露在外面的面
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文档简介
露在外面的面
【教材分析】
《露在外面的面》是第二单元长方体（一）中继《长方体的认识》《展开与折叠》《长方体的表面积》之后的第四节，它是在学生学习了长方体正方体特征、观察物体的方法、正方体表面积计算及找规律等内容之后进行的，旨在让学生在观察、操作、分析等活动中，有序地观察露在外面的面的数量，会求露在外面的面的面积，并经历探索规律的过程，同时渗透相关的数学思想方法。
【学生分析】
在学习本内容之前，学生已经具有了如下的知识、方法：
1．95%的学生能够结合实物准确描述出长方体和正方体的特征，100%的学生都能说出正方体有六个完全相同的面，85%的学生能根据生活中的实际情况求出长方体、正方体的表面积。
2．通过对长方体、正方体展开与折叠的操作，加深了学生对长方体、正方体的认识。但是根据平面图去判定是否是正方体的展开图时，仅有87%的学生能准确判断。而且在测试的过程中，有一些同学自己动手作出测试卷中的图形样子，然后通过动手操作来帮助自己判断。可见，操作是提高学生空间观念的有效载体，我们在教学中要给学生创造动手操作的空间，以促进学生空间观念的进一步发展。
3．100%的学生已经初步掌握了从三个角度——正面、上面和侧面去观察物体的方法，但仅有90%的学生能准确画出在不同角度观察到的物体的平面图形。
附：调查内容及调查结果
1．根据实物进行访谈。（调查对象：五年四班部分学生，20人）
实物：一个长方体粉笔盒，一个正方体盒子，一个缺少相对两个正方形面的长方体牙膏盒
访谈问题：
①这个粉笔盒是什么样的立体图形？它有什么特点？
②这个正方体盒子有什么特点？
③如果让你制作一个这样的盒子，你打算拿多大面积的纸板？你想怎么做？
访谈结果：
应答要点 长方体有6个面，都是长方形，有时相对的2个面是正方形，相对面的形状相同、面积相等。 长方体12条棱，相对的棱长度相等，能指出长、宽、高 长方体有8个顶点 正方体的6个面是完全相同的正方形 正方体的12条棱长度相等 能考虑求4个面的面积，并能说出如何求每个面的面积
正确率 95% 100% 100% 100% 100% 90%
2．问卷调查
A下面的平面图形，哪些是正方体的展开图。
B请你自己画一个正方体的展开图。
C看下面的立体图形，从正面、右面、上面看，分别是什么样子，画在方格纸上。
问卷结果：
项目 判别是否是正方体的展开图 87% 画出正方体的展开图 三视图
正确率 1 2 3 4 5 6 7 8 100% 90%
90% 90% 100% 90% 80% 100% 50% 95%
根据访谈问卷的结果，并结合对本内容的研讨，我确定了如下的教学目标：
【学习目标】
1．经历探索的过程，在操作、观察、分析等活动中，综合运用有关知识，解决露在外面的面的数量问题，并会求露在外面的面的面积。
2．能做到有序、多角度去观察，并在经历中发现规律。
3．在操作与交流中，体会归纳、替换的思想方法，进一步发展空间观念。
【教学准备】多媒体课件，每组8个完全相同的小正方体，记录卡，纸板等
【教学过程】
一、谈话引入，运用方法（2分）
1．师：请看大屏幕，这是一组立体图形，看谁能最先看出：它是由几个小正方体组成的？（有8个小正方体）
师：能说一说你是怎么看的吗？
2．师：看来仅有观察还是不够的，
还要在观察基础上加入合理的推想，把
你视线所及看不到的在脑海中想到，才会
得出正确结论。这节课，我们就继续用观察
