，支持力FN越小，当v满足一定条件，设v＝v0时，能使FN＝0，此时锥面与物体间恰好无相互作用，即
mgsin θ－m＝0
得出：v0＝
将θ＝30°代入上式得：v0＝.
(1)当v1＝FT1＝mgcos θ＋m＝mg＋mg≈1.03mg
(2)当v2＝>v0时，物体已离开锥面， ( http: / / www.21cnjy.com )但仍绕轴线做水平面内的匀速圆周运动，设此时绳与轴线间的夹角为α(α>θ)，物体仅受重力和拉力作用，这时
FT2sin α＝m ③
FT2cos α＝mg ④
联立③④两式解得：cos α＝，
所以α＝60°
代入④式解得
FT2＝2mg
[即学即用]
1．AC
2．BD [加速度不变的运动一定 ( http: / / www.21cnjy.com )是匀变速运动，但不一定是匀变速直线运动，可能是匀变速曲线运动，但若初速度为零时，物体的速度和恒定加速度必然同向，所以物体一定做匀加速直线运动．B、D选项正确．]
3．D
[因垒球被水平击出后做平抛运动，所以竖直 ( http: / / www.21cnjy.com )方向h＝gt2，t＝，故垒球在空中飞行的时间仅由击球点离地面的高度决定，D正确．水平方向位移s＝v0t，故垒球在空中运动的水平位移由水平速度和飞行时间共同决定，C错误．由平行四边形定则可知，垒球落地时瞬时速度大小为v＝，由初速度和在空中飞行的时间共同决定，A错误．因垒球落地瞬间速度可分解为水平分速度v0和竖直分速度vy，如图所示，则tan θ＝＝，所以速度方向由初速度和在空中飞行的时间(亦即击球点高度)共同决定，B错误．]
4．D [小球在竖直方向下落的距离与水平 ( http: / / www.21cnjy.com )方向通过的距离之比即为平抛运动合位移与水平方向夹角的正切值．小球落在斜面上速度方向与斜面垂直，故速度方向与水平方向夹角为－θ，由平抛运动结论；平抛运动速度方向与水平方向夹角正切值为位移方向与水平方向夹角正切值的2倍，可知：小球在竖直方向下落的距离与水平方向通过的距离之比为tan (－θ)＝，D项正确．]
5．ABC
6．BCD [平抛运动可以分解为水平方 ( http: / / www.21cnjy.com )向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动．由题意知，A、B小球在竖直方向同时由同一位置开始做自由落体运动，因此在飞行过程中，它们总在同一高度．而在水平方向上，A球以较大的速度、B球以较小的速度同时由同一位置开始向同一方向做匀速直线运动，在飞行过程中，A球总在B球的水平正前方．故A错，B、D正确．因vA>vB，抛出后A球先于B球遇到墙，即从抛出到遇到墙A球运动时间短，B球用时长，那么A球下落的高度小，故C正确．]
7.H
解析 由h＝gt2和x＝v0t得
tA＝，xA＝2s＝vA
tB＝，xB＝s＝vB
设屏M的高度为h，因为A、B均刚好擦过M点，则在M前的运动中
tA′＝，
xA′＝vA
tB＝，
xB′＝vB.
其中xB′＝xA′，
由以上各式解得h＝H.
8．零 μmg
解析 (1)当向心力只由最大静摩擦力提供时，
由μmg＝mω2r得：ω＝，
ω1＝<，物体所需向心力仅由静摩擦力提供，此时绳子对物体拉力为零．
(2)ω2＝>，物体受到的最大静摩擦力不足以提供向心力，此时绳对物体有拉力．
由μmg＋FT＝mrω
得FT＝mrω－μmg＝mr·－μmg＝μmg
此时绳子对物体拉力的大小为μmg.学案2 平抛运动
1．物体做直线运动的条件是：______________________________________.
2．物体做曲线运动的条件是：__________________________.
3．对于速度、位移、加速度和力等矢 ( http: / / www.21cnjy.com )量的合成与分解都遵守__________定则．分运动与合运动具有两个最重要的性质：______性和独立性，因此，对于曲线运动，我们可以通过研究分运动的性质来研究合运动．
4．匀变速直线运动的主要公式有：v＝__________，x＝____________，v2－v＝______；＝＝.
一、抛体运动
[要点提炼]
1．定义：以一定的________将物体抛出，在空气阻力可以忽略的情况下，物体所做的运动．
2．特点
(1)初速度________．
(2)物体只受________作用．
(3)加速度为________．
3．分类
(1)________
(2)竖直上(下)抛运动
(3)________
4．性质：________运动
[即学即用]
1．关于抛体运动，下列说法正确的有( )
A．是匀变速曲线运动
B．是加速度恒定的运动
C．在相等的时间内速度的变化量相等
D．在相等的时间内位移的变化量相等
二、平抛运动的速度
[问题情境]
我们从实验和理论两方面都可以证明做平 ( http: / / www.21cnjy.com )抛运动的物体在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，所以，在这两个方向上的速度公式为vx＝v0，vy＝gt，由vx和vy的值，我们如何求出物体在这个时刻的瞬时速度(即合速度)的大小和方向呢？
[要点提炼]
1．平抛运动的特点：①初速度v0沿________方向；②只受______；③初速度方向与重力方向______．
2．平抛运动的性质：平抛运动是________曲线运动．
3．平抛物体在运动中的速度变化：水平方 ( http: / / www.21cnjy.com )向上速度保持vx＝v0不变，竖直方向上加速度恒为g，速度vy＝gt，这一矢量关系有两个特点：(1)任意时刻的速度水平分量均等于初速度v0；(2)任意相等时间间隔Δt内的速度改变量均竖直向下，且Δv＝Δvy＝gΔt.
4．处理平抛运动的基本思路
将平抛运动分解为水平方向的______直线运动和竖直方向上的__________运动．
[问题延伸]
如果物体所受合力与速度方向垂直，这样的运动具有什么特点？研究其运动特点的方法与平抛运动有什么相同之处？
例1 如图1所示，设一位运动员由A点沿水平方向跃出，到B点着陆，测得AB间距离L＝75 m，山坡倾角θ＝37°(取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，试计算：(不计空气阻力，g取10 m/s2)
图1
(1)运动员在空中飞行的时间t；
(2)他起跳时的速度v0；
(3)落地前瞬间速度的大小．
[即学即用]
2．特技表演者驾驶汽车飞 ( http: / / www.21cnjy.com )越黄河，汽车从飞经空中最高点开始到着地为止这一过程可以看成平抛运动．已知汽车从最高点至着地所经历时间为0.8 s，两点间的水平距离为30 m，则最高点与着地点间的高度差为________，在最高点时的速度大小为________．(g取10 m/s2)
3．做平抛运动的物体，在落地前的最后1 s内，其速度方向由跟竖直方向成60°角变为跟竖直方向成45°角，求物体抛出时的速度和下落的高度．
三、平抛物体的位移
[问题情境]
1．平抛运动的物体在竖直和水平方向各受什么力？有没有初速度和加速度呢？
2．平抛运动在水平和竖直方向的运动各具有什么特点？
3．由于平抛运动是曲线运动，我们应该用二维坐标描述其运动，请根据运动合成与分解的原理推导平抛运动的轨迹方程．
[要点提炼]
1．平抛运动物体的位移公式(位置坐标)：水平分位移x＝v0t，
竖直分位移y＝gt2.
t时间内合位移的大小和方向s＝，tan θ＝＝t(θ为合位移与水平面的夹角)．
2．平抛运动的轨迹方程y＝x2，平抛运动的轨迹是抛物线．
3．运动时间t＝，即平抛物体在空中的飞行时间仅取决于下落的高度h，与初速度v0无关．
4．射程x＝v0，取决于竖直下落高度h和初速度v0.
