2023～2024 学年度第一学期期末学情检测
高二数学参考答案与评分标准
一、选择题
1.C 2.A 3.B 4.D 5. C 6.B 7.A 8.D
二、多选题
9. AC 10.AD 11.BD 12.ABD
三、填空题
13. 1 14. x2 y
2 n 1
1 15. 9 4 2 16 a 5 25
6 3 n 9 9
四、解答题
17. 解：（1）因为 2n a 是等差数列，设其公差为 d，n
5
23a 2a 8 1
则有 d 3 1 8 2， …………2 分
2 2
所以 2n a ，n 1 2 n 1 2n 1
a 2n 1所以 ； …………5分n 2n
2 2n 3 (2n 3)2
n 2 n 1 2 n
（ ）因为 bn …………7 分(2n 1)an (2n 1)(2n 1) 2n 1 2n 1
S (4 2) (8 4
n n 1 n 1 n
所以 n ) (
16 8
) L ( 2 2 ) ( 2 2 )
3 5 3 7 5 2n 1 2n 3 2n 1 2n 1
2n 1
2 …………10 分
2n 1
18. 解（1）证明：因为四边形 AA1C1C 是正方形，则 AA1 AC， …………2 分
又平面 ABC 平面 AA1C1C ，平面 ABC 平面 AA1C1C AC，AA1 平面 AA1C1C ，
所以 AA1 平面 ABC； …………4分
（2）因为 AC 4, AB 3，则 AC 2 AB2 BC 2 ，所以 AB AC，
uuur uuur uuur
以点 A为原点， AC, AB, AA 的正方向分别为 x轴，y轴，z轴，1
建立空间直角坐标系如图，
{#{QQABDQwAogAgAAJAAQgCUwGoCAGQkACACAoGREAMIAIACBFABAA=}#}
则 A1 0,0, 4 ,B 0,3, 0 ,B1 0,3, 4 ,C1 4,0, 4 ， …………6 分
uuur uuur uuur
所以 BC1 4, 3, 4 , BA1 0, 3, 4 , BB1 0, 0, 4 ，
r
设平面 A1C1B的法向量为 n x, y, z ，
r uuur
n BC1 4x 3y 4z 0则 r uuur ，令 y 4，则 x 0, z 3，
n BA1 3y 4z 0
r
故平面 A1C1B的一个法向量 n 0, 4,3 ， …………8分
ur
设平面 B1C1B的法向量为m a,b, c ，
r uuur
m BC1 4a 3b 4c 0则 r uuur ，令 a 3，则 b 4,c 0，
m BB1 4c 0
ur
故平面 B1C1B的一个法向量m 3, 4, 0 ， …………10 分
ur r
ur r m n
cos m, n 16 16所以 ur r ，
m n 5 5 25
由图可知二面角 A1 BC1 B1的平面角为锐角，
16
故二面角 A1 BC1 B1的余弦值为 …………12 分25
19.解：（1）由 c 3 可得： a 2b① …………1分
a 2
因 A2 (a, 0),G(0,b)，
l x y则 A G : 1即： bx ay ab 0，2 a b
ab 8
又因直线 A2G
8
与圆 x2 y2 相切，则 ，
5 a2 b2 5
{#{QQABDQwAogAgAAJAAQgCUwGoCAGQkACACAoGREAMIAIACBFABAA=}#}
化简得：8a2 8b2 5a2b2 ②， …………4 分
a 2 2
联立①②，可解得： ，
b 2
2 2
所以椭圆 E的方程为 x y 1 . …………5分
8 2
（2）设过点 P(0,1)的直线 l交 E于M x1 , y1 ,N x2 , y2 两点，
①当直线 l x轴，则 NP 1 2,PM 2 1，所以不满足题意； …………7分
②当直线 l斜率存在，设直线方程为 y kx 1，
y kx 1
联立方程 ，化简得，2 2 1 4k 2 x2 8kx 4 0；
x 4y 8
8k
x1 x2
因为 2 ，且 1 4k
2
128k 16 0 …………9 分
x x 4
1 2 1 4k 2
uuur uuur
若 NP 5PM ，则 x2 5x1，
x 2k 1
所以 1 4k
2
，代入 x
4
1x2 ，
x 10k
2
2
1 4k
1 4k 2
20k 2 4
化简得，
21 4k 2 1 4k 2
，解得 k 1， …………11 分
所以直线 l的方程为 x y 1 0或 x y 1 0 . …………12 分
20. 解：(1)连 ，∵ = ， = ，∴ ⊥
以 ， ， 为 ， ， 轴建立空间直角坐标系．
则 (0,0,2)， (1,0,0)， (0,2,0)， ( 1,0,0)，∴ (0,1,1) …………2分
设平面 一个法向量为 1 = ( 1, 1, 1)，
= 1,1,1 , = 2,0,0 , = 1,2,0
∵ = + = + 1 = 7 , 1 , 0 ，
4 4 2