和推想这两种方法来探索《露在外面的面》（板书课题）
（设计意图：观察是学生学习“空间与图形”领域内知识的重要方法，但仅有观察是不够的，还需要不断掌握新的思维方法，以促进学生空间观念的发展。此环节正是从这一角度出发进行设计的：学生要想正确数出共有多少个小正方体，不仅需要观察，还要在观察的基础上加入推想——在脑海中想象出这样的立体图形，并推理出小正方体的个数，渗透了观察、推理与想象是正确认识事物的好方法，为新课的学习孕下伏笔。）
二、操作体验，探索新知（20分）
1．师（请看大屏幕）：一个小正方体放在墙角，有几个面露在外面？哪几个？
2．师：继续看大屏幕，这有几个小正方体？
（学生可能回答：有4个小正方体）
师：它有几个面露在外面？你怎么想的？
（学生可能回答：露在外面的有9个面。 上面
的小正方体有3个面露在外面，前边的小正方体也露
出3个面，右边的小正方体也一样，3+3+3=9，所以一
共有9个面）
师追问：不是有四个小正方体吗？你怎么只数了三个？
（学生可能回答：有一个小正方体的面全被挡住了，
一个也没露出来，就不用看了）
师生一起按照上面、左面和右面的顺序数露在外面的面。
师：他是这么数的，谁和他的想法不一样？
（学生可能回答：我先看正面，一共有三个小正方形；
再看上面，也有三个小正方形；再看右面，也有三个小正方形。3+3+3=9，所以一共有9个面露在外面）
师：谁听清了，他是怎么数的？
（生重复方法）
师生共同按这一方法数。
可是我有一个疑问：为什么不看左面，也不看下面、后面？
（学生可能回答：因为那三个面都被挡住了。）
师：现在我们来比较一下这两种方法，它们有什么不同？
（第一种方法是按小正方体的个数一个一个数的；第二种方法是从不同方向看的，先看上面，再看前面、右面）
师（边演示边总结）：第一种是逐一观察每一个小正方体，把他们露出来的面的数量分别数出来，然后再相加；第二种是分别从露出来的三个方向看，正面、上面、侧面，从不同方向数出露在外面的面的个数，然后相加。不论用哪种方法，只要按一定的顺序去观察，就不会重复，也不会遗漏了。
师：现在，请你从正面、上面和侧面观察这组立体图形，看到的是哪个平面图形？
（设计意图：此环节注重学生观察能力的培养，培养学生从不同角度、有序进行观察，掌握两种观察方法，并为学生发现露在外面的面数规律打下基础，同时发展学生的空间观念，达成学习目标1．2中的部分目标）
3．学生操作
师：这四个小正方体一起放在墙角，除了我们看到的这种摆法外，还可以怎么摆？小组同学先摆一摆，再数一数露在外的面有多少个，看你能有什么发现。
4．交流：你们小组是怎么摆的？露在外面的面有多少个？有什么发现？
学生可能摆出如下几种情况：
（此环节随机处理：学生边汇报，教师边把相应的立体图形贴在黑板上，同时板书露在外面的面的个数）
师：看着这些立体图形和它们露在外面的面数，你们发现了什么？
（学生可能回答：虽然我们都是用的四个小正方体摆的，但是摆的不一样，露在外面的面也不一样多。有时候露在外面的面都是9个，但摆的方法也不同）
师（结合板书）小结：都是用4个小正方体来摆，但由于摆的方式不同，露在外面的面数也不同；即使露在外面的面数相同了，摆法还是不同。
现在我们算一算，不同摆法中，露在外面的面的面积是多少，已知正方体棱长10厘米，从黑板上的立体图形中选一个你自己喜欢的摆法，快算一算吧。
学生汇报
（此环节的设计，是给了学生一个自主操作的空间，同时也给了学生思维开放的空间，让他们的思维不仅停留在操作的层面上，还要在操作中有所发现。学生按照自己的想法操作，并通过观察、交流，发现摆法不同，露在外面的面数是不同的；即使露在外面的面数相同，但摆法还不同。并能根据实际情况求出露在外面的面的面积，达成目标1）
