2.2.1 平方差公式 同步课件（共31张PPT）
文档属性
| 名称 | 2.2.1 平方差公式 同步课件（共31张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-29 08:36:40 | ||
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文档简介
(共31张PPT)
2.2 乘法公式
2.2.1 平方差公式
1.使学生理解和掌握平方差公式.
2.会利用公式进行计算，能够掌握平方差公式的一些应用.
3.经历探索平方差公式的过程，增强了数和符号的意识，培养学生发现问题、提出问题的能力.
4.在探索和交流的过程中，培养学生与人协作的习惯，质疑的精神.
【教学重点】
弄清平方差公式的来源及其结构特点，能用自己的语言说明公式及其特点.
【教学难点】
准确理解和掌握公式的结构特征.
多项式与多项式是如何相乘的？
(x ＋ 3)( x＋5)
= x2＋5x＋3x＋15
= x2＋8x＋15.
( a + b )( m + n )
= am
+ an
+ bm
+ bn
思考
计算下列各式，你能发现什么规律：
( a+1 )( a-1 )=a2-a+a-12= ，
( a+2 )( a-2 )=a2-2a+2a-22= ，
( a+3 )( a-3 )=a2-3a+3a-32= ，
( a+4 )( a-4 )=a2-4a+4a-42= .
a2-12
a2-22
a2-32
a2-42
同学们通过观察这几个式子的左右两边，有什么发现吗？
左边是两个二项式相乘，这两个二项式的两项中，有一项相同，另一项互为相反数；
右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去互为相反数项的平方。
我们用多项式乘法来推导一般情况：
( a+b )( a-b )=a2-ab+ab-b2=a2-b2.
(a + b )( a - b ) = a2 - ab + ab -b2= .
a2-b2
(a + b )( a - b ) =
a2-b2
平方差公式
两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.
1、公式特征:
2、使用公式应该注意:
相乘的两个括号中有一对相同的数（式子），
有一对互为相反数的数（式子）
找清哪个是相同的，即公式中的a；
哪个是互为相反数的，即公式中的b
3、平方差公式对我们的帮助:
可以使我们在计算这种类型的多项式乘法时
直接用公式更加快速和简便
1、口答下列各题：
(l) (－a + b)(a + b) =_________.
(2) (a－b)(b + a) = _________.
(3) (－a－b)(－a + b) = ________.
(4) (a－b)(－a－b) = _________.
a2－b2
a2－b2
b2－a2
b2－a2
2、练一练
相同项 相反项 结果
(x+y)(x-y)
(3x-5)(3x+5)
（-2a-b)(b-2a)
(-7m+8n)(-8n-7m)
(2a-6b)(-2a-6b)
x
-6b
-7m
-2a
3x
-b,b
-5,5
8m,-8m
2a,-2a
(-6b)2-(2a)2
(-7m)2-(8m)2
(-2a)2-b2
(3x)2-52
x2-y2
y,-y
讨论
如图（1），将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，并
将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成如图（2）所示的长方形，你能用这两个图解释平方差公式吗？
a
b
（1）
a
b
a-b
（2）
图（2）中的面积为：( a+b )( a-b )，图（1）中的剩余部分的面积为a2-b2.由题可知，图（2）的面积为图（1）剩余部分的面积，所以( a+b )( a-b )=a2-b2.
对于满足平方差公式特征的多项式的乘法，可以利用该公式进行简便计算.
（1）(2x+1)(2x-1)；
（2）(x+2y)(x-2y).
【例1】运用平方差公式计算：
分析：第（1）题，可以把“2x”看成平方差公式中的“a”， “1”看成“b”；第（2）题，可以把“x”看成平方差公式中的“a”，“2y”看成“b”.
解：（1）(2x+1)(2x-1)
= (2x)2-12
= 4x2-1.
（2） (x+2y)(x-2y)
= x2 -(2y)2
= x2 -4y2
1、利用平方差公式计算：
(1) (5＋6x )(5－6x) ； (2) (x－2y)(x＋2y)；
(3) (－m＋n)(－m－n).
解：(1) 原式 ＝ 52－(6x)2 ＝ 25－36x2.
(2) 原式 ＝ x2－(2y)2 ＝ x2－4y2.
(3) 原式 ＝ (－m)2－n2 ＝ m2－n2.
注意：1. 先把要计算的式子与公式对照；
2. 哪个是 a 哪个是 b
【例2】运用平方差公式计算：
（1） ； （2）( 4a+b )( -b+4a ).
解：（1）
（2）( 4a+b )( -b+4a )
= ( 4a+b )( 4a-b )
= ( 4a )2-b2
= 16a2-b2.
