专题六 解析几何
第一讲 直线和圆
微专题1 直线的方程及应用
保分题
1．解析：由题意，
直线x＋ay－3＝0与直线(a＋1)x＋2y－6＝0平行，
∴由1×2＝a(a＋1)，得a＝－2或a＝1.
当a＝－2时，l1：x－2y－3＝0，l2：－x＋2y－6＝0，l1∥l2.
当a＝1时，l1：x＋y－3＝0，l2：x＋y－3＝0，l1与l2重合．故选A.
答案：A
2．解析：若l1⊥l2，则(3－a)×(－)＝－1，
解得a＝1或a＝2.
故a＝1是l1⊥l2的充分不必要条件．故选B.
答案：B
3．解析：若斜率不存在时，过点P(0，1)的直线为x＝0，此时不满足条件；
若斜率存在时，设过点P(0，1)的直线l：y－1＝kx，即kx－y＋1＝0.
根据题意，可得＝，解得k1＝－2或k2＝0，
当k1＝－2时，直线方程为2x＋y－1＝0，
当k2＝0时，直线方程为y＝1，
综上可得，直线方程为2x＋y－1＝0或y＝1.
答案：2x＋y－1＝0或y＝1
微专题2 圆的方程、直线与圆、圆与圆
保分题
1．解析：已知直线l：x＋my＋1－m＝0过定点(－1，1)，
将点(－1，1)代入圆的方程可得(－1－1)2＋(1－2)2<9，
可知点(－1，1)在圆内，
所以直线l：x＋my＋1－m＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9相交．故选A.
答案：A
2．解析：圆C1的圆心为(1，0), r1＝1，
圆C2的圆心为(3，1), r2＝2，
所以r2－r1<|C1C2|＝＝所以圆C1与C2的位置关系是相交．故选C.
答案：C
3．解析：令y＝0，则x2－4x＋1＝0，解得x1＝2－，x2＝2＋，即A(2－，0)，B(2＋，0)；
令x＝0，得y＝1，即C(0，1)，
设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
所以，解得.
所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
答案：(x－2)2＋(y－1)2＝4
4．解析：圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝4，
圆心为(2，2)，半径r＝2，
若弦长l＝2，则圆心到直线的距离d＝＝，
显然直线的斜率存在，设直线方程为y－1＝k(x－1)，即kx－y－k＋1＝0，
所以d＝＝，解得k＝－1，所以直线方程为x＋y－2＝0.
答案：x＋y－2＝0
提分题
[例1]
(1) 解析：如图，x2＋y2－4x－1＝0得(x－2)2＋y2＝5，所以圆心坐标为(2，0)，半径r＝，所以圆心到点(0，－2)的距离为＝2，由于圆心与点(0，－2)的连线平分角α，所以sin ＝＝＝，所以cos ＝，所以sin α＝2sin cos ＝2×＝.故选B.
(2) 解析：将两圆方程相减可得直线AB的方程为a2＋b2－2ax－2by＝0，
即2ax＋2by－a2－b2＝0，
因为圆C1的圆心为(0，0)，半径为1，且公共弦AB的长为1，
则C1(0，0)到直线2ax＋2by－a2－b2＝0的距离为，
所以＝，解得a2＋b2＝3，
所以直线AB的方程为2ax＋2by－3＝0.故选D.
答案：B
答案：D
[例2] 解析：因为kAB＝，所以直线AB关于直线y＝a对称的直线方程为(3－a)x－2y＋2a＝0.由题意可知圆心为(－3，－2)，且圆心到对称直线的距离小于或等于1，所以≤1，整理得6a2－11a＋3≤0，解得≤a≤.
答案：[]
[巩固训练1] (1) 解析：由已知可得，圆心C(2，1)，半径r1＝1.
由点B(3，4)到直线l的距离是2，所以直线l是以B(3，4)为圆心，r2＝2为半径的圆的切线，
又直线l是圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1的切线，
所以，直线l是圆C与圆B的公切线．
因为＝＝>3＝r1＋r2，
所以，两圆外离，所以两圆的公切线有4条，
即满足条件的直线l有4条．故选D.
(2) 解析：∵y＝kx＋4＋2k＝k(x＋2)＋4，所以直线过定点(－2，4)，曲线y＝变形为x2＋y2＝4(y≥0)，表示圆的上半部分，当直线与半圆相切时直线斜率为k＝－，当直线过点(2，0)时斜率为－1，结合图象可知实数k的取值范围是[－1，－)．故选B.
(3) 解析：由题意知两圆的圆心和半径分别为O1(0，0)，O2(3，4)，r1＝1，r2＝4.因为|O1O2|＝r1＋r2，所以两圆外切．由两圆外切，画出示意图，如图．设切点为A(x，y)．由O1A＝O1O2，得A()．因为＝，所以切线l1的斜率k1＝－，所以l1：y－＝－(x－)，即3x＋4y－5＝0.由图象易得两圆均与直线l2：x＝－1相切，过两圆圆心的直线方程为l：y＝x.联立解得故直线l与l2的交点为P(－1，－)．由切线定理得，两圆的另一公切线l3过点P.设l3：y＋＝k(x＋1)．由点到直线的距离公式，得＝1，解得k＝，所以l3：y＋＝(x＋1)，即7x－24y－25＝0.
答案：D
答案：B
答案：3x＋4y－5＝0或7x－24y－25＝0或x＋1＝0(答对其中之一即可)
微专题3 有关圆的最值问题
保分题
1．解析：由题意可得，当OP和直线垂直时，弦最短，
直线的斜率为＝＝.
故满足条件的直线方程为y－2＝(x＋1)，即x－2y＋5＝0.故选C.
答案：C
2．解析：圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝6的圆心为C(1，－2)，半径为，
因为圆心(1，－2)到直线x＋y＝5的距离d＝＝3，
所以切线长最小值为l＝＝＝2.故选B.
答案：B
3．解析：设点M(x，y)，则＝2，
整理为：(x－4)2＋y2＝16，
设圆(x－4)2＋y2＝16的圆心为C1，圆x2＋(y－3)2＝9的圆心为C2，
如图，可知|MN|的最大值是圆心距加两个圆的半径，即5＋3＋4＝12.
答案：12
提分题
[例3] (1) 解析：圆M：x2＋(y－4)2＝1的圆心M(0，4)到直线l：3x＋4y－1＝0的距离d＝＝3，
故|MP|的最小值是3，又因为|MA|＝1，则|AP|＝≥2，
故△AMP的面积的最小值是S＝×1×2＝，故四边形MAPB的面积的最小值是2.故选D.
(2) 解析：因为A(－3，4)，B(－3，1)，动点P(x，y)满足|PA|＝2|PB|，
则(x＋3)2＋(y－4)2＝4(x＋3)2＋4(y－1)2，整理得(x＋3)2＋y2＝4，
可以看成圆(x＋3)2＋y2＝4上动点P(x，y)与定直线x＝1上动点Q(1，t)的距离，
其最小值为圆心M(－3，0)到直线x＝1的距离减去圆的半径2，即|PQ|≥4－2＝2，
因此，(x－1)2＋(y－t)2的最小值是22＝4.故选C.
答案：D
答案：C
[巩固训练2] (1) 解析：圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝1，
设∠ACP＝θ(0<θ<)，
则|AB|＝2sin θ≥，则sin θ≥，∴θ∈[)，
则|PC|＝≥2，所以圆心C到直线l的距离是2，
∴＝2，得5m2＋12m＝0，∵m≠0，
∴m＝－.故选A.
