开篇 把脉考向 精准定位
精准定位一 基础性——遵循考纲 难易适中
1．解析：因为(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，所以该复数在复平面内对应的点为(6，8)，位于第一象限，故选A.
答案：A
2．解析：方法一 设g(x)＝ln ，易知g(x)的定义域为，且g(－x)＝ln ＝ln ＝－ln ＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．若f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0，故选B.
方法二 因为f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，f(－1)＝(a－1)ln 3，f(1)＝(a＋1)ln ＝－(a＋1)ln 3，所以(a－1)ln 3＝－(a＋1)ln 3，解得a＝0，故选B.
答案：B
3．解析：若{an}为等差数列，设其公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，所以Sn＝na1＋d，所以＝a1＋(n－1)·，所以＝a1＋(n＋1－1)·－[a1＋(n－1)·]＝，为常数，所以{}为等差数列，即甲 乙；若{}为等差数列，设其公差为t，则＝＋(n－1)t＝a1＋(n－1)t，所以Sn＝na1＋n(n－1)t，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝na1＋n(n－1)t－[(n－1)a1＋(n－1)(n－2)t]＝a1＋2(n－1)t，当n＝1时，S1＝a1也满足上式，所以an＝a1＋2(n－1)t(n∈N*)，所以an＋1－an＝a1＋2(n＋1－1)t－[a1＋2(n－1)t]＝2t，为常数，所以{an}为等差数列，即甲 乙．所以甲是乙的充要条件，故选C.
答案：C
4．解析：由题，a2＝9，b2＝4，则＝2a＝6，所以·2＝9(当且仅当＝＝3时，等号成立)．故选C.
答案：C
5．解析：方法一 由题意可知，F1(－c，0)，F2(c，0)，设A(x1，y1)，B(0，y0)，所以 (x1－c，y1)，＝(－c，y0)，因为＝－，所以，即，所以A(c，－y0)．
＝(c，－y0)，＝(c，y0)，因为⊥，所以·＝0，即＝0，解得＝4c2.
因为点A(c，－y0)在双曲线C上，所以＝1，又＝4c2，所以＝1，即＝1，化简得＝，所以e2＝1＋＝，所以e＝.
方法二 由前面方法一得＝4c2，所以|AF1|＝＝＝＝，|AF2|＝＝＝＝，由双曲线的定义可得|AF1|－|AF2|＝2a，即＝2a，即c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝＝.
方法三 由＝－可得A，B，F2三点共线，且F2在线段AB上，不妨令点A在第一象限，则点B在y轴负半轴上，易得|F2A|＝|F2B|.设|F2B|＝3m(m>0)，则|F2A|＝2m，所以|F1B|＝|F2B|＝3m，|AB|＝5m，由⊥可得∠AF1B＝90°，所以|AF1|＝＝4m，所以2a＝|AF1|－|AF2|＝2m，即a＝m.过F1作F1D⊥AB，垂足为D，则|AB|·|F1D|＝|F1A|·|F1B|，即×5m×|F1D|＝×4m×3m，所以|F1D|＝m，所以|BD|＝＝m，所以|F2D|＝m，则|F1F2|＝＝m＝2c，即c＝m，所以e＝＝.
答案：
6．解析：P(甲)＝，P(乙)＝，P(丙)＝，P(丁)＝＝，
P(甲丙)＝0≠P(甲)P(丙)，P(甲丁)＝＝P(甲)P(丁)，
P(乙丙)＝≠P(乙)P(丙)，P(丙丁)＝0≠P(丙)P(丁)，
故选B.
答案：B
7．解析：由题意可知P(X>2)＝0.5，所以P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2
答案：0.14
8．解析：取x1＝1，x2＝x3＝x4＝x5＝2，x6＝9，则x2，x3，x4，x5的平均数等于2，标准差为0，x1，x2，…，x6的平均数等于3，标准差为 ＝，故A，C均不正确；根据中位数的定义，将x1，x2，…，x6按从小到大的顺序进行排列，中位数是中间两个数的算术平均数，由于x1是最小值，x6是最大值，故x2，x3，x4，x5的中位数是将x2，x3，x4，x5按从小到大的顺序排列后中间两个数的算术平均数，与x1，x2，…，x6的中位数相等，故B正确；根据极差的定义，知x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差，故D正确．综上，选BD.
答案：BD
9．解析：如图(1)，连接B1C.因为DA1∥CB1，BC1⊥CB1，所以直线BC1与DA1所成的角为90°，所以A正确．
如图(2)，连接B1C.因为BC1⊥B1C，BC1⊥A1B1，B1C＝B1，B1C，A1B1 平面A1B1C，所以BC1⊥平面A1B1C，所以BC1⊥CA1，所以B正确，如图(3)，连接A1C1，交B1D1于点O，连接BO，A1B.易证A1C1⊥平面BDD1B1，所以∠C1BO为直线C1B与平面BDD1B1所成的角，∠C1BO＝30°，所以C错误．
如图(4)，因为C1C⊥平面ABCD，所以∠C1BC为直线BC1与平面ABCD所成的角，且∠C1BC＝45°，所以D正确．故选ABD.
答案：ABD
10．解析：方法一 因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝{x|x≥3或x≤－2}，所以M＝{－2}，故选C.
方法二 由于1N，所以1M排除A，B；由于2N，所以2M排除D.故选C.
答案：C
11．解析：因为z＝＝＝－i，所以＝i，所以z－＝－i－i＝－i.故选A.
答案：A
12．解析：因为a＝(3，4)，b＝(1，0)，所以c＝a＋tb＝(3＋t，4)．由题意，得cos 〈a，c〉＝cos 〈b，c〉，即＝，解得t＝5.故选C.
答案：C
13．解析：由|a－b|＝，得a2－2a·b＋b2＝3，即2a·b＝a2＋b2－3 ①.由|a＋b|＝|2a－b|，得a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得，3a2－6a·b＝0，结合①，得＋b2－3)＝0，整理得，b2＝3，所以|b|＝.
答案：
14．解析：因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，因为(a＋λb)⊥(a＋μb)，所以(a＋λb)·(a＋μb)＝0，所以(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.故选D.
答案：D
15．解析：因为BD＝2DA，所以＝＝＋3＝＋3()＝－2＋3＝－2m＋3n.故选B.
答案：B
16．解析：因为＜T＜π，所以＜＜π.又因为ω＞0，所以2＜ω＜3.因为y＝f(x)的图象关于点(，2)中心对称，所以b＝2，ω＋＝kπ，k∈Z，所以ω＝－k，k∈Z.令2＜－k＜3，解得＜k＜.又因为k∈Z，所以k＝4，所以ω＝.所以f(x)＝sin (x＋)＋2，所以f()＝sin ()＋2＝1.故选A.
答案：A
17．解析：方法一 设β＝0，则sin α＋cos α＝0，即tan α＝－1.取α＝，排除A，B.设α＝0，则sin β＋cos β＝2sin β，即tan β＝1.取β＝，排除D.故选C.
方法二 因为sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝·sin (α＋β＋)＝sin [(α＋)＋β]＝sin (α＋)·cos β＋cos (α＋)sin β＝2cos (α＋)sin β，所以sin (α＋)cos β＝cos (α＋)sin β，所以sin (α＋)cos β－cos (α＋)sin β＝0，即sin (α＋－β)＝0.所以sin (α－β＋)＝sin (α－β)＋cos (α－β)＝0，即sin (α－β)＝－cos (α－β)，所以tan (α－β)＝－1.故选C.
方法三 因为sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2·cos (α＋)sin β，所以sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝2sin β(cos α－sin α)＝2sin βcos α－2sin αsin β，所以cos αcos β＋sin αsin β＝－sin αcos β＋sin βcos α，所以cos (α－β)＝－sin (α－β)，所以tan (α－β)＝－1.故选C.
答案：C
18．解析：依题意，得，
所以sin αcos β＝，所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝＝，所以cos (2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×＝，故选B.
答案：B
19．解析：方法一 由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有＝64(种)．
方法二 若学生从这8门课中选修2门课，则有＝16(种)选课方案；若学生从这8门课中选修3门课，则有＝48(种)选课方案．综上，不同的选课方案共有16＋48＝64(种)．
答案：64
20．解析：(1－)(x＋y)8＝(x＋y)8－(x＋y)8，由二项式定理可知其展开式中x2y6的系数为＝－28.
答案：－28
21．解析：设bn＝2n－1，cn＝3n－2，bn＝cm，则2n－1＝3m－2，得n＝＝＝＋1，于是m－1＝2k，k∈N，所以m＝2k＋1，k∈N，则ak＝3(2k＋1)－2＝6k＋1，k∈N，得an＝6n－5，n∈N*.故Sn＝×n＝3n2－2n.
答案：3n2－2n
22．解析：方法一 设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由题意易知q≠1，则，化简整理得.所以S8＝＝×(1－44)＝－85.故选C.
方法二 易知S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，……为等比数列，所以(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，解得S2＝－1或S2＝.当S2＝－1时，由(S6－S4)2＝(S4－S2)·(S8－S6)，解得S8＝－85；当S2＝时，结合S4＝－5得，化简可得q2＝－5，不成立，舍去．所以S8＝－85，故选C.
答案：C
23．解析：
方法一 如图所示，设点O1，O分别为正四棱台ABCD A1B1C1D1上、下底面的中心，连接B1D1，BD，则点O1，O分别为B1D1，BD的中点，连接O1O，则O1O即正四棱台ABCD A1B1C1D1的高，过点B1作B1E⊥BD，垂足为E，则B1E＝O1O.因为AB＝2，A1B1＝1，所以OB＝，O1B1＝，所以BE＝OB－OE＝OB－O1B1＝，又AA1＝，所以BB1＝，B1E＝＝＝，所以O1O＝，所以＝×(22＋12＋)×＝.
方法二 如图，将正四棱台ABCD A1B1C1D1补形成正四棱锥P ABCD，因为AB＝2，A1B1＝1，AB∥A1B1，所以A1，B1，C1，D1分别为PA，PB，PC，PD的中点，又A1A＝，所以PA＝2，即PB＝2.连接BD，取BD的中点为O，连接PO，则PO⊥平面ABCD，易知BO＝，所以PO＝＝，所以正四棱台ABCD A1B1C1D1的高为，所以＝×(22＋12＋)×＝.
