无锡市2023年秋学期高二期终教学质量调研测试
1已知双曲线C:手苦-10>06>0的左，右焦点分别为R,R,点P是C的右支上一点
12.已知0为坐标原点，点A(2,1)在抛物线C:2=2p四(p>0)上，抛物线的焦点为F,过点
2024.1
B(O,-)的直线I交抛物线C于P,Q两点（点P在点B,Q的之间），则（▲）
数学
PE⊥PE,PE与y轴交于点M.若FO=3OM(O为坐标原点)，则双曲线C的渐近线方
A,直线AB与抛物线C相切
命题单位：锡山区教师发展中心
制卷单位：无锡市教育科学研究院
程为（▲）
B.0p.00=6
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
C.y=±V3x
D.y=t3x
合题目要求的.
A归±5：B,y6
C.若P是线段BQ的中点，则2PF=|QF
1.直线V5x+3y-2=0的倾斜角是（▲）
8,已知等比数列{a,}的前n项和为S。,则下列说法一定正确的是（▲）
D.存在直线1，使得PF+OF=2BF
D.
A.若S0>0,则4，>0
B.若S4>0,则a>0
A.2
B.
C.若S,m>0,则a,>0
D.若S,4>0,则a,>0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
2.己知等比数列{a,}的各项均为正数，公比q=2,且满足a,a。=16,则a,=(▲)
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题
13.记等差数列{a}的前n项和为S,己知S。=6,S=21,则S2=▲
目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分
A.2
B.4
C.8
D.16
9.已知方程
m+2m+51(m为实数)表示的曲线C,则（▲）
14.写出一个同时满足下列条件①②的圆的方程：
3.如图，在平行六面体ABCD-4B,CD,中，E为BC延长线上一点，
①与圆x2+y2=1相切，②与x轴相切.
A.曲线C不可能表示一个圆
BC=2CE,则D,E可以表示为（▲）
15.已知正四面体ABCD的每条棱长都等于1，点E,F分别是BC,AD的中点，则AE.CF的
B.曲线C可以表示焦点在x轴上的椭圆
值为▲
A.AB+AD+
B.AB+AD-A
C.曲线C可以表示焦点在y轴上的椭圆
16设F是双曲线C=a>06>0的右焦点，0为坐标原点，过F作C的一条新近
C.AB+AD+
D.AB+AD-A4
D.曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线
线的垂线，垂足为H,若△FOH的内切圆与x轴切于点B,且BF=OB,则C的离心
10.已知空间三点A(0,x,0,B(2,2,0),C(-1,3,),则下列结论正确的有（▲)
4.已知两条直线4：x+(m+1)y-2=0,4:mx+2y+4=0,则“m=1”是“（∥1”的（▲）
率为▲
A.存在唯一的实数x使AB⊥AC
四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
B.对任意实数x,A,B,C三点都不共线
C当：=1时，丽与C夹角的余激雅是图
17.给出以下三个条件：①S=15;②a,4,4,成等比数列：③a,=3a,·请从这三个条件中
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
任选一个，补充到下面问题中，并完成作答.若选择多个条件分别作答，以第一个作答计分
5.《周牌算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、
D.当x=1时，m=L,-2,5)是平面ABC的一个法向量
已知公差不为0的等差数列{a,}的前n项和为S,S=1,▲
惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列若冬至、大
11.设等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d.a,>0,ao+a1>0,a。a,<0,则下列结论
(1)求数列{a,}的通项公式：
寒、雨水的日影子长的和是40.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立春的日影子长为（▲）
A.10.5尺
B.11.5尺
C.12.5尺
D.13.5尺
正确的是（▲）
(2)若b=3”,令c.=a,b,求数列{C}的前n项和T。.
A.d<0
6.已知抛物线x2-4y的焦点为F,点P为抛物线上动点，点Q为圆(x-)+(y-4)=1上动点，
B.当S。>0时，n的最大值为21
则Pg+PF的最小值为（▲）
C数列侣}为等差数列且公为
A.5
B.4
C.3
D.2
D.记数列号}的前”项和为工，则不，最大
高二数学试卷第1页（共6页）
高二数学试卷第2页（共6页
高二数学试卷第3页（共6页无锡市 2023 年秋学期高二期终教学质量调研测试
数学参考答案与评分标准 2024．1
一、单项选择题
1. D 2. C 3. B 4. C 5. C 6. B 7. A 8. A
二、多项选择题
9. A C D 10. B D 11. A D 12. AC
三、填空题
1 1 1 5
13. 45 14.答案不唯一如 (x )2 y2 15. 16.