(2) 解析：将方程x2＋y2－4x－2y－4＝0化为(x－2)2＋(y－1)2＝9，其表示圆心为(2，1)，半径为3的圆．设z＝x－y，数形结合知，只有当直线x－y－z＝0与圆相切时，z才能取得最大值，此时＝3，解得z＝1±3，故z＝x－y的最大值为1＋3，故选C.
答案：A
答案：C
第二讲 圆锥曲线的方程与性质
微专题1 圆锥曲线的定义及标准方程
保分题
1．解析：因为△ABF2的周长为20，由椭圆定义可知：4a＝20，即a＝5，
又因为c＝3，所以b2＝a2－c2＝52－32＝16，
所以该椭圆的标准方程为＝1.故选B.
答案：B
2．解析：依题意得＝2px0，
因为x0≠0，所以x0＝2p.
又|MF|＝x0＋＝5，解得p＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝4x.故选D.
答案：D
3．解析：当λ>0时，方程x2－－4＝0化为＝1，曲线C是焦距为2＝4的双曲线，A正确；当λ<－1时，方程x2－－4＝0化为＝1，
曲线C是焦点在y轴上，焦距为2＝4的椭圆，B错误；当λ＝－1时，曲线C表示圆x2＋y2＝4，C错误；当－1<λ<0时，方程x2－－4＝0化为＝1，
曲线C是焦点在x轴上，焦距为2＝4的椭圆，D正确．故选AD.
答案：AD
4．解析：因为|PF1|＝2|PF2|＝16，所以|PF1|＝16，
|PF2|＝8，
故|PF1|－|PF2|＝16－8＝8＝2a，则a＝4，
又b2＝9，故c2＝a2＋b2＝25，则c＝5，|F1F2|＝2c＝10，
所以△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝16＋8＋10＝34.
答案：34
提分题
[例1]
(1) 解析：如图，
因为F2(c，0)，不妨设渐近线方程为y＝x，即bx－ay＝0，
所以|PF2|＝＝＝b，
所以b＝2.
设∠POF2＝θ，则tan θ＝＝＝，所以|OP|＝a，所以|OF2|＝c.
因为ab＝c·yP，所以yP＝，所以tan θ＝＝＝，所以xP＝，
所以P()，
因为F1(－c，0)，
所以＝＝＝＝＝，
所以(a2＋2)＝4a，解得a＝，
所以双曲线的方程为＝1.故选D.
(2)
解析：方法一 依题意a＝3，b＝，c＝＝.如图，不妨令F1(－，0)，F2(，0)．设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，cos ∠F1PF2＝＝ ①，
由椭圆的定义可得m＋n＝2a＝6 ②.
由①②，解得mn＝.
设|OP|＝x.
在△F1OP和△F2OP中，∠F1OP＋∠F2OP＝π，
由余弦定理得＝－，
得x2＝＝＝，所以|OP|＝.
方法二 依题意a＝3，b＝，c＝＝.
如图(图同方法一)，设点P的坐标为(x0，y0)，α＝∠F1PF2，
则cos ∠F1PF2＝cos α＝，
故sin ∠F1PF2＝sin α＝＝＝，则tan＝或tan ＝2(舍去)．
故△F1PF2的面积＝b2tan ＝6×＝3.
又＝×2c|y0|＝|y0|，
故＝1，
所以＝，|OP|2＝＝，|OP|＝.
方法三 依题意a＝3，b＝，c＝＝.
如图(图同方法一)，设点P的坐标为(x0，y0)，利用焦点三角形面积公式知＝.
因为cos ∠F1PF2＝，所以sin ∠F1PF2＝，故＝＝3.又＝×2c|y0|＝|y0|，故
＝1，所以＝，|OP|2＝＝，|OP|＝.
方法四 依题意a＝3，b＝，c＝＝.
如图(图同方法一)，不妨令F1(－，0)，F2(，0)．
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，cos ∠F1PF2＝＝ ①，
由椭圆的定义可得m＋n＝2a＝6 ②.
由①②，解得mn＝.
因为＝)，
所以||2＝(m2＋n2＋2mn cos ∠F1PF2)＝＝，所以|PO|＝.
答案：D
答案：B
[巩固训练1] (1) 解析：双曲线C：＝1，则a2＝4，a＝2，
由双曲线的定义知：|F1P|－|PF2|＝2a＝4，|F1Q|－|QF2|＝2a＝4，
|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，
所以|F1P|＋|F1Q|－|PQ|＝|F1P|＋|F1Q|－(|PF2|＋|QF2|)＝|F1P|－|PF2|＋|F1Q|－|QF2|＝8.故选C.
(2) 解析：抛物线y2＝mx的顶点为原点，焦点为F′(，0)，而抛物线y＝2x2，即x2＝y的顶点为原点，焦点为F(0，)，
因为抛物线y2＝mx绕其顶点顺时针旋转90°后，得抛物线x2＝y，
因此点F(0，)绕原点逆时针旋转90°后得点F′(，0)，则＝－，解得m＝－，
所以m＝－.
答案：C (2)－
微专题2 圆锥曲线的几何性质
保分题
1．解析：结合选项可知，直线AB的斜率存在且不为零．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，由点A，B在双曲线上，得，两式作差，得，即(x1－x2)(x1＋x2)＝，化简得＝9，即·＝kAB·＝9，因此kAB＝9·.
由双曲线方程可得渐近线方程为y＝±3x，如图．
对于A选项，因为kAB＝9×＝9>3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于B选项，因为kAB＝9×＝－＜－3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于C选项，kAB＝9×＝3，此时直线AB与渐近线y＝3x平行，与双曲线不可能有两个交点，不符合题意；对于D选项，因为kAB＝9×＝<3，所以直线AB与双曲线有两个交点，满足题意．故选D.
答案：D
2.
解析：根据抛物线的对称性可知：由△OEF为等边三角形，所以E，F关于坐标轴x对称，由|EO|＝4，∠EOx＝30°，所以E(2，2)，将E(2，2)代入可得4＝4p p＝.
答案：
提分题
[例2] 解析：(1)因为e2＝＝＝1－＝()2＝，所以，＝.
①若椭圆C的焦点在x轴上，则＝＝，可得m＝6，则a＝＝，
此时，椭圆C的长轴长为2；
②若椭圆C的焦点在y轴上，则＝＝，可得m＝，则a＝，
此时，椭圆C的长轴长为2.
综上所述，椭圆C的长轴长为2或2.故选D.
(2) 解析：设直线l经过A(－a，0)，B(0，b)，则直线l的方程为＝1，即bx－ay＋ab＝0，
则F1(－c，0)，F2(c，0)到直线l的距离分别为，，
故>2a，解得b>a，
故离心率e＝>，故双曲线的离心率的取值范围是(，＋∞)．故选B.
(3) 解析：如图，由题意得|AF|＝|AM|，|BF|＝|BN|，所以∠AMF＝∠AFM＝∠MFO，∠BNF＝∠BFN＝∠NFO，
因为∠AFM＋∠MFO＋∠BFN＋∠NFO＝π，
所以∠MFO＋∠NFO＝，所以MF⊥NF，又|MF|＝|NF|，所以∠NMF＝，
所以∠MFO＝∠AFM＝，故∠AFx＝，所以直线AB的斜率为tan ＝.