答案：
24．解析：方法一 由已知得e1＝，e2＝＝，因为e2＝e1，所以＝，得a＝.故选A.
方法二 若a＝，则e1＝＝＝，又e2＝，所以e2＝e1，所以a＝符合题意．故选A.
答案：A
25．解析：·＝||·||·cos ∠PAB＝2||cos ∠PAB，又||cos ∠PAB表示在方向上的投影，所以结合图形可知，当P与C重合时投影最大，当P与F重合时投影最小．又·＝2×2×cos 30°＝6，·＝2×2×cos 120°＝－2，故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时，·∈(－2，6)，故选A.
答案：A
26．解析：圆2＋2＝16的圆心为M，半径为4，
直线AB的方程为＝1，即x＋2y－4＝0，
圆心M到直线AB的距离为＝＝>4，
所以，点P到直线AB的距离的最小值为－4<2，最大值为＋4<10，A选项正确，B选项错误；
如图所示：
当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP、BM，可知PM⊥PB，
＝＝＝4，由勾股定理可得＝ ＝3，CD选项正确．
故选ACD.
答案：ACD
27．解析：(1)f′(x)＝aex－1，
当a≤0时，f′(x)≤0，
所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；
当a>0时，令f′(x)>0，得x>－ln a，令f′(x)<0，得x<－ln a，
所以函数f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增．
综上可得：当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；
当a>0时，函数f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增．
(2)方法一 由(1)得当a>0时，函数f(x)＝a(ex＋a)－x的最小值为f(－ln a)＝a(e－ln a＋a)＋ln a＝1＋a2＋ln a，
令g(a)＝1＋a2＋ln a－2ln a－＝a2－ln a－，a∈(0，＋∞)，
所以g′(a)＝2a－，令g′(a)>0，得a>；令g′(a)<0，得0所以函数g(a)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，
所以函数g(a)的最小值为g()＝()2－ln ＝ln >0，
所以当a>0时，f(x)>2ln a＋成立．
方法二 当a>0时，由(1)得，f(x)min＝f(－ln a)＝1＋a2＋ln a，
故欲证f(x)>2ln a＋成立，
只需证1＋a2＋ln a>2ln a＋，
即证a2－>ln a.
构造函数u(a)＝ln a－(a－1)(a>0)，
则u′(a)＝－1＝，所以当a>1时，u′(a)<0；当00.
所以函数u(a)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
所以u(a)≤u(1)＝0，即ln a≤a－1，
故只需证a2－>a－1，即证a2－a＋>0，
因为a2－a＋＝(a－)2＋>0恒成立，
所以当a>0时，f(x)>2ln a＋成立．
28．解析：由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：
＝＝≈0.42＝42%.故选C.
答案：C
29．解析：因为Lp＝20×lg 随着p的增大而增大，且∈[50，60]，所以，所以≥，故A正确；由Lp＝20×lg ，得p＝>10，所以>20，不可能成立，故B不正确；因为＝＝＋2≥1，所以p1≤100，故D正确．综上，选ACD.
答案：ACD
精准定位二 综合性——着眼题型 凸显能力
1．解析：因为函数f(x)＝aex－ln x，所以f′(x)＝aex－.因为函数f(x)＝aex－ln x在(1，2)单调递增，所以f′(x)≥0在(1，2)恒成立，即aex－≥0在(1，2)恒成立，易知a>0，则0<≤xex在(1，2)恒成立．设g(x)＝xex，则g′(x)＝(x＋1)ex.当x∈(1，2)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以在(1，2)上，g(x)>g(1)＝e，所以≤e，即a≥＝e－1，故选C.
答案：C
2．解析：对于选项A，∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，∴a2＋b2≥，正确；对于选项B，易知02－1＝，正确；对于选项C，令a＝，b＝，则log2＋log2＝－2+log2<－2，错误；对于选项D，∵＝－()2＝a＋b－2＝()2≥0，∴，正确．故选ABD.
答案：ABD
3．解析：设f(x)＝(1－x)ex－1，x＞0，则当x＞0时，f′(x)＝－ex＋(1－x)ex＝－xex＜0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(0.1)＜f(0)＝0，即0.9 e0.1－1＜0，所以＜，即a＜b.令g(x)＝x－ln (1＋x)，x＞0，则当x＞0时，g′(x)＝1－＝＞0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以g()＞g(0)＝0，即－ln (1＋)＞0，所以＞－ln ，即b＞c.令h(x)＝xex＋ln (1－x)，0＜x≤0.1，则h′(x)＝(1＋x)·ex＋＝.设t(x)＝(x2－1)ex＋1，则当0＜x≤0.1时，t′(x)＝(x2＋2x－1)ex＜0，所以t(x)在(0，0.1]上单调递减，所以t(x)＜t(0)＝0，所以当0＜x≤0.1时，h′(x)＞0，所以h(x)在(0，0.1]上单调递增，所以h(0.1)＞h(0)＝0，即0.1e0.1＋ln 0.9＞0，所以0.1e0.1＞－ln 0.9，即a＞c，所以b＞a＞c.故选C.
答案：C
4．解析：方法一 取线段AB的中点E，连接OE(O为坐标原点)．因为|MA|＝|NB|，所以|ME|＝|NE|.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由题意可得＝＝＝－，即kOE·kAB＝－.设直线AB的方程为y＝kx＋m，k<0，m>0.令x＝0，则y＝m.令y＝0，则x＝－.所以点E的坐标为(－)，所以k×＝－k2＝－，解得k＝－，所以m2＋2m2＝12，解得m＝2，所以直线AB的方程为y＝－x＋2，即x＋y－2＝0.
方法二 设线段AB的中点为E.由|MA|＝|NB|，得E为线段MN的中点．设直线AB的方程为y＝kx＋m，k<0，m>0，则M(－，0)，N(0，m)，E(－)．将y＝kx＋m代入＝1中并整理，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0.由Δ＝6k2－m2＋3>0，得m2<6k2＋3.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝＝2·(－)，解得k＝－.又因为|MN|＝ ＝2，所以m＝2，符合题意，所以直线AB的方程为x＋y－2＝0.
答案：x＋y－2＝0
5．解析：由题意，易知直线y＝－(x－1)过点(1，0)．
对于A，因为直线经过抛物线C的焦点，所以易知焦点坐标为(1，0)，所以＝1，即p＝2，所以A选项正确．
对于B，不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1所以由两点间距离公式可得
|MN|＝＝，故B选项错误．
对于C，由以上分析易知，l的方程为x＝－1，以MN为直径的圆的圆心坐标为(，－)，半径r＝|MN|＝＝＋1，所以以MN为直径的圆与l相切，故C选项正确．
对于D，由两点间距离公式可得|MN|＝，|OM|＝，|ON|＝，故D选项错误．综上，选AC.
答案：AC
6.
解析：设该球的半径为R，则由题意知πR3＝ 36π，解得R＝3.如图，连接AC，BD，相交于点E，连接PE并延长，交球于点Q，连接QD，则PQ＝2R＝6.易知PD⊥QD，DE⊥PQ，所以由射影定理，得PD2＝PE·PQ，所以PE＝，所以DE＝＝ ，所以DC＝DE＝× ，所以正四棱锥的体积V＝＝(l4－)，则V′＝(4－)．令V′＞0，得3≤l＜2，令V′＜0，得2＜l≤3，所以V＝(l4－)在[3，2)上单调递增，在(2，3 ]上单调递减，所以Vmax＝V(2)＝.又因为V(3)＝，V(3)＝＞，所以Vmin＝，所以该正四棱锥体积的取值范围是.故选C.
答案：C
精准定位三 创新性——立足求变 变中出新
1．解析：由题意知f′(x)＝3x2－1.令f′(x)＝0，得x＝或x＝－.令f′(x)＞0，得x＜－或x＞；令f′(x)＜0，得－＜x＜.所以f(x)在(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增，在(－)上单调递减，所以f(x)有两个极值点，所以A正确．f(x)极大值＝f(－)＝－＋1＞0，f(x)极小值＝f()＝＋1＞0.当x→＋∞时，f(x)→＋∞；当x→－∞时，f(x)→－∞，所以f(x)有一个零点，所以B错误．因为f(x)＋f(－x)＝＋x＋1＝2，所以曲线y＝f(x)关于点(0，1)对称，所以C正确．令f′(x)＝3x2－1＝2，得x＝1或x＝－1，所以当切线的斜率为2时，切点为(1，1)或(－1，1)，则切线方程为y＝2x－1或y＝2x＋3，所以D错误．故选AC.
答案：AC
2．解析：(1)由对折2次共可以得到5 dm×12 dm，10 dm×6 dm，20 dm×3 dm三种规格的图形，所以对折三次的结果有：×12，5×6，10×3，20×，共4种不同规格(单位dm2)；
故对折4次可得到如下规格：×12，×6，5×3，10×，20×，共5种不同规格；
(2)由于每次对折后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对折后的图形，不论规格如何，其面积成公比为的等比数列，首项为120，第n次对折后的图形面积为120×n－1，对于第n次对折后的图形的规格形状种数，根据(1)的过程和结论，猜想为n＋1种(证明从略)，故得猜想Sn＝，
则S＝＋…＋，
两式作差得：
S＝240＋120
＝240＋
＝360－＝360－，
因此，S＝720－＝720－.
答案：720－
3．解析：设直线x－my＋1＝0为直线l，由条件知⊙C的圆心C(1，0)，半径R＝2，C到直线l的距离d＝，|AB|＝2＝2＝.由S△ABC＝，得＝，整理得2m2－5|m|＋2＝0，解得m＝±2或m＝±，故答案可以为2.
答案： (答案不唯一，可以是±，±2中任意一个)
4．解析：方案一：选条件①.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，由此可得b＝c.
由①ac＝，解得a＝，b＝c＝1.
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1.
方案二：选条件②.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，由此可得b＝c，B＝C＝，A＝.
由②c sin A＝3，所以c＝b＝2，a＝6.
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2.
方案三：选条件③.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，由此可得b＝c.
由③c＝b，与b＝c矛盾．
因此，选条件③时问题中的三角形不存在．
5．解析：(1)由题意可得解得
所以C的方程为x2－＝1.
