导数的应用-单调性-极植-最值(福建省福州市)

文档属性

名称 导数的应用-单调性-极植-最值(福建省福州市)
格式 rar
文件大小 589.0KB
资源类型 教案
版本资源 人教新课标A版
科目 数学
更新时间 2009-02-27 22:07:00

文档简介

课件54张PPT。数学第三册(选修I)第二章《导数》导数的应用复习 1 、 某点处导数的定义——这一点处的导数即为这一点处切线的斜率2 、 某点处导数的几何意义—— 3 、 导函数的定义——4、由定义求导数的步骤(三步法)5、 求导的公式与法则—— 如果函数 f(x)、g(x) 有导数,那么
6、 求导的方法—— 定义法公式法练习:1、求下列函数的导数(1)y=(x2-3x+2)(x4+x2-1)
(2)y=(x/2+t)22、设f(x)=ax3-bx2+cx,且f `(0)=0,
f `(1)=1,f `(2)=8,求a、b、c3、抛物线f(x)=x2-2x+4在哪一点处的切线平行于x轴?在哪一处的切线与x轴的交角为450?1、确定函数f(x)=x2-4x+3在哪个区间内是增函数?哪个区间内是减函数?引例在(-∞,2)上是减函数;在(2,+∞)上是增函数。 2、确定函数f(x)=2x3-6x2+7在哪个区间内是增函数?哪个区间内是减函数?引例用定义法判断函数单调性的步骤:(1)在给定的区间内任取x1 ( 2 ) 作差f(x1)-f(x2)并变形;
(3)判断符号;
(4)下结论。 单调性定义讨论函数单调性是根本,但有时十分麻烦,尤其是在不知道函数图象时,如: f(x)=2x3-6x2+7。
这就需要我们寻求一个新的方法。发现问题引入:
函数单调性体现出了函数值y随自变量x的变化而变化的情况,
而导数也正是研究自变量的增加量与函数值的增加量之间的关系

于是我们设想一下能否利用导数来研究单调性呢? 研究函数二次y=x2-4x+3的图象;探究观察三次函数y=x3的图象;观察某个函数f(x)的图象。观察一次函数y=kx+1的图象; 若函数在区间(a,b)内单调递增,我们发现在(a,b)上切线的斜率为正,即
在(a,b)内的每一点处的导数值为正 若函数在区间(a,b)内单调递减,发现在(a,b)上切线的斜率为负,即在(a,b)内的每一点处的导数值为负,分析:从图形看 设函数y=f(x)在某个区间内有导数,如果在这个区间内y`>0,那么y=f(x)为这个区间内的增函数;如果在这个区间内y`<0,那么y=f(x)为这个区间内的减函数. 判断函数单调性的常用方法:
(1)定义法
(2)导数法 结论:y`>0增函数y`<0减函数定理:
一般地,函数y=f(x)在某个区间内可导:
如果恒有 ,则 是增函数。
如果恒有 ,则 是减函数。
如果恒有 ,则 是常数。注意:函数y=f(x)在某个区间内为常数,当且仅当f'(x)=0在该区间内恒成立时,否则可能使f'(x)=0的点只是“驻点”(曲线在该点处的切线与x轴平行),实际上,若在某区间上有有限个点使f'(x)=0,在其余的点恒有f'(x)>0,则f(x)仍为增函数(减函数的情况完全类似)例如: 函数f(x)=x3在(-∞,+∞)内,当x=0时, f'(x)=0,
当x≠0时, f'(x)=3x2>0, y=f(x)在(-∞,+∞)内为增函数在函数y=f(x)比较复杂的情况下,比较f(x1)与f(x2)的大小和作图并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.知识提炼导数的应用用导数研究函数的单调性一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,
如果在这个区间内f′(x)>0,
则f(x)为这个区间内的增函数;
如果在这个区间内f′(x)<0,
则f(x)为这个区间内的减函数.