[问题延伸]
平抛运动的物体在某一点的速度方向和位移方向相同吗？它们之间有什么关系？请同学分析并推导之．
例2 一艘敌舰以v1＝12 m/s的速度逃跑，执行追击任务的飞机，在距水面高h＝320 m的水平线上以速度v2＝105 m/s同向飞行，为击中敌舰，应提前投弹．空气阻力忽略不计，重力加速度g取10 m/s2.飞机投弹时，沿水平方向它与敌舰之间的距离应为多大？如果投弹后飞机仍以原速度飞行，在炸弹击中敌舰时，飞机与敌舰有何位置关系？
例3 如图2所示，从倾角为θ的斜面上的A点，以水平速度v0抛出一个小球，不计空气阻力，它落在斜面上B点，则B点与A点的距离及在空中的飞行时间分别是多少？
图2
[即学即用]
4．如图3所示，射击枪水平放置，射 ( http: / / www.21cnjy.com )击枪与目标靶中心位于离地面足够高的同一水平线上，枪口与目标靶之间的距离x＝100 m，子弹射出的水平速度v＝200 m/s，子弹从枪口射出的瞬间目标靶由静止开始释放，不计空气阻力，取重力加速度g为10 m/s2，问：
图3
(1)从子弹由枪口射出开始计时，经多长时间子弹击中目标靶？
(2)目标靶由静止开始释放到被子弹击中，下落的距离h为多少？
5．如图4所示，小球从倾 ( http: / / www.21cnjy.com )角为37°的斜面底端的正上方以15 m/s的速度水平抛出，飞行一段时间后恰好垂直撞在斜面上，则小球在空中飞行的时间为多少？抛出点距斜面底端的高度为多少？
图4
四、一般的抛体运动
[要点提炼]
物体抛出的速度v0沿斜上方或斜下方时，物体做斜抛运动(设v0与水平方向夹角为θ)．
(1)水平方向：物体做________运动，初速度vx＝________.
(2)竖直方向：物体做竖直上抛或竖直下抛运动，初速度vy＝________.
[即学即用]
6．做斜上抛运动的物体，下列说法正确的是( )
A．速度不断减小
B．加速度不变
C．经过相同高度处的速度相同
D．经过最高点时，瞬时速度为零
1．平抛运动的速度
任意时刻的速度由vx＝v0，vy＝gt，v＝2gh得v＝＝＝.
2．平抛运动的位移
任意一点的位置P(x，y)，其中x＝v0t y＝gt2
任意时刻的位移
s＝＝
方向tan α＝＝＝
平抛运动的轨迹y＝x2
3．一般的抛体运动(斜上抛和斜下抛)
处理方法：运动的合成与分解
学案2 平抛运动
答案
课前准备区
1．物体所受合力的方向与它的速度方向共线
2．物体所受合力的方向与它的速度方向不共线
3．平行四边形 等时
4．v0＋at v0t＋at2 2ax
课堂活动区
核心知识探究
一、
[要点提炼]
1．初速度 2.(1)不为零 (2)重力 (3)重力加速度 3.(1)平抛运动 (3)斜抛运动 4.匀变速
[即学即用]
1．BC [抛体运动是指以一定的初 ( http: / / www.21cnjy.com )速度，可能沿向上、向下、水平或倾斜方向抛出，在仅受重力作用下的运动，由于仅受重力故加速度恒定，故B正确．其轨迹可能是直线，例如上抛或下抛，故A错．在相等时间内Δv＝gt，故速度变化量相等，C正确，D错．]
二、
[问题情境]
水平分速度vx＝v0，竖直分速度vy＝gt.
合速度的大小和方向v＝，tan α＝＝(α为合速度与水平面的夹角)．
[要点提炼]
1．①水平 ②重力 ③垂直 2.匀变速 4.匀速 自由落体
[问题延伸]
此运动叫类平抛运动，研究方法与平抛运动相同．
例1 (1)3 s (2)20 m/s
(3)36.1 m/s
解析 (1)运动员从起跳到落地的竖直位移
y＝gt2，而y＝Lsin θ
将g＝10 m/s2，L＝75 m，θ＝37°代入以上两式，解得t＝3 s
(2)运动员的水平位移x＝v0t，x＝Lcos θ，将t＝3 s，L＝75 m，θ＝37°代入求得v0＝20 m/s
(3)运动员落地时的竖直分速度
vy＝g·t＝10×3 m/s＝30 m/s
所以他落地时速度大小
v＝＝ m/s≈36.1 m/s
[即学即用]
2．3.2 m 37.5 m/s
解析 设最高点速度为v0，由平抛 ( http: / / www.21cnjy.com )运动规律知竖直方向上是自由落体运动，即h＝gt2，又t＝0.8 s，故h＝3.2 m．在水平方向上是匀速直线运动，x＝v0t，故v0＝＝＝37.5 m/s
3．23.2 m/s 27.5 m
解析 设物体初速度为v0，根据题意 ( http: / / www.21cnjy.com )画出速度关系的矢量图，如图所示．最后1 s内速度的变化Δv＝gΔt＝9.8 m/s，且方向竖直向下．分析矢量图可得v0cot 45°－v0cot 60°＝Δv，解得v0≈23.2 m/s
物体在竖直方向做自由落体运动，其下落高度
h＝＝ m≈27.5 m.
三、
[问题情境]
1．因抛出时，物体只受重力 ( http: / / www.21cnjy.com )的作用，竖直方向有大小为g的加速度，没有初速度；不受水平方向的力，所以，小球在水平方向没有加速度，水平方向保持初速度v0不变．
2．平抛运动可以看做水平方向的匀速直线运动与竖直方向的自由落体运动的合运动，并且两个分运动与平抛运动具有等时性．
3．平抛运动物体在任意时刻t的位置：
x＝v0t①
y＝gt2②
平抛运动物体在任意时刻t的位移：s＝＝.
将①②两式消去时间t得到轨迹方程
y＝x2
[问题延伸]
方向不同．如图所示，tan α＝＝
tan θ＝＝＝＝tan α
例2 见解析
解析 投下的炸弹在竖直方向上做 ( http: / / www.21cnjy.com )自由落体运动，在水平方向上的飞机以速度v2做匀速直线运动，炸弹在空中的飞行时间为t＝＝ s＝8 s．在这8 s的时间内，炸弹沿水平方向飞行的距离s2＝v2t＝840 m，敌舰在同一方向上前进的距离s1＝v1t＝96 m．如图所示，飞机投弹时水平方向上“提前”距离应为s＝v2t－v1t＝744 m．在炸弹飞行过程中，炸弹与飞机沿水平方向的运动情况相同，都以速度v2做匀速直线运动，所以飞机与炸弹水平方向上无相对运动，炸弹击中敌舰时，飞机在敌舰的正上方．
例3
解析 设AB间距离为s，球在空中飞行的时间为t，则：
竖直方向：s·sin θ＝gt2 ①
水平方向：s·cos θ＝v0t ②
由①②得t＝ ③
将③代入②有
s·cos θ＝v0，s＝
[即学即用]
4．(1)0.5 s (2)1.25 m
解析 (1)子弹做平抛运动，它在水平方向的分运动是匀速直线运动，设子弹经t时间击中目标靶
则t＝
代入数据得t＝0.5 s
(2)目标靶做自由落体运动
则h＝gt2
代入数据得h＝1.25 m
5．2 s 42.5 m
解析 小球恰好垂直撞在斜面上，可见撞击斜面的速度方向已定，如图所示，v垂直于斜面，v与水平面夹角θ＝53°.
根据已知条件小球垂直撞在斜面上，及tan θ＝vy/vx＝gt/v0
得飞行时间t＝v0tan 53°/g＝ s＝2 s
抛出点高度H＝h＋y
其中y＝gt2＝20 m
h＝x·tan 37°＝(v0t)tan 37°＝15×2×0.75 m＝22.5 m
所以H＝42.5 m
四、
[要点提炼]
(1)匀速 v0cos θ (2)v0sin θ
[即学即用]
6．B学案5 向心加速度
1．加速度是表示____________的物理量，它等于____________________________的比值．在直线运动中，v0表示初速度，v表示末速度，则速度的变化量Δv＝__________，加速度公式a＝______________，其方向与速度变化量方向________．
2．在直线运动中，取初速度v0方 ( http: / / www.21cnjy.com )向为正方向，如果速度增大，末速度v大于初速度v0，则Δv＝v－v0____0(填“>”或“<”)，其方向与初速度方向______；如果速度减小，Δv＝v－v0____0，其方向与初速度方向______．
3．在曲线运动中，当合外力的方向 ( http: / / www.21cnjy.com )与初速度方向成锐角时，物体速度将______，同时速度方向__________．当合外力的方向与初速度方向成钝角时，物体速度将______，同时速度方向__________.
一、圆周运动的实例分析
1．实例分析
(1)地球绕太阳做近似的匀速圆周运动，地球受到太阳的力是万有引力，方向由地球中心指向太阳中心．
(2)光滑桌面上一个小球 ( http: / / www.21cnjy.com )由于细线的牵引，绕桌面上的图钉做匀速圆周运动，小球受到的力有________、____________、细线的拉力，其中______和________在竖直方向上平衡，细线的拉力总是指向______．
2．结论猜测
一切做匀速圆周运动的物体的合外力和加速度均指向______．
二、向心加速度
1．定义：任何做__________运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度叫做向心加速度．
2．方向
[问题情境]
请同学们阅读教材中“做一做”栏目中的内容，并回答下列问题：
(1)在A、B两点画速度矢量vA和vB时，要注意什么？
(2)将vA的起点移到B点时要注意什么？
(3)如何画出质点由A点运动到B点时速度的变化量Δv
(4)Δv/Δt表示的意义是什么？
3．大小
[问题情境]
请同学们按照书中“做一做”栏目中的提示，推导出向心加速度大小的表达式，也就是下面这两个表达式：
an＝ an＝rω2
[要点提炼]
1．做匀速圆周运动的物体，加速度的方向指向圆心，这个加速度称为向心加速度．
2．向心加速度的大小的表达式：an＝＝rω2.