(2)当直线PQ斜率不存在时，x1＝x2，但x1>x2>0，所以直线PQ斜率存在，所以设直线PQ的方程为y＝kx＋b(k≠0)．联立得方程组
消去y并整理，得(3－k2)x2－2kbx－b2－3＝0.
则x1＋x2＝，x1x2＝，x1－x2
＝＝.
因为x1>x2>0，
所以x1x2＝>0，即k2>3.
所以x1－x2＝.
设点M的坐标为(xM，yM)，
则yM－y2＝(xM－x2)，yM－y1＝－(xM－x1)，
两式相减，得y1－y2＝2xM－(x1＋x2)．
因为y1－y2＝(kx1＋b)－(kx2＋b)＝k(x1－x2)，
所以2xM＝k(x1－x2)＋(x1＋x2)，
解得xM＝.
两式相加，得2yM－(y1＋y2)＝(x1－x2)．
因为y1＋y2＝(kx1＋b)＋(kx2＋b)＝k(x1＋x2)＋2b，
所以2yM＝k(x1＋x2)＋(x1－x2)＋2b，
解得yM＝＝xM.
所以点M的轨迹为直线y＝x，其中k为直线PQ的斜率．
选择①②.
因为PQ∥AB，所以kAB＝k.
设直线AB的方程为y＝k(x－2)，并设点A的坐标为(xA，yA)，点B的坐标为(xB，yB)，则解得xA＝，yA＝ .
同理可得xB＝，yB＝－ .
此时xA＋xB＝，yA＋yB＝.
因为点M在AB上，且其轨迹为直线y＝x，
所以
解得xM＝＝，yM＝＝，
所以点M为AB的中点，即|MA|＝|MB|.
选择①③.
当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F(2，0)，此时点M不在直线y＝x上，与题设矛盾，故直线AB的斜率存在．
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝m(x－2)(m≠0)，并设点A的坐标为(xA，yA)，点B的坐标为(xB，yB)，则
解得xA＝，yA＝ .
同理可得xB＝，yB＝－ .
此时xM＝＝，yM＝＝.由于点M同时在直线y＝x上，故6m＝·2m2，解得k＝m，因此PQ∥AB.
选择②③.因为PQ∥AB，所以kAB＝k.
设直线AB的方程为y＝k(x－2)，并设点A的坐标为(xA，yA)，点B的坐标为(xB，yB)，
则解得xA＝，yA＝ .
同理可得xB＝，yB＝－ .
设AB的中点为C(xC，yC)，则xC＝＝，yC＝＝.
因为|MA|＝|MB|，所以点M在AB的垂直平分线上，即点M在直线y－yC＝－(x－xC)上．
将该直线方程与y＝x联立，解得xM＝＝xC，yM＝＝yC，即点M恰为AB的中点，所以点M在直线AB上．
精准定位四 应用性——融入素养 特色鲜明
1．解析：本题考查回归方程及一次函数、二次函数、指数型函数、对数型函数的图象，观察散点图可知，散点图用光滑曲线连接起来比较接近对数型函数的图象．故选D.
答案：D
2．解析：由棱台的体积公式，得增加的水量约为×(157.5－148.5)×(140×106＋180×106＋)＝3×106×(140＋180＋60)≈3×106×(140＋180＋60×2.65)≈1.4×109(m3)．故选C.
答案：C
3．解析：不妨设该校学生总人数为100，既喜欢足球又喜欢游泳的学生人数为x，则100×96%＝100×60%－x＋100×82%，所以x＝46，所以既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.选C.
答案：C
4．解析：由题意，发0收1的概率为α，发0收0的概率为1－α；发1收0的概率为β，发1收1的概率为1－β.对于A，发1收1的概率为1－β，发0收0的概率为1－α，发1收1的概率为1－β，所以所求概率为(1－α)(1－β)2，故A选项正确．对于B，相当于发了1，1，1，收到1，0，1，则概率为(1－β)β(1－β)＝β(1－β)2，故B选项正确．对于C，相当于发了1，1，1，收到1，1，0或1，0，1或0，1，1或1，1，1，则概率为(1－β)3＝3β(1－β)2＋(1－β)3，故C不正确．对于D，发送0，采用三次传输方案译码为0，相当于发0，0，0，收到0，0，1或0，1，0或1，0，0或0，0，0，则此方案的概率P1＝(1－α)3＝3α(1－α)2＋(1－α)3；发送0，采用单次传输方案译码为0的概率P2＝1－α，当0<α<0.5时，P1－P2＝3α(1－α)2＋(1－α)3－(1－α)＝α(1－α)(1－2α)>0，故D选项正确．综上，选ABD.
答案：ABD
第一部分 专题攻略
专题一 小题专攻
第一讲 集合、常用逻辑用语
微专题1 集合
保分题
1．解析：由＜4，得0≤x＜16，即M＝{x|0≤x＜16}．易得N＝，所以M＝.故选D.
答案：D
2．解析：依题意，有a－2＝0或2a－2＝0.当a－2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A B；当2a－2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，满足A B.所以a＝1，故选B.
答案：B
3．解析：方法一 M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以M＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以 U(M＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数，即 U(M＝{x|x＝3k，k∈Z}，故选A.
方法二 集合M表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集，故选A.
答案：A
4．解析：M＝{x|x<2}，所以 U(M＝{x|x≥2}，故选A.
答案：A
提分题
[例1] 解析：(1)由题设A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x>0}，
所以A＝(0，1].故选C.
解析：(2)根据新定义，数集A，B，定义A＋B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，A÷B＝，集合A＝{1，2}，(A＋A)＝{2，3，4}，(A＋A)÷A＝{1，2，3，4，}，则可知所有元素的和为.故选D.
解析： A＝{x|x2－4≤0}＝{x|－2≤x≤2}，
B＝{x||x－a|<1}＝{x|a－1因为B A，
所以，解得－1≤a≤1.故选B.
答案：C
答案：D
答案：B
[巩固训练1] 解析：由补集的概念， UA表示的区域如下图所示阴影区域，
∴( UA)表示的区域为下图所示阴影区域，
即为图中的区域Ⅳ.故选D.
(2) 解析：由题意得B＝{－1，0，1}，所以集合B的真子集个数为23－1＝7.故选C.
(3) 解析：因为A＝{x|x>a}，所以 RA＝{x|x≤a}，
又( RA)＝B，所以B RA，
又B＝{x|x即实数a的取值范围为[0，1].故选A.
答案：D
答案：C
答案：A
微专题2 常用逻辑用语
保分题
1．解析： x∈R，ex≥x＋1的否定是 x∈R，ex答案：D
2．解析：存在量词命题的否定为全称量词命题，所以 p为 x>0，sin x≤1＋cos x．故选C.
答案：C
3．解析：构造函数f(x)＝ex－x－1，f(0)＝0，f′(x)＝ex－1，所以f(x)在区间(－∞，0)上f′(x)<0，递减，在(0，＋∞)上f′(x)>0，递增．所以f(x)在x＝0处取得极小值也即是最小值，所以f(x)≥f(0)＝0，即ex－x－1≥0，ex≥x＋1.所以A选项正确，B选项错误．
当x＝－1时，2x当x>0时，x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时等号成立，所以D选项错误．故选A.
答案：A
4．解析：若a＝1，b＝－1，满足<1，此时a>b，排除充分性，
若a＝－2，b＝－1，满足a1，排除必要性．故选D.
答案：D
5．解析：由线面垂直的性质知，若m⊥α，n α，则m⊥n成立，即充分性成立；根据线面垂直的定义，m必须垂直平面α内的两条相交直线，才有m⊥α，即必要性不成立．故选A.
答案：A
6．解析：当{an}的公差d＝0时，由a2＋a5＝a3＋am，得m是任意的正整数，
由m＝4，得a2＋a5＝a3＋am，
则“a2＋a5＝a3＋am”是“m＝4”的必要不充分条件．故选A.
答案：A
提分题
[例2] (1) 解析：因为命题p： x∈R，x2＋2x＋2－a<0，
所以 p： x∈R，x2＋2x＋2－a≥0，
又因为p为假命题，所以 p为真命题，
即 x∈R，x2＋2x＋2－a≥0恒成立，
所以Δ≤0，即22－4(2－a)≤0，
解得a≤1.故选D.
(2) 解析：函数f(x)＝ax为增函数，则 a>1 ，此时a－1>0，故函数g(x)＝xa－1在(0，＋∞)上单调递增；当g(x)＝xa－1在(0，＋∞)上单调递增时，a－1>0，所以a>1，故f(x)＝ax为增函数．故选C.
(3) 解析：对于A，如果> ，例如a＝－2，b＝－1 ，则－>－1 ，不能推出a>b>0 ，如果a>b>0 ，则必定有< ，既不是充分条件也不是必要条件，错误；对于B，如果ln (a＋1)>ln (b＋1) ，根据对数函数的单调性可知a＋1>b＋1，a>b，但不能推出a>b>0 ，例如a＝1，b＝－0.5 ，不是充分条件，如果a>b>0 ，则a＋1>b＋1>0，∴ln (a＋1)>ln (b＋1)，是必要条件，即ln (a＋1)>ln (b＋1) 是a>b>0的必要不充分条件，错误；对于C，如果a3>b3 ，因为y＝x3 是单调递增的函数，所以a>b ，不能推出a>b>0 ，例如a＝－1，b＝－2，如果a>b>0 ，则必有a3>b3 ，是必要不充分条件，错误；对于D，如果> ，则必有a>b≥1>0 是充分条件，如果a>b>0 ，例如a＝1，b＝0.5 ，则不能推出> ，所以是充分不必要条件，正确．故选D.
答案：D
答案：C
答案：D
[巩固训练2] (1) 解析：若f(x)＝ln (＋ax)为奇函数，
则f(x)＋f(－x)＝ln (＋ax)＋ln (－ax)＝ln ＝0，
∴1－a2＝0，
解得a＝±1，经检验，符合题意，
∴“a＝1”是“f(x)＝ln (＋ax)为奇函数”的充分不必要条件．
(2) 解析：甲等价于sin2α＝1－sin2β＝cos2β，等价于sinα＝±cos β，所以由甲不能推导出sin α＋cos β＝0，所以甲不是乙的充分条件；由sin α＋cos β＝0，得sin α＝－cos β，平方可得sin2α＝cos2β＝1－sin2β，即sin2α＋sin2β＝1，所以由乙可以推导出甲，则甲是乙的必要条件．综上，选B.