将括号内的式子转化为平方差公式形式.
自主探究
想一想：
(1) 计算下列各式，并观察他们的共同特点：
6×8 = 48 14×16 = 224 69×71 = 4899
7×7 = 49 15×15 = 225 70×70 = 4900
(2) 从以上的过程中，你发现了什么规律？请用字母
表示这一规律，你能说明它的正确性吗？
(a 1)(a + 1) = a2 1，
【例3】计算：1 002×998
解： 1 002×998
= (1 000+2)(1 000-2)
= 1 0002-22
= 1 000 000-4
= 999 996
2、计算：
(1) 103×97； (2) 118×122.
解：103×97
= (100＋3)(100－3)
= 1002－32
= 10000 － 9
= 9991.
解：118×122
= (120－2)(120＋2)
= 1202－22
= 14400－4
= 14396.
注意：不能直接应用公式的，要适当变形才可以应用.
1.下列式子可用平方差公式计算吗 为什么
如果能够，怎样计算
(1) (a + b)( a b)；
(2) (a b)(b a)；
(3) (a + 2b)(2b + a)；
(4) (a b)(a + b)；
(5) ( 2x + y)(y 2x).
(不能)
(不能)
(不能)
( 能 )
(不能)
(a2 b2) =
a2 + b2
2、下面各式的计算对不对？ 如果不对， 应怎样改正？
（1） ( x－ 2 )( x ＋ 2 ) ＝ x2－ 2 ；
（2） (－2x－ 1)(2x － 1) ＝ 4x2－ 1 ．
解：（1） ( x－ 2 )( x ＋ 2 ) ＝ x2－ 4 ；
（2） (－2x－ 1)(2x － 1) ＝ (-1-2x)(-1+2x)＝ 1-4x2
3、计算：
(1) a2(a + b)(a－b) + a2b2；
(2) (2x－5)(2x + 5) －2x(2x－3).
解：(1) 原式 = a2(a2－b2) + a2b2
= a4－a2b2 + a2b2
= a4 .
(2) 原式 = (2x)2－25－(4x2－6x)
= 4x2－25－4x2 + 6x
= 6x－25.
4. 运用平方差公式计算：
（2）(3a+b)(3a-b)；
（1）(m+2n)(m-2n)；
（4）(-1+5a)(-1-5a).
（3）
= 9a2-b2
= m2-4n2
= 1-25a2.
= x2-y2
(1) (a + 3b)(a - 3b)；
解：原式 = (2a + 3)(2a－3)
= (2a)2－32
= 4a2－9.
= a2－9b2.
解：原式 = a2－(3b)2
(2) (3 + 2a)(－3 + 2a)；
5. 利用平方差公式计算：
(3) (－2x2－y)(－2x2 + y)；
解：原式 = (－2x2 )2－y2
= 4x4－y2.
(4) (－5 + 6x)(－6x－5).
解：原式 = (－5 + 6x)(－5－6x)
= (－5)2－(6x)2
= 25－36x2.
6、先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，
其中 x＝1，y＝2.
解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)
＝4x2－y2－ (4y2－x2)
＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.
当 x＝1，y＝2 时，原式＝5×12－5×22＝－15.
方法总结：利用平方差公式先化简再求值，一般不要先直接代入数值计算．
解：(1) 原式＝(50＋1)(50－1)＝502－12
＝2500－1＝2499.
(3) 原式＝(9x2－16)－(6x2＋5x－6)
＝3x2－5x－10.
(1) 51×49；
(3) (3x + 4)(3x - 4) - (2x + 3)(3x - 2).
(2) 13.2×12.8；
7. 利用平方差公式计算：
(2) 原式＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝132－0.22
＝169－0.04＝168.96.
（1）202×198；
（2）49.8×50.2 .
8. 计算：
解:（1）202×198
= (200+2)(200-2)
= 40 000 – 4
= 39 996
（2）49.8×50.2
= (50-0.2)(50+0.5)
= 2 500-0.04
= 2 499.96
9、王大伯家把一块边长为 a 米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4 米，另外一边增加 4 米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为 a2，
改变边长后面积为 (a＋4)(a－4)＝a2－16.
∵a2＞a2－16，∴李大妈吃亏了．
同学们，通过这节课的学习你收获了什么？和大家一起分享一下。
理解了平方差公式的意义；
会用几何图形说明平方差公式的意义；
掌握了平方差公式的结构特征，会正确地运用平方差公式进行计算。
平方差公式
内容
注意
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
1. 字母表示：(a + b)(a－b) = a2－b2
2. 紧紧抓住“一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过适当变形才可以应用
1、习题2.2中第1题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.