3．向心加速度的方向始终与线速度方向________，只改变速度______，不改变速度的______；
4．向心加速度的方向始终指向圆 ( http: / / www.21cnjy.com )心，方向时刻改变，是一个变加速度，所以匀速圆周运动不是__________运动，而是____________运动；
5．向心加速度与圆周运动的半径 ( http: / / www.21cnjy.com )r的关系：根据an＝＝rω2可知，在v一定时，an与r成________；在ω一定时，an与r成________．
6．向心加速度公式还可以写成an＝r，an＝vω.
[问题延伸]
甲同学认为由公式an＝知向心加速度an与运动半径r成反比；而乙同学认为由公式an＝ω2r知向心加速度an与运动半径r成正比，他们两人谁的观点正确？说一说你的观点．
例1 下列关于向心加速度的说法中正确的是( )
A．向心加速度描述做匀速圆周运动的物体速率改变的快慢
B．向心加速度描述做匀速圆周运动的物体角速度变化的快慢
C．向心加速度描述做匀速圆周运动物体的线速度方向变化的快慢
D．做匀速圆周运动物体的向心加速度不变
例2 关于北京和广州随地球自转的向心加速度，下列说法中正确的是( )
A．它们的方向都是沿半径指向地心
B．它们的方向都在平行于赤道的平面内指向地轴
C．北京的向心加速度比广州的向心加速度大
D．北京的向心加速度比广州的向心加速度小
例3 如图1所示，O1为皮带传动的主动轮的轴心，轮半径为r1，O2为从动轮的轴心，轮半径为r2，r3为固定在从动轮上的小轮半径．已知r2＝2r1，r3＝1.5r1.A、B、C分别是3个轮边缘上的点，则质点A、B、C的向心加速度之比是(假设皮带不打滑)( )
图1
A．1∶2∶3 B．2∶4∶3
C．8∶4∶3 D．3∶6∶2
[即学即用]
1．一小球被细线拴着做匀速圆周运动，其半径为R，向心加速度为an，则( )
A．小球相对于圆心的位移不变
B．小球的线速度为
C．小球在时间t内通过的路程s＝
D．小球做圆周运动的周期T＝2π
2．由于地球自转，比较位于赤道上的物体1与位于北纬60°的物体2，则( )
A．它们的角速度之比ω1∶ω2＝2∶1
B．它们的线速度之比v1∶v2＝2∶1
C．它们的向心加速度之比a1∶a2＝2∶1
D．它们的向心加速度之比a1∶a2＝4∶1
3．如图2为甲、乙两球做匀速圆周运动时向 ( http: / / www.21cnjy.com )心加速度随半径变化的图象，其中甲的图线为双曲线．由图象可知，甲球运动时，线速度大小________，角速度________；乙球运动时，线速度大小________，角速度________．(填“变化”或“不变”)
图2
4．如图3所示的皮带传动轮，大轮 ( http: / / www.21cnjy.com )直径是小轮直径的3倍，A是大轮边缘上一点，B是小轮边缘上一点，C是大轮上一点，C到圆心O1的距离等于小轮半径，转动时皮带不打滑．则A、B、C三点的角速度之比ωA∶ωB∶ωC＝________，向心加速度大小之比aA∶aB∶aC＝________.
图3
向心加速度
学案5 向心加速度
答案
课前准备区
1．速度改变快慢 速度的改变跟发生这一改变所用时间 v－v0
相同 2.> 相同 < 相反
3．增大 发生改变 减小 发生变化
课堂活动区
核心知识探究
一、
1．(2)重力 桌面的支持力 重力 支持力 圆心 2.圆心
二、
1．匀速圆周
2．[问题情境]
(1)要注意沿A、B两点的切线方向；(2)平行移动；(3)从A点的箭头向B点的箭头作有向直线；(4)速度变化的快慢，即加速度．
3．[问题情境]
推导过程如下：
在图中，因为vA与OA垂直，vB与OB垂直，且vA＝vB，OA＝OB，所以△OAB与
vA、vB、Δv组成的矢量三角形相似．
用v表示vA和vB的大小，用Δl表示弦AB的长度，则有
＝或Δv＝Δl·
用Δt除上式得＝·
当Δt趋近于零时，表示向心加速度an ( http: / / www.21cnjy.com )的大小，此时弧对应的圆心角θ很小，弧长和弦长相等，所以Δl＝rθ，代入上式可得an＝＝·＝v ω
由v＝ωr可得
an＝或an＝rω2.
[要点提炼]
3．垂直 方向 大小 4.匀变速 非匀变速 5.反比 正比
[问题延伸]
他们两人的观点都不准确，当v一定时，an与r成反比；当ω一定时，an与r成正比．
例1 C [做匀速圆周运动的物体速率不变，向心加速度只改变速度的方向，显然A选项错误；匀速圆周运动的角速度是不变的，所以B选项也错误；匀速圆周运动中速度的变化只表现为速度方向的变化，作为反映速度变化快慢的物理量，向心加速度只描述速度方向变化的快慢，所以C选项正确；向心加速度始终指向圆心，其方向时刻在改变，所以D选项错误．]
例2 BD [如右图所示，
地球表面各点的向心加速度方向都在平行于赤 ( http: / / www.21cnjy.com )道的平面内指向地轴，选项B正确，A错误；设地球半径为R0，在地面上纬度为φ的P点，做圆周运动的轨道半径r＝R0cos φ，其向心加速度为a＝ω2r＝ω2R0cos φ.由于北京的地理纬度比广州的大，cos φ小，两地随地球自转的角速度相同，因此北京随地球自转的向心加速度比广州的小，选项D正确，选项C错误．]
例3 C [因为皮带不打滑，A点与B点的线速度大小相同，都等于皮带运动的速率．根据向心加速度公式an＝，可得aA∶aB＝r2∶r1＝2∶1.
由于B、C是固定在同一个轮上的两点，所以它们的角速度相同．根据向心加速度公式an＝rω2，可得
aB∶aC＝r2∶r3＝2∶1.5.
由此得aA∶aB∶aC＝8∶4∶3，故选C.]
[即学即用]
1．BD [小球做匀速圆周运动，各时刻相对圆心的位移大小不变，但方向时刻在变．
由an＝得v2＝Ran，所以v＝
在时间t内通过的路程s＝vt＝t
做圆周运动的周期T＝＝＝＝2π ]
2．BC [同在地球上，物体1与物体2的角速度必相等．设物体1的轨道半径为R，则物体2的轨道半径为Rcos 60°，所以
v1∶v2＝ωR∶ωRcos 60°＝2∶1
a1∶a2＝ω2R∶ω2Rcos 60°＝2∶1]
3．不变 变化 变化 不变
解析 由图可知，甲的向心加速 ( http: / / www.21cnjy.com )度与半径成反比，根据公式a＝，甲的线速度大小不变；而由图可知，乙的加速度与半径成正比，根据公式a＝ω2r，说明乙的角速度不变．
4．1∶3∶1 3∶9∶1
解析 A与B的线速度大小相等，A与C的角速度相等．第五章 曲线运动
学案1 曲线运动
1．物体做匀速直线运动的条件是：______________.
2．物体做曲线运动的条件是：________________________.
