函数的概念
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函数的概念
【基础知识巩固】
(1)函数的概念：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，xA．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
比如，甲、乙两地相距30 km，某人骑车 ( http: / / www.21cnjy.com )从甲地去乙地，速度是12 km/h，出发t小时后行驶的路程是s km，则s是t的函数，记为s＝12t，定义域是{t|0≤t≤2.5}，值域为{s|0≤s≤30}．对集合{t|0≤t≤2.5}中的任意一个实数，在集合{s|0≤s≤30}中都有唯一的数s＝12t和它对应．
对函数概念的理解
①“A，B是非空的数集”，一方面强调了A， ( http: / / www.21cnjy.com )B只能是数集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．
②函数的三要素是：定义域、对应关系、值域．定义域就是非空数集A，而值域不一定是非空数集B，而是非空数集B的子集．
例如，设集合A＝{x|x≠0，xR}，B＝R，按照确定的对应关系f：取倒数，对于集合A中的任意一个数x，在B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，于是y＝f(x)＝就称为从集合A到集合B的一个函数．此时A是函数y＝的定义域，而值域D＝{y|y≠0，yR}，显然D≠B，但DB．
③函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、 ( http: / / www.21cnjy.com )唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数．
【典型例题分析】
一、函数的概念
【例1－1】下列对应或关系式中是A到B的函数的是( )
A．AR，BR，x2＋y2＝1
B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：
C．A＝R，B＝R，f：x→y＝
D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝
点技巧：判断一个对应关系是 ( http: / / www.21cnjy.com )否是函数关系的方法 从以下三个方面判断：(1)A，B必须都是非空数集；(2)A中任一实数在B中必须有实数和它对应；(3)A中任一实数在B中和它对应的实数是唯一的．注意：A中元素无剩余，B中元素允许有剩余．
【例1—2】下列四个图象中，不是函数图象的是（ ）.
( http: / / www.21cnjy.com )
A B C D
【例1－3】下列图形中不能确定y是x的函数的是( )
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
A B C D
点技巧：1、由图形判断从A到B的对应是否是函数关系有技巧
(1)任取一条垂直于x轴的直线l；(2)在集合A中移动直线l；(3)若直线l与集合B所在图形有且只有一个交点，则是函数；否则不是函数．
2、对符号f(x)的理解
①f(x)表示关于x的函数，又可以理解 ( http: / / www.21cnjy.com )为自变量x对应的函数值，是一个整体符号，分开写符号f(x)，如f，x，(x)等是没有意义的．符号f可以看作是对“x”施加的某种法则或运算，例如f(x)＝x2－x＋5，当x＝2时，看作对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去2，最后加上5；
②对于f(x)中x的理解，虽然f( ( http: / / www.21cnjy.com )x)＝3x与f(x＋1)＝3x从等号右边的表达式来看是一样的，但由于f施加法则的对象不一样(一个为x，而另一个为x＋1)，因此函数解析式也是不一样的；
③函数符号f(x)并不一定是解析式，它可以是其他任意的一个对应关系，如图象、表格、文字、描述等；
④f(x)与f(a)，aA的关系：f(x)表示自变量为x的函数，表示的是变量，f(a)表示当x＝a时的函数值，是一个值域内的值，是常量，如f(x)＝x＋1，当x＝3时，f(3)＝3＋1＝4．
【例1－4】已知函数f(x)＝3x2－5x＋2．
(1)求f(3)，，f(a)，f(a＋1)； (2)若f(x)＝0，求x．
【例1—5】已知函数，g(x)＝x2＋2，则f(g(2))＝__________，g(f(2))＝__________．
【例1—6】已知函数，
（1）求函数的定义域；（2）求的值；（3）当a>0时，求的值．
【例1—7】已知函数f(x)＝
(1)求f(－5)，f(－)，的值；(2)若f(a)＝3，求实数a的值．
【例1—7】已知函数 （1）求；（2），求的值
【例1—8】已知f(x)= (1) 求f(-1), f(f(-1)), f{ f [f(-1)]} (2) 画出函数的图象
【例1—9】已知函数y=(1)求f［f(5)］的值;(2)画出函数的图象.
