中小学教育资源及组卷应用平台
2023-2024学年度第二学期广东省深圳市九年级数学一轮复习自测卷（解析版）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1 . 如图，正三棱柱的主视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】试题分析：主视图是从物体的前面往后看到的平面图形，
正三棱柱的主视图是矩形，中间有竖着的实线，
故选B．
第七次全国人口普查结果显示，我国具有大学文化程度的人口超218000000人．
数据218000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，据此判断即可．
【详解】解：，
故选：C．
3. 如图，，点E在上，平分，若，则的度数为（ ）
A．45° B．50° C．65° D．80°
【答案】C
【分析】根据邻补角求出，利用角平分线求出，再根据平行线的性质求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
4. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据数轴判断出的正负情况以及绝对值的大小，然后解答即可．
【详解】由图可知，，且，
∴，，，，
∴关系式不成立的是选项C．
故选C．
5．下列选项中的垃圾分类图标，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故选项错误，不符合题意；
B．不是中心对称图形，故选项错误，不符合题意；
C．是中心对称图形，故选项正确，符合题意；
D．不是中心对称图形，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
6. 下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法、积的乘方和幂的除法运算法则逐项判断即得答案．
【详解】解：A.与不是同类项，不能合并，故本选项运算错误，不符合题意；
B. ，故本选项运算错误，不符合题意；
C. ，故本选项运算错误，不符合题意；
D. ，故本选项运算正确，符合题意．
故选：D．
7. 正比例函数y＝kx的图象经过一、三象限，则一次函数y＝﹣kx＋k的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由正比例函数的图象经过一、三象限，可以知道，由此，从而得到一次函数图象情况．
【详解】解：∵正比例函数y＝kx的图象经过一、三象限
∴
∴
∴一次函数的图象经过一、二、四象限
故选：A
从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，
其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意画树状图，再利用概率公式，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，画树状图如下：
一共有12种情况，被抽到的2名同学都是男生的情况有6种，
，
故选：B．
9 .如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；
动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，
那么经过（ ）秒时与相似．
A．2秒 B．4秒 C．或秒 D．2或4秒
【答案】C
【分析】设经过秒时, 与相似,则,
利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：
当 时, ,即
当 时,,即 然后解方程即可求出答案．
【详解】解：设经过秒时, 与相似,
则
,
当 时, ,
即
解得：
当 时, ,
即
解得：
综上所述：经过或秒时,与相似
故选：C
10 .二次函数的图象如图所示，对称轴为，则下列结论：
①，②，③，④，⑤（m为任意实数）．
其中正确的个数是（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】A
【解析】
【分析】根据图象先判断a、b、c的取值，然后再根据对称轴与图象的交点情况进行等量代换和推理即可．
【详解】由图象可知，图象开口向下，
∴，
抛物线与y轴交于正半轴，
∴，
又对称轴为，
∴，，
∴，
∴，故①正确；
抛物线与x轴交于，
∴，
∴，故②错误；
由二次函数的对称性可知，当时，，
则有，故③正确；
∵，，
∴，
又，
∴，故④错误；
当时，函数值最大，，
而当时，，
∴
，故⑤错误．
故选：A．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．直接填写答案．
11 .分解因式：a3－a =___________
【答案】
【解析】
【详解】解：a3－a
=a(a2-1)
=
故答案为：
12. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，
每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，
则盒子中棋子的总个数是_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用概率公式，得出黑色棋子的数量除以对应概率，即可算出棋子的总数．
【详解】解：，
∴盒子中棋子的总个数是．
故答案为：．
13. 已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________________．
【答案】9
【解析】
【分析】根据根的判别式的意义得到△，然后解关于的方程即可．
【详解】解：根据题意得△，
解得．
故答案为：9．
14 .如图，在中，
反比例函数为常数且)的图象经过边的中点则 ．
【答案】
【分析】先过点C作CD⊥OB，根据，C点是OA的中点，得到CD为的中位线，再根据三角函数求得C（），代入函数解析式求出k值即可.
【详解】
解：过点C作CD⊥OB
∵，C点是OA的中点.