(3) 解析：由条件可知“ x∈R，x2－6ax＋3a≥0”为真命题，
则Δ＝36a2－12a≤0，即0≤a≤.
答案：A
答案：B
答案：
第二讲 不等式
微专题1 不等式的性质
保分题
1．解析：因为x＝－a2－2a＋3，y＝4－3a，
所以x－y＝－a2＋a－1＝－－<0，故x答案：A
2．解析：不妨取a＝2，b＝1，c＝－1，则(a－b)c＝－1<0，故A错误；由a>b>0得<，又c<0，所以>，故B正确；当a＝2，b＝1，c＝－1时，a－b＝1，a－c＝3，故C错误；当b＋c＝0时，没有意义，故D错误．故选B.
答案：B
3．解析：因为a令a＝－2，b＝－1，可知
由指数函数单调性易知，2a<2b，故A正确；ab>b2，故B错误；a2>b2，故C错误；>1，故D错误．故选A.
答案：A
提分题
[例1] 解析：∵<<0，∴ba3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)，
∵a－b>0，a2＋ab＋b2>0，∴a3－b3>0，则a3>b3，A错误；
∵b0，∴a2b>ab2，B正确；
∵b0，>0，∴≥2＝2(当且仅当a＝b时取等号)，
又a≠b，∴等号不成立，即>2，C正确；
∵b答案：BCD
[巩固训练1] (1) 解析：当c＝0，a＝－1，b＝2时满足ac2≥bc2，但a，但a>b，所以B错误；由不等式的基本性质易知a＋c>0，当a＝－1，b＝，c＝2时满足a＋b>0，c－b>0，但a0，所以>，故D正确．故选D.
(2) 解析：因为－1≤b≤4，所以－8≤－2b≤2，由1≤a≤2，得－7≤a－2b≤4.故选A.
答案：D
答案：A
微专题2 不等式的解法
保分题
1．解析：由A＝，B＝，
所以集合A＝{x|－3所以A＝{x|－2答案：D
2．解析：由题意关于x的不等式x2＋ax＋a＋3>0的解集为R，则Δ＝a2－4(a＋3)<0 ，解得－2答案：A
3．解析：不等式ax2－5x＋b<0的解集为{x|－2所以，解得，不等式bx2－5x＋a<0为－30x2－5x＋5<0，即6x2＋x－1>0，x<－或x>.故选D.
答案：D
提分题
[例2] (1) 解析：因为对任意的x∈[－1，0]，－2x2＋4x＋2＋m≥0恒成立，
所以对任意的x∈[－1，0]，m≥2x2－4x－2恒成立，
因为当x∈[－1，0]，y＝2(x－1)2－4∈[－2，4]，
所以m≥(2x2－4x－2)max＝4，x∈[－1，0]，
即m的取值范围是[4，＋∞)．故选A.
(2) 解析：令f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，
则不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立转化为f(a)>0在a∈[－1，1]上恒成立．
∴有，即，
整理得：，
解得：x<1或x>3.
∴x的取值范围为(－∞，1)故选C.
(3) 解析：令f(x)＝x2－4x－2－a，
则函数的图象为开口朝上且以直线x＝2为对称轴的抛物线，
故在区间(1，4)上，f(x)若不等式x2－4x－2－a>0在区间(1，4)内有解，
则－2－a>0，
解得a<－2，
即实数a的取值范围是(－∞，－2)．故选B.
答案：A
答案：C
答案：B
[巩固训练2] (1) 解析：若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈恒成立，则a≥－，即a≥，y＝－在单调递增，ymax＝－，所以a≥－.故选C.
(2) 解析：由不等式x2－ax＋7>0在(2，7)上有实数解，
等价于不等式a因为函数f(x)＝x＋在(2，)上单调递减，在(，7)单调递增，
又由f(2)＝2＋＝，f(7)＝7＋＝8，
所以f(x)max答案：C
答案：A
微专题3 基本不等式
保分题
1．解析：当与为负数时，≥2显然不成立，选项A不正确；
因为x不一定为正数，当x为负数时，x＋≥4显然不成立，选项B不正确；
令sin2α＝t∈(0，1]，所以t＋的最小值为3，当且仅当sin2α＝1时，取到最小值，选项C不正确；
x2＋＝x2＋2＋－2，因为x2＋2≥2，所以x2＋2＋－2≥2＋－2＝，当且仅当x＝0时，取到最小值，选项D正确．故选D.
答案：D
2．解析：因为x>2，所以x－2>0，>0，
由基本不等式得y＝x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝4，
当且仅当x－2＝，即x＝3时，等号成立，
则y的最小值为4.故选C.
答案：C
3．解析：因为x＋3y＝1，所以＝(x＋3y)＝15＋.
因为x，y>0，所以≥2＝12，当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立，
所以的最小值为27.故选C.
答案：C
提分题
[例3] (1) 解析：由题意可知2a＋b＝1，
则＝＝＋1≥2＋1＝2＋1，
当且仅当a＝，b＝－1时，
的最小值为2＋1.故选A.
(2) 解析：由x2＋y2－xy＝1，得(x－)2＋(y)2＝1.令则所以x＋y＝sin θ＋cos θ＝2sin (θ＋)∈[－2，2]，所以A错误，B正确．x2＋y2＝(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ)2＝sin 2θ－cos 2θ＋＝sin (2θ－)＋∈[，2]，所以C正确，D错误．故选BC.
答案：A
答案：BC
[巩固训练3] (1) 解析：由已知3x＋9y＝18可得3x＋32y＝18，
则18＝3x＋32y≥2＝2，即3x＋2y≤81，
所以x＋2y≤4，当且仅当x＝2y＝2时取等号，即x＝2，y＝1，此时xy＝2.故选B.
(2) 解析：依题意，因为a＋b＝2，所以(a＋1)＋(b＋1)＝4，则＝[(a＋1)＋(b＋1)]
＝×(2×4＋10)＝，当且仅当a＝，b＝时，等号成立．故选C.
答案：B
答案：C
第三讲 复数、平面向量
微专题1 复数
保分题
1．解析：∵(a＋i)(1－ai)＝a＋i－a2i－ai2＝2a＋(1－a2)i＝2，∴2a＝2且1－a2＝0，解得a＝1，故选C.
答案：C
2．解析：＝＝＝，所以该复数对应的点为，该点在第一象限，故选A.
答案：A
3．解析：方法一 因为i(1－z)＝1，所以z＝1－＝1＋i，所以＝1－i，所以z＋＝2.故选D.
方法二 因为i(1－z)＝1＝－i2＝i·(－i)，所以1－z＝－i，所以z＝1＋i，所以＝1－i，所以z＋＝(1＋i)＋(1－i)＝2.故选D.
答案：D
4．解析：z＝＝＝＝1－2i，所以＝1＋2i.故选B.
答案：B
提分题
[例1] (1) 解析：由题得＝＝＝＝2＋i，即复平面内对应的点为(2，1)，在第一象限．故选A.
(2) 解析：取z1＝3＋i，z2＝1＋i时，z1－z2＝2>0，但虚数不能比较大小，故A项错误；
由|z1|＝|z2|，得|z1|2＝|z2|2.又＝＝|z2|2，所以＝，故B项正确；因为＝>1，所以|z1|>|z2|，故C项正确；取z1＝1，z2＝i，满足＝0，但是z1≠z2≠0，故D项错误．故选BC.
答案：A
答案：BC
[巩固训练1] (1) 解析：由题意得z＝i·(3－i)＝1＋3i，所以＝1－3i，故选D.
(2) 解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
∵＝＝i为纯虚数，
∴，∴a＝－b，a≠0，b≠0，
又||＝|a－bi|＝＝＝2，∴b2＝2，解得：b＝±，
∴z的虚部为±.故选B.
答案：D
答案：B
微专题2 平面向量的线性运算
保分题
1．解析：因为a∥b，所以3x2－1－2x＝0，解得x＝1或x＝－.故选A.
答案：A
2．解析：依题意作图，则＝＝＋2＝＋2()＝2＋3＝－2＋3 .故选D.
答案：D
3．解析：因为M是CD边上的中点，所以＝－，
所以＝＝，
所以2＝2.故选C.
答案：C
提分题
[例2] (1) 解析：依题意，显然△APB∽△DPC，故有＝＝＝，
即AP＝2PC，PB＝2PD，则＝2，故A正确；
又四边形ABCD是等腰梯形，故AP＝PB，即||＝2||，故B正确；
在△ABD中，＝＝＝)＝，故C正确；
又＝＝＝，所以D错误．故选D.
(2) 解析：以{}为基底向量，则可得：
＝＝＝＝＝＝，
因为＝λ＋μ，即＝λ＋μ＝λ＋μ＝，
可得，两式相加得(λ＋μ)＝，可得λ＋μ＝.
答案：D
答案：
[巩固训练2] (1) 解析：因为＝2，所以＝，
所以＝＝，又＝λ＋μ，所以，∴λ＋μ＝.故选C.
(2) 解析：因为＝，所以＝)，即＝，
于是得点M 在边 BC 上，并且||＝||，
所以＝＝.
答案：C (2)
微专题3 平面向量的数量积
保分题
1．解析：依题意可得·(a－7b)＝＝0，即1－a·b－＝－a·b－＝0，则a·b＝－.故选B.
答案：B
2．解析：因为向量b＝(6，－8)，且a·b＝10，那么|b|＝＝10，
所以向量a在向量b上的投影向量为|a|cos 〈a，b〉·＝·＝.故选D.
答案：D
3．解析：∵|m|＝＝1，|n|＝ ＝2，
∴cos θ＝＝－，又θ∈[0，π]，∴sin θ＝＝，
∴|m×n|＝|m||n|sinθ＝.
故选D.
答案：D
提分题
[例3] 解析：
建立如图所示直角坐标系：
则A(0，1)，B(0，0)，C(2，0)，D(2，1)，
设E(x，y)，则＝(x，y－1)，＝(x，y)，＝(2，1)
∵AE⊥BD，∴⊥且∥，
∴，解得，
∴E＝＝，
在矩形ABCD中，O为BD的中点，
所以O，由A(0，1)，
所以＝，
·＝×1＋＝.故选D.