【例1—10】（15年山东理科）设函数则满足的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
辨误区：求函数值易出现的错误 求函 ( http: / / www.21cnjy.com )数值时，注意将对应的x的值或代数式整体代入函数关系式求解，否则容易导致错误，例如本题容易将f(a＋1)误解为f(a)＋1，从而得出f(a＝1)＝3a2－5a＋3的错误结论．
点技巧：函数值的求法 求函数值时，首先要确定函数的对应关系f的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于f(g(x))型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f(g(x))与g(f(x))的区别．
二、具体函数定义域的求法：函数的定义域是自变 ( http: / / www.21cnjy.com )量x的取值范围，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指使函数关系式有意义的x的取值范围，但在实际问题中，函数的定义域还要受到实际意义的制约．
（1）已知函数解析式求函数的定义域
【例2—1】求下列函数的定义域：
(1)；(2)； (3)；（4）；
【例2—2】求下列函数的定义域
（1）； （2） （3）
（4）； （5）；
求具体函数定义域的原则和方法主要有：
①若f(x)为整式，则其定义域为实数集R．
②若f(x)是分式，则其定义域是使分母不等于0的实数的集合．
③若f(x)为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合．
④若f(x)是由几个部分的 ( http: / / www.21cnjy.com )数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集．⑤实际问题中，定义域要受到实际意义的制约．
(2)求给出解析式的函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的定义域的步骤为：①列出使函数有意义的x所适合的式子(往往是一个不等式组)；②解这个不等式组；③把不等式组的解表示成集合(或者区间)作为函数的定义域．
（2）抽象函数的定义域的求法：下面介绍一下这两种题型的解法．
(1)已知f(x)的定义域，求f(g( ( http: / / www.21cnjy.com )x))的定义域：一般地，若f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域是指满足不等式a≤g(x)≤b的x的取值范围．其实质是由g(x)的取值范围，求x的取值范围．
【例2—3】已知的定义域是，求的定义域；
【例2—4】已知函数f(x)的定义域为[1,2]，求函数y＝f(2x＋1)的定义域；
【例2—5】已知的定义域为，求，的定义域。
【例2—6】已知函数的定义域为，求的定义域
(2)已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域：函数f(g(x))的定义域为[a，b]，指的是自变量x[a，b]．一般地，若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域就是g(x)在区间[a，b]上的取值范围(即g(x)的值域)．其实质是由x的取值范围，求g(x)的取值范围．
【例2—7】已知的定义域为]，求，的定义域。
【2—8】已知的定义域是，求的定义域；
【例2—9】已知函数y＝f(2x＋1)的定义域为[1,2]，求函数y＝f(x)的定义域；
【例2—10】若函数的定义域为，求的定义域
【例2—11】已知函数y＝f(2x＋1)的定义域为[1,2]，求函数y＝f(2x－1)的定义域．
【例2—12】已知的定义域为，求的定义域。
【例2—13】若函数的定义域为，求的定义域．
辨误区：求函数定义域时两点需注意：
(1)求函数定义域的一个基本原则是解析式不能化简．例如，求函数y＝的定义域时，不能将y＝化简为y＝x，而求得定义域为R的错误结论；
(2)函数的定义域是一个集合，必须用集合或区间表示出来．
点技巧：求抽象函数定义域有技巧 (1) ( http: / / www.21cnjy.com )正确理解函数的定义域就是自变量x的取值范围；(2)运用整体的思想，在同一对应关系f下括号内的范围是一样的，即f(t)，f(g(x))，f(h(x))中的t，g(x)，h(x)的取值范围相同．
三、函数相等：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．
【例3－1】下列函数与函数g(x)＝2x－1(x＞2)相等的是( )
A．f(m)＝2m－1(m＞2) B．f(x)＝2x－1(xR) C．f(x)＝2x＋1(x＞2) D．f(x)＝x－2(x＜－1)
【例3—2】判断下列各组中的函数与是否表示同一个函数，并说明理由．
(1)，；(2)，；
(3)，；(4)，．
注意：①如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）；
②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关.