2 4 2 3
17． (1)设数列 an 的公差为 d
选择①，由题意得 S5 5a1 10d 15，又 S1 a1 1，则 d 1，所以 an = 1+ (n -1) = n；4分
a 3 2选择②，由 1，a3， a9成等比数列，得a1a9 a2，即1 8d 1 2d ，
解得 d 1，或 d 0 （舍去），所以 an n；······································································4分
选择③，由 a6 3a2 ，得1 5d 3 1 d ，解得 d 1，所以 an n．······································ 4分
(2)由题意知， cn n 3
n
∴Tn 1 3 2 3
2 3 33 n 1 3 n 1 n 3 n ①
3Tn 1 3
2 2 33 3 34 n 1 3 n n 3 n 1 ②···················································· 6分
①－②得
3 1 3n
2T 2 3 4 n
n 3 3 3 3 3 n 3
n 1 n 3 n 1 3 1 n 3 n 1
1 3 2 2
T 3 n 1 3n 1 3 2n 1T 3
n 1
∴ n ，即 n .······························································10分4 2 4 4 4
18. 2 2 2（1）设圆的标准方程为 (x a) (y b) r r 0 ，
a2 (3 b)2 r 2，
2
由题意得 (2 a) (1 b)2 r 2，··················································································2分
a b 1 0.
解得： a 2,
b 3,
r
2 4.
高二数学答案 第 1页，共 6页
{#{QQABJQ4EogiAAAJAAQgCQwEqCkEQkAEACIoGQFAEMAAAyRFABAA=}#}
································································································································5分
所以圆的标准方程为 (x 2)2 (y 3)2 4 ；···································································6分
（2）当直线的斜率不存在时， x 4符合题意，································································ 7分
当直线斜率存在时，设该斜率为 k，此时直线方程为 y 6 k x 4 ，
即 kx y 4k 6 0，圆心 2,3 到该直线的距离为 r，
2k 3 4k 6 5
即 d 2，解得 k ，··································································· 10分
1 k 2 12
此时直线方程为5x 12y 52 0，
故所求直线方程为 x 4和5x 12y 52 0 .···································································12分
19. 建立如图所示的坐标系
A (1,0,1),B 1 1则 1 1(1,1,1),E(0,0, ),F (1,1, ),C1(0,1,1), A(1,0,0).2 2
································································································································
AE ( 1,0, 1
1
（1）因为 ),FC1 ( 1,0, ),所以 AE / /FC1 ，2 2
即 AE / /FC1,
所以点 F到直线 AE的距离即为直线 FC1 到直线 AE的距离.
································································································································2分
AE 2 5 5 u ( ,0, ), AF (0,1, 1). ····································································· 4分
| AE | 5 5 2
2
AF 5 , AF 5 u ,
4 10
FC 5 5 30所以直线 1 到直线 AE的距离为 ( )2 . ·················································· 6分
4 10 5
（2）设平面 AB1E的一个法向量为 n x, y, z ，
AB1 (0,1,1), AE ( 1,0,
1), AA1 (0,0,1) .2
n AB1 y z 0,
由 1
n AE x z 0, 2
高二数学答案 第 2页，共 6页
{#{QQABJQ4EogiAAAJAAQgCQwEqCkEQkAEACIoGQFAEMAAAyRFABAA=}#}
令 z 2，则 y 2, x 1，即 n (1, 2, 2) .··································································· 8分
因为 AE / /FC1,所以FC1 //平面 AB1E，
所以直线 FC1 到平面 AB1E的距离等于C1到平面 AB1E的距离.····································· 10分
C B n
C1B1
1 1
1,0,0 ，所以C1到平面 AB1E
1
的距离为 ，
n 3
1
所以直线 FC1 到平面 AB1E的距离为 .·······································································12分3
20. 因为 Sn n n 1 nan 1，所以 Sn 1 n n 1 n 1 an n 2 ，
两式相减得 an 2n nan 1 n 1 an，即 an 1 an 2 n 2 ，······································· 3分
又 S1 2 a2，所以 a2 a1 2，
所以 an 是首项为 2，公差为 2 的等差数列，
所以 an 2 n 1 2 2n .······················································································· 5分
1 1（2） 2nb ，n bn 1
1 1 1 1 1 1
∴ 2n, 2 n 1 , , 2 2b b b b b b ， 将 它 们 累 加 得 ：n n 1 n 1 n 2 2 1
1 1
n2 n 2.