3．演示并思考：①自由释放一个小钢球和水平抛出一个相同的小钢球，它们的运动情况有什么不同呢？
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
②上述两种情况中，小钢球的速度方向与所受重力的方向(不计空气阻力)有什么不同呢？
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
一、曲线运动
1．曲线运动的位移
[问题情境]
位移是如何定义的？物体做直线运动与曲线运动时，物体的位移与路程有何区别呢？
[问题延伸]
如何描述做曲线运动物体的位移？
2．曲线运动的速度
[问题情境]
下雨天，在泥水中行驶的汽车，其车轮 ( http: / / www.21cnjy.com )上飞溅出来的泥水是沿着车轮的切线方向飞出的，泥水被车轮从地面上粘起，具有了车轮的速率，在飞溅出去以后，由于具有惯性，它将沿直线运动；同理，在飞转的砂轮上磨刀具，刀具与砂轮接触处有火星沿砂轮的切线方向飞出．根据以上情景分析，曲线运动的速度方向具有什么特点？我们应如何确定曲线运动的速度方向呢？
[要点提炼]
1．做曲线运动的质点在某一点的速度，沿曲线在这一点的______方向．
2．曲线运动的性质——曲线运动是一 ( http: / / www.21cnjy.com )种______运动．速度是矢量，速度的变化不仅指速度______的变化，也包括速度______的变化．做曲线运动的物体，速度方向是时刻改变的，所以曲线运动是一种______运动．
3．曲线运动一定有________．做曲线运 ( http: / / www.21cnjy.com )动的物体速度方向时刻在变化，物体所受合外力一定不为零，所以，做曲线运动的物体一定有________．
[问题延伸]
在变速直线运动中我们应用极 ( http: / / www.21cnjy.com )限法，通过取Δt时间内的位移Δx，用＝来近似表示某点的瞬时速度，Δt越短，这种近似越精确．请同学们思考，在曲线运动中如何求某一点的瞬时速度呢？
[即学即用]
1．曲线滑梯如图1所示，试标出人从滑梯上滑下时在A、B、C、D各点的速度方向
图1
2．关于曲线运动的性质，以下说法中正确的是( )
A．曲线运动一定是变速运动
B．变速运动不一定是曲线运动
C．曲线运动一定是加速度变化的运动
D．运动物体的速度大小、加速度大小都不变的运动一定是直线运动
3．关于曲线运动，下列说法中正确的是( )
A．变速运动一定是曲线运动
B．做曲线运动的物体所受的合外力一定不为零
C．速率不变的曲线运动是匀速运动
D．曲线运动也可以是速率不变的运动
二、运动描述的实例——蜡块的运动
1．蜡块的位置
[问题情境]
当我们将玻璃管倒置时(即 ( http: / / www.21cnjy.com )本节图5.1～9中甲图到乙图)，可以看到蜡块做匀速直线运动，其位置可以用一维坐标系描述．如果玻璃管同时水平向右匀速运动，如何确定蜡块的位置呢？
[要点提炼]
1．建立直角坐标系
运动开始时蜡块的位置为______，水平向右的方向和竖直向上的方向分别为______和______的正方向．
2．蜡块的位置
如图2所示，蜡块沿玻璃管匀速上升的速度 ( http: / / www.21cnjy.com )设为______，玻璃管向右移动的速度设为______．从蜡块开始运动的时刻计时，于是，在时刻t，蜡块的位置P可以用它的x、y两个坐标表示x＝______，y＝vyt。
图2
2．蜡块的速度
蜡块在某个位置的速度等于该位置的位移除 ( http: / / www.21cnjy.com )以发生这段位移所需要的时间．根据蜡块的位置坐标，我们很容易求出蜡块在任意时刻的位移的大小OP＝__________＝______________，所以我们可以直接计算蜡块的速度．
速度公式：v＝＝____________＝________________.
3．蜡块的运动轨迹
[问题情境]
根据数学知识我们知道，要研究物体的轨迹，应该得到蜡块的轨迹方程，即通过函数关系来研究．请同学们应用数学方法推导蜡块运动的轨迹方程．
[要点提炼]
蜡块实际的运动是相对于黑板向右上方 ( http: / / www.21cnjy.com )的运动，它是由向上和向右的两个分运动来构成的，我们把蜡块沿玻璃管向上的运动和它随着玻璃管向右的运动都叫做这个运动的________；而蜡块相对于黑板向右上方的运动叫做________．
[问题延伸]
在上述实验中，若玻璃管从静止开始向右匀加速运动，那么蜡块的运动轨迹应是怎样的？请同学们猜测后并通过数学推导验证你的结论．
例1 如图3所示，竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个红蜡块能在水中以速度v匀速上浮．红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管水平向右匀加速运动，则蜡块的轨迹可能是( )
图3
A．直线P B．曲线Q
C．曲线R D．无法确定
[即学即用]
4．如果在前面所做的实验中玻璃管长90 ( http: / / www.21cnjy.com )cm，红蜡块由玻璃管的一端沿管匀速地竖直向上运动，同时匀速地向右水平移动玻璃管，当玻璃管水平移动了80 cm时，红蜡块到达玻璃管的另一端．整个运动过程所用的时间为20 s，求红蜡块运动的合速度．
三、运动的合成与分解
1．合运动与分运动
如果物体同时参与了两个运动，那么物体实际发生的运动叫做那两个运动的____运动，那两个运动叫做这个实际运动的____运动．
2．合运动与分运动的关系
(1)等时性：合运动与分运动经历的时间相等，即同时开始，同时进行，同时停止．
(2)独立性：一个物体同时参与了几个 ( http: / / www.21cnjy.com )分运动，各分运动独立进行互不影响，因此在研究某个分运动时，就可以不考虑其他分运动，就像其他分运动不存在一样．
(3)等效性：各分运动的相应参量叠加起来与合运动的参量相同．
3．运动的合成与分解
(1)由分运动求合运动的过程叫做运动的合成，由合运动求分运动的过程叫运动的分解．
(2)运动的合成与分解的方法：运动的合 ( http: / / www.21cnjy.com )成与分解是指描述运动的各物理量，即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们都是矢量，所以遵循________________．
4．重要结论
(1)两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动；
(2)一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动仍是匀变速运动，当二者共线时为匀变速直线运动，不共线时为匀变速曲线运动；
(3)两个匀变速直线运动的合运动仍是匀变速运动，当合初速度与合加速度方向在同一条直线上时，是直线运动；当二者不在同一直线上时，是曲线运动．
例2 雨滴在空中以4 m/s的速度竖直下落，人打着伞以3 m/s的速度向东急行，如果希望单位时间内打向伞的雨量大而使人少淋雨，伞柄应指向什么方向( )
A．伞柄应向前倾斜，与竖直方向成37°
B．伞柄应向前倾斜，与竖直方向成53°
C．伞柄应向后倾斜，与竖直方向成37°
D．伞柄应向后倾斜，与竖直方向成53°
四、物体做曲线运动的条件
[问题情境]
1．物体有初速度但不受外力时，将做什么运动？
2．物体没有初速度但受外力时，将做什么运动？
3．物体既有初速度又受外力时，将做什么运动？
[要点提炼]
1．物体做曲线运动的条件
(1)要有初速度；(2)要受________；(3)初速度方向与合外力方向__________________．
2．曲线运动的速度与加速度．
根据牛顿第二定律F＝ma，物体 ( http: / / www.21cnjy.com )的加速度与物体所受的合外力存在瞬时对应的关系，而且加速度方向与合外力方向一致，因此，做曲线运动的物体的加速度与速度不在同一条直线上．速度的方向是轨迹在该点的______方向，加速度的方向是________的方向．
3．曲线运动的分类．
(1)加速度恒定(即大小、方向都不变)的曲线运动，叫做________曲线运动；
(2)加速度变化(大小、方向之一变化或两者都变化)的曲线运动，叫做______曲线运动．
4．曲线运动的轨迹：做曲线运动的物体， ( http: / / www.21cnjy.com )其轨迹始终夹在合外力方向与速度方向之间，且向________所指的方向弯曲．若已知物体的运动轨迹，可判断出物体所受合外力的大致方向．
[即学即用]
5．质点沿轨道AB做曲线运动，速率逐渐减小，图中哪一个可能正确地表示了质点在C处的加速度方向( )
6．下列说法中正确的是( )
A．合外力方向与速度方向相同时，物体做加速直线运动
B．合外力方向与速度方向成锐角时，物体做曲线运动
C．合外力方向与速度方向成钝角时，物体做减速直线运动
D．合外力方向与速度方向相反时，物体做减速直线运动
一、曲线运动
定义：运动轨迹是曲线的运动叫做曲线运动．
二、曲线运动的位移
初位置指向末位置的有向线段．
三、曲线运动速度的方向
质点在某一点的速度，沿曲线在这一点的切线方向．
四、运动描述的实例
1．蜡块的位置：x＝vxt y＝vyt
2．蜡块的位移：s＝t
3．蜡块的速度：v＝
4．蜡块的运动轨迹：y＝x
五、运动的合成与分解
六、物体做曲线运动的条件
当物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一直线上时，物体将做曲线运动．
七、曲线运动的性质
曲线运动过程中速度方向始终在变化，因此曲线运动是变速运动．
第五章 曲线运动
学案1 曲线运动
答案
课前准备区
1．物体所受的合力为零
2．物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上
3．①前者是直线运动，后者是曲线运动．
②前者重力方向与速度方向共线，后者垂直．
课堂活动区
核心知识探究
一、
1．[问题情境]
无论物体做直线运动还是曲线运动，物体的位移 ( http: / / www.21cnjy.com )均为初位置指向末位置的有向线段．单方向直线运动过程中位移大小与路程相等；曲线运动中路程大于位移大小．
[问题延伸]
在平面直角坐标系中研究平面内的物体的运动轨迹及位移．
2．[问题情境]
泥水离开车轮时的速度方向和火星离开砂轮时的速度方向都是离开时那个点的切线方向．应该根据曲线运动的切线方向确定速度方向．
[要点提炼]
1．切线 2.变速 大小 方向 变速
3．加速度 加速度
[问题延伸]
在曲线运动中截取AB一段，先 ( http: / / www.21cnjy.com )求AB的平均速度，据式：vAB＝可知：vAB的方向与xAB的方向一致，t越小，vAB越接近A点的瞬时速度，当t→0时，AB曲线即为A点的切线，A点的瞬时速度方向为该点的切线方向．可见，速度的方向为质点在该处的切线方向，且方向是时刻改变的．
[即学即用]
1．如下图
2．AB [做曲线运动的物体其速度方向 ( http: / / www.21cnjy.com )一定是时刻改变的，而速度是矢量，速度方向变了，物体的运动就一定是变速运动．若速度的方向不变，而大小变化了，物体做的是变速直线运动．故A、B正确．物体做曲线运动时，若所受合力为恒力，则物体的加速度就为恒加速度，是不变的，例如，我们将要学到的平抛运动；物体做曲线运动时，若所受合力大小不变，方向始终与速度方向垂直，则物体的速度大小、加速度大小都不变，例如我们将要学到的匀速圆周运动．]
3．BD
二、
1．[问题情境] 可以建立直角坐标系．
[要点提炼] 1.原点 x轴 y轴
2．vy vx vxt
2. t
3．[问题情境]
x＝vxt，y＝vyt，消去时间t，所以，y＝x.