{#{QQABDQwAogAgAAJAAQgCUwGoCAGQkACACAoGREAMIAIACBFABAA=}#}
1 = 0
7 1
, ∴ + = 04 1 2 1
1 = 0 1 + 1 + 1 = 0
令 y1 7，则 x1 2所以 n1 (2, 7,5) …………4分
AD ( 1,0, 2)
AD n1
d 2 78A DEF …………7分
n 131
(2)设平面 一个法向量为 2 = ( 2, 2, 2)，直线 与平面 所成角为
∵
= 0
= (1,2,0)， = 1,1,1 ， 2 , ∴ 2
+ 2 2 = 0
= 0 2 + 2 + 2 = 02
令 2 = 1，∴ 2 = 2， 2 = 1，∴ 2 = ( 2,1,1)， …………9分
BD ( 2,0,0)
sin = cos < , >= · 2 22 = ； 2 6
cos = 1 sin2 = 3． …………12 分
3
21. 解（1）因为 Sn Sn 1 3an 1 4，所以当 n 2时， Sn 1 Sn 3an 4，
两式相减，得 an an 1 3an 1 3an，整理得 an 1 2an， …………2 分
当 n 1时， S1 S2 3a2 4, a1 a1 a2 3a2 4, a2 4，
经检验， a2 2a1满足 an 1 2an，
所以数列 an 是以 a1 2为首项，2为公比的等比数列，
所以 a 2 2n 1 2n . …………5分n
（2）由（1）得 b a log a n 2n， …………6 分n n 2 n
{#{QQABDQwAogAgAAJAAQgCUwGoCAGQkACACAoGREAMIAIACBFABAA=}#}
所以Tn 1 2
1 2 22 L n 2n ，
2Tn 1 2
2 2 23 L n 1 2 n n 2 n 1 ，
两式相减得
1 2 n n 1 2 1 2n T 2 2 L 2 n 2 n n 2n 1 1 n 2n 1 2，
1 2
所以Tn n 1 2n 1 2， …………8 分
又因为 t(n 1)2 2 T 对于 n 2且 n N*恒成立，n
即 t(n 1)2 2 n 1 2 n 1 2，
等价于 t 2
n 1
对于 n 2且 n N*恒成立，
n 1
令 f n 2
n 1
n 2 ，则 t f n ， …………10 分
n 1 min
n 2 n 1 2n 1 n 2
则有 f n 1 f n 2 2 ，
n n 1 n n 1
所以当 n 2时， f 2 f 3 ，当 n 2时， f n 1 f n ，
所以 f (n)min f 2 f 3 8，则 t 8 . …………12 分
22. 解（1）因为 FN的斜率为 1，且 FN ON ，
b π
所以 1，即 a b，因为 FN 1，则 NFO ，
a 4
c 1 2
所以 ， …………2 分
cos π
4
由 c2 a2 b2 ，则 a b 1，
所以双曲线 C的方程为 x2 y2 1； …………4分
（2）设直线 AP的方程为 y k1 x 1 ，AQ的方程为 y k2 x 1 ，
则G 0, k1 ，H 0, k2 ，设存在定点T t, 0 ，使得TG TH ，
uur uuur
则TG TH t 2 k k 0，所以1 2 t k k ． …………6分1 2
当 PQ不垂直于 x轴时，设直线 PQ的方程为 y k x 2 ，
{#{QQABDQwAogAgAAJAAQgCUwGoCAGQkACACAoGREAMIAIACBFABAA=}#}
y k x 2
联立方程组 ，消去 y得 1 k 22 2 x2 4k 2x 4k 2 1 0 k 1 ，
x y 1
Δ 16k 4 4 1 k 2 4k 2 1 12k 2 4 0，
2 2
所以 x1 x
4k 4k 1
2 ， x x ．1 k 2 1 2 1 k 2
y y k 2
因为 k k 1 2
x1x2 2 x1 x2 4 ，
1 2 x1 1 x2 1 x1x2 x1 x2 1
4k 2 1 8k 2k 2
4
所以 1 k
2 1 k 2 2
k1k
3k 1
2 2
，
4k 1 4k 2 9k 2 3
2 11 k 1 k 2
3
故 t k1k
3
，即存在定点T2 , 0 ，使得TG TH ； ……9分3 3
x 2
当 PQ垂直于 x轴时，直线 PQ的方程为 x 2，联立方程组 ，x2 2 y 1
x 2 OG 1
解得 ，设 P 2, 3 ，由 ，得PM 3 OG
3
，
y 3 3
3
所以存在定点T , 0 ，使得TG TH ；
3
3
综上，在 x轴上存在定点T , 0 ，使得TG TH . …………12 分
3
{#{QQABDQwAogAgAAJAAQgCUwGoCAGQkACACAoGREAMIAIACBFABAA=}#}2023～2024学年度第一学期期末学情检测
高 二 数 学