答案：D
答案：B
答案：
[巩固训练2] (1) 解析：由题意知F(1，0)，准线方程为x＝－1，
设P(x0，y0)．因为Q(5，0)，△PQF的面积为4，则×(5－1)×|y0|＝4，
所以|y0|＝2，则x0＝3，所以|PF|＝x0－(－1)＝4.故选A.
(2) 解析：直线x－y－2＝0与x轴交点为(2，0)，斜率为，
由题意，解得，
所以双曲线的实轴长为2a＝2.
(3) 解析：由题意可知：A(b，0)，B(0，2)，因为0因为△ABF是等腰三角形，
所以由椭圆的性质可知F是椭圆的下焦点，
所以|AB|＝|BF| 2＋＝ b2＝2.
答案：A
答案：2
答案：2
微专题3 圆锥曲线的交汇问题
保分题
1．解析：根据双曲线的离心率e＝＝，得c＝a，即c2＝5a2，即a2＋b2＝5a2，所以b2＝4a2，＝4，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x，易知渐近线y＝2x与圆相交．
方法一 由得5x2－16x＋12＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.
所以|AB|＝|x1－x2|＝＝.故选D.
方法二 圆心(2，3)到渐近线y＝2x的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝2＝.故选D.
答案：D
2．解析：设F(c，0)，则直线AF的方程为＝1，即bx＋cy－bc＝0，
圆心O到直线AF的距离d＝＝＝a，
两边平方整理得，16(a2－c2)c2＝3a4，
于是16(1－e2)e2＝3，解得e2＝或e2＝，
则e＝或e＝.故选D.
答案：D
3．解析：抛物线方程化为标准方程得x2＝4y，焦点坐标为F(0，1)，
∵抛物线焦点与椭圆C的一个焦点重合，∴椭圆焦点在y轴，
设椭圆方程为＝1，(a>b>0)，
则由焦点坐标和长轴长知c＝1，2a＝4，∴a＝2，
∴b2＝a2－c2＝3，
∴椭圆C的标准方程为＝1.
答案：＝1
提分题
[例3] (1) 解析：由题意得2a＝4，a＝2，双曲线左顶点坐标为(－a，0)，
抛物线的准线为x＝－，故a＝，解得p＝4，
点P(4，m)为抛物线与双曲线的一个交点，故m2＝8p＝32，＝1，
即4－＝1，解得b2＝，解得b＝，
故双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x＝±x.
故选A.
(2)
解析：不妨设M在第一象限，由题意，M的横坐标为c，
令＝1，解得y＝，
即M(c，)．
设N(x，y)，又F1(－c，0)，＝＝(－2c，－)，
由＝3F1N可得：，解得，
又N(x，y)在椭圆上，即＝1＝，
整理得＝，解得e＝.故选A.
答案：A
答案：A
[巩固训练3]
(1) 解析：由题意得F(，0)，
抛物线E：y2＝2px(p>0)中，当x＝时，y＝±p，不妨设A(，p)，
则()2＋p2＝5，解得p＝2，负值舍去．故选C.
＝cos∠F1PF2＝2a2可得|＝8a2.
又|＝2a，两式联立可得|＝|＝2a，
∴cos ∠F1PF2＝＝＝，整理可得c2＝4a2，
∴c＝2a，e＝2.故选A.
答案：C
答案：A
第三讲 圆锥曲线——大题备考
微专题1 角的正切值与直线斜率
保分题
(1) 解析：设椭圆E的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，
由点M(1，)，N(－)在E上，得，解得m＝，n＝，
所以E的方程为＝1.
(2) 解析：存在，理由如下．
显然直线l不垂直于x轴，设直线l的方程为x＝ky－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去x得：(3k2＋4)y2－6ky－9＝0，
则y1＋y2＝，y1y2＝，得x1＋x2＝k(y1＋y2)－2＝，
x1x2＝(ky1－1)(ky2－1)＝k2y1y2－k(y1＋y2)＋1＝＋1＝，
因此＝＝
＝＝＝－k＝－1，解得k＝1，
所以存在符合要求的直线l，其方程为x－y＋1＝0.
提分题
[例1] (1) 解析：∵点A(2，1)在双曲线C：＝1(a>1)上，∴＝1，解得a2＝2.
∴双曲线C的方程为－y2＝1.
显然直线l的斜率存在，可设其方程为y＝kx＋m.
联立得方程组
消去y并整理，得(1－2k2)x2－4kmx－2m2－2＝0.
Δ＝16k2m2＋4(1－2k2)(2m2＋2)＝8m2＋8－16k2>0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
由kAP＋kAQ＝0，得＝0，
即(x2－2)(kx1＋m－1)＋(x1－2)(kx2＋m－1)＝0.
整理，得2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4(m－1)＝0，
即2k·＋(m－1－2k)·－4(m－1)＝0，
即(k＋1)(m＋2k－1)＝0.
∵直线l不过点A，∴k＝－1.
(2) 解析：设∠PAQ＝2α，0<α<，则tan 2α＝2，
∴＝2，解得tan α＝(负值已舍去)．
由(1)得k＝－1，则x1x2＝2m2＋2>0，
∴P，Q只能同在双曲线左支或同在右支．
当P，Q同在左支时，tan α即为直线AP或AQ的斜率．
设kAP＝.
∵为双曲线一条渐近线的斜率，
∴直线AP与双曲线只有一个交点，不成立．
当P，Q同在右支时，tan (－α)＝即为直线AP或AQ的斜率．
设kAP＝＝，则kAQ＝－，
∴直线AP的方程为y－1＝(x－2)，
即y＝x－2＋1.
联立得方程组
消去y并整理，得3x2－(16－4)x＋20－8＝0，
则xP·2＝，解得xP＝.
∴|xA－xP|＝|2－|＝.
同理可得|xA－xQ|＝.
∵tan 2α＝2，0<2α<π，∴sin 2α＝，
∴S△PAQ＝|AP|·|AQ|·sin 2α＝×|xA－xP|××|xA－xQ|×sin 2α＝×3×＝.
[巩固训练1] (1) 解析：因为抛物线C：y2＝2px(p>0)经过点A(1，2)，可得22＝2p，解得p＝2,
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2) 解析：证明：设直线l的方程为y＝k(x－t)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程组，整理得k2x2－2(k2t＋p)x＋k2t2＝0,
则x1＋x2＝，x1x2＝t2.
充分性：当m＋t＝0时，直线AM，BM的斜率之和为
kAM＋kBM＝＝，
因为y1(x2－m)＋y2(x1－m)＝k(x1－t)(x2－m)＋k(x2－t)(x1－m)＝k[2x1x2－(m＋t)(x1＋x2)＋2mt]＝k(2t2－2t2)＝0，
所以kAM＋kBM＝0，即MA，MB的倾斜角互补，
所以∠TMA＝∠TMB.
必要性：当∠TMA＝∠TMB时，直线AM，BM的斜率之和为0，
即kAM＋kBM＝＝＝0，
所以y1(x2－m)＋y2(x1－m)＝k(x1－t)(x2－m)＋k(x2－t)(x1－m)＝0，
即k[2x1x2－(m＋t)(x1＋x2)＋2mt]＝0，
因为k≠0，所以2x1x2－(m＋t)(x1＋x2)＋2mt＝0，
即2t2－＋2mt＝0，
所以2k2t2－2(m＋t)(k2t＋p)＋2mtk2＝0，可得m＋t＝0，
综上所述，∠TMA＝∠TMB的充要条件是m＋t＝0.