[要点提炼] 分运动 合运动
[问题延伸] 运动轨迹应是曲线．x＝at2，y＝vyt，消去t得：x＝，即x＝y2，为二次函数，图象为抛物线．
例1 B [红蜡块在竖直方向上做匀速直线运动，在水平方向上做匀加速直线运动，所受合力水平向右，合力与合速度不共线，红蜡块的轨迹应为曲线，A错误．
由于做曲线运动的物体所受合力应指向弯曲的一侧，故B正确，C、D错误．]
[即学即用]
4．6.0×10－2 m/s
解析 如图，竖直方向的分速度v1＝＝0.045 m/s
水平方向的分速度v2＝＝0.04 m/s
合速度：v＝＝6.0×10－2 m/s
三、
1．合 分 3.(2)平行四边形定则
例2 A [
因为人向东走路，雨对人有向西的速度v1 ( http: / / www.21cnjy.com )＝3 m/s，雨实际又向下运动，有竖直向下的速度v2＝4 m/s，雨对人相当于同时参与了两个分运动(如右图所示)，雨对人的合速度为
v＝＝5 m/s，故tan θ＝＝，θ＝53°，即伞柄与竖直方向成37°.]
四、
[问题情境]
1．匀速直线运动 2.初速度为零的匀加速 ( http: / / www.21cnjy.com )直线运动． 3.a.当初速度方向与外力方向在同一直线上(方向相同或相反)时将做直线运动．b.当初速度方向与外力方向不在同一直线上时，做曲线运动．
[要点提炼]
1．(2)合外力 (3)不在同一直线上 2.切线 合外力 3.(1)匀变速
(2)变速 4.合外力
[即学即用]
5．C [做曲线运动的物体，所受合力垂直速度 ( http: / / www.21cnjy.com )方向的分力指向轨道的曲率中心．根据质点运动的速率是逐渐减小的，说明质点所受合力沿速度方向的分力跟速度方向相反，质点的加速度沿速度方向的分量也跟速度方向相反．
A、B中沿速度方向的加速度分量跟速度 ( http: / / www.21cnjy.com )方向相同，质点的速率是逐渐增大的，与题设要求不符，因此A、B是错误的；D中加速度沿速度方向的分量跟速度方向相反，使质点速率不断减小，但垂直于速度方向的加速度分量方向不是指向C点的曲率中心，所以D是错误的；故只有C是正确的．]
6．ABD [当物体加速度方向与速度方 ( http: / / www.21cnjy.com )向相同时，物体做加速直线运动，选项A正确；当物体加速度方向与速度方向成锐角时，加速度与速度平行的分量使速率增大，加速度与速度垂直的分量使速度方向改变，物体做曲线运动，选项B正确；当物体加速度方向与速度方向成钝角时，加速度与速度方向平行的分量使速率减小，加速度与速度垂直的分量改变速度方向，物体做曲线运动，选项C错误；当物体加速度与速度方向相反时，物体做减速直线运动，选项D正确．]学案3 实验：研究平抛运动
一、实验目的
1．用实验的方法描绘出平抛运动的轨迹．
2．根据轨迹研究平抛运动的特点并求初速度．
二、实验原理
平抛物体的运动可以看做是由两个分运动合成的，即水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动．
使小球做平抛运动，利用描迹法描出小球的运动 ( http: / / www.21cnjy.com )轨迹，建立坐标系，测出轨迹曲线上某一点的坐标x和y，根据公式：x＝v0t和y＝gt2，就可求得v0＝x，即为小球做平抛运动的初速度．
三、实验器材
斜槽(带小球)、木板及竖直固定支架、白纸、图钉、重垂线、三角板、铅笔、刻度尺．
四、实验步骤
1．安装调平：将带有斜槽轨道的木板固定在实验桌上，其末端伸出桌面外，轨道末端切线水平．如图1所示．
图1
2．建立坐标系：用图钉将坐标纸固定于竖直木板 ( http: / / www.21cnjy.com )的左上角，把木板调整到竖直位置，使板面与小球的运动轨迹所在平面平行且靠近，把小球放在槽口处，用铅笔记下小球在槽口(轨道末端)时球心所在木板上的投影点O，O点即为坐标原点，用重垂线画出过坐标原点的竖直线，作为y轴，画出水平向右的x轴．
3．确定球位置：将小球从斜槽上 ( http: / / www.21cnjy.com )某一位置由静止滑下，小球从轨道末端射出，先用眼睛粗略确定做平抛运动的小球在某一x值处的y值，然后让小球由同一位置自由滚下，在粗略确定的位置附近用铅笔较准确地描出小球通过的位置，并在坐标纸上记下该点．用同样的方法确定轨迹上其他各点的位置．
4．描点得轨迹：取下坐标纸，将坐标纸上记下的一系列点，用平滑曲线连起来，即得到小球平抛运动的轨迹．
五、数据处理
1．判断平抛运动的轨迹是不是抛物线
(1)如图2所示，，在x轴上作出等距离的几个 ( http: / / www.21cnjy.com )点A1、A2、A3……把线段OA1的长度记为l，那么OA2＝2l、OA3＝3l……，由A1、A2、A3……向下作垂线，垂线与抛体轨迹的交点记为M1、M2、M3……如果轨迹的确是一条抛物线，M1、M2、M3……各点的y坐标与x坐标之间的关系应该具有y＝ax2的形式(a是一个待定的常量)．
图2
用刻度尺测量某点的x、y两 ( http: / / www.21cnjy.com )个坐标，代入y＝ax2中求出常量a(例如a＝0.23，可以不写单位)，于是知道了代表这个轨迹的一个可能的关系式(即y＝0.23x2)．
测量其他几个点的x、y坐标．如果各点的x、y坐标均满足同一关系式y＝ax2(在误差允许范围内)，则说明这条曲线确定是一条抛物线．
(2) 根据平抛运动轨迹求平抛物体的初速度
①在轨迹上任取一点，测出该点离原点的水平位移x及竖直位移y，就可求出初速度v0.
因x＝v0t，y＝gt2，故v0＝x.