注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0,
则f(x)为常数函数。判断方法研究数学问题的一般方法:
从特殊到一般;从简单到复杂。结论应用:由以上结论可知,函数的单调性与其导数有关,因此今后我们可以利用导数法去探讨函数的单调性下面举例说明:例题讲解解题步骤:
1、求函数的导函数;
2:判断导函数在指定区间上的符号;
3、下结论。根据导数确定函数的单调性一般需三步:
1.确定函数f(x)的定义域;
2.求出函数的导数;
3.解不等式f ′(x)>0,得函数单增区间;
解不等式f′(x)<0,得函数单减区间。
例2、确定函数f(x)=2x3-6x2+7在哪个区间内是增函数?哪个区间内是减函数? 例1、确定函数y=2x3-6x2+7的单调区间 用导数法确定函数的单调性时的步骤是:
(1)求出函数的导函数
(2)求解不等式f `(x)>0,求得其解集,
再根据解集写出单调递增区间
(3)求解不等式f``(x)<0,求得其解集,
再根据解集写出单调递减区间注、单调区间不 以“并集”出现。 导数的应用一、判断单调性、求单调区间课堂练习1、确定下列函数的单调区间。单调增区间为:(4,+∞)和(-∞,2)单调减区间为:(2,4)单调增区间为:(-1,1)单调减区间为:(-∞,-1)和(1,+∞)课堂练习2,设f/(x)是函数f(x)的导函数,y=?/(x)的图象如左图所示,则y=?(x)的图象最有可能的是( ) 1.函数导数与单调性的关系:
若函数y=f(x)在某个区间内可导,
如果f ′(x)>0, 则f(x)为增函数;
如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数。
2.本节课中,用导数去研究函数的
单调性是中心,能灵活应用导数解
题是目的,另外应注意数形结合在
解题中应用。
3.掌握研究数学问题的一般方法:
从特殊到一般;从简单到复杂。课堂总结1:能不能画出该函数的草图?思考题函数f(x)=2x3-6x2+7作业布置课堂作业:课本p42习题2.4 1,2课外作业: 已知函数 f(x)=2x3-6x2+7
(1)求f(x)的单调区间,并画出其图象;函数的极值与导数【复习与思考】(2)函数f(x)在x=0和x=2处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系? 设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义,
(1)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的函数值都大,即f(x)y=f(x)的一个极大值.记作:y极大值=f(x0)【函数极值的定义】(2)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的函数值都小,即f(x)>f(x0),则称 f(x0)是函数
y=f(x)的一个极小值.记作:y极小值=f(x0)极大值与极小值统称为极值,x0叫做函数的极值点. 观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.(1)极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附近的大小情况;(2)极值点是自变量的值,极值指的是函数值;(3)函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的极大值未必大于极小值;【关于极值概念的几点说明】(4)函数的极值点一定在区间的内部,区间的端点不能成为极值点。而函数的最值既可能在区间的内部取得,也可能在区间的端点取得。【问题探究】 函数y=f(x)在极值点的导数值为多少?在极值点附近的导数符号有什么规律?(1)如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧 f /(x0)>0
右侧f /(x0)<0, 那么f(x0)是极大值【函数的极值与导数的关系】(2)如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧 f /(x0)<0
右侧f /(x0)>0, 那么f(x0)是极小值
(1)??? 求导函数f `(x);
(2)??? 求解方程f `(x)=0;
(3)??? 检查f `(x)在方程f `(x)=0的根的左右
的符号,并根据符号确定极大值与极小值.口诀:左负右正为极小,左正右负为极大。 用导数法求解函数极值的步骤:例题: 求函数