(2) 解析：由线段EF的中点为点B，得出＝－.
·＝()·()＝()·()＝||2－||2＝||2－9.当点P位于点A或点C时，||取最大值8.
当点P位于AC的中点时，||取最小值，即||min ＝8sin ＝4，
∴||的取值范围为，∴·的取值范围为[39，55].
答案：D (2)[39，55]
[巩固训练3] (1) 解析：如图，以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，则D(0，1)，E，O，所以＝＝，所以·＝＝.故选C.
(2) 解析：在平面直角坐标系内，令a＝(1，0)，设b＝(x1，y1)，c＝(x2，y2)，
由a·b＝1，得x1＝1，由a·c＝－1，得x2＝－1，由b·c＝0，得x1x2＋y1y2＝0，即y1y2＝1，
b＋c＝(x1＋x2，y1＋y2)＝(0，y1＋y2)，
则|b＋c|＝＝＝2，当且仅当y1＝y2＝1或y1＝y2＝－1时取等号，
所以|b＋c|的最小值为2.
答案：C (2)2
第四讲 排列、组合、二项式定理
微专题1 排列问题
保分题
1．解析：根据题意，要使组成无重复数字的三位数为偶数，则从0，2中选一个数字为个位数，有2种可能，从1，3，5中选两个数字为十位数和百位数，有＝3×2＝6种可能，故这个无重复数字的三位数为偶数的个数为2×6＝12.故选C.
答案：C
2．解析：先排第一列，由于每列的字母互不相同，因此共有＝3×2×1＝6种不同的方法；再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法，因此共有6×2×1＝12(种)不同的方法．故选A.
答案：A
3．解析：由题意可将甲、乙两人看作一个整体，和除甲乙丙丁外的其余两人全排列，
有＝12种排法，再从这3人(甲乙看作一个人)排好后形成的4个空中选2个排丙、丁，
故共有＝144种站法．故选A.
答案：A
4．解析：甲、乙二人先选1种相同的课外读物，有＝6(种)情况，再从剩下的5种课外读物中各自选1本不同的读物，有＝20(种)情况，由分步乘法计数原理可得共有6×20＝120(种)选法，故选C.
答案：C
提分题
[例1] (1) 解析：当甲排第1棒时，乙可排第2棒或第4棒，共有＝24种；
当甲排第2棒时，乙只能排第4棒，共有＝12.
故甲、乙都参加的不同棒次安排方案总数为24＋12＝36种．
故选B.
(2) 解析：若乙和丙在相邻两天参加服务，不同的排法种数为
＝48，
由间接法可知，满足条件的排法种数为240－48＝192种．
故选D.
答案：B
答案：D
[巩固训练1] (1) 解析：由题意先排十分位必为1，一种方法，再排百分位可以为1或2，两种方法，最后排其余后面的数位，余下的五个数字全排列即可，即不同种数有＝240.故选C.
(2) 解析：根据题意，分两步完成：
因为段誉同学首先游览云台山，所以第一步先将井冈山、黄山、五台山这三座山进行全排列，则有＝6种排列方法，
第二步从这三座山的4个空格中选择两个空格，将泰山和华山插进去，则有＝12种，
由分步乘法计数原理可得：段誉同学针对这六座名山的不同游览顺序共有6×12＝72种．故选C.
答案：C
答案：C
微专题2 组合问题
保分题
1．解析：由题意，初中部和高中部学生人数之比为＝，所以抽取的60名学生中初中部应有60×＝40(人)，高中部应有60×＝20(人)，所以不同的抽样结果共有
＝60.
答案：C
提分题
[例2] (1) 解析：由题意可知，向甲、乙、丙三所医院分配医生的人数有三种类型，分别为1、2、2，2、1、2，2、2、1，
因为甲医院要求至少有一名女医生，第一种方案共有
＝21种，
同理，第三种方案有21种，
所以共有54种．故选C.
(2) 解析：由于每所学校至少安排1名教师，则不同的安排情况有＝150种．故选D.
答案：C
答案：D
[巩固训练2] (1) 解析：若丙是美工，则需要从甲、乙、丙之外的三人中再选一名美工，
然后从剩余四人中选三名文案，剩余一人是总负责人，共有＝12种分工方法；
若丙不是美工，则丙一定是总负责人，
此时需从甲、乙、丙之外的三人中选两名美工，剩余三人是文案，共有种分工方法；
综上，共有12＋3＝15种分工方法．故选C.
(2) 解析：先从六名志愿者中选择两名志愿者到北京参加活动，有＝15种方法，再从剩下的4名志愿者中选择2名志愿者到延庆参加活动，有＝6种方法，最后从剩下的2名志愿者中选择2名志愿者到延庆参加活动，有＝1种方法．由分步乘法原理得共有15×6×1＝90种方法．
答案：C
答案：B
微专题3 二项式定理
保分题
1．解析：展开式的通项公式为
Tk＋1＝x－(6－k)·(－2x)k＝·x2k－6，
令2k－6＝0，可得k＝3，
故展开式的常数项为＝－160.故选A.
答案：A
2．解析：由于二项式展开式的二项式系数和为64，
所以2n＝64，n＝6.
二项式展开式的通项公式为＝·，
令6－k＝0，解得k＝4，
所以展开式中的常数项为＝15.故选B.
答案：B
3．解析：展开式的通项公式Tk＋1＝(2x3)6－k(－)k＝x18－4k，
令18－4k＝2可得，k＝4，
则x2项的系数为＝4×15＝60.
答案：60
4．解析：在的展开式中，令x＝1，得各项系数和为2n，即2n＝64，得n＝6，展开式的通项为Tk＋1＝ ＝，其中0≤k≤6，k∈N，令6－k＝0，得k＝4，因此，展开式中的常数项为T5＝·(－1)4×32＝135.
答案：135
提分题
[例3] 解析：(1) 解析：该二项式的通项公式为
Tk＋1＝·(2x)8－k·yk＝
，可得2≤k≤3.
因为·26＝·25，所以展开式中各项系数的最大值为·26＝1 792.故选D.
(2) 解析：设f(x)＝(x－1)4(x＋2)5，
则a0＝f(0)＝25＝32，
a0＋a1＋a2＋…＋a9＝f(1)＝0
a0－a1＋a2－a3＋a4－…－a9＝f(－1)＝24＝16，
所以a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝＝8，
所以a2＋a4＋a6＋a8＝8－32＝－24.故选D.
答案：D
答案：D
[巩固训练3] (1)展开式的通项为Tk＋1＝·x6－k·＝·2k·x6－2k，k＝0，1，2，…，6，
二项式系数为，k＝0，1，2，…，6，
当k＝3时，二项式系数最大，
则该项的系数为·23＝160.故选B.
(2)(3x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5中，令x＝0得a0＝－1，
(3x－1)5的通项公式Tk＋1＝(3x)5－k(－1)k，故a0，a2，a4<0，a1，a3，a5>0，
(3x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5中，
令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝(－3－1)5＝－1 024，
所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝－(a0－a1＋a2－a3＋a4－a5)＝1 024，
又|a0|＝1，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＝1 023.故选B.
答案：B
答案：B(共109张PPT)
小题专攻
答案：D
答案：B
解析：依题意，有a－2＝0或2a－2＝0.当a－2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A B；当2a－2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，满足A B.所以a＝1，故选B.
答案：A
答案：A
答案：C
答案：D
(3)[2023·山东德州三模]已知集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x||x－a|<1}，若B A，则a的取值范围是( )
A．(－1，1) B．[－1，1]
C．[－1，1) D．(－1，1]
答案：B
答案：D
(2)[2023·河南开封三模]已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{x|x＝ab，a，b∈A}，则集合B的真子集个数是( )
A．3 B．4 C．7 D．8
答案：C
解析：由题意得B＝{－1，0，1}，所以集合B的真子集个数为23－1＝7.故选C.
答案：A
微专题2 常用逻辑用语
常考常用结论
1．充分条件与必要条件
(1)若p q且qD p，则p是q的充分不必要条件．
(2)若q p且pD q，则p是q的必要不充分条件．
(3)若p q且q p，则p是q的充要条件．
(4)若pD q且qD p，则p是q的既不充分也不必要条件．
2．全称(存在)量词命题及其否定
(1)全称量词命题p： x∈M，p(x)．它的否定为 p： x∈M， p(x)．
(2)存在量词命题p： x∈M，p(x)．它的否定为 p： x∈M， p(x)．
答案：D
解析： x∈R，ex≥x＋1的否定是 x∈R，ex答案：C
解析：存在量词命题的否定为全称量词命题，所以 p为 x>0，sin x≤1＋cos x．故选C.
答案：A
答案：D
5．[2023·山东泰安一模]已知m，n是两条不重合的直线，α是一个平面，n α，则“m⊥α”是“m⊥n”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：由线面垂直的性质知，若m⊥α，n α，则m⊥n成立，即充分性成立；根据线面垂直的定义，m必须垂直平面α内的两条相交直线，才有m⊥α，即必要性不成立．故选A.
6．[2023·河北邯郸一模]在等差数列{an}中，“a2＋a5＝a3＋am”是“m＝4”的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：当{an}的公差d＝0时，由a2＋a5＝a3＋am，得m是任意的正整数，
由m＝4，得a2＋a5＝a3＋am，
则“a2＋a5＝a3＋am”是“m＝4”的必要不充分条件．故选A.
例2 .(1)[2023·江西九江二模]已知命题p： x∈R，x2＋2x＋2－a<0，若p为假命题，则实数a的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
答案：D
解析：因为命题p： x∈R，x2＋2x＋2－a<0，
所以 p： x∈R，x2＋2x＋2－a≥0，
又因为p为假命题，所以 p为真命题，
即 x∈R，x2＋2x＋2－a≥0恒成立，
所以Δ≤0，即22－4(2－a)≤0，
解得a≤1.故选D.
(2)[2023·河北衡水中学三模]已知a>0且a≠1，“函数f(x)＝ax为增函数”是“函数g(x)＝xa－1在(0，＋∞)上单调递增”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：C
解析：函数f(x)＝ax为增函数，则 a>1 ，此时a－1>0，故函数g(x)＝xa－1在(0，＋∞)上单调递增；当g(x)＝xa－1在(0，＋∞)上单调递增时，a－1>0，所以a>1，故f(x)＝ax为增函数．故选C.