图3
②在轨迹上任取三点A、B、 ( http: / / www.21cnjy.com )C(如图3所示)，使A、B间及B、C间的水平距离相等，由平抛运动的规律可知A、B间与B、C间所用时间相等，设为t，则
Δh＝hBC－hAB＝gt2
所以t＝
所以初速度v0＝＝x
六、注意事项
1．实验中必须调整斜槽末端的切线水平 ( http: / / www.21cnjy.com )(检验是否水平的方法是：将小球放在斜槽末端水平部分，将其向两边各轻轻拨动一次，看其是否有明显的运动倾向)．
2．方木板必须处于竖直平面内，固定时要用重垂线检查坐标纸竖线是否竖直．
3．小球每次必须从斜槽上同一位置滚下．
4．坐标原点不是槽口的端点，应是小球出槽口时球心在木板上的投影点．
5．小球开始滚下的位置高度要适中，以使小球平抛运动的轨迹由坐标纸的左上角一直到达右下角为宜．
6．在轨迹上选取离坐标原点O较远的一些点来计算初速度．
七、误差分析
1．斜槽末端没有调水平，小球离开斜槽后不做平抛运动．
2．小球运动的位置确定不准确．
3．量取轨迹上各点坐标时不准确．
例1 (1)在做“研究平抛运动”实验时，除了木板、小球、斜槽、铅笔、图钉之外，下列器材中还需要的是________．
A．游标卡尺 B．秒表
C．坐标纸 D．天平
E．弹簧秤 F．重垂线
(2)实验中，下列说法正确的是( )
A．应使小球每次从斜槽上相同的位置自由滑下
B．斜槽轨道必须光滑
C．斜槽轨道末端可以不水平
D．要使描出的轨迹更好地反映真实运动，记录的点应适当多一些
E．为了比较准确地描出小球运动的轨迹，应该用一条曲线把所有的点连接起来
[即学即用]
1．在“研究平抛运动”的实验中，可以描绘出小球平抛运动的轨迹，实验简要步骤如下：
图4
A．让小球多次从________位置滚下，记下小球碰到铅笔笔尖的一系列位置．
B．按图4安装好器材，注意________，记下平抛初位置O点和过O点的竖直线．
C．取下白纸，以O为原点，以竖直线为y轴建立坐标系，用平滑曲线画出平抛运动物体的轨迹．
(1)完成上述步骤，将正确的答案填在横线上．
(2)上述实验步骤的合理顺序是________．
(3)怎样才能保证小球每次释放做平抛运动的轨迹相同呢？
例2 (1)平抛物体的运动规律可以概括为两点：①水平方向做匀速直线运动；②竖直方向做自由落体运动．如图5所示为研究平抛运动的实验装置，现把两个小铁球分别吸在电磁铁C、E上，然后切断电磁铁C的电源，使一个小铁球从轨道A射出，并在射出时碰到碰撞开关S，使电磁铁E断电释放它吸着的小铁球，两铁球同时落到地面．这个实验( )
图5
A．只能说明上述规律中的第①条
B．只能说明上述规律中的第②条
C．不能说明上述规律中的任何一条
D．能同时说明上述两条规律
(2)在研究平抛物体运动的实验中，用一张 ( http: / / www.21cnjy.com )印有小方格的纸记录轨迹，小方格的边长L＝1.6 cm，若小球在平抛运动途中的几个位置如图6中的a、b、c、d所示，则小球平抛的初速度的计算式为v0＝________(用L、g表示)，其值是________(g＝10 m/s2)．小球在b点的速率为________．(取两位有效数字)
图6
[即学即用]
2．某同学做研究平抛运动的实验时， ( http: / / www.21cnjy.com )不慎未定好原点，只画了竖直线，而且只描出了平抛物体的后一部分轨迹．如图7所示，依此图加一把刻度尺，如何计算出平抛物体的初速度v0
图7
学案3 实验：研究平抛运动
答案
课堂活动区
核心知识探究
例1 (1)CF (2)AD
解析 本题考查的是仪器的选择和实验 ( http: / / www.21cnjy.com )的注意事项．实验还需的器材是坐标纸和重垂线，描出的轨迹在坐标纸上，方便数据处理，重垂线是用来确定竖直木板是否竖直并确定纵坐标．做平抛运动的实验时，斜槽末端必须水平，以保证小球做平抛运动．使小球每次从斜槽上相同的位置自由滑下，以使小球在斜槽末端速度相同；在描画小球运动轨迹时，应用平滑的曲线连点，偏离轨迹较远的点可舍去．
[即学即用]
1．(1)A.同一 B．斜槽 ( http: / / www.21cnjy.com )末端切线水平，方木板竖直且与小球运动轨迹所在竖直面平行 (2)BAC (3)为保证小球的运动轨迹相同，应使小球每次做平抛运动的初速度相同，所以应让小球每次都从斜槽上的相同位置滚下，安装器材时应注意使斜槽末端水平，方木板竖直且板面与斜槽末端切线平行紧靠斜槽末端放置．
例2 (1)B (2)2 0.80 m/s 1.0 m/s
解析 (1)由于左端小铁球平抛的 ( http: / / www.21cnjy.com )同时，右端小铁球开始做自由落体，且两球同时落地，说明平抛的小铁球在竖直方向上和右端小铁球做同样的运动，也做自由落体运动，但无法说明平抛小铁球在水平方向的运动，故只有B正确．
(2)图中a、b、c、d位置对应水平位移相等．说明a→b、b→c、c→d所用时间相同，根据匀变速直线运动的特点，
Δx＝aT2，
则有L＝gt2 ①
而水平方向上2L＝v0t ②
联立①②得
v0＝2＝2 m/s
＝0.80 m/s
小球在b点的竖直分速度
vy＝ac＝ ③
联立①③得
vy＝1.5＝0.60 m/s
小球在b点的合速度
v＝＝1.0 m/s
[即学即用]
2．Δx
解析 为了求出平抛物体的初速度，要画 ( http: / / www.21cnjy.com )出三条等距(Δx)、平行于y轴的竖直线与轨迹分别交于A、B、C三点，如下图所示．然后分别过A、B、C三点作三条水平线，设A、B两点间竖直距离为y1，A、C两点间竖直距离为y2，根据以上数据就可计算出v0.设t为相邻两点的时间间隔，则有
Δy＝yBC－yAB＝gt2
即(y2－y1)－y1＝gt2①
又Δx＝v0t，v0＝②
将①②两式联立，解得v0＝Δx学案6 向心力
1．任何做__________运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度称为向心加速度．
2．向心加速度总是指向圆心，公式为an＝________＝________＝____________＝4π2f2r＝vω.
3．向心加速度是描述____________变化快慢的物理量，它只改变线速度的______，不改变线速度的______．
4．牛顿第二定律：物体加速度的大小跟作用 ( http: / / www.21cnjy.com )力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟________的方向相同．表达式为：F＝ma.a与F具有瞬时对应关系.
一、向心力
[问题情境]
物体做曲线运动时，必定受到与速度 ( http: / / www.21cnjy.com )方向不在同一直线上的合外力作用，匀速圆周运动是曲线运动，做匀速圆周运动的物体必定也受到与速度方向不在同一条直线上的合外力的作用，这个合外力是怎样的呢？
[要点提炼]
1．向心力的定义：做圆周运动的物体所受到的__________________的合力叫做向心力．
2．向心力的方向：总是沿着半径指向圆心，始终与线速度方向________，方向时刻改变，所以向心力是变力．
3．向心力的作用：只改变线速度的________，不改变线速度的________．
4．向心力的大小：根据牛顿第二定律可知
Fn＝man＝__________＝__________＝______________
例1 关于向心力的说法中正确的是( )
A．物体由于做圆周运动而产生了一个向心力
B．向心力不改变圆周运动中物体速度的大小
C．做匀速圆周运动的物体其向心力即为其所受的合外力
D．做匀速圆周运动的物体其向心力是不变的
二、实验：用圆锥摆粗略验证向心力的表达式
[问题情境]
请同学们阅读教材中的“实验”，说明本实验的原理和需要测定的物理量．
[即学即用]
1．有长短不同、材料相同的同样粗细的绳子，各拴着一个质量相同的小球在光滑水平面上做匀速圆周运动，那么( )
A．两个小球以相同的线速度运动时，长绳易断
B．两个小球以相同的角速度运动时，长绳易断
C．两个小球以相同的周期运动时，短绳易断
D．不论如何，短绳易断
2．A、B两质点均做匀速圆周运动，mA∶mB＝RA∶RB＝1∶2，当A转60转时，B正好转45转，则两质点所受向心力之比为多少？
三、向心力的来源
[问题情境]
请同学们分析下列几种圆周运动所需向心力分别由什么力提供，并总结向心力的来源．
(1)汽车急转弯时乘客的感觉，对座位上的乘客和拉着扶手的乘客分别作出说明．
(2)链球做圆周运动．
(3)双人花样滑冰．
(4)地球绕着太阳做圆周运动．
(5)在绳子拉力作用下的小球做圆周运动．
[要点提炼]
1．向心力是按力的作用效果 ( http: / / www.21cnjy.com )命名的，而不是物体受到的另外一种力，它可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质的力，也可以是它们的合力或者是某个力的分力．
2．在分析物体受力情况时，仍要分清谁对物体施力，切不可在重力、弹力、摩擦力等性质的力之外再添加一个向心力；