2.2 乘法公式
2.2.1 平方差公式
1.使学生理解和掌握平方差公式.
2.会利用公式进行计算，能够掌握平方差公式的一些应用.
3.经历探索平方差公式的过程，增强了数和符号的意识，培养学生发现问题、提出问题的能力.
4.在探索和交流的过程中，培养学生与人协作的习惯，质疑的精神.
【教学重点】
弄清平方差公式的来源及其结构特点，能用自己的语言说明公式及其特点.
【教学难点】
准确理解和掌握公式的结构特征.
多项式与多项式是如何相乘的？
(x ＋ 3)( x＋5)
= x2＋5x＋3x＋15
= x2＋8x＋15.
( a + b )( m + n )
= am
+ an
+ bm
+ bn
思考
计算下列各式，你能发现什么规律：
( a+1 )( a-1 )=a2-a+a-12= ，
( a+2 )( a-2 )=a2-2a+2a-22= ，
( a+3 )( a-3 )=a2-3a+3a-32= ，
( a+4 )( a-4 )=a2-4a+4a-42= .
a2-12
a2-22
a2-32
a2-42
同学们通过观察这几个式子的左右两边，有什么发现吗？
左边是两个二项式相乘，这两个二项式的两项中，有一项相同，另一项互为相反数；
右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去互为相反数项的平方。
我们用多项式乘法来推导一般情况：
( a+b )( a-b )=a2-ab+ab-b2=a2-b2.
(a + b )( a - b ) = a2 - ab + ab -b2= .
a2-b2
(a + b )( a - b ) =
a2-b2
平方差公式
两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.
1、公式特征:
2、使用公式应该注意:
相乘的两个括号中有一对相同的数（式子），
有一对互为相反数的数（式子）
找清哪个是相同的，即公式中的a；
哪个是互为相反数的，即公式中的b
3、平方差公式对我们的帮助:
可以使我们在计算这种类型的多项式乘法时
直接用公式更加快速和简便
1、口答下列各题：
(l) (－a + b)(a + b) =_________.
(2) (a－b)(b + a) = _________.
(3) (－a－b)(－a + b) = ________.
(4) (a－b)(－a－b) = _________.
a2－b2
a2－b2
b2－a2
b2－a2
2、练一练
相同项 相反项 结果
(x+y)(x-y)
(3x-5)(3x+5)
（-2a-b)(b-2a)
(-7m+8n)(-8n-7m)
(2a-6b)(-2a-6b)
x
-6b
-7m
-2a
3x
-b,b
-5,5
8m,-8m
2a,-2a
(-6b)2-(2a)2
(-7m)2-(8m)2
(-2a)2-b2
(3x)2-52
x2-y2
y,-y
讨论
如图（1），将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，并
将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成如图（2）所示的长方形，你能用这两个图解释平方差公式吗？
a
b
（1）
a
b
a-b
（2）
图（2）中的面积为：( a+b )( a-b )，图（1）中的剩余部分的面积为a2-b2.由题可知，图（2）的面积为图（1）剩余部分的面积，所以( a+b )( a-b )=a2-b2.
对于满足平方差公式特征的多项式的乘法，可以利用该公式进行简便计算.
（1）(2x+1)(2x-1)；
（2）(x+2y)(x-2y).
【例1】运用平方差公式计算：
分析：第（1）题，可以把“2x”看成平方差公式中的“a”， “1”看成“b”；第（2）题，可以把“x”看成平方差公式中的“a”，“2y”看成“b”.
解：（1）(2x+1)(2x-1)
= (2x)2-12
= 4x2-1.
（2） (x+2y)(x-2y)
= x2 -(2y)2
= x2 -4y2
1、利用平方差公式计算：
(1) (5＋6x )(5－6x) ； (2) (x－2y)(x＋2y)；
(3) (－m＋n)(－m－n).
解：(1) 原式 ＝ 52－(6x)2 ＝ 25－36x2.
(2) 原式 ＝ x2－(2y)2 ＝ x2－4y2.
(3) 原式 ＝ (－m)2－n2 ＝ m2－n2.
注意：1. 先把要计算的式子与公式对照；
2. 哪个是 a 哪个是 b
【例2】运用平方差公式计算：
（1） ； （2）( 4a+b )( -b+4a ).
解：（1）
（2）( 4a+b )( -b+4a )
= ( 4a+b )( 4a-b )
= ( 4a )2-b2
= 16a2-b2.
将括号内的式子转化为平方差公式形式.