变式：下列各组函数的图象相同的是（ ）
A. B. C. D.
变式：判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？
（1） （2）
（3） （4） （5）
辨误区：判断两个函数是否相等易忽略两点 (1)判断两个函数是否相等的唯一依据是它的定义，即由定义域和对应关系是否相同确定，而与它们解析式中用什么符号表示自变量或函数无关，例如函数y＝f(x)，xA与函数u＝f(t)，tA是同一函数；(2)为了便于判断两个函数是否是同一个函数，对复杂的解析式可先化简再比较，但要注意化简前后的等价性，如f(x)＝，不能写成f(x)＝x＋2，而应当是f(x)＝x＋2(x≠2)；g(x)＝，不能写成g(x)＝x，而应当是g(x)＝|x|，这是容易出错的地方，要特别重视．
【课后强化练习】
1．如下图可作为函数的图象的是（ ）.
HYPERLINK "http://www." HYPERLINK "http://www."
A. B. C. D.
2．函数 HYPERLINK "http://www." 的图象是（ ）.
A． B． C． D．
3．下列满足函数关系的是
4．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
5．(2008全国Ⅰ卷理)函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
6．下列四组函数中，表示同一函数的是
A. B. C. D.
7．设函数f(x)＝，则(a≠b)的值是( )
A．a B．b C．a，b中较小的数 D．a，b中较大的数
8．设 HYPERLINK "http://www." ，若，则x=（ ）
A．1 B． HYPERLINK "http://www." C． D． HYPERLINK "http://www."
9．定义在R上的函数满足则（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
10．函数f(x) = + HYPERLINK "http://www." 的定义域用区间表示是 .
11．设函数f（x）＝，则 HYPERLINK "http://www." ＝ .
12．（2013年大纲版）已知函数的定义域为,则函数的定义域为
13．若函数y＝f(3x－1)的定义域是[1,3]，y＝f(x)的定义域
14．已知函数的定义域为，的定义域
15．已知函数的定义域为，函数的定义域为
16．判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？
（1），；（2）， （3），；
（4）， (5) ，
17．求解下列函数的定义域 （请用描述法和区间两种方法表示）
(1) (2) （3）
（4） (5) (6)
18．已知函数y＝(a＜0且a为常数)在区间(－∞，1]上有意义，求实数a的取值范围．
19．已知函数的定义域为，求实数的取值范围。
20．已知函数.
（1）求的值；（2）计算：.
【基础知识巩固】
(1)函数的概念：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，xA．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
比如，甲、乙两地相距30 km，某人骑车 ( http: / / www.21cnjy.com )从甲地去乙地，速度是12 km/h，出发t小时后行驶的路程是s km，则s是t的函数，记为s＝12t，定义域是{t|0≤t≤2.5}，值域为{s|0≤s≤30}．对集合{t|0≤t≤2.5}中的任意一个实数，在集合{s|0≤s≤30}中都有唯一的数s＝12t和它对应．
对函数概念的理解
①“A，B是非空的数集”，一方面强调了A， ( http: / / www.21cnjy.com )B只能是数集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．
②函数的三要素是：定义域、对应关系、值域．定义域就是非空数集A，而值域不一定是非空数集B，而是非空数集B的子集．
例如，设集合A＝{x|x≠0，xR}，B＝R，按照确定的对应关系f：取倒数，对于集合A中的任意一个数x，在B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，于是y＝f(x)＝就称为从集合A到集合B的一个函数．此时A是函数y＝的定义域，而值域D＝{y|y≠0，yR}，显然D≠B，但DB．
③函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、 ( http: / / www.21cnjy.com )唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数．
【典型例题分析】
一、函数的概念
【例1－1】下列对应或关系式中是A到B的函数的是( )
A．AR，BR，x2＋y2＝1
B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：
C．A＝R，B＝R，f：x→y＝
D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝
点技巧：判断一个对应关系是 ( http: / / www.21cnjy.com )否是函数关系的方法 从以下三个方面判断：(1)A，B必须都是非空数集；(2)A中任一实数在B中必须有实数和它对应；(3)A中任一实数在B中和它对应的实数是唯一的．注意：A中元素无剩余，B中元素允许有剩余．
【例1—2】下列四个图象中，不是函数图象的是（ ）.