答案：D
技法领悟
判断充分、必要条件时的3个关注点
1．要弄清先后顺序：“A是B的必要不充分条件”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.
2．要善于举出反例：当从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．
3．要注意转化： p是 q的必要不充分条件 p是q的充分不必要条件； p是 q的充要条件 p是q的充要条件
答案：A
(2)[2023·全国甲卷]设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sinα＋cos β＝0，则( )
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案：B
解析：甲等价于sin2α＝1－sin2β＝cos2β，等价于sinα＝±cos β，所以由甲不能推导出sin α＋cos β＝0，所以甲不是乙的充分条件；由sin α＋cos β＝0，得sin α＝－cos β，平方可得sin2α＝cos2β＝1－sin2β，即sin2α＋sin2β＝1，所以由乙可以推导出甲，则甲是乙的必要条件．综上，选B.
(3)[2023·河南郑州一模]若“ x∈R，x2－6ax＋3a<0”为假命题，则
实数a的取值范围为________．
1.[2023·河南许昌模拟]已知x＝－a2－2a＋3，y＝4－3a，则( )
A．xB．x＝y
C．x>y
D．x与y的大小无法判断
答案：A
答案：B
答案：A
答案：BCD
技法领悟
使用不等式的性质时要特别注意性质成立的条件，如不等式两端同时乘以一个数时要看该数取值情况．
答案：D
(2)已知1≤a≤2，－1≤b≤4，则a－2b的取值范围是( )
A．[－7，4] B．[－6，9]
C．[6，9] D．[－2，8]
答案：A
解析：因为－1≤b≤4，所以－8≤－2b≤2，由1≤a≤2，得－7≤a－2b≤4.故选A.
答案：D
答案：A
解析：由题意关于x的不等式x2＋ax＋a＋3>0的解集为R，则Δ＝a2－4(a＋3)<0 ，解得－2答案：D
2. (1)若对任意的x∈[－1，0]，－2x2＋4x＋2＋m≥0恒成立，则m的取值范围是( )
A．[4，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(－∞，4] D．(－∞，2]
答案：A
解析：因为对任意的x∈[－1，0]，－2x2＋4x＋2＋m≥0恒成立，
所以对任意的x∈[－1，0]，m≥2x2－4x－2恒成立，
因为当x∈[－1，0]，y＝2(x－1)2－4∈[－2，4]，
所以m≥(2x2－4x－2)max＝4，x∈[－1，0]，
即m的取值范围是[4，＋∞)．故选A.
答案：C
(3)若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2) B．(－∞，－2)
C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)
答案：B
解析：令f(x)＝x2－4x－2－a，
则函数的图象为开口朝上且以直线x＝2为对称轴的抛物线，
故在区间(1，4)上，f(x)若不等式x2－4x－2－a>0在区间(1，4)内有解，
则－2－a>0，
解得a<－2，
即实数a的取值范围是(－∞，－2)．故选B.
技法领悟
1．参数在常数位置或者变量范围恒正恒负，优先考虑参变分离：a>g(x)恒成立 a>g(x)max；ag(x)有解 a>g(x)min；a2．变更主元法，将参数看做变量．
答案：C
答案：A
答案：D
答案：C
答案：C
答案：A
(2)[2022·新高考Ⅱ卷](多选)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则( )
A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2
C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1
答案：BC
技法领悟
基本不等式的主要用途是求多元函数的最值，在使用基本不等式时注意以下两点：一是注意不等式的使用条件，特别是其中等号能否成立；二是合理变换求解目标，如常数代换法、换元法等，创造使用基本不等式的条件．
答案：B
答案：C
1．[2023·全国甲卷]设a∈R，(a＋i)(1－ai)＝2，则a＝( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案：C
解析：∵(a＋i)(1－ai)＝a＋i－a2i－ai2＝2a＋(1－a2)i＝2，∴2a＝2且1－a2＝0，解得a＝1，故选C.
答案：A
答案：D
答案：B
答案：A
答案：BC
技法领悟
复数的代数运算的基本方法是运用运算法则，可以通过对代数式结构特征的分析，灵活运用i的幂的性质、运算法则来优化运算过程．
[巩固训练1] (1)[2023·河北唐山二模]i(3－i)的共轭复数为( )
A．3＋i B．3－i
C．1＋3i D．1－3i
答案：D
答案：B
微专题2 平面向量的线性运算
常考常用结论
1．平面向量的两个法则：平行四边形法则、三角形法则．
2．平面向量的两个定理
(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa；
a∥b x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a≠0)．
(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．
答案：A
答案：D
答案：C
答案：D
技法领悟
在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理恰当地选取基底，变形要有方向，不能盲目转化．
答案：C
答案：B
答案：D
答案：D
答案：D
[39，55]
技法领悟
求平面向量的数量积的方法：(1)定义法；(2)基向量法，基底应是已知模长和夹角的向量；(3)坐标法：①已知向量坐标，②建立合适的坐标系，使用坐标法求解．
答案：C
(2)[2023·山东省实验中学一模]若平面向量a，b，c满足|a|＝1，b·c＝0，a·b＝1，a·c＝－1，则|b＋c|的最小值为________．
2
1.从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为( )
A．24 B．18 C．12 D．6
答案：C
2．[2023·安徽安庆一中模拟]将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )
A．12种 B．18种
C．24种 D．36种
答案：A
3．[2023·辽宁大连三模]现有6个同学站成一排照相，如果甲、乙两人必须相邻，而丙、丁两人不能相邻，那么不同的站法共有( )
A．144种 B．72种
C．36种 D．24种
答案：A
4．[2023·全国乙卷]甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有( )
A．30种 B．60种
C．120种 D．240种
答案：C
1.(1)[2023·山东济宁二模]为了强化学校的体育教育教学工作，提高学生身体素质，加强学生之间的沟通，凝聚班级集体的力量，激发学生热爱体育的热情．某中学举办田径运动会，某班从甲、乙等6名学生中选4名学生代表班级参加学校4×100米接力赛，其中甲只能跑第1棒或第2棒，乙只能跑第2棒或第4棒，那么甲、乙都参加的不同棒次安排方案总数为( )
A．48 B．36 C．24 D．12
答案：B
(2)[2022·山东临沂三模]某社区活动需要连续六天有志愿者参加服务，每天只需要一名志愿者，现有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，计划依次安排到该社区参加服务，要求甲不安排第一天，乙和丙在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有( )
A．72种 B．81种 C．144种 D．192种
答案：D
技法领悟
求解排列问题最常用的三种方法
1．特殊元素、位置优先安排法：对问题中的特殊元素或位置优先考虑排列，然后排列其他一般元素或位置．
2．捆绑法：相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列．
3．插空法：不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列后的空中．
[巩固训练1] (1)[2023·安徽黄山三模]为纪念我国伟大数学家祖冲之在圆周率上的贡献，国际上把3.141 592 6称为“祖率”，某教师为了增加学生对“祖率”的印象，以“祖率”为背景设计如下练习：让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分不变，那么可以得到小于3.14的不同数有( )
A．480个 B．120个
C．240个 D．720个
答案：C
(2)[2023·福建宁德模拟]泰山、华山、衡山、恒山、嵩山是中国的五大名山，并称为“五岳”，它们以象征中华民族的高大形象而名闻天下，段誉同学决定利用今年寒假时间，游览以下六座名山：泰山、华山、井冈山、黄山、云台山、五台山．若段誉同学首先游览云台山，且属于“五岳”的名山游览顺序不相邻，则段誉同学针对这六座名山的不同游览顺序共有( )
A．36种 B．48种 C．72种 D．120种
答案：C
2．[2023·安徽淮北二模]世界数学三大猜想：“费马猜想”“四色猜想”“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在1976年和1994年荣升为“四色定理”和“费马大定理”.280多年过去了，哥德巴赫猜想仍未解决，目前最好的成果“1＋2”由我国数学家陈景润在1966年取得．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和．在不超过20的质数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的选法有( )
A．28 B．21 C．15 D．10
3．[2023·河北衡水二中模拟]7名身高各不相同的同学站成一排，若身高最高的同学站在中间，且其每一侧同学的身高都依次降低，则7名同学所有不同的站法种数为( )
A．20 B．40 C．8 D．16
4．[2020·新高考Ⅰ卷]6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( )
A．120种 B．90种 C．60种 D．30种
答案：C
2.(1)[2023·河北邯郸三模]某医院安排3名男医生和2名女医生去甲、乙、丙三所医院支援，每所医院安排一到两名医生，其中甲医院要求至少安排一名女医生，则不同的安排方法有( )
A．18种 B．30种 C．54种 D．66种
答案：C
(2)[2023·山东青岛二模]某教育局为振兴乡村教育，将5名教师安排到3所乡村学校支教，若每名教师仅去一所学校，每所学校至少安排1名教师，则不同的安排情况有( )
A．300种 B．210种
C．180种 D．150种
答案：D
技法领悟
掌握有限制条件的组合应用题的常用解法及常见类型，在解有限制条件的组合应用题时，要从分析入手，明确限制条件有哪些，所给元素分几类，识别是什么基本类型，使用直接法还是间接法．
[巩固训练2] (1)[2023·山东菏泽一模]为了迎接“第32届菏泽国际牡丹文化旅游节”，某宣传团体的六名工作人员需要制作宣传海报，每人承担一项工作，现需要一名总负责，两名美工，三名文案，但甲，乙不参与美工，丙不能书写文案，则不同的分工方法种数为( )
A．9种 B．11种 C．15种 D．30种
答案：C
(2)六名志愿者到北京、延庆、张家口三个赛区参加活动，若每个赛区两名志愿者，则安排方式共有( )
A．15种 B．90种 C．540种 D．720种
答案：B
答案：A
答案：B
60
135
例3.(1)[2023·河南安阳二模](2x＋y)8的展开式中各项系数的最大值为( )
A．112 B．448 C．896 D．1 792
答案：D
(2)[2023·江西赣州一模]已知(x－1)4(x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则a2＋a4＋a6＋a8＝( )
A．40 B．8 C．－16 D．－24
答案：D
技法领悟
1．二项式定理中最关键的是通项公式，求展开式中特定的项或者特定项的系数均是利用通项公式和方程解决的．
2．二项展开式的系数之和通常是通过对二项式及其展开式中的变量赋值得出的，注意根据展开式的形式给变量赋值．
答案：B
(2)[2023·湖南雅礼中学一模]已知(3x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＝( )
A．1 024 B．1 023 C．1 025 D．512
答案：B 专题一 小题专攻
第一讲 集合、常用逻辑用语
微专题1 集合
常考常用结论
1．集合运算
A＝{x|x∈A，且x∈B}，A＝{x|x∈A，或x∈B}， UA＝{x|x∈U，且x A}，集合U表示全集．
2．子集、真子集个数计算公式
对含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n，2n－1，2n－1，2n－2.