自主探究
想一想：
(1) 计算下列各式，并观察他们的共同特点：
6×8 = 48 14×16 = 224 69×71 = 4899
7×7 = 49 15×15 = 225 70×70 = 4900
(2) 从以上的过程中，你发现了什么规律？请用字母
表示这一规律，你能说明它的正确性吗？
(a 1)(a + 1) = a2 1，
【例3】计算：1 002×998
解： 1 002×998
= (1 000+2)(1 000-2)
= 1 0002-22
= 1 000 000-4
= 999 996
2、计算：
(1) 103×97； (2) 118×122.
解：103×97
= (100＋3)(100－3)
= 1002－32
= 10000 － 9
= 9991.
解：118×122
= (120－2)(120＋2)
= 1202－22
= 14400－4
= 14396.
注意：不能直接应用公式的，要适当变形才可以应用.
1.下列式子可用平方差公式计算吗 为什么
如果能够，怎样计算
(1) (a + b)( a b)；
(2) (a b)(b a)；
(3) (a + 2b)(2b + a)；
(4) (a b)(a + b)；
(5) ( 2x + y)(y 2x).
(不能)
(不能)
(不能)
( 能 )
(不能)
(a2 b2) =
a2 + b2
2、下面各式的计算对不对？ 如果不对， 应怎样改正？
（1） ( x－ 2 )( x ＋ 2 ) ＝ x2－ 2 ；
（2） (－2x－ 1)(2x － 1) ＝ 4x2－ 1 ．
解：（1） ( x－ 2 )( x ＋ 2 ) ＝ x2－ 4 ；
（2） (－2x－ 1)(2x － 1) ＝ (-1-2x)(-1+2x)＝ 1-4x2
3、计算：
(1) a2(a + b)(a－b) + a2b2；
(2) (2x－5)(2x + 5) －2x(2x－3).
解：(1) 原式 = a2(a2－b2) + a2b2
= a4－a2b2 + a2b2
= a4 .
(2) 原式 = (2x)2－25－(4x2－6x)
= 4x2－25－4x2 + 6x
= 6x－25.
4. 运用平方差公式计算：
（2）(3a+b)(3a-b)；
（1）(m+2n)(m-2n)；
（4）(-1+5a)(-1-5a).
（3）
= 9a2-b2
= m2-4n2
= 1-25a2.
= x2-y2
(1) (a + 3b)(a - 3b)；
解：原式 = (2a + 3)(2a－3)
= (2a)2－32
= 4a2－9.
= a2－9b2.
解：原式 = a2－(3b)2
(2) (3 + 2a)(－3 + 2a)；
5. 利用平方差公式计算：
(3) (－2x2－y)(－2x2 + y)；
解：原式 = (－2x2 )2－y2
= 4x4－y2.
(4) (－5 + 6x)(－6x－5).
解：原式 = (－5 + 6x)(－5－6x)
= (－5)2－(6x)2
= 25－36x2.
6、先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，
其中 x＝1，y＝2.
解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)
＝4x2－y2－ (4y2－x2)
＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.
当 x＝1，y＝2 时，原式＝5×12－5×22＝－15.
方法总结：利用平方差公式先化简再求值，一般不要先直接代入数值计算．
解：(1) 原式＝(50＋1)(50－1)＝502－12
＝2500－1＝2499.
(3) 原式＝(9x2－16)－(6x2＋5x－6)
＝3x2－5x－10.
(1) 51×49；
(3) (3x + 4)(3x - 4) - (2x + 3)(3x - 2).
(2) 13.2×12.8；
7. 利用平方差公式计算：
(2) 原式＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝132－0.22
＝169－0.04＝168.96.
（1）202×198；
（2）49.8×50.2 .
8. 计算：
解:（1）202×198
= (200+2)(200-2)
= 40 000 – 4
= 39 996
（2）49.8×50.2
= (50-0.2)(50+0.5)
= 2 500-0.04
= 2 499.96
9、王大伯家把一块边长为 a 米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4 米，另外一边增加 4 米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为 a2，
改变边长后面积为 (a＋4)(a－4)＝a2－16.
∵a2＞a2－16，∴李大妈吃亏了．
同学们，通过这节课的学习你收获了什么？和大家一起分享一下。
理解了平方差公式的意义；
会用几何图形说明平方差公式的意义；
掌握了平方差公式的结构特征，会正确地运用平方差公式进行计算。
平方差公式
内容
注意
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
1. 字母表示：(a + b)(a－b) = a2－b2
2. 紧紧抓住“一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过适当变形才可以应用
1、习题2.2中第1题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.