( http: / / www.21cnjy.com )
A B C D
【例1－3】下列图形中不能确定y是x的函数的是( )
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
A B C D
点技巧：1、由图形判断从A到B的对应是否是函数关系有技巧
(1)任取一条垂直于x轴的直线l；(2)在集合A中移动直线l；(3)若直线l与集合B所在图形有且只有一个交点，则是函数；否则不是函数．
2、对符号f(x)的理解
①f(x)表示关于x的函数，又可以理解 ( http: / / www.21cnjy.com )为自变量x对应的函数值，是一个整体符号，分开写符号f(x)，如f，x，(x)等是没有意义的．符号f可以看作是对“x”施加的某种法则或运算，例如f(x)＝x2－x＋5，当x＝2时，看作对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去2，最后加上5；
②对于f(x)中x的理解，虽然f( ( http: / / www.21cnjy.com )x)＝3x与f(x＋1)＝3x从等号右边的表达式来看是一样的，但由于f施加法则的对象不一样(一个为x，而另一个为x＋1)，因此函数解析式也是不一样的；
③函数符号f(x)并不一定是解析式，它可以是其他任意的一个对应关系，如图象、表格、文字、描述等；
④f(x)与f(a)，aA的关系：f(x)表示自变量为x的函数，表示的是变量，f(a)表示当x＝a时的函数值，是一个值域内的值，是常量，如f(x)＝x＋1，当x＝3时，f(3)＝3＋1＝4．
【例1－4】已知函数f(x)＝3x2－5x＋2．
(1)求f(3)，，f(a)，f(a＋1)； (2)若f(x)＝0，求x．
【例1—5】已知函数，g(x)＝x2＋2，则f(g(2))＝__________，g(f(2))＝__________．
【例1—6】已知函数，
（1）求函数的定义域；（2）求的值；（3）当a>0时，求的值．
【例1—7】已知函数f(x)＝
(1)求f(－5)，f(－)，的值；(2)若f(a)＝3，求实数a的值．
【例1—7】已知函数 （1）求；（2），求的值
【例1—8】已知f(x)= (1) 求f(-1), f(f(-1)), f{ f [f(-1)]} (2) 画出函数的图象
【例1—9】已知函数y=(1)求f［f(5)］的值;(2)画出函数的图象.
【例1—10】（15年山东理科）设函数则满足的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
辨误区：求函数值易出现的错误 求函 ( http: / / www.21cnjy.com )数值时，注意将对应的x的值或代数式整体代入函数关系式求解，否则容易导致错误，例如本题容易将f(a＋1)误解为f(a)＋1，从而得出f(a＝1)＝3a2－5a＋3的错误结论．
点技巧：函数值的求法 求函数值时，首先要确定函数的对应关系f的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于f(g(x))型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f(g(x))与g(f(x))的区别．
二、具体函数定义域的求法：函数的定义域是自变 ( http: / / www.21cnjy.com )量x的取值范围，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指使函数关系式有意义的x的取值范围，但在实际问题中，函数的定义域还要受到实际意义的制约．
（1）已知函数解析式求函数的定义域
【例2—1】求下列函数的定义域：
(1)；(2)； (3)；（4）；
【例2—2】求下列函数的定义域
（1）； （2） （3）
（4）； （5）；
求具体函数定义域的原则和方法主要有：
①若f(x)为整式，则其定义域为实数集R．
②若f(x)是分式，则其定义域是使分母不等于0的实数的集合．
③若f(x)为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合．
④若f(x)是由几个部分的 ( http: / / www.21cnjy.com )数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集．⑤实际问题中，定义域要受到实际意义的制约．
(2)求给出解析式的函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的定义域的步骤为：①列出使函数有意义的x所适合的式子(往往是一个不等式组)；②解这个不等式组；③把不等式组的解表示成集合(或者区间)作为函数的定义域．
（2）抽象函数的定义域的求法：下面介绍一下这两种题型的解法．
(1)已知f(x)的定义域，求f(g( ( http: / / www.21cnjy.com )x))的定义域：一般地，若f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域是指满足不等式a≤g(x)≤b的x的取值范围．其实质是由g(x)的取值范围，求x的取值范围．
【例2—3】已知的定义域是，求的定义域；
【例2—4】已知函数f(x)的定义域为[1,2]，求函数y＝f(2x＋1)的定义域；
【例2—5】已知的定义域为，求，的定义域。
