课件54张PPT。数学第三册（选修I）第二章《导数》导数的应用复习 1 、 某点处导数的定义——这一点处的导数即为这一点处切线的斜率2 、 某点处导数的几何意义—— 3 、 导函数的定义——4、由定义求导数的步骤（三步法）5、 求导的公式与法则—— 如果函数 f(x)、g(x) 有导数，那么
6、 求导的方法—— 定义法公式法练习：1、求下列函数的导数（1）y=（x2-3x+2）（x4+x2-1）
（2）y=（x/2+t）22、设f（x）=ax3-bx2+cx，且f `（0）=0，
f `（1）=1，f `（2）=8，求a、b、c3、抛物线f（x）=x2-2x+4在哪一点处的切线平行于x轴？在哪一处的切线与x轴的交角为450？1、确定函数f(x)=x2－4x+3在哪个区间内是增函数?哪个区间内是减函数?引例在（-∞，2）上是减函数；在（2，+∞）上是增函数。 2、确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数?哪个区间内是减函数?引例用定义法判断函数单调性的步骤：（1）在给定的区间内任取x1 ( 2 ) 作差f（x1）-f（x2）并变形;
（3）判断符号;
（4）下结论。 单调性定义讨论函数单调性是根本，但有时十分麻烦，尤其是在不知道函数图象时,如： f(x)=2x3－6x2+7。
这就需要我们寻求一个新的方法。发现问题引入：
函数单调性体现出了函数值y随自变量x的变化而变化的情况,
而导数也正是研究自变量的增加量与函数值的增加量之间的关系
于是我们设想一下能否利用导数来研究单调性呢？ 研究函数二次y=x2－4x＋3的图象；探究观察三次函数y=x3的图象；观察某个函数f(x)的图象。观察一次函数y=kx+1的图象； 若函数在区间(a,b)内单调递增，我们发现在（a，b）上切线的斜率为正，即
在（a，b）内的每一点处的导数值为正 若函数在区间(a,b)内单调递减，发现在（a，b）上切线的斜率为负，即在(a,b)内的每一点处的导数值为负，分析：从图形看 设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y`>0，那么y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y`<0，那么y=f(x)为这个区间内的减函数. 判断函数单调性的常用方法：
（1）定义法
（2）导数法 结论：y`>0增函数y`<0减函数定理：
一般地，函数y＝f（x）在某个区间内可导：
如果恒有 ，则 是增函数。
如果恒有 ，则 是减函数。
如果恒有 ，则 是常数。注意：函数y=f(x)在某个区间内为常数，当且仅当f'(x)=0在该区间内恒成立时，否则可能使f'(x)=0的点只是“驻点”（曲线在该点处的切线与x轴平行），实际上，若在某区间上有有限个点使f'(x)=0，在其余的点恒有f'(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情况完全类似)例如: 函数f(x)=x3在(-∞,+∞)内,当x=0时, f'(x)=0,
当x≠0时, f'(x)=3x2>0, y=f(x)在(-∞,+∞)内为增函数在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小和作图并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.知识提炼导数的应用用导数研究函数的单调性一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,
如果在这个区间内f′(x)>0,
则f(x)为这个区间内的增函数;
如果在这个区间内f′(x)<0,
则f(x)为这个区间内的减函数.