微专题2 定点问题
提分题
[例2] (1) 解析：由题意可知：点P(4，3)在双曲线上，所以＝1；
过P做x轴的平行线y＝3，与y＝±x相交于M，N两点，那么M，N两点可求：M(，3)，N(－，3)；
所以|4－|·|4＋|＝|16－|＝a2||＝a2＝4，所以a＝2；
代入＝1，可知b＝，所以双曲线的方程为＝1.
(2) 解析：选①：由题意可知，直线l与双曲线C交于不同的两点A, B，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程：，
得(3－4k2)x2－8kmx－4m2－12＝0，
所以3－4k2≠0，Δ＝(－8km)2－4(3－4k2)(－4m2－12)>0，即m2＋3－4k2>0；
x1＋x2＝，x1x2＝，
由条件k1＋k2＝1，所以＝1，
所以(x2－4)(kx1＋m－3)＋(x1－4)(kx2＋m－3)＝(x1－4)(x2－4)，
整理可得2kx1x2＋(m－3－4k)(x1＋x2)－8(m－3)＝x1x2－4(x1＋x2)＋16，
代入韦达定理得m2＋2km－8k2－6k－6m＋9＝0，
即(m－2k－3)(m＋4k－3)＝0，
解得m＝2k＋3或m＝－4k＋3；
当m＝2k＋3时，y＝kx＋m＝kx＋2k＋3＝k(x＋2)＋3，则直线l过定点(－2，3)；
当m＝－4k＋3时，y＝kx＋m＝kx－4k＋3＝k(x－4)＋3，则直线l过定点P(4，3)，不合题意；
综上可得，直线l过定点(－2，3)．
选②：由题意可知，直线l与双曲线C交于不同的两点A, B，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程：，
得(3－4k2)x2－8kmx－4m2－12＝0，
所以3－4k2≠0，Δ＝(－8km)2－4(3－4k2)(－4m2－12)>0，即m2＋3－4k2>0；
x1＋x2＝，x1x2＝，
由条件k1k2＝1得·＝1，
即＝1，
整理可得
＝1.
代入韦达定理，整理可得7m2＋32km＋16k2－18m－9＝0，
即(7m＋4k＋3)(m＋4k－3)＝0，解得m＝－或m＝－4k＋3，
当m＝－时，y＝kx＋m＝kx－＝k(x－)－，则直线l过定点(，－)；
当m＝－4k＋3时，y＝kx＋m＝kx－4k＋3＝k(x－4)＋3，则直线l过定点P(4，3)，不合题意；
综上可得，直线l过定点(，－)．
[巩固训练2] (1) 解析：因为点A(－2，0)在C上，所以＝1，得b2＝4.
因为椭圆的离心率e＝＝，所以c2＝a2，
又a2＝b2＋c2＝4＋a2，所以a2＝9，c2＝5，
故椭圆C的方程为＝1.
(2) 解析：由题意知，直线PQ的斜率存在且不为0，
设lPQ：y－3＝k(x＋2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由，得(4k2＋9)x2＋(16k2＋24k)x＋16k2＋48k＝0，
则Δ＝(16k2＋24k)2－4(4k2＋9)(16k2＋48k)＝－36×48k>0，
故x1＋x2＝－，x1x2＝.
直线AP：y＝(x＋2)，
令x＝0，解得yM＝，
同理得yN＝，
则yM＋yN＝2
＝2
＝2
＝2
＝2×
＝6.
所以MN的中点的纵坐标为＝3，
所以MN的中点为定点(0，3)．
微专题3 定值问题
提分题
[例3] (1) 解析：由已知可得，l的方程为x＝，
代入抛物线方程可得，y2＝p2，解得y＝±p，所以|MN|＝2p.
由题意知2p＝4，得p＝2，
所以，抛物线方程是y2＝4x.
所以直线l的方程为x＝1，焦点F(1，0)，所以c＝1.
将直线l的方程x＝1代入椭圆方程可得，y2＝，解得y＝±，
所以|PQ|＝.
由已知可得，，解得，
所以，椭圆的方程为＝1.
(2)
解析：假设存在常数m，使为定值．
设直线l的方程为：x＝ny＋1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立方程，消x化简得y2－4ny－4＝0.
则Δ＝16n2＋16>0恒成立，且，
所以|MN|＝|y1－y2|＝＝＝4(n2＋1)．
设P(x3，y3)，Q(x4，y4)，
联立方程，消x化简得(3n2＋4)y2＋6ny－9＝0.
则Δ＝144(n2＋1)>0恒成立，且，
所以|PQ|＝|y3－y4|＝＝＝.
所以，＝＝.
因为为定值，
所以有＝，所以m＝－3.
所以假设成立．
所以存在常数m＝－3，使为定值－.
[巩固训练3] (1) 解析：设F(c，0)，把x＝c代入到E的方程，得－y2＝1，即y＝±，
因为|AB|＝1，所以＝1，即a＝2，则双曲线E的方程为－y2＝1.
(2) 解析：k1·k2为定值，理由如下：
设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1<0，x2>0，.
因为直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝4相切，所以＝2，即m2＝4(1＋k2)，
联立，消去y并整理得(1－4k2)x2－8mkx－(4m2＋4)＝0，
所以，
因为x1<0，x2>0，x1x2＝<0，即4k2－1<0，
所以x2－x1＝＝
＝＝.
由(1)知A1(－2，0)，A2(2，0)．
k1·k2＝＝
＝＝＝
＝＝＝－.
即k1k2为定值．
微专题4 最值问题
提分题
[例4] (1) 解析：设E的半焦距为c，则＝，所以＝，所以a＝b ①，
不妨设l：y＝x，与＝1联立得|x|＝.
由题意得|x|＝＝ ②，
①②联立并解得b2＝2，a2＝4，
故E的方程为＝1.
(2) 解析：设A(x1，y1)，P(x2，y2)，则B(－x1，－y1)，H(－x1，0)，N(－，0)，
所以直线AP的斜率k＝＝＝k1，
直线AP的方程为y＝k(x＋)，代入＝1，得
－4＝0，
所以x1＋x2＝－，
y1＋y2＝k(x1＋)＋k(x2＋)＝k(x1＋x2＋x1)＝，
所以k2＝＝＝－＝－＝－，
所以|k1－k2|＝|k1＋|＝|k1|＋≥2＝，
当且仅当|k1|＝，即k1＝±时等号成立，
所以当k1＝±时，|k1－k2|取得最小值，且最小值为.
[巩固训练4] (1) 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
把x＝2y－1代入y2＝2px，得y2－4py＋2p＝0，
由Δ1＝16p2－8p>0，得p>.
由根与系数的关系，可得y1＋y2＝4p，y1y2＝2p，
所以|AB|＝·＝·＝4，解得p＝2或p＝－(舍去)，
故p＝2.
(2) 解析：设M(x3，y3)，N(x4，y4)，由(1)知抛物线C：y2＝4x，则点F(1，0)．
因为·＝0，所以∠MFN＝90°，
则S△MFN＝|MF||NF|＝(x3＋1)(x4＋1)＝(x3x4＋x3＋x4＋1) (*)．
当直线MN的斜率不存在时，点M与点N关于x轴对称，
因为∠MFN＝90°，
所以直线MF与直线NF的斜率一个是1，另一个是－1.