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共 4页，包含［选择题（1~12））填空题（第 13题～第 16题，共 80 分）、解答题
（第 17～22题，共 70分）。本次考试时间 120分钟，满分 150分、考试结束后，请将答题
卡交回。
2．答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用 0.5毫米的黑色签字
笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用 2B铅笔正确填涂在答题卡的相应位置。
3．答题时请用 0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答。在试卷或草稿纸上作答一律无效。
4．如有作图需要，可用 2B铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚。
一、单选题：本大题共 8小题，每题 5分，共 40分。在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1. 已知集合 = | 1 < < 4 , = 0,2,4,6 ，则 ∩ 的子集个数为( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
2. 若直线 l1： 2x ay 2 0与直线 l2 ： x y a 0平行，则直线 l1与 l2 之间的距离为（ ）
A． 2 B． C． D． 102 5
2 2
3. 已知在等比数列 an 中，a5a7 12a6，等差数列 bn 的前 n项和为 Sn ，且 2b5 a6 ，则 S9 （ ）
A. 36 B. 54 C. 64 D. 108
4. 设正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 4，则点C1到平面 A1BD的距离是（ ）
A． 3 B． 2 2 C． 2 3 D． 8 3
3 3 3 3
1 1
5. 对任意 x1，x2∈(0，∞)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0成立，若 a＝f(ln2 )，b＝ f (33 )，c＝ f (e3 )，则
a，b，c的大小关系是( )
A．c
6.为进一步在全县掀起全民健身热潮，如东县于 2023 年 10月 28日在如东小洋口旅游度假区举办大
运河自行车系列赛.已知本次比赛设有 4 个服务点，现将 5 名志愿者分配到 4 个服务点，要求每位
志愿者都要到一个服务点服务，每个服务点都要安排志愿者，且最后一个服务点至少安排 2名志愿
者，共有（ ）种不同的分配方式.
A. 30 B. 60 C. 120 D. 125
高二数学 第 1页（共 4页）
{#{QQABDQwAogAgAAJAAQgCUwGoCAGQkACACAoGREAMIAIACBFABAA=}#}
7. a 2a , n为奇数已知数列 n 满足 a n ，若n 1 3 a 15，则 a 的取值范围是（ ）
an 1, n
9 1
为偶数
A 3. , 0
B. [-1,0] C.
0, 3 D. [0,1]
4 4
8. 设拋物线C : y2 2px(p 0)的焦点是 F ，直线 l与抛物线C相交于 P,Q
2π
两点，且 PFQ ，线
3
2
PQ
段 PQ的中点 A到拋物线C的准线的距离为 d，则 的最小值为（ ）
d
A. B. 3 C. 13 D. 3
3 3
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9 Sn 为数列 an 的前 n项和，已知对任意的 n N *， an an 1 2n 1，下列说法正确的是（ ）
A. S2 3 B. a1 1 C. s8 36 D. an n
10. 已知 7名同学排成一排，下列说法正确的是( )
A. 甲不站两端，共有 A15A
6
6 种排法 B. 甲、乙必须相邻，共有 A
5 2
5 A2 种排法
C. 甲、乙不相邻，共有 A2 5 75 A5 种排法 D. 甲不排左端，乙不排右端，共有 A7 2A
6 A56 5 种排法
11. 在空间直角坐标系 中， ( 1,0,0)， (1,2, 2)， (0,0, 2)，则( )
A. = 3 B. 点 到平面 的距离是 2
C. 3 6异面直线 OC与 AB所成角的余弦值为 D. 点 O到直线 AB的距离是
4 3
2 2
12. 已知椭圆C x y： 1 b 0 的左右焦点分别为 F1、F2 ，点 P 2,1 在椭圆内部，点Q在椭圆4 b2
上，椭圆C的离心率为 e，则以下说法正确的是（ ）
2
A. e 0, 2 6离心率 的取值范围为 B. 当 e 时， QF1 QP 的最大值为 4
2 4 2
uuur uuur 1 1
C. 存在点Q，使得QF1 QF 2 0 D. QF1 QF