5．师：上课前，我们观察过这组立体图形，现在请你再看一看，它露在外面的小正方形有多少个？
（一共有26个）
师：你是怎么看的？
（学生可能回答：先看前面，一共有6个，
后面和前面一样多，也有6个；
右面有5个，左面也有5个；上面有4个，
所以就有26个小正方形露在外面）
师：他能有序地进行观察，前、后、左、右、上，还发现了相对的面露出来的小正方形的个数是一样多的：左右一样多，前后一样多。可真了不起！
师：如果每个小正方体的棱长是5厘米，那它露在外面的面积是多少平方厘米？
生汇报
（此处设计意在在稍有难度的立体图形上提升学生观察、推想的能力，促使学生有意识地把前面总结出的两种方法——尤其是从不同角度进行观察的方法有效地运用，促进学生空间观念的发展。）
三、合作探索，发现规律（18分）
师：刚才我们用4个小正方体随意摆在一起，露在外面的面数有所不同。现在我们用8个小正方体，按一定的方式有规律地摆，露在外面的面数会怎样变化呢？
1．出示合作提示
①小组同学商量、选择一种方式，之后按照这种方式有规律地摆（如横着摆、竖着摆……）。
②先由一个小正方体摆起，记下露在外面的面数；再逐个增加小正方体，并依次记录露在外面的小正方形的面数。
③边记录数据边观察，并把你们的发现写下来。
师：你看懂提示了吗？有几个要求？
什么是有规律地摆？
2．小组合作探索，并填写记录单
小正方体的个数 1 2 3 4 5 6 ……
露在外面的面数
我发现的规律
3．全班交流
师：哪个小组愿意到前面来边说边演示，介绍一下你们小组是怎么做的，并说说你们的发现。（预设学生可能出现的几种情况，在教学中根据实际情况相机处理。）
预设1：
（展示学生记录单）
小正方体的个数 1 2 3 4 5 6 ……
露在外面的面数 3 5 7 9 11 13 ……
我发现的规律 每增加一个小正方体，就增加2个面
师相机追问小组：
你们小组发现每增加一个小正方体，就增加2个面。那每次增加的是哪两个面？
（学生可能回答：前面增加一个，右面增加一个。）
师：每次增加的都是这样2个面吗？你指指看。
师指着上面的面问：这个面不也在变吗？为什么它不算成是增加的面？
（学生可能回答：它虽然有变化，但是这个面没增加，原来的上面被盖住了，又露出一个上面，所以上面没变）
师：原来上面的这个面始终起到了替代的作用，它的个数始终没变，那么我们在数增加的面数时就不用考虑这个替代面了。
师（面向全班）：现在，让我们一起看这个表格，如果按这种方式继续摆下去，摆8个小正方体，露在外面的面一共有多少个？10个小正方体呢？20个呢？你发现了什么？（也可以提示学生观察小正方体的个数与露出的面数的关系）
师：那其他同学是怎么摆的？发现了什么规律？
4．深入研究，再汇报。
师：这次你汇报时，只需要说出你们是怎么摆的、发现了什么规律。
预设2：学生还可能出现以下各种情况：
图（1）每增加一个小正方体就增加3个面。
图（2）每增加一个小正方体就增加4个面。
图（3）每增加一个小正方体就增加3个面。
（1） （2） （3）
（设计意图：有意识地给学生创设更大的操作空间，让他们在小组合作中、在动手操作中发现正方体的个数与露在外面的面数的变化规律，并通过教师有意识的追问提升学生的分析意识，感受到变化的面的出现规律，提炼出通项公式。在这一环节中，有教师扶持阶段，也有学生放手自己研究的时空，使学生感受到数学是有规律可循的。同时，在交流中渗透替代的思想，发展学生的空间观念。）