∴CD为的中位线
∵
∴OD=，CD=
∴C()
∵反比例函数为常数且)的图象经过边的中点
∴
故答案为：
15 .如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，
其截面可看作一个宽BC=6厘米，长CD=16厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，
边CD恰有一半露出水面，那么此时水面高度是 厘米．
【答案】
【分析】先由勾股定理求出，再过点作于，由的比例线段求得结果即可．
【详解】解：过点作于，如图所示：
∵BC=6厘米，CD=16厘米，CD
厘米，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
即，
．
故答案为：．
解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，
第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）
16. 计算：．
【答案】
【分析】根据绝对值的意义、负整数指数幂、零指数幂以及特殊角的三角函数值分别计算后，再根据二次根式加减运算法则求解即可得到答案．
【详解】解：
．
17. 先化简，再求值：其中
【答案】，
【解析】
【分析】利用分式的相应的运算法则进行化简，再代入相应的值运算即可．
【详解】解：原式
=
将代入得原式．
18 .深圳市某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”
等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展．
学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？
（要求必须选修一门且只能选修一门）”的随机问卷调查，
并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：请结合上述信息，解答下列问题：
(1)共有_______名学生参与了本次问卷调查；
(2)“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是_______度；
(3)小刚和小强分别从“礼仪”“陶艺”“编程”这三门校本课程中任选一门，
请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
【答案】(1)
(2)
(3)小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为
【分析】（1）用“礼仪”的人数除以占比得到总人数；
（2）用“陶艺”的人数除以总人数再乘以即可求解；
（3）用画树状图法求得概率即可求解．
【详解】（1）解：（人）
故答案为：．
（2）“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是，
故答案为：．
（3）把“礼仪”“陶艺”“编程”三门校本课程分别记为A、B、C
共有9种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有3种，
∴小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为．
19. 第19届杭州亚运会，吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，
如图，某校准备举行“第19届亚运会”知识竞赛活动，
拟购买30套吉祥物（“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”）作为竞赛奖品．某商店有甲，乙两种规格，
其中乙规格比甲规格每套贵20元．
(1)若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格；
(2)在（1）的条件下，若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？
（1）解：设甲规格吉祥物每套价格元，则乙规格每套价格为元，
根据题意，得，
解得．
经检验，是所列方程的根，且符合实际意义．
．
答：甲规格吉祥物每套价格为70元，乙规格每套为90元．
（2）解：设乙规格购买套，甲规格购买套，总费用为元
根据题意，得
，
解得，
，
，
随的增大而增大．
当时，最小值．
故乙规格购买10套、甲规格购买20套总费用最少．
20. 如图，抛物线（）与x轴交于A（1，0）和B（﹣3，0），与y轴交于C，OC=OB．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PAC的周长最小？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）抛物线上在第二象限内是否存在一点Q，使△QBC的面积最大？
若存在，求出点Q的坐标及△QBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线（）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），
∴OB=3，∵OC=OB，∴OC=3，∴c=3，∴，解得，∴抛物线解析式为：
（2）存在．
如图1，∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，
∴抛物线的对称轴x＝﹣1，C（0，3）．
∴C′（﹣2，3）．
设直线AC′的解析式为：y＝kx+b，
∵A（1，0），∴， 解得，
∴直线AC′的解析式为：y＝﹣x+1．
把x＝﹣1代入直线AC′的解析式y＝﹣x+1，得y＝2，
∴P（﹣1，2）；
（3）存在．
如图2，设Q（m，﹣m2﹣2m+3），过Q作QP⊥x轴于P，
∴OP＝﹣m，PQ＝﹣m2﹣2m+3，BP＝3+m，
∴S△PBQ＝BP PQ＝（3+m）（﹣m2﹣2m+3），
