丰城九中2023-2024 学年上学期高一期末考试数学答案
1．C 2．B 3．C 4．C 5．A 6．B 7．C 8．D
9．BC 10．ABD 11．ACD 12．ABD
13．2 14 1． y 5x 15．264 16． 2
17．（1）因为b sin A a cos
B
，根据正弦定理可得 sin Bsin A sin Acos B 6 6
3 1
在 ABC中， sin A 0，所以有 sin B cos B cos B sin B ，
6 2 2
sin B
则有 sinB 3 cosB，即 tan B 3，
cos B
又 B 0, π π，所以 B .
3
（2）根据余弦定理，b2 a2 c2 2ac cosB 7 ，所以b 7 .
b c c sin B 3 21
根据正弦定理， ，则有 ，
sin B sinC sinC b 14
3 21
所以 sin(A B) sinC .
14
18.（1）依题意，A校学生获得的奖学金的总额为：
0.2 100 0.5 0.5 100 1.5 0.3 100 2.8 169（百元） 16900（元）
B校学生获得的奖学金的总额为：
0.1 100 0.5 0.7 100 1.5 0.2 100 2.8 166（百元） 16600（元）
因为16900 16600，所以A校实力更强.
（2）由样本频率分布直方图可知，参赛学生成绩位于 115,120 的频率为 0.2，
参赛学生成绩位于 110,115 的频率为 0.35，这两组频率之和为0.55 0.45，
所以所求分数在 110,115 ，不妨设“数学达人”的分数至少为m，
则0.2 115 m 0.07 0.45，解得m 111.43，
所以估计 B校“数学达人”的分数至少达到 111.43分.
19．（1）在 PCD中，易知 PC PD CD 2，且M 是PC的中点，
故 PC DM ，且在正方形 ABCD中，CD BC，面 PCD 面 ABCD，
面 PCD 面 ABCD CD，面 PCD 面 ABCD，故BC 面 PCD，
易知DM 面 PCD，故 BC DM ，又 PC DM ， BC PC C ，综上DM 面PBC
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（2）如图，以O为坐标原点，过O平行于DA的直线为 x轴，以OC，OP所在直线分别为 y
轴和 z轴建立空间直角坐标系，
A(2, 1,0) B(2,1,0) C(0,1,0) D(0, 1,0) P(0,0, 3) N (1, 1,0) M (0, 1 , 3则 ， ， ， ， ， ， )，
2 2
BD 1 3 ( ),BM ( , )．设平面MBD的法向量为m (x, y, z)，
2 2
2x 2y 0
m BD 0
由 ，得 1 3 ，取 y 1，得 x 1， z 3．
m BM 0 2x y z 0 2 2
所以m (1, 1, 3)，又DN (1,0,0)，所以点 N到平面MBD的距离
m DN
d 1 5 m 5 5
20．（1 2）圆 x2 y2 2x 0的方程可化为 x 1 y2 1，
故圆心的坐标为 F 1，0 ．
p
设抛物线C的方程为 y2 2px ( p 0 )，所以 1，所以 p 2，
2
所以抛物线C的方程为 y2 4x．
y2 4x
（2）设 A x1，y B x，y 1 11 ， 2 2 ，则 2 两式相减，
y2 4x2
得 y2 21 y2 4(x1 x2 )，即 (y1 y2)(y1 y2) 4(x1 x2) ，
y1 y2 4
所以直线 l的斜率 k x1 x2 y
．
1 y2
4因为点 P 2, 1 是 AB的中点，所以 y1 y2 2，所以 k 2y1 y
．
2
所以直线 l的方程为 y 1 2 x 2 ，即 2x y 3 0．
21．（1）取MB的中点为 P，连接DP，PN，
因为MN CN ，MP BP，所以 NP∥BC，
又 DE∥BC，所以 NP∥DE，即 N，E，D，P四点共面，
又 EN∥平面 BMD，EN 平面 NEDP，平面 NEDP∩平面 MBD＝DP，所以 EN∥PD，
NEDP 1 1即 为平行四边形，所以 NP＝DE，则 DE＝ 2 BC，即λ＝ 2 .