保 分 题
1.[2022·新高考Ⅰ卷]若集合M＝{x|<4}，N＝{x|3x≥1}，则M＝( )
A．{x|0≤x<2} B．
C．{x|3≤x<16} D．
2．[2023·新课标Ⅱ卷]设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A B，则a＝( )
A．2 B．1 C． D．－1
3．[2023·全国甲卷]设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则 U (M＝( )
A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z}
C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D．
4．[2023·全国乙卷]设集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1A． U(M∪N) B.N∪(M)
C． U(M∩N) D.M∪(N)
提 分 题 先做后讲再巩固
1 .(1)[2023·河南郑州二模]已知集合A＝{x||x|≤1}，B＝{x|2x>1}，则A＝( )
A．[1，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(0，1] D．(0，1)
(2)[2023·安徽蚌埠二模]对于数集A，B，定义A＋B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，A÷B＝，若集合A＝{1，2}，则集合(A＋A)÷A中所有元素之和为( )
A． B． C． D．
(3)[2023·山东德州三模]已知集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x||x－a|<1}，若B A，则a的取值范围是( )
A．(－1，1) B．[－1，1]
C．[－1，1) D．(－1，1]
技法领悟
1．若给定的集合是不等式的解集，用数轴求解．
2．若给定的集合是点集，用图象法求解．
3．若给定的集合是抽象集合，常用Venn图求解．
[巩固训练1] (1)[2023·河北石家庄三模]如图，集合A、B均为U的子集，( UA)表示的区域为( )
A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ
(2)[2023·河南开封三模]已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{x|x＝ab，a，b∈A}，则集合B的真子集个数是( )
A．3 B．4 C．7 D．8
(3)[2023·安徽黄山三模]已知集合A＝{x|x>a}，B＝{x|xA．[0，1] B．[0，1)
C．(0，1) D．(－∞，0]
微专题2 常用逻辑用语
常考常用结论
1．充分条件与必要条件
(1)若p q且qD p，则p是q的充分不必要条件．
(2)若q p且pD q，则p是q的必要不充分条件．
(3)若p q且q p，则p是q的充要条件．
(4)若pD q且qD p，则p是q的既不充分也不必要条件．
2．全称(存在)量词命题及其否定
(1)全称量词命题p： x∈M，p(x)．它的否定为 p： x∈M， p(x)．
(2)存在量词命题p： x∈M，p(x)．它的否定为 p： x∈M， p(x)．
保 分 题 做到百分之百正确
1.[2023·河南开封一模]设命题p：≥x＋1，则 p是( )
A． x∈R，ex≤x＋1 B． x∈R，exC． x∈R，ex≤x＋1 D． x∈R，ex2．[2023·辽宁大连三模]设命题p：>1＋cos x0，则 p为( )
A． x≤0，sin x>1＋cos x
B． x>0，sin x<1＋cos x
C． x>0，sin x≤1＋cos x
D． x≤0，sin x≤1＋cos x
3．[2023·河南濮阳模拟]下列命题为真命题的是( )
A． x∈R，ex≥x＋1
B． x∈R，exC． x∈R，2x≥x2
D． x∈(0，＋∞)，x＋<2
4．[2023·安徽蚌埠一模]若a，b∈R且ab≠0，则“<1”是“aA．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．[2023·山东泰安一模]已知m，n是两条不重合的直线，α是一个平面，n α，则“m⊥α”是“m⊥n”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．[2023·河北邯郸一模]在等差数列{an}中，“a2＋a5＝a3＋am”是“m＝4”的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
提 分 题先做后讲再巩固
2 .(1)[2023·江西九江二模]已知命题p： x∈R，x2＋2x＋2－a<0，若p为假命题，则实数a的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
(2)[2023·河北衡水中学三模]已知a>0且a≠1，“函数f(x)＝ax为增函数”是“函数g(x)＝xa－1在(0，＋∞)上单调递增”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(3)[2023·安徽合肥三模]已知a，b为实数，则使得“a>b>0”成立的一个充分不必要条件为( )
A．> B．ln (a＋1)>ln (b＋1)
C．a3>b3 D．>
技法领悟
判断充分、必要条件时的3个关注点
1．要弄清先后顺序：“A是B的必要不充分条件”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.
2．要善于举出反例：当从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．
3．要注意转化： p是 q的必要不充分条件 p是q的充分不必要条件； p是 q的充要条件 p是q的充要条件
[巩固训练2]
(1)[2023·安徽合肥二模]设a∈R，则“a＝1”是“f(x)＝ln (＋ax)为奇函数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)[2023·全国甲卷]设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sinα＋cos β＝0，则( )
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
(3)[2023·河南郑州一模]若“ x∈R，x2－6ax＋3a<0”为假命题，则实数a的取值范围为________．
第二讲 不等式
微专题1 不等式的性质
常考常用结论
1．a>b，ab>0 <.
2．a<03．a>b>0，0.
4．05．若a>b>0，m>0，则<；>(b－m>0)；>；<(b－m>0)．
保 分 题做到百分之百正确
1.[2023·河南许昌模拟]已知x＝－a2－2a＋3，y＝4－3a，则( )
A．xB．x＝y
C．x>y
D．x与y的大小无法判断
2．若a>b>0>c，则( )
A．(a－b)c>0 B．>
C．a－b>a－c D．<
3．[2023·北京密云模拟]已知aA．2a<2b B．abC．a2提 分 题先做后讲再巩固
1.(多选)[2023·山东德州模拟]若<<0，则下列不等式中正确的是( )
A．a3ab2
C．>2 D．a＋b技法领悟
使用不等式的性质时要特别注意性质成立的条件，如不等式两端同时乘以一个数时要看该数取值情况．
[巩固训练1] (1)[2023·湖北武汉模拟]下列不等式正确的是( )
A．若ac2≥bc2，则a≥b
B．若>，则aC．若a＋b>0，c－b>0，则a>c
D．若a>0，b>0，m>0，且a
(2)已知1≤a≤2，－1≤b≤4，则a－2b的取值范围是( )
A．[－7，4] B．[－6，9]
C．[6，9] D．[－2，8]
微专题2 不等式的解法
常考常用结论
不等式的解法
(1)一元二次不等式的解法
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a与ax2＋bx＋c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2＋bx＋c异号，则其解集在两根之间．
(2)简单分式不等式的解法
①>0(<0) f(x)g(x)>0(<0)．
②≥0(≤0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
保 分 题做到百分之百正确
1.集合A＝，B＝，则A＝( )
A．{x|－3C．{x|－32．已知关于x的不等式x2＋ax＋a＋3>0的解集为R，则实数a的取值范围是( )
A．(－2，6)
B．(－∞，－2)
C．[－2，6]
D．(－∞，－2]
3．已知不等式ax2－5x＋b<0的解集为{x|－2提 分 题先做后讲再巩固
2. (1)若对任意的x∈[－1，0]，－2x2＋4x＋2＋m≥0恒成立，则m的取值范围是( )
A．[4，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(－∞，4] D．(－∞，2]
(2)已知a∈[－1，1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围为( )
A．(－∞，2)
B．(－∞，1)
C．(－∞，1)
D．(1，3)
(3)若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2) B．(－∞，－2)
C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)
技法领悟
1．参数在常数位置或者变量范围恒正恒负，优先考虑参变分离：a>g(x)恒成立 a>g(x)max；ag(x)有解 a>g(x)min；a2．变更主元法，将参数看做变量．
[巩固训练2] (1)若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈恒成立，则a的取值范围是( )
A．a≥0 B．a≤－2
C．a≥－ D．a≤－3
(2)若关于x的不等式x2－ax＋7>0在(2，7)上有实数解，则a的取值范围是( )
A．(－∞，8) B．(－∞，8]
C．(－∞，2) D．
微专题3 基本不等式
常考常用结论
1．基本不等式
设a>0，b>0，则，当且仅当a＝b时等号成立．
2．用基本不等式求最值的结论
(1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y＝时，积xy有最大值为.
(2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y＝时，和x＋y有最小值为2.
保 分 题做到百分之百正确
1.下列选项正确的是( )
A．≥2
B．x＋≥4
C．sin2α＋的最小值为2
D．x2＋的最小值为
2．已知x>2，y＝x＋，则y的最小值为( )
A．2 B．1 C．4 D．3
3．若正实数x，y满足x＋3y＝1，则的最小值为( )
A．12 B．25 C．27 D．36
提分题先做后讲再巩固
3.(1)[2023·安徽安庆模拟]已知函数f(x)＝log2(ax＋b)(a>0，b>0)恒过定点(2，0)，则的最小值为( )
A．2＋1 B．2
C．3 D．＋2
(2)[2022·新高考Ⅱ卷](多选)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则( )
A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2
C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1
技法领悟
基本不等式的主要用途是求多元函数的最值，在使用基本不等式时注意以下两点：一是注意不等式的使用条件，特别是其中等号能否成立；二是合理变换求解目标，如常数代换法、换元法等，创造使用基本不等式的条件．
[巩固训练3] (1)已知3x＋9y＝18，当x＋2y取最大值时，则xy的值为( )
A． B．2 C．3 D．4
(2)[2023·河北邯郸一模]已知a>0，b>0，且a＋b＝2，则的最小值是( )
A．2 B．4 C． D．9
第三讲 复数、平面向量
微专题1 复数
常考常用结论
1．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则
(1)当b＝0时，z∈R；当b≠0时，z为虚数；当a＝0，b≠0时，z为纯虚数．
(2)z的共轭复数＝a－bi.
(3)z的模|z|＝.
2．已知i是虚数单位，则
(1)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.
(2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i.