四、总结提升（略）（2分）
1 2 3 4
5 6 7 8
【教材分析】
《露在外面的面》是第二单元长方体（一）中继《长方体的认识》《展开与折叠》《长方体的表面积》之后的第四节，它是在学生学习了长方体正方体特征、观察物体的方法、正方体表面积计算及找规律等内容之后进行的，旨在让学生在观察、操作、分析等活动中，有序地观察露在外面的面的数量，会求露在外面的面的面积，并经历探索规律的过程，同时渗透相关的数学思想方法。
【学生分析】
在学习本内容之前，学生已经具有了如下的知识、方法：
1．95%的学生能够结合实物准确描述出长方体和正方体的特征，100%的学生都能说出正方体有六个完全相同的面，85%的学生能根据生活中的实际情况求出长方体、正方体的表面积。
2．通过对长方体、正方体展开与折叠的操作，加深了学生对长方体、正方体的认识。但是根据平面图去判定是否是正方体的展开图时，仅有87%的学生能准确判断。而且在测试的过程中，有一些同学自己动手作出测试卷中的图形样子，然后通过动手操作来帮助自己判断。可见，操作是提高学生空间观念的有效载体，我们在教学中要给学生创造动手操作的空间，以促进学生空间观念的进一步发展。
3．100%的学生已经初步掌握了从三个角度——正面、上面和侧面去观察物体的方法，但仅有90%的学生能准确画出在不同角度观察到的物体的平面图形。
附：调查内容及调查结果
1．根据实物进行访谈。（调查对象：五年四班部分学生，20人）
实物：一个长方体粉笔盒，一个正方体盒子，一个缺少相对两个正方形面的长方体牙膏盒
访谈问题：
①这个粉笔盒是什么样的立体图形？它有什么特点？
②这个正方体盒子有什么特点？
③如果让你制作一个这样的盒子，你打算拿多大面积的纸板？你想怎么做？
访谈结果：
应答要点 长方体有6个面，都是长方形，有时相对的2个面是正方形，相对面的形状相同、面积相等。 长方体12条棱，相对的棱长度相等，能指出长、宽、高 长方体有8个顶点 正方体的6个面是完全相同的正方形 正方体的12条棱长度相等 能考虑求4个面的面积，并能说出如何求每个面的面积
正确率 95% 100% 100% 100% 100% 90%
2．问卷调查
A下面的平面图形，哪些是正方体的展开图。
B请你自己画一个正方体的展开图。
C看下面的立体图形，从正面、右面、上面看，分别是什么样子，画在方格纸上。
问卷结果：
项目 判别是否是正方体的展开图 87% 画出正方体的展开图 三视图
正确率 1 2 3 4 5 6 7 8 100% 90%
90% 90% 100% 90% 80% 100% 50% 95%
根据访谈问卷的结果，并结合对本内容的研讨，我确定了如下的教学目标：
【学习目标】
1．经历探索的过程，在操作、观察、分析等活动中，综合运用有关知识，解决露在外面的面的数量问题，并会求露在外面的面的面积。
2．能做到有序、多角度去观察，并在经历中发现规律。
3．在操作与交流中，体会归纳、替换的思想方法，进一步发展空间观念。
【教学准备】多媒体课件，每组8个完全相同的小正方体，记录卡，纸板等
【教学过程】
一、谈话引入，运用方法（2分）
1．师：请看大屏幕，这是一组立体图形，看谁能最先看出：它是由几个小正方体组成的？（有8个小正方体）
师：能说一说你是怎么看的吗？
2．师：看来仅有观察还是不够的，
还要在观察基础上加入合理的推想，把
你视线所及看不到的在脑海中想到，才会
得出正确结论。这节课，我们就继续用观察
和推想这两种方法来探索《露在外面的面》（板书课题）