不妨设直线MF的斜率为1，则MF：y＝x－1，
由得x2－6x＋1＝0，
得或
代入(*)式计算易得，当x3＝x4＝3－2时，△MFN的面积取得最小值，为4(3－2)．
当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx＋m.
由得k2x2－(4－2km)x＋m2＝0，Δ2＝(4－2km)2－4m2k2>0，
则
y3y4＝(kx3＋m)(kx4＋m)＝k2x3x4＋mk(x3＋x4)＋m2＝.
又·＝(x3－1，y3)·(x4－1，y4)＝x3x4－(x3＋x4)＋1＋y3y4＝0，
所以＋1＋＝0，化简得m2＋k2＋6km＝4.
所以S△MFN＝(x3x4＋x3＋x4＋1)＝＝＝＋2＋1.
令t＝，则S△MFN＝t2＋2t＋1，
因为m2＋k2＋6km＝4，
所以＋6＋1＝>0，
即t2＋6t＋1>0，得t>－3＋2或t<－3－2，
从而得S△MFN＝t2＋2t＋1>12－8＝4(3－2)．
故△MFN面积的最小值为4(3－2)．
微专题5 范围问题
提分题
[例5] (1) 解析：设点P的坐标为(x，y)，依题意得|y|＝，
化简得x2＝y－，
所以W的方程为x2＝y－.
(2) 解析：证明：设矩形ABCD的三个顶点A，B，C在W上，
则AB⊥BC，矩形ABCD的周长为2(|AB|＋|BC|)．
设B(t，t2＋)，依题意知直线AB不与两坐标轴平行，
故可设直线AB的方程为y－(t2＋)＝k(x－t)，不妨设k>0，
与x2＝y－联立，得x2－kx＋kt－t2＝0，
则Δ＝k2－4(kt－t2)＝(k－2t)2>0，所以k≠2t.
设A(x1，y1)，所以t＋x1＝k，所以x1＝k－t，
所以|AB|＝|x1－t|＝|k－2t|＝|2t－k|，
|BC|＝ |－－2t|＝|＋2t|＝|2kt＋1|，且2kt＋1≠0，
所以2(|AB|＋|BC|)＝(|2k2t－k3|＋|2kt＋1|)．
因为|2k2t－k3|＋|2kt＋1|＝
，
当2k－2k2≤0，即k≥1时，函数y＝(－2k2－2k)t＋k3－1在(－∞，－]上单调递减，函数y＝(2k－2k2)t＋k3＋1在(－]上单调递减或是常函数(当k＝1时是常函数)，函数y＝(2k2＋2k)t－k3＋1在(，＋∞)上单调递增，
所以当t＝时，|2k2t－k3|＋|2kt＋1|取得最小值，且最小值为k2＋1，又k≠2t，所以2(|AB|＋|BC|)＞(k2＋1)＝.
令f(k)＝，k≥1，
则f′(k)＝，
当1≤k＜时，f′(k)＜0，当k＞时，f′(k)＞0，
所以函数f(k)在[1，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，
所以f(k)≥f()＝3，
所以2(|AB|＋|BC|)＞≥3.
当2k－2k2＞0，即0＜k＜1时，函数y＝(－2k2－2k)t＋k3－1在(－∞，－]上单调递减，函数y＝(2k－2k2)t＋k3＋1在(－]上单调递增，函数y＝(2k2＋2k)t－k3＋1在(，＋∞)上单调递增，
所以当t＝－时，|2k2t－k3|＋|2kt＋1|取得最小值，且最小值为k3＋k＝k(1＋k2)，
又2kt＋1≠0，所以2(|AB|＋|BC|)＞k(k2＋1)＝.
令g(k)＝，0则g′(k)＝，
当00，
所以函数g(k)在(0，)上单调递减，在(，1)上单调递增，
所以g(k)≥g()＝3，
所以2(|AB|＋|BC|)>≥3.
综上，矩形ABCD的周长大于3.
[巩固训练5] (1) 解析：由题意得，解得a＝，b＝1，c＝1，
所以椭圆E的标准方程为＋y2＝1.
(2) 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
由得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
因为直线l与椭圆E相交，
所以Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝8(1＋2k2－m2)>0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以kPA＋kPB＝＝＝2k＋(k＋m－)×＝2k－(k＋m－)×＝2k－(k＋m－)×＝2k－＝，
由于kPA＋kPB＝0，于是＝0，
所以k－1＝0，所以k＝.
由Δ＝8(1＋2k2－m2)>0，解得－因为直线l不经过点P，所以m≠0.
所以m的取值范围为(－，0))．(共91张PPT)
解析几何
1.[2023·辽宁丹东二模]直线x＋ay－3＝0与直线(a＋1)x＋2y－6＝0平行，则a＝( )
A．－2 B．1
C．－2或1 D．－1或2
答案：A
解析：由题意，
直线x＋ay－3＝0与直线(a＋1)x＋2y－6＝0平行，
∴由1×2＝a(a＋1)，得a＝－2或a＝1.
当a＝－2时，l1：x－2y－3＝0，l2：－x＋2y－6＝0，l1∥l2.
当a＝1时，l1：x＋y－3＝0，l2：x＋y－3＝0，l1与l2重合．故选A.
2．[2023·安徽蚌埠三模]已知直线l1：ax＋2y＋1＝0，l2：(3－a)x－y＋a＝0，则条件“a＝1”是“l1⊥l2”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C.必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．过点P(0，1)且和A(3，3)，B(5，－1)距离相等的直线方程是________________．
2x＋y－1＝0或y＝1
答案：B
2．直线与圆的位置关系
直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系如表．
方法 几何法 代数法
位置关系
相交 d0
相切 d＝r Δ＝0
相离 d>r Δ<0
1.[2023·安徽蚌埠三模]直线l：x＋my＋1－m＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法确定
答案：A
解析：已知直线l：x＋my＋1－m＝0过定点(－1，1)，
将点(－1，1)代入圆的方程可得(－1－1)2＋(1－2)2<9，
可知点(－1，1)在圆内，
所以直线l：x＋my＋1－m＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9相交．故选A.