1．[2023·全国甲卷]设a∈R，(a＋i)(1－ai)＝2，则a＝( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
2．[2021·新高考Ⅱ卷]复数在复平面内对应的点所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．[2022·新高考Ⅰ卷]若i(1－z)＝1，则z＋＝( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
4．[2023·全国乙卷]设z＝，则＝( )
A．1－2i B．1＋2i C．2－i D．2＋i
1.(1)[2023·河南郑州三模]复平面内，复数对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)(多选)设z1，z2为复数，则下列命题中一定成立的是( )
A．如果z1－z2>0，那么z1>z2
B．如果|z1|＝|z2|，那么＝
C．如果>1，那么|z1|>|z2|
D．如果＝0，那么z1＝z2＝0
技法领悟
复数的代数运算的基本方法是运用运算法则，可以通过对代数式结构特征的分析，灵活运用i的幂的性质、运算法则来优化运算过程．
[巩固训练1] (1)[2023·河北唐山二模]i(3－i)的共轭复数为( )
A．3＋i B．3－i
C．1＋3i D．1－3i
(2)[2023·江西宜春一模]若复数z满足为纯虚数，且||＝2，则z的虚部为( )
A．±1 B．± C． D．1
微专题2 平面向量的线性运算
常考常用结论
1．平面向量的两个法则：平行四边形法则、三角形法则．
2．平面向量的两个定理
(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa；
a∥b x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a≠0)．
(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．
1.[2023·黑龙江齐齐哈尔一模]已知a＝(2，1)，b＝(3x2－1，x)，若a∥b，则x＝( )
A．1或－ B．－
C．或 D．
2．[2023·湖南永州二模]设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则( )
A．＝3－2
B．＝3＋2
C．＝－2－3
D．＝－2＋3
3．[2023·安徽铜陵三模]在平行四边形ABCD中，M是CD边上中点，则2＝( )
A．－2 B．＋2
C．2 D．2
2.(1)[2023·河北邯郸三模]已知等腰梯形ABCD满足AB∥CD，AC与BD交于点P，且AB＝2CD＝2BC，则下列结论错误的是( )
A．＝2
B．||＝2||
C．＝
D．＝
(2)[2023·江西赣州二模]在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足＝2＝4，＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________．
技法领悟
在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理恰当地选取基底，变形要有方向，不能盲目转化．
[巩固训练2] (1)[2023·广东韶关模拟]已知ABCD是平行四边形，＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝( )
A． B．1 C． D．
(2)若M是△ABC所在平面内一点，且满足＝，则△ABM与△ABC的面积之比为________．
微专题3 平面向量的数量积
常考常用结论
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，θ为a与b的夹角．
(1)a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
(3)|a|＝＝.
(4)cos θ＝＝.
1.[2023·辽宁辽阳一模]已知两个单位向量a，b满足a＋b与a－7b垂直，则a·b＝( )
A． B．－ C． D．－
2．[2023·山东淄博二模]已知向量a，b满足a·b＝10，且b＝(6，－8)，则a在b上的投影向量为( )
A．(－6，8) B．(6，－8)
C． D．
3．[2023·山西晋中三模]设向量a与向量b的夹角为θ，定义a与b的向量积：a×b是一个向量，它的模＝|a||b|sin θ.若m＝(1，0)，n＝(－1，)，则|m×n|＝( )
A．－1 B．1 C．－ D．
(1)[2023·吉林东北师大附中模拟]在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD于E，则·＝( )
A． B． C． D．
3.(2)
[2023·河南郑州一模]如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为点B，则·的取值范围是________．
技法领悟
求平面向量的数量积的方法：(1)定义法；(2)基向量法，基底应是已知模长和夹角的向量；(3)坐标法：①已知向量坐标，②建立合适的坐标系，使用坐标法求解．
[巩固训练3] (1)[2023·河南安阳三模]已知正方形ABCD的边长为1，O为正方形的中心，E是AB的中点，则·＝( )
A．－ B． C． D．1
(2)[2023·山东省实验中学一模]若平面向量a，b，c满足|a|＝1，b·c＝0，a·b＝1，a·c＝－1，则|b＋c|的最小值为________．
第四讲 排列、组合、二项式定理
微专题1 排列问题
常考常用结论
排列数公式
＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
＝
＝
1.从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为( )
A．24 B．18 C．12 D．6
2．[2023·安徽安庆一中模拟]将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )
A．12种 B．18种
C．24种 D．36种
3．[2023·辽宁大连三模]现有6个同学站成一排照相，如果甲、乙两人必须相邻，而丙、丁两人不能相邻，那么不同的站法共有( )
A．144种 B．72种
C．36种 D．24种
4．[2023·全国乙卷]甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有( )
A．30种 B．60种
C．120种 D．240种
1.(1)[2023·山东济宁二模]为了强化学校的体育教育教学工作，提高学生身体素质，加强学生之间的沟通，凝聚班级集体的力量，激发学生热爱体育的热情．某中学举办田径运动会，某班从甲、乙等6名学生中选4名学生代表班级参加学校4×100米接力赛，其中甲只能跑第1棒或第2棒，乙只能跑第2棒或第4棒，那么甲、乙都参加的不同棒次安排方案总数为( )
A．48 B．36 C．24 D．12
(2)[2022·山东临沂三模]某社区活动需要连续六天有志愿者参加服务，每天只需要一名志愿者，现有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，计划依次安排到该社区参加服务，要求甲不安排第一天，乙和丙在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有( )
A．72种 B．81种 C．144种 D．192种
技法领悟
求解排列问题最常用的三种方法
1．特殊元素、位置优先安排法：对问题中的特殊元素或位置优先考虑排列，然后排列其他一般元素或位置．
2．捆绑法：相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列．
3．插空法：不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列后的空中．
[巩固训练1] (1)[2023·安徽黄山三模]为纪念我国伟大数学家祖冲之在圆周率上的贡献，国际上把3.141 592 6称为“祖率”，某教师为了增加学生对“祖率”的印象，以“祖率”为背景设计如下练习：让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分不变，那么可以得到小于3.14的不同数有( )
A．480个 B．120个
C．240个 D．720个
(2)[2023·福建宁德模拟]泰山、华山、衡山、恒山、嵩山是中国的五大名山，并称为“五岳”，它们以象征中华民族的高大形象而名闻天下，段誉同学决定利用今年寒假时间，游览以下六座名山：泰山、华山、井冈山、黄山、云台山、五台山．若段誉同学首先游览云台山，且属于“五岳”的名山游览顺序不相邻，则段誉同学针对这六座名山的不同游览顺序共有( )
A．36种 B．48种
C．72种 D．120种
微专题2 组合问题
常考常用结论
组合数公式
＝，
＝，规定：
1.[2023·新课标Ⅱ卷]某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有( )
种
2．[2023·安徽淮北二模]世界数学三大猜想：“费马猜想”“四色猜想”“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在1976年和1994年荣升为“四色定理”和“费马大定理”.280多年过去了，哥德巴赫猜想仍未解决，目前最好的成果“1＋2”由我国数学家陈景润在1966年取得．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和．在不超过20的质数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的选法有( )
A．28 B．21 C．15 D．10
3．[2023·河北衡水二中模拟]7名身高各不相同的同学站成一排，若身高最高的同学站在中间，且其每一侧同学的身高都依次降低，则7名同学所有不同的站法种数为( )
A．20 B．40 C．8 D．16
4．[2020·新高考Ⅰ卷]6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( )
A．120种 B．90种 C．60种 D．30种
2.(1)[2023·河北邯郸三模]某医院安排3名男医生和2名女医生去甲、乙、丙三所医院支援，每所医院安排一到两名医生，其中甲医院要求至少安排一名女医生，则不同的安排方法有( )
A．18种 B．30种 C．54种 D．66种
(2)[2023·山东青岛二模]某教育局为振兴乡村教育，将5名教师安排到3所乡村学校支教，若每名教师仅去一所学校，每所学校至少安排1名教师，则不同的安排情况有( )
A．300种 B．210种
C．180种 D．150种
技法领悟
掌握有限制条件的组合应用题的常用解法及常见类型，在解有限制条件的组合应用题时，要从分析入手，明确限制条件有哪些，所给元素分几类，识别是什么基本类型，使用直接法还是间接法．
[巩固训练2] (1)[2023·山东菏泽一模]为了迎接“第32届菏泽国际牡丹文化旅游节”，某宣传团体的六名工作人员需要制作宣传海报，每人承担一项工作，现需要一名总负责，两名美工，三名文案，但甲，乙不参与美工，丙不能书写文案，则不同的分工方法种数为( )
A．9种 B．11种 C．15种 D．30种
(2)六名志愿者到北京、延庆、张家口三个赛区参加活动，若每个赛区两名志愿者，则安排方式共有( )
A．15种 B．90种 C．540种 D．720种
微专题3 二项式定理
常考常用结论
1．二项式定理：(a＋b)n＝bn，n∈N*.
2．通项公式：Tk＋1＝an－kbk，(k＝0，1，2，…，n)．
3．二项式展开式的系数的性质：
＝2n.
＋…＝2n－1.
1．[2023·河南开封二模]展开式中的常数项是( )
A．－160 B．－20 C．20 D．160
2．已知二项式(x－)n展开式的二项式系数和为64，则展开式中常数项为( )
A．10 B．15 C．18 D．30
3．[2023·天津卷]在的展开式中，x2的系数是________．
4．在(3x－)n的展开式中，各项系数之和为64，则常数项为________．
3.(1)[2023·河南安阳二模](2x＋y)8的展开式中各项系数的最大值为( )
A．112 B．448 C．896 D．1 792
(2)[2023·江西赣州一模]已知(x－1)4(x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则a2＋a4＋a6＋a8＝( )
A．40 B．8 C．－16 D．－24
技法领悟
1．二项式定理中最关键的是通项公式，求展开式中特定的项或者特定项的系数均是利用通项公式和方程解决的．
2．二项展开式的系数之和通常是通过对二项式及其展开式中的变量赋值得出的，注意根据展开式的形式给变量赋值．
[巩固训练3] (1)[2023·山西怀仁一中模拟]在的展开式中，二项式系数最大的项的系数为( )
A．20 B．160 C．180 D．240
(2)[2023·湖南雅礼中学一模]已知(3x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＝( )
A．1 024 B．1 023 C．1 025 D．512