（设计意图：观察是学生学习“空间与图形”领域内知识的重要方法，但仅有观察是不够的，还需要不断掌握新的思维方法，以促进学生空间观念的发展。此环节正是从这一角度出发进行设计的：学生要想正确数出共有多少个小正方体，不仅需要观察，还要在观察的基础上加入推想——在脑海中想象出这样的立体图形，并推理出小正方体的个数，渗透了观察、推理与想象是正确认识事物的好方法，为新课的学习孕下伏笔。）
二、操作体验，探索新知（20分）
1．师（请看大屏幕）：一个小正方体放在墙角，有几个面露在外面？哪几个？
2．师：继续看大屏幕，这有几个小正方体？
（学生可能回答：有4个小正方体）
师：它有几个面露在外面？你怎么想的？
（学生可能回答：露在外面的有9个面。 上面
的小正方体有3个面露在外面，前边的小正方体也露
出3个面，右边的小正方体也一样，3+3+3=9，所以一
共有9个面）
师追问：不是有四个小正方体吗？你怎么只数了三个？
（学生可能回答：有一个小正方体的面全被挡住了，
一个也没露出来，就不用看了）
师生一起按照上面、左面和右面的顺序数露在外面的面。
师：他是这么数的，谁和他的想法不一样？
（学生可能回答：我先看正面，一共有三个小正方形；
再看上面，也有三个小正方形；再看右面，也有三个小正方形。3+3+3=9，所以一共有9个面露在外面）
师：谁听清了，他是怎么数的？
（生重复方法）
师生共同按这一方法数。
可是我有一个疑问：为什么不看左面，也不看下面、后面？
（学生可能回答：因为那三个面都被挡住了。）
师：现在我们来比较一下这两种方法，它们有什么不同？
（第一种方法是按小正方体的个数一个一个数的；第二种方法是从不同方向看的，先看上面，再看前面、右面）
师（边演示边总结）：第一种是逐一观察每一个小正方体，把他们露出来的面的数量分别数出来，然后再相加；第二种是分别从露出来的三个方向看，正面、上面、侧面，从不同方向数出露在外面的面的个数，然后相加。不论用哪种方法，只要按一定的顺序去观察，就不会重复，也不会遗漏了。
师：现在，请你从正面、上面和侧面观察这组立体图形，看到的是哪个平面图形？
（设计意图：此环节注重学生观察能力的培养，培养学生从不同角度、有序进行观察，掌握两种观察方法，并为学生发现露在外面的面数规律打下基础，同时发展学生的空间观念，达成学习目标1．2中的部分目标）
3．学生操作
师：这四个小正方体一起放在墙角，除了我们看到的这种摆法外，还可以怎么摆？小组同学先摆一摆，再数一数露在外的面有多少个，看你能有什么发现。
4．交流：你们小组是怎么摆的？露在外面的面有多少个？有什么发现？
学生可能摆出如下几种情况：
（此环节随机处理：学生边汇报，教师边把相应的立体图形贴在黑板上，同时板书露在外面的面的个数）
师：看着这些立体图形和它们露在外面的面数，你们发现了什么？
（学生可能回答：虽然我们都是用的四个小正方体摆的，但是摆的不一样，露在外面的面也不一样多。有时候露在外面的面都是9个，但摆的方法也不同）
师（结合板书）小结：都是用4个小正方体来摆，但由于摆的方式不同，露在外面的面数也不同；即使露在外面的面数相同了，摆法还是不同。
现在我们算一算，不同摆法中，露在外面的面的面积是多少，已知正方体棱长10厘米，从黑板上的立体图形中选一个你自己喜欢的摆法，快算一算吧。
学生汇报
（此环节的设计，是给了学生一个自主操作的空间，同时也给了学生思维开放的空间，让他们的思维不仅停留在操作的层面上，还要在操作中有所发现。学生按照自己的想法操作，并通过观察、交流，发现摆法不同，露在外面的面数是不同的；即使露在外面的面数相同，但摆法还不同。并能根据实际情况求出露在外面的面的面积，达成目标1）