2．[2023·河北唐山二模]已知圆C1：x2＋y2－2x＝0，圆C2：(x－3)2＋(y－1)2＝4，则C1与C2的位置关系是( )
A．外切 B．内切 C．相交 D．外离
答案：C
3．[2023·河南郑州三模]曲线y＝x2－4x＋1与坐标轴交于A，B，C三点，则过A，B，C三点的圆的方程为_________________．
(x－2)2＋(y－1)2＝4
x＋y－2＝0
答案：B
(2)[2023·河南郑州二模]若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝1的公共弦AB的长为1，则直线AB的方程为( )
A．2ax＋by－1＝0 B．2ax＋by－3＝0
C．2ax＋2by－1＝0 D．2ax＋2by－3＝0
答案：D
2.[2022·新高考Ⅱ卷]设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________．
[巩固训练1] (1)[2023·黑龙江大庆三模]已知直线l是圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1的切线，并且点B(3，4)到直线l的距离是2，这样的直线l有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
答案：D
答案：B
(3)[2022·新高考Ⅰ卷]写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程
_________________________________________________________．
3x＋4y－5＝0或7x－24y－25＝0或x＋1＝0(答对其中之一即可)
3．与距离最值有关的常见的结论
(1)圆外一点A到圆上距离最近为|AO|－r，最远为|AO|＋r；
(2)过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为以该点为中点的弦；
(3)记圆心到直线的距离为d，直线与圆相离，则圆上点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r；
(4)过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积；
(5)直线外一点与直线上的点的距离中，最短的是点到直线的距离；
(6)两个动点分别在两条平行线上运动，这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离．
4．与圆有关的面积的最值问题或圆中与数量积有关的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解．
1.已知P(－1，2)为圆x2＋y2＝8内一定点，过点P且被圆所截得的弦最短的直线方程为( )
A．2x－y＋3＝0 B．x＋2y－5＝0
C．x－2y＋5＝0 D．x－2y－5＝0
答案：C
答案：B
3．[2023·安徽亳州一中模拟]已知两定点A(－4，0)，B(2，0)，如果动点M满足|MA|＝2|MB|，点N是圆x2＋(y－3)2＝9上的动点，则|MN|的最大值为________．
12
答案：D
答案：C
技法领悟
1．要善于借助图形进行分析，防止解题方法错误．
2．要善于运用圆的几何性质进行转化，防止运算量过大，以致运算失误．
答案：A
答案：C
3．抛物线定义与方程：|MF|＝d(d为M点到准线的距离)
y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p>0)．
答案：B
2．[2023·河南新乡三模]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，C上一点M(x0，x0)(x0≠0)满足|MF|＝5，则抛物线C的方程为( )
A．y2＝2x B．y2＝x
C．y2＝8x D．y2＝4x
答案：D
答案：AD
34
解析：因为|PF1|＝2|PF2|＝16，所以|PF1|＝16，
|PF2|＝8，
故|PF1|－|PF2|＝16－8＝8＝2a，则a＝4，
又b2＝9，故c2＝a2＋b2＝25，则c＝5，|F1F2|＝2c＝10，
所以△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝16＋8＋10＝34.
答案：D
答案：B
技法领悟
1．关于圆锥曲线定义的应用
对于椭圆、双曲线如果涉及曲线上的点与焦点的距离，一般要利用定义进行转化．对应抛物线涉及曲线上的点到焦点的距离、到准线的距离时需要相互转化．
2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”
所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．
答案：C
(2)[2023·河北衡水中学模拟]抛物线y2＝mx绕其顶点顺时针旋转90°之后，得到的图象正好对应抛物线y＝2x2，则m＝________．
答案：D
2．[2023·山东青岛一模]已知O为坐标原点，在抛物线y2＝2px(p>0)上存在两点E，F，使得△OEF是边长为4的正三角形，则p＝________．
答案：D
答案：B
答案：A
2
答案：D
答案：D
答案：A
答案：A
技法领悟
1．解决圆锥曲线之间、圆锥曲线与圆之间的综合问题时，关键是抓住两种曲线之间的联系，再结合其自身的几何性质解题．
2．圆锥曲线常与向量知识交汇考查，一般是利用圆锥曲线的几何性质转化条件，再利用其他的知识解题，或者是利用其他的知识点转化条件，再利用圆锥曲线的几何性质解题．
答案：C
答案：A
(2)已知P(2，0)，是否存在过点G(－1，0)的直线l交E于A，B两点，使得直线PA，PB的斜率之和等于－1？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．
技法领悟
解决此类问题的关键是围绕直线斜率式子的整理和求解．
[巩固训练1] [2023·广东广州三模]直线l经过点T(t，0)(t>0)且与抛物线C：y2＝2px (p>0)交于A，B两点．
(1)若A(1，2)，求抛物线C的方程；
(2)若直线l与坐标轴不垂直，M(m，0)，证明：∠TMA＝∠TMB的充要条件是m＋t＝0.
(2)若直线l：y＝kx＋m与双曲线C交于不同的两点A，B，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，从下面两个条件中选一个(多选只按先做给分)，证明：直线l过定点．
①k1＋k2＝1；②k1k2＝1.
技法领悟
直线过定点问题的解题策略
(1)用参数表示出直线的方程，根据直线方程的特征确定定点的位置．
(2)从特殊点入手，先确定定点，再证明该定点符合题目条件．
(2)过点(－2，3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点．
(1)求C1和C2的方程；
技法领悟
圆锥曲线中定值问题的解题策略
(1)从特殊情形开始，求出定值，再证明该值与变量无关；
(2)采用推理、计算、消元得定值．消元的常用方法为整体消元、选择消元、对称消元等．
(2)若直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝a2相切，且与双曲线左、右两支分别交于P1，P2两点，记直线P1A1的斜率为k1，P2A2的斜率为k2，那么k1·k2是否为定值？并说明理由．
(2)若过B作x轴的垂线，垂足为H，OH的中点为N(O为坐标原点)，连接AN并延长交E于点P，直线PB的斜率为k2，求|k1－k2|的最小值．
技法领悟
圆锥曲线中范围问题的解题策略
1．函数法：将要求的量用已知参数表示出来，转化为关于这个参数的值域问题，利用函数性质、配方法、基本不等式法求解．
2．不等式法：构造关于要求的参数的不等式，通过解不等式求范围．
(2)若直线PA与直线PB的斜率之和为0，求k的值及m的取值范围．专题六 解析几何
第一讲 直线和圆——小题备考
微专题1 直线的方程及应用
常考常用结论
1．两条直线平行与垂直的判定
若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2 k1＝k2，l1⊥l2 k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．
2．直线方程常用的三种形式
(1)点斜式：过一点(x0，y0)，斜率k，直线方程为y－y0＝k(x－x0)．
(2)斜截式：纵截距b，斜率k，直线方程为y＝kx＋b.
(3)一般式：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)．
3．两个距离公式
(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.
(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝.