3．在匀速圆周运动中，物体受到的合力充当向心力．可见，合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心是物体做匀速圆周运动的条件．
例2 如图1所示，小物块A与圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做圆周运动，则下列关于A的受力情况的说法正确的是( )
图1
A．受重力、支持力和与运动方向相反的静摩擦力
B．受重力、支持力和指向圆心的静摩擦力
C．受重力、支持力、静摩擦力和向心力
D．受重力、支持力和方向不一定指向圆心的静摩擦力
[即学即用]
3．请完成下列几种匀速圆周运动分析并填表：
图形 受力分析 力的分解方法 满足的方程及向心加速度
或mgtan θ＝mlsin θ·ω2，__________
或mgtan θ＝m(d＋lsin θ)ω2，________
或mgtan θ＝mrω2，__________
或mgtan θ＝mrω2__________
四、变速圆周运动和一般的曲线运动
[要点提炼]
1．变速圆周运动所受合外力一般不等于 ( http: / / www.21cnjy.com )向心力，合外力一般产生两个方面的效果，根据F产生的效果可以把F分解为两个相互垂直的分力；一是跟圆周相切的分力Ft，此分力产生____加速度，它与物体的______方向一致，描述__________变化的快慢．二是指向圆心的分力Fn，叫向心力，此分力产生向心加速度an，向心加速度只改变速度的________，描述__________变化的快慢．
2．一般曲线运动的处理方法
一般曲线运动，可以把曲线分割 ( http: / / www.21cnjy.com )成许多极短的小段，每一小段的运动都可看作__________的一部分，圆弧弯曲程度不同，表明它们具有不同的______．这样，质点沿一般曲线运动时，可以采用圆周运动的分析方法进行处理．
[即学即用]
4．一辆汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M向 ( http: / / www.21cnjy.com )N行驶，速度逐渐增加．如图中A、B、C、D分别画出了汽车转弯时所受合力F的四种方向，其中你认为正确的是( )
学案6 向心力
答案
课前准备区
1．匀速圆周
2. ω2r r
3．线速度方向 方向 大小
4．作用力
课堂活动区
核心知识探究
一、
[问题情境]
这个合外力应该是大小不变、方向始终指向圆心．
[要点提炼]
1．沿半径指向圆心方向 2.垂直
3．方向 大小 4.m mrω2
mr2
例1 BC [当物体所受的外力的合力始终有一分力垂直于速度方向时，物体就将做圆周运动，该分力即为向心力，故先有向心力然后才使物体做圆周运动．因向心力始终垂直于速度方向，所以它不改变速度的大小，只改变速度的方向，当合外力完全提供向心力时，物体就做匀速圆周运动，该合力大小不变，方向时刻改变，故向心力是变化的．]
二、
[问题情境]
如图所示，让细绳摆动带动小 ( http: / / www.21cnjy.com )球做圆周运动，逐渐增大角速度直到绳刚好拉直，用秒表测出n转的时间t，计算出周期T，根据公式计算出小球的角速度ω.用刻度尺测出圆半径r和小球距悬点的竖直高度h，计算出角θ的正切值．向心力F＝mgtan θ，测出数值验证公式mgtan θ＝mrω2.
[即学即用]
1．B
2．4∶9
解析 设在时间t内，nA＝60转，nB＝45转，质点所受的向心力F＝mω2R＝m2·R，t相同，F∝mn2R
所以＝＝××＝
三、
[问题情境]
向心力来源分别为：(1)汽车壁的弹力、扶手拉力沿水平方向的分力；(2)拉力；(3)拉力沿水平方向的分力；(4)引力；(5)绳拉力．
解析 (1)汽车急转弯时的座位 ( http: / / www.21cnjy.com )上的人是受到汽车壁的弹力作用，拉着扶手的人是受到扶手拉力的作用；(2)链球能做圆周运动是因为受到链绳的拉力作用；(3)双人滑冰时女运动员能做圆周运动是因为男运动员拉着她；(4)地球绕太阳运动，是太阳对地球的引力在“拉”着它；(5)小球能做圆周运动是绳子的力在拉着它．
[要点提炼]
例2 D [物体A在水平圆盘上，受竖直向下的重力，竖直向上的支持力，且两力是一对平衡力．由于A随圆盘一起做圆周运动，故其必须有向心力作用，所以A必定受到静摩擦力作用，但此静摩擦力方向不一定指向圆心．当圆盘做匀速圆周运动时，静摩擦力一定指向圆心且等于向心力；当圆盘做变速圆周运动时，静摩擦力的法向分力等于向心力，切向分力产生切向加速度，这时静摩擦力不指向圆心．]
[即学即用]
3．a＝gtan θ a＝gtan θ a＝gtan θ a＝gtan θ
四、
[要点提炼]
1．切向 速度 速度大小 方向 速度方向 2.圆周运动 半径
[即学即用] 4.B学案7 生活中的圆周运动
1．向心力总是指向圆心， ( http: / / www.21cnjy.com )而线速度沿圆的______方向，故向心力总是与线速度______，所以向心力的作用效果只是改变线速度的______而不改变线速度的______．
2．物体做圆周运动时，实际上是满足了供需平衡即提供的向心力等于________________．
3．向心加速度的公式：an＝＝rω2＝____________
4．向心力的公式：
Fn＝man＝m＝mrω2＝______________.
一、铁路的弯道
[问题情境]
在平直轨道上匀速行驶的火 ( http: / / www.21cnjy.com )车，所受的合力为零，而火车转弯时实际在做圆周运动．是什么力作为向心力呢？火车转弯时有一个规定的行驶速度，按此速度行驶最安全，那么，规定火车以多大速度行驶呢？
[要点提炼]
火车转弯时需要的向心力是由________________________提供的．火车转弯规定的行驶速度为v0＝.
(1)当v＝v0时，F向＝F，即转弯时所需向心力等于支持力和重力的合力，这时内、外轨____________，这就是设计的限速状态．
(2)当v>v0时，F向>F，即所需向心力大于支持力和重力的合力，这时________对车轮有侧压力，以弥补向心力的不足．
(3)当v[问题延伸]
在修筑铁路的时候，铁路弯道的半径是根据地形条 ( http: / / www.21cnjy.com )件决定的，在弯道半径一定的情况下，必须改变内外轨的高度差，请由上面的公式推导高度差h的表达式并说明影响h的因素？
[即学即用]
1．铁路转弯处的圆弧半径是300 m， ( http: / / www.21cnjy.com )轨距是1 435 mm，规定火车通过该弯道时的速度是72 km/h，求内外轨的高度差该是多大，才能使铁轨不受轮缘的挤压．
二、拱形桥
[问题情境]
1．质量为m的汽车在拱形桥上以速度v行驶，若 ( http: / / www.21cnjy.com )桥面的圆弧半径为R，试画出受力分析图，分析汽车通过桥的最高点时对桥的压力．通过分析，你可以得出什么结论？画出汽车的受力图，推导出汽车对桥面的压力．
2．当汽车通过凹形桥最低点时，汽车对桥的压力比汽车的重力大还是小呢？请同学们自己分析．
[要点提炼]
1．汽车过拱形桥顶点时，由重力和支持力的合力提供向心力，对桥墩的压力小于重力，这便是桥一般建成拱桥的原因．
2．当mg＝m，即汽车对拱形桥的压力__________时，向心力完全由重力提供，这时v＝(即在竖直平面内做圆周运动的最大临界速度)，恰能使汽车安全过桥．
①当v<时，即mg>m时，由________和__________提供向心力；
②当v>时，即mg[即学即用]
2．如图1所示，质量m＝2 ( http: / / www.21cnjy.com ).0×104 kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为20 m．如果桥面承受的压力不得超过3.0×105 N，则：
图1
(1)汽车允许的最大速度是多少？
(2)若以所求速度行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？(g取10 m/s2)
三、竖直面内的圆周运动
1．轻绳模型
如图2所示，细绳系的小球或在轨道内侧运动的小球，在最高点时的临界状态为只受重力，则mg＝____________即v＝.在最高点时：
图2
(1)v＝时，拉力或压力为______．
(2)v>时，物体受向______的拉力或压力．
(3)v<时，物体______(填能或不能)达到最高点．
即绳类的临界速度为v临＝______.
2．轻杆模型
如图3所示，在细轻杆上固定的小球或在管形轨道 ( http: / / www.21cnjy.com )内运动的小球，由于杆和管能对小球产生向上的支持力，所以小球能在竖直平面内做圆周运动的条件是____________________，小球的受力情况为：
图3
(1)v＝0时，小球受向上的支持力FN＝______.
(2)0(3)v＝时，小球除重力之外不受其他力．
(4)v>时，小球受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而______．
即杆类的临界速度为v临＝____.