注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0,
则f(x)为常数函数。判断方法研究数学问题的一般方法：
从特殊到一般；从简单到复杂。结论应用：由以上结论可知，函数的单调性与其导数有关，因此今后我们可以利用导数法去探讨函数的单调性下面举例说明：例题讲解解题步骤:
1、求函数的导函数；
2：判断导函数在指定区间上的符号；
3、下结论。根据导数确定函数的单调性一般需三步：
1.确定函数f(x)的定义域；
2.求出函数的导数；
3.解不等式f ′(x)>0,得函数单增区间;
解不等式f′(x)<0,得函数单减区间。
例2、确定函数f(x)=2x3-6x2+7在哪个区间内是增函数?哪个区间内是减函数? 例1、确定函数y=2x3-6x2+7的单调区间 用导数法确定函数的单调性时的步骤是：
（1）求出函数的导函数
（2）求解不等式f `(x)>0，求得其解集，
再根据解集写出单调递增区间
（3）求解不等式f``(x)<0，求得其解集，
再根据解集写出单调递减区间注、单调区间不 以“并集”出现。 导数的应用一、判断单调性、求单调区间课堂练习1、确定下列函数的单调区间。单调增区间为：（4，+∞）和（-∞，2）单调减区间为：（2，4）单调增区间为：（-1，1）单调减区间为：（-∞，-1）和（1，+∞）课堂练习2,设f/(x)是函数f(x)的导函数,y=?/(x)的图象如左图所示,则y=?(x)的图象最有可能的是( ) 1.函数导数与单调性的关系:
若函数y=f(x)在某个区间内可导,
如果f ′(x)>0, 则f(x)为增函数;
如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数。
2.本节课中,用导数去研究函数的
单调性是中心,能灵活应用导数解
题是目的,另外应注意数形结合在
解题中应用。
3.掌握研究数学问题的一般方法：
从特殊到一般；从简单到复杂。课堂总结1：能不能画出该函数的草图？思考题函数f(x)=2x3－6x2+7作业布置课堂作业：课本p42习题2.4 1,2课外作业： 已知函数 f(x)=2x3-6x2+7
(1)求f(x)的单调区间,并画出其图象;函数的极值与导数【复习与思考】(2)函数f(x)在x=0和x=2处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系? 设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，
(1)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的函数值都大，即f(x)y=f(x)的一个极大值.记作:y极大值=f(x0)【函数极值的定义】(2)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的函数值都小，即f(x)>f(x0),则称 f(x0)是函数
y=f(x)的一个极小值.记作:y极小值=f(x0)极大值与极小值统称为极值,x0叫做函数的极值点. 观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.(1)极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附近的大小情况;(2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值;(3)函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的极大值未必大于极小值;【关于极值概念的几点说明】(4)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而函数的最值既可能在区间的内部取得，也可能在区间的端点取得。【问题探究】 函数y=f(x)在极值点的导数值为多少?在极值点附近的导数符号有什么规律?(1)如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧 f /(x0)>0
右侧f /(x0)<0, 那么f(x0)是极大值【函数的极值与导数的关系】(2)如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧 f /(x0)<0
右侧f /(x0)>0, 那么f(x0)是极小值
(1)??? 求导函数f `(x)；
(2)??? 求解方程f `(x)=0；
(3)??? 检查f `(x)在方程f `(x)=0的根的左右
的符号，并根据符号确定极大值与极小值.口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。 用导数法求解函数极值的步骤：例题: 求函数
的极值. 【课堂练习】课本P42例2:求函数 的极值.【思考交流】导数值为0的点一定是函数的极值点吗? 对于可导函数而言,其极值点一定是导数为0的点,反之导数为0的点不一定是函数的极值点.因此:导数值为0的点是该点为极值点的必要非充分条件.一、复习：
1、 ；
2、
3、求y=x3—27x的 极值。导数的应用之三、求函数最值. 在某些问题中，往往关心的是函数在整个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题，这就是我们通常所说的最值问题. (2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值 求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)表格法发现图中____________是极小值，_________是极大值，在区间上的函数的最大值是______，最小值是_______一是利用函数性质,二是利用不等式
三是利用导数 注：求函数最值的一般方法：在区间 上求函数 的最大值与最小值 的步骤：
1、函数 在内有导数 ；
2、求函数 在内的极值
3、将函数在内的极值与比较，其中最大的一个为最大值 ，最小的一个为最小值例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内
的最大值和最小值 法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二次函数单调性处理
例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内
的极值与最值 故函数f(x) 在区间[1，5]内的极小值为3，