的极值. 【课堂练习】课本P42例2:求函数 的极值.【思考交流】导数值为0的点一定是函数的极值点吗? 对于可导函数而言,其极值点一定是导数为0的点,反之导数为0的点不一定是函数的极值点.因此:导数值为0的点是该点为极值点的必要非充分条件.一、复习:
1、 ;
2、
3、求y=x3—27x的 极值。导数的应用之三、求函数最值. 在某些问题中,往往关心的是函数在整个定义域区间上,哪个值最大或最小的问题,这就是我们通常所说的最值问题. (2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个最小值 求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤:(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)表格法发现图中____________是极小值,_________是极大值,在区间上的函数的最大值是______,最小值是_______一是利用函数性质,二是利用不等式
三是利用导数 注:求函数最值的一般方法:在区间 上求函数 的最大值与最小值 的步骤:
1、函数 在内有导数 ;
2、求函数 在内的极值
3、将函数在内的极值与比较,其中最大的一个为最大值 ,最小的一个为最小值例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1,5]内
的最大值和最小值 法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方,利用二次函数单调性处理
例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1,5]内
的极值与最值 故函数f(x) 在区间[1,5]内的极小值为3,
最大值为11,最小值为2 法二、解、 f ’(x)=2x-4令f ’(x)=0,即2x-4=0,得x=2-+3112课本练习例1、求 函数在区间 上的最大值与最小值。 解:先求导数得,
令 =0即 解得
导数 的正负以及 ,如下表从上表知,当 时,函数有最大值13,当 时,函数有最小值4在日常生活中,常常会遇到什么条件下可以使材料最省,时间最少,效率最高等问题,这往往可以归结为求函数的最大值或最小值问题。例2 用边长为60CM的正方形铁皮做一个无盖的水箱,先在四个角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成,问水箱底边的长取多少时,水箱容积最大,最大容积是多少?例3、已知某商品生产成本C与产量P的函数关系为C=100+4P,价格R与产量P的函数关系为R=25-0.125P,求产量P为何值时,利润L最大。四、小结:
1、闭区间上的连续函数一定有最值;开区间内的可导函数不一定有最值,若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值。
2、函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有一个。
3、在解决实际应用问题中,关键在于建立数学模型和目标函数;如果函数在区间内只有一个极值点,那么根据实际意义判断是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值进行比较。思考、已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间[1,5]内的最小值为2,求m的值 导数导数的定义求导公式与法则导数的应用导数的几何意义 多项式函数的导数函数单调性函数的极值函数的最值基本练习 1、曲线y=x4-2x3+3x在点P(-1,0)处的切线的斜率为( )
(A) –5 (B) –6 (C) –7 (D) –8 2、函数y=x100+2x50+4x25的导数为( )
y’=100(x99+x49+x24)
(B) y’=100x99
(C) y’=100x99+50x49+25x24
(D) y’=100x99+2x49 3、已知过曲线y=x3/3上点P的切线方程为12x-3y=16,则点P的坐标为 . 4、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为( )
(A) (-1,1) (B) (1,2)
(C) (-∞,-1) (D) (-∞,-1) ,(1, +∞) 6、当x∈(-2,1)时,f(x)=2x3+3x2-12x+1是( )
单调递增函数
(B) 单调递减函数
(C) 部份单调增,部分单调减