1.[2023·辽宁丹东二模]直线x＋ay－3＝0与直线(a＋1)x＋2y－6＝0平行，则a＝( )
A．－2 B．1
C．－2或1 D．－1或2
2．[2023·安徽蚌埠三模]已知直线l1：ax＋2y＋1＝0，l2：(3－a)x－y＋a＝0，则条件“a＝1”是“l1⊥l2”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C.必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．过点P(0，1)且和A(3，3)，B(5，－1)距离相等的直线方程是________．
微专题2 圆的方程、直线与圆、圆与圆
常考常用结论
1．圆的方程
(1)圆的标准方程
当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.(r>0)
(2)圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以为圆心，为半径的圆．
2．直线与圆的位置关系
直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系如表．
方法 几何法 代数法
位置关系 根据d＝与r的大小关系判断 消元得一元二次方程，根据判别式Δ的符号判断
相交 d0
相切 d＝r Δ＝0
相离 d>r Δ<0
切线长的计算：过点P向圆引切线PA，则|PA|＝(其中C为圆心)．
弦长的计算：直线l与圆C相交于A，B两点，则|AB|＝2(其中d为弦心距)．
3．圆与圆的位置关系
设圆C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝(r1>0)，圆2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝(r2>0)．
(1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程；
(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心；
(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求．
1.[2023·安徽蚌埠三模]直线l：x＋my＋1－m＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法确定
2．[2023·河北唐山二模]已知圆C1：x2＋y2－2x＝0，圆C2：(x－3)2＋(y－1)2＝4，则C1与C2的位置关系是( )
A．外切 B．内切 C．相交 D．外离
3．[2023·河南郑州三模]曲线y＝x2－4x＋1与坐标轴交于A，B，C三点，则过A，B，C三点的圆的方程为________．
4．[2023·广东深圳二模]过点(1，1)且被圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0所截得的弦长为2的直线的方程为________．
1.(1)[2023·新课标Ⅰ卷]过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝( )
A．1 B． C． D．
(2)[2023·河南郑州二模]若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝1的公共弦AB的长为1，则直线AB的方程为( )
A．2ax＋by－1＝0 B．2ax＋by－3＝0
C．2ax＋2by－1＝0 D．2ax＋2by－3＝0
2.[2022·新高考Ⅱ卷]设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________．
技法领悟
1．圆的切线方程：(1)过圆上一点的切线方程：对于这种情况可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，进而求出直线方程．
(2)过圆外一点的切线方程：这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出它们只有一个解(交点)时斜率的值，进而求出直线方程．
2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理．
3．两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程．
[巩固训练1] (1)[2023·黑龙江大庆三模]已知直线l是圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1的切线，并且点B(3，4)到直线l的距离是2，这样的直线l有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
(2)[2023·安徽蚌埠二模]若直线y＝kx＋4＋2k与曲线y＝有两个不同的交点，则实数k的取值范围是
A．[1，＋∞) B．[－1，－)
C．(，1] D．(－∞，－1]
(3)[2022·新高考Ⅰ卷]写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________．
微专题3 有关圆的最值问题
常考常用结论
1．与圆有关的长度或距离的最值问题的解法
一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解，注意圆的弦长或切线段的长通常利用勾股定理转化为圆心到直线距离或点到圆心距离．
2．与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法
形如μ＝型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；
形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；
形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离平方的最值问题．
3．与距离最值有关的常见的结论
(1)圆外一点A到圆上距离最近为|AO|－r，最远为|AO|＋r；
(2)过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为以该点为中点的弦；
(3)记圆心到直线的距离为d，直线与圆相离，则圆上点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r；
(4)过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积；
(5)直线外一点与直线上的点的距离中，最短的是点到直线的距离；
(6)两个动点分别在两条平行线上运动，这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离．
4．与圆有关的面积的最值问题或圆中与数量积有关的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解．
1.已知P(－1，2)为圆x2＋y2＝8内一定点，过点P且被圆所截得的弦最短的直线方程为( )
A．2x－y＋3＝0 B．x＋2y－5＝0
C．x－2y＋5＝0 D．x－2y－5＝0
2．[2023·安徽蚌埠一模]过直线x＋y＝5上的点作圆C：x2＋y2－2x＋4y－1＝0的切线，则切线长的最小值为( )
A．3 B．2 C． D．
3．[2023·安徽亳州一中模拟]已知两定点A(－4，0)，B(2，0)，如果动点M满足|MA|＝2|MB|，点N是圆x2＋(y－3)2＝9上的动点，则|MN|的最大值为________．
3. (1)[2023·河南开封模拟]过直线l：3x＋4y－1＝0上一点P作圆M：x2＋(y－4)2＝1的两条切线，切点分别是A，B，则四边形MAPB的面积最小值是( )
A．1 B． C．2 D．2
(2)[2023·河北邯郸三模]在平面直角坐标系内，已知A(－3，4)，B(－3，1)，动点P(x，y)满足|PA|＝2|PB|，则(x－1)2＋(y－t)2(t∈R)的最小值是( )
A． B．2 C．4 D．16
技法领悟
1．要善于借助图形进行分析，防止解题方法错误．
2．要善于运用圆的几何性质进行转化，防止运算量过大，以致运算失误．
[巩固训练2] (1)[2023·山东泰安模拟]已知直线l：mx－y＋m＋1＝0(m≠0)与圆C：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0，过直线l上的任意一点P向圆C引切线，设切点为A，B，若线段AB长度的最小值为，则实数m的值是( )
A．－ B． C． D．－
(2)[2023·全国乙卷]已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是( )
A．1＋ B．4
C．1＋3 D．7
第二讲 圆锥曲线的方程与性质——小题备考
微专题1 圆锥曲线的定义及标准方程
常考常用结论
1．椭圆的定义与方程：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)；
焦点在x轴上：＝1(a>b>0)，
焦点在y轴上：＝1(a>b>0)．
2．双曲线的定义与方程：||MF1|－|MF2||＝2a(2a<|F1F2|)；
焦点在x轴上：＝1(a>0，b>0)，
焦点在y轴上：＝1(a>0，b>0)．
3．抛物线定义与方程：|MF|＝d(d为M点到准线的距离)
y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p>0)．
1．椭圆M的左、右焦点分别为F1(－3，0)，F2(3，0)，过点F1的直线交椭圆M于点A，B.若△ABF2的周长为20，则该椭圆的标准方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
2．[2023·河南新乡三模]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，C上一点M(x0，x0)(x0≠0)满足|MF|＝5，则抛物线C的方程为( )
A．y2＝2x B．y2＝x
C．y2＝8x D．y2＝4x
3．[2023·广东韶关模拟](多选)曲线C的方程为x2－－4＝0，则( )
A．当λ>0时，曲线C是焦距为4的双曲线
B.当λ<－1时，曲线C是焦距为4的双曲线
C．曲线C不可能为圆
D．当－1<λ<0时，曲线C是焦距为4的椭圆
4．[2023·北京101中学三模]已知F1，F2分别是双曲线C：＝1(a≠0)的左右焦点，P是C上的一点，且|PF1|＝2|PF2|＝16，则△PF1F2的周长是________．
1.(1)[2023·天津卷]双曲线(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2.过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P.已知PF2＝2，直线PF1的斜率为，则双曲线的方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
(2)[2023·全国甲卷]设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：＝1的两个焦点，点P在C上，cos ∠F1PF2＝，则|OP|＝( )
A． B． C． D．
技法领悟
1．关于圆锥曲线定义的应用
对于椭圆、双曲线如果涉及曲线上的点与焦点的距离，一般要利用定义进行转化．对应抛物线涉及曲线上的点到焦点的距离、到准线的距离时需要相互转化．
2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”
所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．
[巩固训练1] (1)设F1，F2是双曲线C：＝1的左、右焦点，过F2的直线与C的右支交于P，Q两点，则|F1P|＋|F1Q|－|PQ|＝( )
A．5 B．6 C．8 D．12
(2)[2023·河北衡水中学模拟]抛物线y2＝mx绕其顶点顺时针旋转90°之后，得到的图象正好对应抛物线y＝2x2，则m＝________．
微专题2 圆锥曲线的几何性质
常考常用结论
1．椭圆中，长轴是最长的弦，过焦点的所有弦长中，垂直长轴的弦长最短，最短为.距焦点最短的点是相应的对称轴同侧顶点．过双曲线的焦点作实轴所在直线的垂线，与双曲线交于A，B两点，|AB|＝.过抛物线的焦点作对称轴的垂线，与抛物线交于A，B两点，|AB|＝2p.
2．双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.
3．椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系
(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝；
(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝.
4．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F(，0)，准线方程x＝－；抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F(0，)，准线方程y＝－.