5．师：上课前，我们观察过这组立体图形，现在请你再看一看，它露在外面的小正方形有多少个？
（一共有26个）
师：你是怎么看的？
（学生可能回答：先看前面，一共有6个，
后面和前面一样多，也有6个；
右面有5个，左面也有5个；上面有4个，
所以就有26个小正方形露在外面）
师：他能有序地进行观察，前、后、左、右、上，还发现了相对的面露出来的小正方形的个数是一样多的：左右一样多，前后一样多。可真了不起！
师：如果每个小正方体的棱长是5厘米，那它露在外面的面积是多少平方厘米？
生汇报
（此处设计意在在稍有难度的立体图形上提升学生观察、推想的能力，促使学生有意识地把前面总结出的两种方法——尤其是从不同角度进行观察的方法有效地运用，促进学生空间观念的发展。）
三、合作探索，发现规律（18分）
师：刚才我们用4个小正方体随意摆在一起，露在外面的面数有所不同。现在我们用8个小正方体，按一定的方式有规律地摆，露在外面的面数会怎样变化呢？
1．出示合作提示
①小组同学商量、选择一种方式，之后按照这种方式有规律地摆（如横着摆、竖着摆……）。
②先由一个小正方体摆起，记下露在外面的面数；再逐个增加小正方体，并依次记录露在外面的小正方形的面数。
③边记录数据边观察，并把你们的发现写下来。
师：你看懂提示了吗？有几个要求？
什么是有规律地摆？
2．小组合作探索，并填写记录单
小正方体的个数 1 2 3 4 5 6 ……
露在外面的面数
我发现的规律
3．全班交流
师：哪个小组愿意到前面来边说边演示，介绍一下你们小组是怎么做的，并说说你们的发现。（预设学生可能出现的几种情况，在教学中根据实际情况相机处理。）
预设1：
（展示学生记录单）
小正方体的个数 1 2 3 4 5 6 ……
露在外面的面数 3 5 7 9 11 13 ……
我发现的规律 每增加一个小正方体，就增加2个面
师相机追问小组：
你们小组发现每增加一个小正方体，就增加2个面。那每次增加的是哪两个面？
（学生可能回答：前面增加一个，右面增加一个。）
师：每次增加的都是这样2个面吗？你指指看。
师指着上面的面问：这个面不也在变吗？为什么它不算成是增加的面？
（学生可能回答：它虽然有变化，但是这个面没增加，原来的上面被盖住了，又露出一个上面，所以上面没变）
师：原来上面的这个面始终起到了替代的作用，它的个数始终没变，那么我们在数增加的面数时就不用考虑这个替代面了。
师（面向全班）：现在，让我们一起看这个表格，如果按这种方式继续摆下去，摆8个小正方体，露在外面的面一共有多少个？10个小正方体呢？20个呢？你发现了什么？（也可以提示学生观察小正方体的个数与露出的面数的关系）
师：那其他同学是怎么摆的？发现了什么规律？
4．深入研究，再汇报。
师：这次你汇报时，只需要说出你们是怎么摆的、发现了什么规律。
预设2：学生还可能出现以下各种情况：
图（1）每增加一个小正方体就增加3个面。
图（2）每增加一个小正方体就增加4个面。
图（3）每增加一个小正方体就增加3个面。
（1） （2） （3）
（设计意图：有意识地给学生创设更大的操作空间，让他们在小组合作中、在动手操作中发现正方体的个数与露在外面的面数的变化规律，并通过教师有意识的追问提升学生的分析意识，感受到变化的面的出现规律，提炼出通项公式。在这一环节中，有教师扶持阶段，也有学生放手自己研究的时空，使学生感受到数学是有规律可循的。同时，在交流中渗透替代的思想，发展学生的空间观念。）
四、总结提升（略）（2分）
1 2 3 4
5 6 7 8