的最小值为 1
2
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答
题卡相应位置上．
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{#{QQABDQwAogAgAAJAAQgCUwGoCAGQkACACAoGREAMIAIACBFABAA=}#}
uuuur uuur uuur uuur
13. 在平行六面体 1 1 1 1中，若 AC1 aAB 2bAD 3cA1A ，则 = ▲ ．
2
14. C : x y
2
设双曲线
2 2 1(a 0,b 0) 的左、右焦点分别为 Fa b 1
, F2 ,离心率为 2, P 是曲线C 上一点,
且 F1P F2P . 若△ PF1F2 的面积为 3 ,则双曲线的方程为 ▲ ．
15. “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼 闵可夫斯基所创，定义如下：在直角坐标平面上任意两点
A x1 , y1 ,B x2 , y2 的“曼哈顿距离”为 d A,B x1 x2 y1 y2 ，已知动点 N在圆 x2 y2 16上，
定点M 4,5 ，则M ,N两点的“曼哈顿距离”的最大值为 ▲ ．
16.侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网.如图,是由无数个正方形环绕而成的,且每一个正方形的
四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形的四条边的三等分点上.设外围第一个正方形 A1B1C1D1
的面积为 a1 1 ,往里第二个正方形 A2B2C2D2的面积为 a2 ,…,往里第 n 个正
方形 AnBnCnDn的面积为 an .则数列 an 的通项公式为 ▲ ．已知 bn
b1 b b满足 2 L n 2n2 n(n N* ) ,则数列 b
a a a n
的最大项的值为 ▲ ．
1 2 n
四、解答题：本大题共 6小题，共 70 分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证
明过程或演算步骤．
17.（10分）
1 5
已知数列 an 满足 a n1 ， a3 ，且数列 2 an 是等差数列.2 8
（1）求数列 an 的通项公式；
2 b 2n 3（ ）设 n ，求数列 bn 的前 n项和 .(2n S 1)a nn
18.（12分）
如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中，平面 ABC 平面 AA1C1C ，
AA1C1C 边长为 4的正方形， AB 3,BC 5 .
(1)求证： AA1 平面 ABC；
(2)求二面角 A1 BC1 B1的余弦值；
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{#{QQABDQwAogAgAAJAAQgCUwGoCAGQkACACAoGREAMIAIACBFABAA=}#}
19. （12分）
2 2
已知椭圆C : x y 1(a b 0)的左、右顶点为 A1 , A2，点G是椭圆C的上顶点，直线 A2G与圆
a2 b2
x2 8 y2 相切，且椭圆C的离心率为 3 ．
5 2
（1）求椭圆 E的方程；
uuur uuur
（2）过点 P 0,1 的直线 l交 E于M，N 两点，若 NP 5PM ，求直线 l的方程.
20. （12分）
在三棱锥 A-BCD中，已知CB CD 5,，BD=2，O为 BD的中点， ⊥平面 ，AO=2，
1
E为 AC的中点．点 在 上，满足 BF BC ．
4
(1)求点 到平面 的距离；
(2)求直线 与平面 所成角的余弦值．
21.（12分）
记数列 an 的前 n项和为 Sn , a1 2, Sn Sn 1 3an 1 4 .
（1）求 an 的通项公式；
（2）设 b a log a ，记 b 2 *n 的前 n项和为T .若 t(n 1) 2 T 对于 n 2且 n N 恒成立，求实n n 2 n n n
数 t的取值范围.
22.（12分）
2 2
已知双曲线 C： x y （ a 0， b 0）的右顶点为 A，左焦点为 F，过点 F且斜率为 1的直
a2 b2
1
线与 C的一条渐近线垂直，垂足为 N，且 FN 1．
(1)求 C的方程．
(2)过点M 2,0 的直线交 C于 P x1 , y1 ，Q x2 , y2 两点，直线 AP，AQ分别交 y轴于点 G，H，
试问在 x轴上是否存在定点 T，使得TG TH ？若存在，求点 T的坐标；若不存在，请说明理由．
高二数学 第 4页（共 4页）
{#{QQABDQwAogAgAAJAAQgCUwGoCAGQkACACAoGREAMIAIACBFABAA=}#}