1.[2023·全国乙卷]设A，B为双曲线x2－＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是( )
A．(1，1) B．(－1，2)
C．(1，3) D．(－1，－4)
2．[2023·山东青岛一模]已知O为坐标原点，在抛物线y2＝2px(p>0)上存在两点E，F，使得△OEF是边长为4的正三角形，则p＝________．
3.(1)[2023·山东省实验中学一模]若椭圆C：＝1的离心率为，则椭圆C的长轴长为( )
A．2 B．或2
C．2 D．2或2
(2)[2023·江西赣州二模]已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，直线l分别经过双曲线的实轴和虚轴的一个端点，F1，F2到直线l的距离和大于实轴长，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A．(，＋∞) B．(，＋∞)
C．(1，) D．(1，)
(3)[2023·河北沧州二模]已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与C交于A，B两点(点A在x轴上方)，过A，B分别作l的垂线，垂足分别为M，N，连接MF，NF.若|MF|＝|NF|，则直线AB的斜率为________．
技法领悟
1．理清圆锥曲线中a，b，c，e，p的关系是关键．
2．求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值．
[巩固训练2] (1)[2023·河南新乡二模]已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P在抛物线C上，Q(5，0)，若△PQF的面积为4，则|PF|＝( )
A．4 B．3 C．5 D．2
(2)[2023·河北唐山二模]已知直线l：x－y－2＝0过双曲线C：＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且与C的一条渐近线平行，则C的实轴长为________．
(3)[2023·安徽马鞍山二模]已知椭圆＝1(0微专题3 圆锥曲线的交汇问题
1.[2023·全国甲卷]已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为，C的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝( )
A． B． C． D．
2．[2023·安徽蚌埠二模]已知椭圆＝1(a>b>0)的右焦点为F，上顶点为A，若直线AF与圆O：x2＋y2＝相切，则该椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．或
3．[2023·山东青岛三模]已知椭圆C的长轴长为4，它的一个焦点与抛物线y＝x2的焦点重合，则椭圆C的标准方程为________．
提分题
3.(1)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的实轴长为4，抛物线y2＝2px(p>0)的准线过双曲线的左顶点，抛物线与双曲线的一个交点为P(4，m)，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
(2)[2023·山东烟台三模]已知F1，F2分别是椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N，若＝3，则C的离心率为( )
A． B． C． D．
技法领悟
1．解决圆锥曲线之间、圆锥曲线与圆之间的综合问题时，关键是抓住两种曲线之间的联系，再结合其自身的几何性质解题．
2．圆锥曲线常与向量知识交汇考查，一般是利用圆锥曲线的几何性质转化条件，再利用其他的知识解题，或者是利用其他的知识点转化条件，再利用圆锥曲线的几何性质解题．
[巩固训练3] (1)[2023·江西赣州二模]已知抛物线E：y2＝2px(p>0)与圆x2＋y2＝5交于A，B两点，且E的焦点F在直线AB上，则p＝( )
A．1 B． C．2 D．
(2)[2023·河南郑州一模]已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左右焦点分别为F1，F2，P为C右半支上一点，且cos ∠F1PF2＝＝2a2，则双曲线C的离心率为( )
A．2 B．4 C．6 D．9
第三讲 圆锥曲线——大题备考
微专题1 角的正切值与直线斜率
[2023·安徽六安一中模拟]已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过点M(1，)，N(－)．
(1)求E的方程；
(2)已知P(2，0)，是否存在过点G(－1，0)的直线l交E于A，B两点，使得直线PA，PB的斜率之和等于－1？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．
1. [2022·新高考Ⅰ卷]已知点A(2，1)在双曲线C：＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.
(1)求l的斜率；
(2)若tan ∠PAQ＝2，求△PAQ的面积．
技法领悟
解决此类问题的关键是围绕直线斜率式子的整理和求解．
[巩固训练1] [2023·广东广州三模]直线l经过点T(t，0)(t>0)且与抛物线C：y2＝2px (p>0)交于A，B两点．
(1)若A(1，2)，求抛物线C的方程；
(2)若直线l与坐标轴不垂直，M(m，0)，证明：∠TMA＝∠TMB的充要条件是m＋t＝0.
微专题2 定点问题
2.[2023·河北石家庄一模]已知点P(4，3)在双曲线C：＝1(a>0，b>0)上，过P作x轴的平行线，分别交双曲线C的两条渐近线于M，N两点，|PM|·|PN|＝4.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m与双曲线C交于不同的两点A，B，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，从下面两个条件中选一个(多选只按先做给分)，证明：直线l过定点．
①k1＋k2＝1；②k1k2＝1.
技法领悟
直线过定点问题的解题策略
(1)用参数表示出直线的方程，根据直线方程的特征确定定点的位置．
(2)从特殊点入手，先确定定点，再证明该定点符合题目条件．
[巩固训练2] [2023·全国乙卷]已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率是，点A(－2，0)在C上．
(1)求C的方程；
(2)过点(－2，3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点．
微专题3 定值问题
[2023·安徽淮北二模]已知抛物线C1：y2＝2px(p>0)的焦点和椭圆C2：＝1(a>b>0)的右焦点F重合，过点F任意作直线l分别交抛物线C1于M，N，交椭圆C2于P，Q.当l垂直于x轴时|MN|＝4，|PQ|＝3.
(1)求C1和C2的方程；
(2)是否存在常数m，使为定值？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
技法领悟
圆锥曲线中定值问题的解题策略
(1)从特殊情形开始，求出定值，再证明该值与变量无关；
(2)采用推理、计算、消元得定值．消元的常用方法为整体消元、选择消元、对称消元等．
[巩固训练3] [2023·河北唐山三模]已知双曲线E：－y2＝1(a>0)，左、右顶点分别为A1，A2，经过右焦点F垂直于x轴的直线与E相交于A，B两点，且|AB|＝1.
(1)求E的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝a2相切，且与双曲线左、右两支分别交于P1，P2两点，记直线P1A1的斜率为k1，P2A2的斜率为k2，那么k1·k2是否为定值？并说明理由．
微专题4 最值问题
[2023·河南驻马店三模]已知椭圆E：＝1(a>b>0)的离心率为，直线l：y＝k1x(k1≠0)与E交于A，B两点，当l为双曲线－y2＝1的一条渐近线时，A到y轴的距离为.
(1)求E的方程；
(2)若过B作x轴的垂线，垂足为H，OH的中点为N(O为坐标原点)，连接AN并延长交E于点P，直线PB的斜率为k2，求|k1－k2|的最小值．
[巩固训练4] [2023·全国甲卷]已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点且|AB|＝4.
(1)求p；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，且·＝0，求△MFN面积的最小值．
微专题5 范围问题
5.[2023·新课标Ⅰ卷]在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点的距离，记动点P的轨迹为W.
(1)求W的方程；
(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3.
技法领悟
圆锥曲线中范围问题的解题策略
1．函数法：将要求的量用已知参数表示出来，转化为关于这个参数的值域问题，利用函数性质、配方法、基本不等式法求解．
2．不等式法：构造关于要求的参数的不等式，通过解不等式求范围．
[巩固训练5] [2023·河北唐山模拟]已知椭圆E：＝1(a>b>0)的离心率为，点P(1，)在E上，不经过点P的直线l：y＝kx＋m与E交于不同的两点A，B.
(1)求E的方程；
(2)若直线PA与直线PB的斜率之和为0，求k的值及m的取值范围．