最大值为11，最小值为2 法二、解、 f ’(x)=2x-4令f ’(x)=0，即2x-4=0，得x=2-+3112课本练习例1、求 函数在区间 上的最大值与最小值。 解：先求导数得，
令 ＝0即 解得
导数 的正负以及 ，如下表从上表知，当 时，函数有最大值13，当 时，函数有最小值4在日常生活中，常常会遇到什么条件下可以使材料最省，时间最少，效率最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值或最小值问题。例2 用边长为60CM的正方形铁皮做一个无盖的水箱，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成，问水箱底边的长取多少时，水箱容积最大，最大容积是多少？例3、已知某商品生产成本C与产量P的函数关系为C＝100＋4P，价格R与产量P的函数关系为R＝25－0.125P，求产量P为何值时，利润L最大。四、小结：
1、闭区间上的连续函数一定有最值；开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值。
2、函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个。
3、在解决实际应用问题中，关键在于建立数学模型和目标函数；如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义判断是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值进行比较。思考、已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间[1,5]内的最小值为2，求m的值 导数导数的定义求导公式与法则导数的应用导数的几何意义 多项式函数的导数函数单调性函数的极值函数的最值基本练习 1、曲线y=x4-2x3+3x在点P(-1，0)处的切线的斜率为( )
(A) –5 (B) –6 (C) –7 (D) –8 2、函数y=x100+2x50+4x25的导数为( )
y’=100(x99+x49+x24)
(B) y’=100x99
(C) y’=100x99+50x49+25x24
(D) y’=100x99+2x49 3、已知过曲线y=x3/3上点P的切线方程为12x-3y=16，则点P的坐标为 . 4、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为( )
(A) (-1,1) (B) (1,2)
(C) (-∞,-1) (D) (-∞,-1) ，(1, +∞) 6、当x∈(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1是( )
单调递增函数
(B) 单调递减函数
(C) 部份单调增，部分单调减
(D) 单调性不能确定 7、 如果质点M的运动规律为S=2t2-1，则在一小段时间[2，2+Δt]中相应的平均速度等于( )
(A) 8+2Δt (B) 4+2Δt
(C) 7+2Δt (D) –8+2Δt 8、如果质点A按规律S=2t3运动，则在t=3秒时的瞬时速度为( )
(A) 6 (B) 18 (C) 54 (D) 81 9、 已知y=f(x)=2x3-3x2+a的极大值为6，那么a等于( )
(A) 6 (B) 0 (C) 5 (D) 1 10、函数y=x3-3x的极大值为( )
(A) 0 (B) 2 (C) +3 (D) 1 例1、 若两曲线y=3x2+ax与y=x2-ax+1在点x=1处的切线互相平行，求a的值. 分析 原题意等价于函数y=3x2+ax与
y=x2-ax+1在x=1的导数相等，
即：6+a=2-a 例2 、 已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P(1，1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求实数a、b、c的值. 分析 由条件知： y=ax2+bx+c在点Q(2，-1)处的导数为1，于是
4a+b=1 又点P(1，1)、Q(2，-1)在曲线y=ax2+bx+c上，从而
a+b+c=1且4a+2b+c=-1 例3 已知P为抛物线y=x2上任意一点，则当点P到直线x+y+2=0的距离最小时，求点P到抛物线准线的距离 分析 点P到直线的距离最小时，抛物线在点P处的切线斜率为-1，即函数在点P处的导数为-1，令P(a,b),于是有：2a= -1. 例4 设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定实数a的取值范围，并求出这三个单调区间. 思考、 已知函数y=x2-2(m-1)x+2在区间[2，6]内单调递增，求m的取值范围。(1)若曲线y=x3在点Ｐ处的切线的斜率等于３，则点Ｐ的坐标为( )
(2,8) (B) (-2,-8)
(C) (-1,-1)或(1,1) (D) (-1/2,-1/8)
(2)若曲线y=x5/5上一点Ｍ处的切线与直线y=3-x垂直，则此切线方程为( )
5x+5y-4=0 (B) 5x-5y-4=0
(C) 5x-5y+4=0 (D)以上皆非
(3)曲线y=x3/3-x2+5在点Ａ处的切线的倾角为3π/4，则Ａ的坐标为 . 用导数研究函数单调性
【课 题】导数的应用—用导数研究函数的单调性
【教学目标】1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；
2.掌握利用导数判断函数单调性的方法
【教学重点】利用导数判断函数单调性
【教学难点】如何用导数研究函数的单调性
【课 型】新授课
【教 具】多媒体
【引 例】
确定函数在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？
解：，在上是减函数，在上是增函数。
问：1、为什么在上是减函数，在上是增函数？
2、研究函数的单调区间你有哪些方法？
观察图象的变化趋势；（函数的图象必须能画出的）
利用函数单调性的定义。（复习一下函数单调性的定义）
2、确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？
能画出函数的图象吗？那如何解决？试一试。提问一个学生：解决了吗？到哪一步解决不了？（产生认知冲突）
（多媒体放映）
【发现问题】定义是解决单调性最根本的工具，但有时很麻烦，甚至解决不了。尤其是在不知道函数的图象的时候，如函数f(x)=2x3－6x2+7，这就需要我们寻求一个新的方法来解决。（研究的必要性）事实上用定义研究函数的单调区间也不容易。