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（2）取DE的中点O，连接 MO，则 MO⊥DE，因为平面 MDE⊥平面 DECB，
平面 MDE∩平面 DECB＝DE，且 MO⊥DE，所以 MO⊥平面 DECB，
如图建立空间直角坐标系，
不妨设 BC 2，则M 0,0, 3 ，D ,0,0 ， B 1, 3 1 ,0 ，
所以MD ,0, 3 ，DB 1 , 3 1 ,0 ，
设平面 BMD的法向量为m x, y, z ，则
MD m
x 3 z 0 x 3z,
，即 ，
DB m
(1 )x 3(1 )y 0 x 3y
令 x 3，即m 3, 1,1 .又平面 EMD的法向量 n 0,1,0 ，所以
cos m,n m n 1 5
m n 5 5 ，即随着 值的变化，二面角 B MD E的大小不变．
sin m,n 1 1 2 5且 . 2 5所以二面角 B MD E的正弦值为 .
5 5 5
22．（1）由题可得， AB a2 b2 5，
3 c 3
所以 a2 b2 5 因为椭圆的离心率为 .所以 e ，结合椭圆中b2 a2 c2可知，
2 a 2
2
a 2，b 1. x所以椭圆 C的标准方程为 y2 1.
4
（2） F2 3，0 ，设 P x1，y1 ，Q x2，y2 .
因为直线 PF2 与直线QF2的倾斜角互补，
所以可知 kPF k 02 QF2 ，
y1 y 2即 0x1 3 x
，
2 3
化简得 x1y2 x2 y1 3 y1 y2 0.
设直线 PQ : x my n(n 2)，
将 x1 my1 n，x2 my2 n 代入上式，
整理可得 2my1y2 n 3 y1 y2 0.
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x my n，
且由 x2 4y
2 消元化简可得 4
m2 4 y2 2mny n2 4 0，
2mn n 2 4
所以 y1 y2 2 ，ym 4 1
y2 2 ，代入上式m 4
2m n2 4
由
m2 4 n 3
2mn
，
m2
0
4
n 4 3解得 .
3
4 3
所以 PQ : x my .
3
1
因为点 F2 3，0 到直线 PQ的距离d ，3 3m2
2
且 PQ 1 m 2 y y 2 4y y 1 m 2 4 3m 4 1 2 1 2 3 m2 4
1 1 1 2 4 3 m2 4 2 3 m2 4
所以 S PQF d PQ 1 m 2 .2 2 2 3 3m2 3 m2 4 3 m 4
t 22 m2 4令 t 3m 4，则
3
S 2t 1所以 PQF ，.2 t 2 16 4
2 20
当且仅当 t 4，m 时取等号.
3
1
所以 PQF2 的面积的最大值为 .4
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{#{QQABDQQAggigABIAAQhCQw2ICEIQkBAACCoGAEAEMAAAyQNABAA=}#}丰城九中2023-2024 学年上学期高一期末考试试卷
数 学
本试卷总分值为 150 分 考试时长为 120 分钟
考试范围：必修一、必修二
一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1．已知 z 21， z2是关于 x的方程 x 2x 2 0的两个根.若 z1 1 i，则 z2 （ ）
A 2． B．1 C． 2 D．2
2
2.直线 x tan 60 的倾斜角为（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
3.设 a log2 0.2，b 20.2 ， c 0.22，则（ ）
A． a b c B． c b a C．b c a D．b a c
4.抛物线 y 2x2上一点到焦点的最小距离为（ ）
1 1 1A．1 B． 2 C． D．8 4
5.条件 p： x2 4x 5 0是条件 q： x2 6x 5 0的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分又非必要条件
6．已知 2x0 y0 6，则圆 x2 y2 1与直线 x0x y0 y 2的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
7．在正方体 ABCD A1B1C1D1中，点M 为棱 AB上的动点，则 A1M 与平面 ABC1D1所成角的
取值范围为（ ）
A [ π π [
π π π π
． , ] B． , ] C． [
π , π ] ．[ , ]
4 2 6 3 6 4
D
4 3
y 2 2 18．已知实数x1、x2、 1、 y2满足： x1 y
2 2
1 1， x2 y2 1， y1y2 x1x2 ，则2
3x1 4y1 12 3x2 4y2 12 的最大值为（ ）
5 5
29 63
A B C 29 3
24
． ． ． D． 3
5 10 5 2 5
二、多选题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
4
9．设定点F1 0, 2 ，F2 0,2 ，动点 P满足 PF1 PF2 a a 0 ，则点 P的轨迹可能是（ ）a
A．圆 B．线段 C．椭圆 D．直线
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10. 3x 1
n
已知二项式 的展开式中各项的系数和为 64，则下列说法正确的是（ ）
x
A．n 6 B．展开式中所有奇数项的二项式系数和为 32
C．展开式中的常数项为 540 D．展开式中二项式系数最大的项是第四项
11.2023年国外某智库发布尖端技术研究国家竞争力排名，在极超音速和水下无人机等 23
个领域中，中国在其中 19个领域领先.某科技博主从这 19个领域中选取了 A， B，C，D，
E， F六个领域，准备在 2024年 1月 1—6日对公众进行介绍，每天随机介绍其中一个领
域，且每个领域只在其中一天介绍，则（ ）
A. A， B在后 3天介绍的方法种数为 144 B. C，D相隔一天介绍的方法种数为 96
C. E不在第一天， F不在最后一天介绍的方法种数为 504
1
D. A在 B，C之前介绍的概率为
3
12 1 1．已知函数 f (x) sin x cos x，则下列结论正确的是（ ）
3π 3π
A． f (x)的图象关于点 , 0 对称 B． f (x)的图象关于直线 x 对称
4 4
π
C． f (x)
的最小正周期是 π D． f (x)在 0, 上有最小值，且最小值为 2 2
2
三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13.若直线 l1：6x 4y 7 0与直线 l2： ax 3y 1 0垂直，则 a .