3．轨道问题
(1)内轨：类似于绳拉物体．
①v≥才能过最高点．
②v<时，因不能过最高点而脱离轨道．
(2)外轨：物体能通过最高点的条件是0①当0②当v>时，在到达最高点以前就飞离轨道．
③当v＝时，在最高点做平抛运动而离开轨道，若地面通过圆心，则落地点s＝r>r.
例1 用一根细绳系着盛水的杯子，抡起绳子，让杯子在竖直面内做圆周运动．杯内水的质量m＝0.5 kg，绳长l＝60 cm，求：
(1)在最高点水不流出的最小速率；
(2)水在最高点速率v＝3 m/s时，水对杯底的压力大小．
例2 长L＝0.5 m的轻杆，其一端连接着一个零件A，A的质量m＝2 kg.现让A在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动，如图4所示．在A通过最高点时，求下列两种情况下A对杆的作用力：
图4
(1)A的速率为1 m/s；
(2)A的速率为4 m/s.(g取10 m/s2)
四、航天器中的失重现象
[问题情境]
假设宇宙飞船质量为M，它在地球表面附近绕 ( http: / / www.21cnjy.com )地球做匀速圆周运动，其轨道半径近似等于地球半径R，航天员质量为m，宇宙飞船和航天员受到的地球引力近似等于他们在地面的重力．试求座舱对航天员的支持力．此时飞船的速度多大？通过求解，你可以得出什么结论？
五、离心运动
[问题情境]
例2 长L＝0.5 m的轻杆，其一端连接着一个零件A，A的质量m＝2 kg.现让A在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动，如图4所示．在A通过最高点时，求下列两种情况下A对杆的作用力：
如图5所示，小球A在做圆周运动时，细绳突 ( http: / / www.21cnjy.com )然断了，小球会出现什么情况呢？洗衣机脱水筒里的衣服上的水为什么能脱离衣服而“飞走”呢？摩托车越野比赛时，经常看到摩托车在转弯处出现翻车现象，这种现象是怎样产生的呢？
图5
[要点提炼]
1．离心运动：做匀速圆周运动的物体，在合外 ( http: / / www.21cnjy.com )力突然消失或者______________________的情况下，就做远离圆心的运动，这种运动叫做离心运动．
2．讨论
(1)当F＝mrω2时，物体做匀速圆周运动．
当F当F＝0时，物体沿切线方向飞出；
当F>mrω2时，物体将做离圆心越来越近的曲线运动，称为近心运动．
(2)离心运动的原因是合力突然消失或不足以提供向心力，而不是物体又受到了什么“离心力”．
3．离心运动的应用和防止
(1)应用：离心干燥器；洗衣机脱水筒；离心制管技术．
(2)防止：汽车在公路转弯处必须限速行驶；转动的砂轮、飞轮的转速不能太高．
[即学即用]
3．下列关于匀速圆周运动的说法正确的是( )
A．因为向心加速度大小不变，故是匀变速运动
B．由于向心加速度的方向变化，故是变加速运动
C．用线系着的物体在光滑水平面上做匀速圆周运动，线断后，物体受到“离心力”作用而做背离圆心的运动
D．向心力和离心力一定是一对作用力和反作用力
4．绳子的一端拴一小球，以另一端为圆 ( http: / / www.21cnjy.com )心，使小球在光滑的水平桌面上做匀速圆周运动，绳子对球的拉力迫使小球不断改变________方向；绳断后，小球由于________将做________运动，离开桌面后将做________运动．
( http: / / www.21cnjy.com )
学案7 生活中的圆周运动
答案
课前准备区
1．切线 垂直 方向 大小 2.所需要的向心力 3.r2
4．mr2
课堂活动区
核心知识探究
一、
[问题情境]
火车的车轮上有凸出的轮缘，实际上转弯 ( http: / / www.21cnjy.com )处的外轨比内轨高，使铁轨对火车的支持力不再是竖直向上，而是斜向上，偏向火车转弯的内侧，支持力和重力的合力可以提供向心力，可以减轻轮缘与外轨的挤压．最佳情况是向心力恰好由重力和支持力的合力提供，内、外轨均不受侧向挤压力．设车轨间距为d，两轨高度差为h，规定速度为v0，转弯半径为r，θ为路基与水平面的夹角，如图所示，由牛顿第二定律得F＝m，又F＝mgtan θ；θ很小时，
tan θ＝sin θ＝，故v0＝，在此速度时，内、外轨均不受侧向挤压力．
[要点提炼]
支持力和重力的合力 (1)均无侧压力 (2)外轨 (3)内轨
[问题延伸]
h＝，即弯道处内外轨高度差h应该如何选择，不仅与半径r有关，并且取决于火车在弯道上的行驶速度v0.
[即学即用]
1．0.195 m
解析 若火车在转弯时不与轨道挤压，火车所受的重力和轨道对火车的支持力的合力提供向心力，火车转弯平面是水平面．
火车的受力如图所示，作平行四边形，根据牛顿第二定律有
F＝mgtan α＝
tan α＝≈0.136
由于tan α很小，可以近似认为sin α＝tan α
所以内外轨高度差
h＝dsin α＝1.435×0.136 m＝0.195 m
二、
[问题情境]
1.
在最高点，对汽车进行受力分析，确定向心力的来源；由牛顿第二定律列出方程求出汽车受到的支持力；由牛顿第三定律求出桥面受到的压力
FN1′＝FN1＝mg－m
可见，汽车对桥的压力FN′小于汽车的重力G，并且，压力随汽车速度的增大而减小．
2.
汽车在凹形桥的最低点时对桥的压力大小为
FN2′＝FN2＝mg＋>mg.比汽车的重力大．
[要点提炼]
2．恰好为零 ①重力 支持力 ②大于
[即学即用]
2．(1)10 m/s (2)105 N
解析 (1)汽车在凹形桥底部时存在最大允许速度，由牛顿第二定律得：FN－mg＝m
代入数据解得v＝10 m/s
(2)汽车在凸形桥顶部时对桥面有最小压力，由牛顿第二定律得：
mg－FN′＝，
代入数据解得FN′＝105 N.
由牛顿第三定律知压力等于105 N.
三、
1. (1)零 (2)下 (3)不能 2.在最高点的速度大于或等于零 (1)mg
(2)0 mg (4)增大 0
例1 (1)2.42 m/s (2)2.6 N
解析 (1)在最高点水不流出的条件是重力不大于水做圆周运动所需要的向心力，
即：mg≤m，则所求最小速率：v0＝＝ m/s≈2.42 m/s.
(2)当水在最高点的速率大于v0时，只靠重力提供向心力已不足，此时杯底对水有一竖直向下的压力，设为FN，由牛顿第二定律有：FN＋mg＝m
即FN＝m－mg＝2.6 N
由牛顿第三定律知，水对杯底的作用力FN′＝FN＝2.6 N，方向竖直向上．
例2 (1)16 N，方向竖直向下 (2)44 N，方向竖直向上
解析 以A为研究对象，设其受到杆的作用力为F，取竖直向下为正方向，
则有mg＋F＝m.
(1)代入数据v＝1 m/ ( http: / / www.21cnjy.com )s，可得F＝m(－g )＝2(－10) N＝－16 N．即A受到杆的支持力为16 N．根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为压力16 N.
(2)代入数据v＝4 m/s，可得F＝ ( http: / / www.21cnjy.com )m(－g)＝2(－10) N＝44 N，即A受到杆的拉力为44 N．根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为拉力44 N.
四、
[问题情境]
航天员受地球的引力和飞船座舱对他的支持力F ( http: / / www.21cnjy.com )N，合力提供他绕地球做匀速圆周运动所需的向心力F＝m，即mg－FN＝m，FN＝m(g－)，当v＝时座舱对航天员的支持力FN＝0，航天员处于失重状态．
五、
[问题情境]
细绳突然断了，小球做圆周运动的向心力突然消 ( http: / / www.21cnjy.com )失，小球在水平方向上不受任何力，速度沿原圆周运动在该点的切线方向，故小球将沿切线方向飞出，离圆心越来越远．当衣服放入脱水筒时，随筒一起做圆周运动，筒壁对衣服的作用力提供向心力，而衣服中所含的水所需要的向心力是由水与衣服之间的作用力提供．筒的转速很高，衣服对水的作用力不足以提供水需要的向心力时，水就做远离圆心的运动而离开衣服．摩托车在转弯处的速度过大，半径过小，由向心力公式F＝m可知所需向心力很大，这时摩托车受到地面的摩擦力达最大时都不足以提供向心力，所以摩托车要做远离圆心的运动，向外翻滚．
[要点提炼]
1．不足以提供圆周运动所需的向心力
[即学即用]
3．B 4.运动(速度) 惯性 离心 平抛