(D) 单调性不能确定 7、 如果质点M的运动规律为S=2t2-1,则在一小段时间[2,2+Δt]中相应的平均速度等于( )
(A) 8+2Δt (B) 4+2Δt
(C) 7+2Δt (D) –8+2Δt 8、如果质点A按规律S=2t3运动,则在t=3秒时的瞬时速度为( )
(A) 6 (B) 18 (C) 54 (D) 81 9、 已知y=f(x)=2x3-3x2+a的极大值为6,那么a等于( )
(A) 6 (B) 0 (C) 5 (D) 1 10、函数y=x3-3x的极大值为( )
(A) 0 (B) 2 (C) +3 (D) 1 例1、 若两曲线y=3x2+ax与y=x2-ax+1在点x=1处的切线互相平行,求a的值. 分析 原题意等价于函数y=3x2+ax与
y=x2-ax+1在x=1的导数相等,
即:6+a=2-a 例2 、 已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P(1,1),且在点Q(2,-1)处与直线y=x-3相切,求实数a、b、c的值. 分析 由条件知: y=ax2+bx+c在点Q(2,-1)处的导数为1,于是
4a+b=1 又点P(1,1)、Q(2,-1)在曲线y=ax2+bx+c上,从而
a+b+c=1且4a+2b+c=-1 例3 已知P为抛物线y=x2上任意一点,则当点P到直线x+y+2=0的距离最小时,求点P到抛物线准线的距离 分析 点P到直线的距离最小时,抛物线在点P处的切线斜率为-1,即函数在点P处的导数为-1,令P(a,b),于是有:2a= -1. 例4 设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定实数a的取值范围,并求出这三个单调区间. 思考、 已知函数y=x2-2(m-1)x+2在区间[2,6]内单调递增,求m的取值范围。(1)若曲线y=x3在点P处的切线的斜率等于3,则点P的坐标为( )
(2,8) (B) (-2,-8)
(C) (-1,-1)或(1,1) (D) (-1/2,-1/8)
(2)若曲线y=x5/5上一点M处的切线与直线y=3-x垂直,则此切线方程为( )
5x+5y-4=0 (B) 5x-5y-4=0
(C) 5x-5y+4=0 (D)以上皆非
(3)曲线y=x3/3-x2+5在点A处的切线的倾角为3π/4,则A的坐标为     . 用导数研究函数单调性
【课 题】导数的应用—用导数研究函数的单调性
【教学目标】1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理;
2.掌握利用导数判断函数单调性的方法
【教学重点】利用导数判断函数单调性
【教学难点】如何用导数研究函数的单调性
【课 型】新授课
【教 具】多媒体
【引 例】
确定函数在哪个区间内是增函数?在哪个区间内是减函数?
解:,在上是减函数,在上是增函数。
问:1、为什么在上是减函数,在上是增函数?
2、研究函数的单调区间你有哪些方法?
观察图象的变化趋势;(函数的图象必须能画出的)
利用函数单调性的定义。(复习一下函数单调性的定义)
2、确定函数f(x)=2x3-6x2+7在哪个区间内是增函数?哪个区间内是减函数?
能画出函数的图象吗?那如何解决?试一试。提问一个学生:解决了吗?到哪一步解决不了?(产生认知冲突)
(多媒体放映)
【发现问题】定义是解决单调性最根本的工具,但有时很麻烦,甚至解决不了。尤其是在不知道函数的图象的时候,如函数f(x)=2x3-6x2+7,这就需要我们寻求一个新的方法来解决。(研究的必要性)事实上用定义研究函数的单调区间也不容易。
【探 究】
我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况,下面通过函数的图象规律来研究。
问:如何入手?(图象) 从函数f(x)=2x3-6x2+7的图象吗?
1、研究二次函数的图象;
学生自己画图研究探索。
提问:以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的?
(开口方向,对称轴)既然要寻求一个新的办法,显然要换个角度分析。
提示:我们最近研究的哪个知识(通过图象的哪个量)能反映函数的变化规律?
学生继续探索,得出初步规律。几何画板演示,共同探究。
得到这个二次函数图象的切线斜率的变化与单调性的关系。(学生总结):
①该函数在区间上单调递减,切线斜率小于0,即其导数为负;
在区间上单调递增,切线斜率大于0,即其导数为正;
注:切线斜率等于0,即其导数为0;如何理解?
②就此函数而言这种规律是否一致?是否其它函数也有这样的规律呢?