S四边形QPOC＝（OC+PQ） OP＝（3﹣m2﹣2m+3） （﹣m），
S△BOC＝OB OC＝×3×3＝，
∴S△QBC＝S△PBQ+S四边形QPOC﹣S△BOC＝﹣m2﹣m．
∴当m＝﹣时，△QBC的面积最大，最大值为．
∴Q（﹣，）．
21. 如图，AB为⊙O的直径，C，E为O上的两点，若AC平分∠EAB，CD⊥AE于点D．
（1）求证：DC是⊙O切线；
（2）若AO＝6，DC＝3，求DE的长；
（3）过点C作CF⊥AB于F，如图2，若AD﹣OA＝1.5，AC＝3，求图中阴影部分面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）3；（3）
【分析】（1）连接OC，如图1，先证明∠1=∠3得到OC∥AD，
再利用平行线的性质得OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到结论；
连接BE交OC于H，如图1，利用圆周角定理得∠AEB=90°，
易得四边形CDEH为矩形，则CD=EH=3，CH=ED，
利用垂径定理得BH=3，然后利用勾股定理计算出OH后计算出CH，从而得到DE的长；
连接OC，如图2，设⊙O的半径为r，利用角平分线的性质得CD=CF，
则根据勾股定理得AD=AF，于是可计算出OF=1.5，再证明△ACF∽△ABC，利用相似比得到，解得r=3，接着在Rt△OCF中利用解直角三角形得到∠COF=60°，CF=，
然后根据扇形面积公式，利用图中阴影部分面积=S扇形BOC-S△OCB进行计算．
【详解】（1）连接OC，如图1，
∵AC平分∠EAB，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴DC是⊙O切线；
（2）连接BE交OC于H，如图1，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵OC∥AD，
∴∠OHB=90°，
∴EH=BH，四边形CDEH为矩形，
∴CD=EH=3，CH=ED，
∴BH=3，
在Rt△OBH中，OH==3，
∴CH=6-3=3，
∴DE=3；
（3）连接OC，如图2，设⊙O的半径为r，
∵AC平分∠BAD，CD⊥AD，CF⊥AB，
∴CD=CF，
∴AD=AF=AO+OF，
∵AD-OA=1.5，
∴AO+OF-OA=1.5，即OF=1.5，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAF=∠BAC，
∴△ACF∽△ABC，
∴，即，
解得r=-（舍去）或r=3，
在Rt△OCF中，cos∠COF=，
∴∠COF=60°，
∴CF=OF=，
∴图中阴影部分面积=S扇形BOC-S△OCB=-×3×=π-．
如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD为对角线.点E是边AB延长线上的任意一点，
连结交于点，平分交于点G．
(1)求证：.
(2)若．
①求菱形的面积.
②求的值.
若，当的大小发生变化时（），
在上找一点，使为定值，说明理由并求出的值．
【答案】(1)见解析
(2)①24，②
(3)＝，理由见解析
【分析】（1）由菱形的性质可证得∠CBD＝∠ABD＝∠ABC，由平分交于点G，得到∠CBG＝∠EBG＝∠CBE，进一步即可得到答案；
（2）①连接AC交BD于点O,Rt△DOC中，OC＝，求得AC＝8，由菱形的面积公式可得答案；②由BGAC，得到，DH＝HG，DG＝2DH，又由DG＝2GE，得到EG＝DH＝HG，则，再证明△CDH∽△AEH，CH＝AC＝，OH＝OC－CH＝4－＝，利用正切的定义得到答案；
（3）过点G作GTBC，交AE于点T，△BGE∽△AHE，得AB＝BE＝5，则EG＝GH，再证△DOH∽△DBG，得DH＝GH＝EG，由△EGT∽△EDA得，GT＝，为定值，即可得到ET的值．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝DC，ABCD，
∴∠BDC＝∠CBD，∠BDC＝∠ABD，
∴∠CBD＝∠ABD＝∠ABC，
∵平分交于点G，
∴∠CBG＝∠EBG＝∠CBE，
∴∠CBD＋∠CBG＝（∠ABC＋∠CBE）＝×180°＝90°，
∴∠DBG＝90°；
（2）解：①如图1，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，BD＝6，
∴OD＝BD＝3，AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
在Rt△DOC中，OC＝，
∴AC＝2OC＝8，
∴，
即菱形的面积是24．
②如图2，连接AC，分别交BD、DE于点O、H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵∠DBG＝90°
∴BG⊥BD，
∴BGAC，
∴，
∴DH＝HG，DG＝2DH，
∵DG＝2GE，
∴EG＝DH＝HG，
∴，
∵ABCD，
∴∠DCH＝EAH，∠CDH＝∠AEH，
∴△CDH∽△AEH，
∴，
∴CH＝AC＝，
∴OH＝OC－CH＝4－＝，
∴tan∠BDE＝；
（3）如图3，过点G作GTBC交AE于点T，此时ET＝．
理由如下：由题（1）可知，当∠DAB的大小发生变化时，始终有BGAC，
∴△BGE∽△AHE，
∴，
∵AB＝BE＝5，
∴EG＝GH，
同理可得，△DOH∽△DBG，
∴，
∵BO＝DO，
∴DH＝GH＝EG，
∵GTBC，
∴GTAD，
∴△EGT∽△EDA，
∴，
∵AD＝AB＝5，
∴GT＝，为定值，
此时ET＝AE＝（AB＋BE）＝．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2023-2024学年度第二学期广东省深圳市九年级数学一轮复习自测卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1 . 如图，正三棱柱的主视图为（ ）
A． B． C． D．
第七次全国人口普查结果显示，我国具有大学文化程度的人口超218000000人．