2 2
14. x y已知双曲线Γ： 2 2 1的离心率为 6 ，焦点到渐近线的距离是 5，则Γ的渐近线方a b
程为 .
15．如图，将 1，2，3，4四个数字填在 6个“ ”中，每个“ ”中填一个数字，有线段连接
的两个“ ”不能填相同数字，四个数字不必均使用，则不同填数方法有 种．
16 M x
2 y2
．已知 为椭圆： 1（a b 0）上一点，F1，F2为左、右焦点，设 MF1F2 a2
，
b2
MF F 2 1 ，若 cos 2cos ，则该椭圆的离心率e .2 2
(15) (16)
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四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（本小题满分 10 分）在 ABC中，角A， B，C所对的边分别是 a，b， c，已知
b sin A a cos B .
6
(1)求角 B的大小；
(2)若a 2， c 3，求 sin A B 的值.
18.（本小题满分 12 分）丰城市 A，B两校组织了一次数学联赛（总分 120分），两校各自挑
选了数学成绩最好的 100名学生参赛，成绩不低于 115分定义为优秀，赛后统计了所有参赛
学生的成绩（都在区间 100,120 内），将这些数据分成 4组： 100,105 ， 105,110 ， 110,115 ，
115,120 .得到如下两个学校的频率分布直方图：
(1)联赛结束后两校将根据学生的成绩发放奖学金，已知奖学金 y（单位：百元）与其成绩
0.5,100 t 105,
t 的关系为 y 1.5,105 t 115, 若以奖学金的总额为判断依据，本次联赛 A、B两校哪所学
2.8,115 t 120.
校实力更强？
(2)B校规定：按照笔试成绩从高到低，选
拔 45%的参赛学生进行数学的专业知识
深度培养，将当选者称为“数学达人”，按
照 B校规定及该校频率分布直方图，估计
B校“数学达人”的分数至少达到多少分？
（保留小数点后两位小数）.
19．（本小题满分 12 分）如图，四棱锥 P ABCD的底面是边长为 2的正方形，侧面 PCD
底面 ABCD，且PC PD 2，M，N分别为棱 PC，AD的中点．
(1)求证：DM 面PBC；
(2)求点 N到平面MBD的距离．
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20.（本小题满分 12 分）已知圆 x2 y2 2x 0的圆心 F 是抛物线C的焦点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线 l交抛物线C于 A,B两点，且点 P 2, 1 是弦 AB的中点，求直线 l的方程．
21.（本小题满分 12 分）如图 1，在等边 ABC中，点 D，E分别为边 AB，AC上的动点且
满足DE //BC
DE
，记 .将△ADE沿 DE翻折到△MDE的位置并使得平面 MDE⊥平面
BC
DECB，连接 MB，MC得到图 2，点 N为 MC的中点．
(1)当 EN∥平面 MBD时，求λ的值；
(2)试探究：随着λ值的变化，二面角 B MD E的大小是否改变？
如果改变，请说明理由；如果不改变，请求出二面角 B MD E
的正弦值大小．
x2 y222．（本小题满分 12 分）设椭圆C : 2 2 1(a b 0) 的左右焦点分别为 F1，F2 .A，B是该a b
3
椭圆 C的右顶点和上顶点，且 AB 5，若该椭圆的离心率为 .
2
(1)求椭圆 C的标准方程；
(2)直线 l与椭圆 C交于 P，Q两点，且与 x轴交于点D(xD a).若直线PF2 与直线QF2的倾斜
角互补，求 PQF2 的面积的最大值.
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