2、先看一次函数图象;
3、再看两个我们熟悉的函数图象。(验证)
观察三次函数的图象;(几何画板演示)
观察某个函数的图象。(几何画板演示)
指出:我们发现函数的单调性与导数的符号有密切的关系。这节课我们就来学习如何用导数研究函数的单调性(幻灯放映课题)。
【新课讲解】
4、请同学们根据刚才观察的结果进行总结:导数与函数的单调性有什么关系?请一个学生回答。(幻灯放映)
一般地,设函数在某个区间可导,则函数在该区间内
如果在这个区间内,则为这个区间内的增函数;
如果在这个区间内,则为这个区间内的减函数。
若在某个区间内恒有,则为常函数。
这个结论是我们通过观察图象得到的,只是一个猜想,正确吗?答案是肯定的。严格的证明需要用到中值定理,大学里才能学到。这儿我们可以直接用这个结论。
小结:数学中研究问题的常规思想方法是:从特殊到一般,从简单的复杂。
结论应用:
由以上结论知:函数的单调性与其倒数有关,因此我们可以用导数法去探讨函数的单调性。下面举例说明:
【例题讲解】
求证:在上是增函数。
由学生叙述过程老师板书:
,,,即,函数在上是增函数。
注:我们知道在R上是增函数,课后试一试,看如何用导数法证明。
学生归纳步骤:1、求导;2、判断导数符号;3、下结论。
确定函数f(x)=2x3-6x2+7在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数.
由学生叙述过程老师板书:
解:f′(x)=(2x3-6x2+7)′=6x2-12x, 令6x2-12x>0,解得x>2或x<0
∴当x∈(-∞,0)时,f′(x)>0,f(x)是增函数;当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)是增函数.
令6x2-12x<0,解得0<x<2.∴当x∈(0,2)时,f′(x)<0,f(x)是减函数.
学生小结:用导数求函数单调区间的步骤:
确定函数f(x)的定义域;
求函数f(x)的导数f′(x).
令f′(x)>0解不等式,得x的范围就是递增区间.
令f′(x)<0解不等式,得x的范围,就是递减区间
【课堂练习】
1.确定下列函数的单调区间
(1)y=x3-9x2+24x (2)y=3x-x3
(1)解:y′=(x3-9x2+24x)′=3x2-18x+24=3(x-2)(x-4)
令3(x-2)(x-4)>0,解得x>4或x<2.
∴y=x3-9x2+24x的单调增区间是(4,+∞)和(-∞,2)
令3(x-2)(x-4)<0,解得2<x<4
.∴y=x3-9x2+24x的单调减区间是(2,4)
(2)解:y′=(3x-x3)′=3-3x2=-3(x2-1)=-3(x+1)(x-1)
令-3(x+1)(x-1)>0,解得-1<x<1.
∴y=3x-x3的单调增区间是(-1,1).
令-3(x+1)(x-1)<0,解得x>1或x<-1.
∴y=3x-x3的单调减区间是(-∞,-1)和(1,+∞)
2、设是函数的导数, 的
图象如图所示, 则的图象最有可能是( )
小结:重点是抓住导函数的图象与原函数的图象从哪里发生联系?
【课堂小结】
1.函数导数与单调性的关系:若函数y=f(x)在某个区间内可导,
如果f ′(x)>0, 则f(x)为增函数;如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数.
2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意数形结合在解题中的应用.
3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般,从简单到复杂.
【思考题】
对于函数f(x)=2x3-6x2+7
思考1、能不能画出该函数的草图?
思考2、在区间(0,2)内有几个解?
【课堂作业】
课本p42习题2.4 1,2
【课后记】
本节课是一节新授课,课本所提供的信息很简单,如果直接得出结论,学生也能接受,可学生只能进行简单的模仿应用。
为了突出知识的发生过程,不把新授课上成习题课,设计思路如下,以便教会学生会思考解决问题:1、首先研究从熟悉的二次函数入手,简单复习回顾以前的方法;
从不熟悉的三次函数入手,使学生体会到以前的知识已不能解决,必须寻求一个新的解决办法,产生认知冲突,认识到再次研究单调性的必要性;
从简单的、熟悉的函数图象入手,引导学生从函数的切线斜率变化观察函数单调性的变化,再与新学的导数联系起来,形成结论。另外,也使学生感受到解决数学问题的一般方法:从简单到复杂,从特殊到一般。
应用中重点指导学生的解题步骤,避免考试中隐性失分。
在今后的教学中,应注重学生的参与,引发认知冲突,教会学生思考问题。加强教案设计的合理性,语言做到准确、简练。节奏要把握好。