数据218000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3. 如图，，点E在上，平分，若，则的度数为（ ）
A．45° B．50° C．65° D．80°
4. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列选项中的垃圾分类图标，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6. 下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7. 正比例函数y＝kx的图象经过一、三象限，则一次函数y＝﹣kx＋k的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，
其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（ ）
A. B. C. D.
9 .如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；
动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，
那么经过（ ）秒时与相似．
A．2秒 B．4秒 C．或秒 D．2或4秒
10 .二次函数的图象如图所示，对称轴为，则下列结论：
①，②，③，④，⑤（m为任意实数）．
其中正确的个数是（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．直接填写答案．
11 .分解因式：a3－a =___________
12. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，
每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，
则盒子中棋子的总个数是_________．
13. 已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________________．
14 .如图，在中，
反比例函数为常数且)的图象经过边的中点则 ．
15 .如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，
其截面可看作一个宽BC=6厘米，长CD=16厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，
边CD恰有一半露出水面，那么此时水面高度是 厘米．
解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，
第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）
计算：．
17. 先化简，再求值：其中
18 .深圳市某中学积极落实国家“双减”教育政策，
决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，
促进学生全面健康发展．
学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？
（要求必须选修一门且只能选修一门）”的随机问卷调查，
并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：请结合上述信息，解答下列问题：
(1)共有_______名学生参与了本次问卷调查；
(2)“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是_______度；
(3)小刚和小强分别从“礼仪”“陶艺”“编程”这三门校本课程中任选一门，
请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
19. 第19届杭州亚运会，吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，
如图，某校准备举行“第19届亚运会”知识竞赛活动，
拟购买30套吉祥物（“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”）作为竞赛奖品．某商店有甲，乙两种规格，
其中乙规格比甲规格每套贵20元．
(1)若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格；
(2)在（1）的条件下，若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？
20. 如图，抛物线（）与x轴交于A（1，0）和B（﹣3，0），与y轴交于C，OC=OB．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PAC的周长最小？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）抛物线上在第二象限内是否存在一点Q，使△QBC的面积最大？
若存在，求出点Q的坐标及△QBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．
21. 如图，AB为⊙O的直径，C，E为O上的两点，若AC平分∠EAB，CD⊥AE于点D．
（1）求证：DC是⊙O切线；
（2）若AO＝6，DC＝3，求DE的长；
（3）过点C作CF⊥AB于F，如图2，若AD﹣OA＝1.5，AC＝3，求图中阴影部分面积．
如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD为对角线.点E是边AB延长线上的任意一点，
连结交于点，平分交于点G．
(1)求证：.
(2)若．
①求菱形的面积.
②求的值.
若，当的大小发生变化时（），
在上找一点，使为定值，说明理由并求出的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