【例2—6】已知函数的定义域为，求的定义域
(2)已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域：函数f(g(x))的定义域为[a，b]，指的是自变量x[a，b]．一般地，若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域就是g(x)在区间[a，b]上的取值范围(即g(x)的值域)．其实质是由x的取值范围，求g(x)的取值范围．
【例2—7】已知的定义域为]，求，的定义域。
【2—8】已知的定义域是，求的定义域；
【例2—9】已知函数y＝f(2x＋1)的定义域为[1,2]，求函数y＝f(x)的定义域；
【例2—10】若函数的定义域为，求的定义域
【例2—11】已知函数y＝f(2x＋1)的定义域为[1,2]，求函数y＝f(2x－1)的定义域．
【例2—12】已知的定义域为，求的定义域。
【例2—13】若函数的定义域为，求的定义域．
辨误区：求函数定义域时两点需注意：
(1)求函数定义域的一个基本原则是解析式不能化简．例如，求函数y＝的定义域时，不能将y＝化简为y＝x，而求得定义域为R的错误结论；
(2)函数的定义域是一个集合，必须用集合或区间表示出来．
点技巧：求抽象函数定义域有技巧 (1) ( http: / / www.21cnjy.com )正确理解函数的定义域就是自变量x的取值范围；(2)运用整体的思想，在同一对应关系f下括号内的范围是一样的，即f(t)，f(g(x))，f(h(x))中的t，g(x)，h(x)的取值范围相同．
三、函数相等：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．
【例3－1】下列函数与函数g(x)＝2x－1(x＞2)相等的是( )
A．f(m)＝2m－1(m＞2) B．f(x)＝2x－1(xR) C．f(x)＝2x＋1(x＞2) D．f(x)＝x－2(x＜－1)
【例3—2】判断下列各组中的函数与是否表示同一个函数，并说明理由．
(1)，；(2)，；
(3)，；(4)，．
注意：①如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）；
②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关.
变式：下列各组函数的图象相同的是（ ）
A. B. C. D.
变式：判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？
（1） （2）
（3） （4） （5）
辨误区：判断两个函数是否相等易忽略两点 (1)判断两个函数是否相等的唯一依据是它的定义，即由定义域和对应关系是否相同确定，而与它们解析式中用什么符号表示自变量或函数无关，例如函数y＝f(x)，xA与函数u＝f(t)，tA是同一函数；(2)为了便于判断两个函数是否是同一个函数，对复杂的解析式可先化简再比较，但要注意化简前后的等价性，如f(x)＝，不能写成f(x)＝x＋2，而应当是f(x)＝x＋2(x≠2)；g(x)＝，不能写成g(x)＝x，而应当是g(x)＝|x|，这是容易出错的地方，要特别重视．
【课后强化练习】
1．如下图可作为函数的图象的是（ ）.
HYPERLINK "http://www." HYPERLINK "http://www."
A. B. C. D.
2．函数 HYPERLINK "http://www." 的图象是（ ）.
A． B． C． D．
3．下列满足函数关系的是
4．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
5．(2008全国Ⅰ卷理)函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
6．下列四组函数中，表示同一函数的是
A. B. C. D.
7．设函数f(x)＝，则(a≠b)的值是( )
A．a B．b C．a，b中较小的数 D．a，b中较大的数
8．设 HYPERLINK "http://www." ，若，则x=（ ）
A．1 B． HYPERLINK "http://www." C． D． HYPERLINK "http://www."
9．定义在R上的函数满足则（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
10．函数f(x) = + HYPERLINK "http://www." 的定义域用区间表示是 .
11．设函数f（x）＝，则 HYPERLINK "http://www." ＝ .
12．（2013年大纲版）已知函数的定义域为,则函数的定义域为
13．若函数y＝f(3x－1)的定义域是[1,3]，y＝f(x)的定义域
14．已知函数的定义域为，的定义域
15．已知函数的定义域为，函数的定义域为
16．判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？
（1），；（2）， （3），；
（4）， (5) ，
17．求解下列函数的定义域 （请用描述法和区间两种方法表示）
(1) (2) （3）
（4） (5) (6)
18．已知函数y＝(a＜0且a为常数)在区间(－∞，1]上有意义，求实数a的取值范围．
19．已知函数的定义域为，求实数的取值范围。
20．已知函数.
（1）求的值；（2）计算：.