【探 究】
我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况，下面通过函数的图象规律来研究。
问：如何入手？（图象） 从函数f(x)=2x3－6x2+7的图象吗？
1、研究二次函数的图象；
学生自己画图研究探索。
提问：以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的？
（开口方向，对称轴）既然要寻求一个新的办法，显然要换个角度分析。
提示：我们最近研究的哪个知识（通过图象的哪个量）能反映函数的变化规律？
学生继续探索，得出初步规律。几何画板演示，共同探究。
得到这个二次函数图象的切线斜率的变化与单调性的关系。（学生总结）：
①该函数在区间上单调递减，切线斜率小于0，即其导数为负；
在区间上单调递增，切线斜率大于0，即其导数为正；
注：切线斜率等于0，即其导数为0；如何理解？
②就此函数而言这种规律是否一致？是否其它函数也有这样的规律呢？
2、先看一次函数图象；
3、再看两个我们熟悉的函数图象。（验证）
观察三次函数的图象；（几何画板演示）
观察某个函数的图象。（几何画板演示）
指出：我们发现函数的单调性与导数的符号有密切的关系。这节课我们就来学习如何用导数研究函数的单调性（幻灯放映课题）。
【新课讲解】
4、请同学们根据刚才观察的结果进行总结：导数与函数的单调性有什么关系？请一个学生回答。（幻灯放映）
一般地，设函数在某个区间可导，则函数在该区间内
如果在这个区间内，则为这个区间内的增函数；
如果在这个区间内，则为这个区间内的减函数。
若在某个区间内恒有，则为常函数。
这个结论是我们通过观察图象得到的，只是一个猜想，正确吗？答案是肯定的。严格的证明需要用到中值定理，大学里才能学到。这儿我们可以直接用这个结论。
小结：数学中研究问题的常规思想方法是：从特殊到一般，从简单的复杂。
结论应用：
由以上结论知：函数的单调性与其倒数有关，因此我们可以用导数法去探讨函数的单调性。下面举例说明：
【例题讲解】
求证：在上是增函数。
由学生叙述过程老师板书：
，，，即，函数在上是增函数。
注：我们知道在R上是增函数，课后试一试，看如何用导数法证明。
学生归纳步骤：1、求导；2、判断导数符号；3、下结论。
确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.
由学生叙述过程老师板书：
解：f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x, 令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0
∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数;当x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.
令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2.∴当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.
学生小结：用导数求函数单调区间的步骤：
确定函数f(x)的定义域；
求函数f(x)的导数f′(x).
令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间.
令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间
【课堂练习】
1．确定下列函数的单调区间
(1)y=x3－9x2+24x (2)y=3x－x3
(1)解：y′=(x3－9x2+24x)′=3x2－18x+24=3(x－2)(x－4)
令3(x－2)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜2.
∴y=x3－9x2+24x的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)
令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4
.∴y=x3－9x2+24x的单调减区间是(2，4)
(2)解：y′=(3x－x3)′=3－3x2=－3(x2－1)=－3(x+1)(x－1)
令－3(x+1)(x－1)＞0，解得－1＜x＜1.
∴y=3x－x3的单调增区间是(－1，1).
令－3(x+1)(x－1)＜0，解得x＞1或x＜－1.
∴y=3x－x3的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞)
2、设是函数的导数, 的
图象如图所示, 则的图象最有可能是( )
小结：重点是抓住导函数的图象与原函数的图象从哪里发生联系？
【课堂小结】
1.函数导数与单调性的关系:若函数y=f(x)在某个区间内可导,
如果f ′(x)>0, 则f(x)为增函数;如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数.
2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意数形结合在解题中的应用.
3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般,从简单到复杂.
【思考题】
对于函数f(x)=2x3－6x2+7
思考1、能不能画出该函数的草图？
思考2、在区间（0，2）内有几个解？
【课堂作业】
课本p42习题2.4 1,2
【课后记】
本节课是一节新授课，课本所提供的信息很简单，如果直接得出结论，学生也能接受，可学生只能进行简单的模仿应用。
为了突出知识的发生过程，不把新授课上成习题课，设计思路如下，以便教会学生会思考解决问题：1、首先研究从熟悉的二次函数入手，简单复习回顾以前的方法；
从不熟悉的三次函数入手，使学生体会到以前的知识已不能解决，必须寻求一个新的解决办法，产生认知冲突，认识到再次研究单调性的必要性；
从简单的、熟悉的函数图象入手，引导学生从函数的切线斜率变化观察函数单调性的变化，再与新学的导数联系起来，形成结论。另外，也使学生感受到解决数学问题的一般方法：从简单到复杂，从特殊到一般。
应用中重点指导学生的解题步骤，避免考试中隐性失分。
在今后的教学中，应注重学生的参与，引发认知冲突，教会学生思考问题。加强教案设计的合理性，语言做到准确、简练。节奏要把握好。