b b ····································································································8分n 1
1
∴bn 2 ，········································································································ 10分n n
S 1 1则 n
1 1
1 1
1 2 2 3 n n 1 n 1 .···························································12分
21. 2 2 2解：（1）△ABC中，由余弦定理， AC AB BC 2AB BC cos ABC 12，
AB2所以， AC2 BC2 ，
因此，AB⊥AC ········································································································· 1分
又 PB⊥AC，
所以，AC⊥平面 PAB，
因此，平面 PAB⊥平面 ABCD，······················································································3分
高二数学答案 第 3页，共 6页
{#{QQABJQ4EogiAAAJAAQgCQwEqCkEQkAEACIoGQFAEMAAAyRFABAA=}#}
（2）在等边三角形△PAB中，取 AB中点 O，连接 OP，
则OP AB，
因此，OP⊥平面 ABCD．
以 OB所在直线为 x轴，过 O平行于 AC的直线为 y轴，OP所在直线为 z轴，建立如图所
示的空间直角坐标系，
则 B(1,0,0),P(0,0, 3), A( 1,0,0),D( 3,2 3,0)，
所以 AP (1,0, 3)， AD ( 2,2 3,0)，·······································································5 分
设平面 PAD的法向量 n (x, y, z)，
AP n x 3z 0
则 ，取 n ( 3,1, 1)， ····························································7分
AD n 2x 2 3y 0
由题意， B(1,0,0),E( 3 , 3, 3 )，
2 2
BE 5 ( , 3, 3 )，
2 2
BF BP PC ( 1,0, 3) ( 1,2 3, 3) ( 1,2 3 , 3 3 )，
设平面 BEF的法向量m (x, y, z)，
BE m 5 x 3 3y z 0
则 ，
2 2
BF m ( 1)x 2 3 y 3(1 )z 0
取m (2 3 3,3 2,4 1)， ··············································································9分
又平面 PAD的法向量 n ( 3,1, 1)，
| 5 4 | 3
所以 | cos m,n | ，
5 37 2 32 8 5
整理得， 26 2 11 1 0，
1 1解得， （舍去 ）． ····················································································· 12分
2 13
高二数学答案 第 4页，共 6页
{#{QQABJQ4EogiAAAJAAQgCQwEqCkEQkAEACIoGQFAEMAAAyRFABAA=}#}
c 3
22. 解：（1）由题意， 2a 4， ，且 a2 b2 c2 ，
a 2
所以 a 2,b 1,c 3 ，
x2
因此，椭圆C的标准方程为 y2 1．········································································ 1分
4
设直线 l： x my 4（m 0），M (x1, y1)， N (x2 , y2 )， y1 y2 ，
x my 4
，
x
2 4y2 4
消去 x得， (m2 4)y2 8my 12 0，
0，得m 2 3 ，
y 8m 1 y2 m2 4
所以， （*）， ··················································································· 2分
y1y
12
2 m2 4
y y
联立直线 AN： y 2 (x 2)与直线 BM： y 1 (x 2)，
x2 2 x1 2
x 2 y (x 2) y (my 2) my
得 1 2 1 2 1
y2 2y1 ， ························································ 4分
x 2 y2 (x1 2) y2 (my1 6) my1y2 6y2
3
由（*）式可得，my1y2 (y1 y )，2 2
1
x 2 y
3
1 y2 1
所以 2 2 ，
x 2 3 y 9 y 3
2 1 2 2
解得 x 1，即点 G 的横坐标为 1． ············································································6分
1
S GA GM sin AGM1 2 GM GA 1 x1 1 ( 2) 1 x 1（2） 1
1
S2 GB GN sin BGN GB GN 2 ( 1) x2 ( 1) 3 x2 1
2
3 ( y1 1) 3
1 my1 3 1 2 y 1 y 2 1 ，···································································8分
3 my2 3 3 3 ( y2 1) 3 3 y2
2 y1
令 t y 1 1，
y2
高二数学答案 第 5页，共 6页
{#{QQABJQ4EogiAAAJAAQgCQwEqCkEQkAEACIoGQFAEMAAAyRFABAA=}#}
(y1 y2 )
2 y
因为 1
y
2 2 t 1 2，且m 2 3
y1y2 y2 y1 t
1 (
8m )2
t 2 m
2 4 16m
2 16
所以 2 (4,
16)， ···········································10分
t 12 3(m 4)
2 3(1
4
) 3
m 4 m2
即 4 t 1 16 2 ，
t 3
1
解得 t 3且 t 1，又 t 1 1，所以 t 1，
3 3
S t 1 1
因此 1 ( , )． ······························································································ 12分
S2 3 9 3
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{#{QQABJQ4EogiAAAJAAQgCQwEqCkEQkAEACIoGQFAEMAAAyRFABAA=}#}
