南京市第九中学高二期末试卷
数学 2024.01
一、单项选择题(本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的)
1．C 2．A 3．B 4．D 5．D 6．A 7．B 8．C
二、多项选择题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分)
9．ACD 10．AC 11．BC 12．ACD
三、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分)
13 6 14 16 15 1 16 2 3． ． ． ．
25 2 3
四、解答题(本大题共 6小题，共 70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分 10分)
→ → → →
解：(1)因为 M是棱 BC的中点，点 N满足ON＝2NM，点 P满足AP 3＝ AN．
4
→ → → → 3→
所以OP＝OA＋AP＝OA＋ AN
4
→ 3 → → → → → →
＝OA＋ (ON－OA) 1＝ OA 3 1 3 2＋ ON＝ OA＋ × OM
4 4 4 4 4 3
1→OA 1 1
→ → → → →
＝ ＋ × (OB＋OC) 1＝ OA 1OB 1＋ ＋ OC．·····································4分
4 2 2 4 4 4
→ → →
(2)因为四面体 OABC是正四面体，则|OA|＝|OB|＝|OC|＝1，
→→ →→ →→
OA·OB＝OB·OC＝OA·OC 1 1＝1×1× ＝ ，··················································· 6分
2 2
→ 1→OP2 ( OA 1
→ 1→
＝ ＋ OB＋ OC)2
4 4 4
1→OA2 1
→ → →→ →→ →→
＝ ＋ OB2 1 OC2 2·1·1OA·OB 2·1·1OB·OC 2·1·1＋ ＋ ＋ ＋ OA·OC
16 16 16 4 4 4 4 4 4
3 1 ·3 3＝ ＋ ＝ ，················································································ 9分
16 16 8
→ 6
所以|OP|＝ ．···················································································· 10分
4
18．(本题满分 12分)
解：(1)由已知可设圆心 (b＜0)，
则 ，······················································································ 2分
解得 或 (舍)，············································································4分
高二数学答案 第 1 页 共 4 页
{#{QQABLQaAogAoAAJAAQhCQwHoCAKQkACACIoGgFAIMAIAyANABAA=}#}
所以圆 的方程为 ． ·························································· 5分
(2)设圆心 到直线 的距离为 ，
则 ， ·····································7分
即 ，解得 ， ··························································9分
|3＋17|
又 d＝ ＝2 2，
k2＋1
所以 k＝7或－7， ··················································································11分
所以直线 l2的方程为 7x－y＋17＝0或 7x＋y－17＝0． ·································· 12分
19．(本题满分 12分)
解：(1)当 q＝1，则 a 3n＝ ．·············································································· 2分
2
当 q≠1 3 1，则 a1＋a1q＝3，且 a1q2＝ ，解得 q＝－ ，a1＝6，
2 2
故 an＝6×(
1
－ )n－1．··················································································5分
2
{a } a 3综上， n 的通项公式为 n＝ ，或 an＝6 (
1
× － )n－1．······································ 6分
2 2
(2) b 6由 n＝log2 ，且{bn}为递增数列，
a2n＋1
a 1 1得 2n＋1＝6×(－ )2n＝6×( )2n，所以 bn＝2n．················································ 8分2 2
c 1 1 1 1所以 n＝ ＝ ( － )．······························································ 10分
2n(2n＋2) 4 n n＋1
故 c1＋c c c 1 1 1 1 1
1 1 1 1
2＋ 3＋…＋ n＝ [(1－ )＋( － )＋…＋( － )]＝ (1－ )＜ ．······ 12分
4 2 2 3 n n＋1 4 n＋1 4
20．(本题满分 12分)
解：(1)证明：连接 BD交 AC于点 F，连接 EF．
因为四边形 ABCD是菱形，所以点 F是 BD的中点．
又因为点 E是 BS的中点，所以 EF是三角形 DBS的中位线． ··························2分
所以 DS∥EF，又因为 EF 平面 ACE，SD 平面 ACE
所以 SD∥平面 ACE ················································································· 4分
(2)因为四边形 ABCD是菱形，∠ABC＝120 ，
高二数学答案 第 2 页 共 4 页
{#{QQABLQaAogAoAAJAAQhCQwHoCAKQkACACIoGgFAIMAIAyANABAA=}#}
所以∠ABD＝1∠ABC＝60 ，
2
又 AB＝AD，所以三角形 ABD为正三角形．
取 AB的中点 O，连接 SO，则 DO⊥AB，
因为平面 ABS⊥平面 ABCD，平面 ABS∩平面 ABCD＝AB，
所以 DO⊥平面 ABS，··············································································· 6分
又因为三角形 ABS为正三角形，
则以 O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
由 AB＝2，得 A(0，－1，0)，S( 3，0，0)，D(0，0， 3)，C(0，2， 3)，
→AD →＝(0，a， 3)， AS＝( 3，1，0) →，AC＝(0，3， 3)，································· 8分
设平面 ADS的一个法向量为 n＝(x，y，z)，
→ y＋ 3z＝0
则AD·n →＝0， AS ·n＝0，故 3x y 0，＋ ＝
取 x＝1，则 y＝－ 3，z＝1，所以 n＝(1，－ 3，1)，····································10分
设直线 AC与平面 ADS所成角为θ，
→
则 sinθ →＝|cos＜AC ·n＞|＝|n·AC|＝ 5，
5
→
|n||AC|
所以直线 AC与平面 ADS所成角的正弦值为 5．···········································12分
5
21．(本题满分 12分)
解： (1)(an＋1)2＝4Sn①，(an＋1＋1)2＝4Sn＋1②，
②－①得到(an＋1＋an＋2)(an＋1－an)＝4an＋1，··················································2分
所以(an＋1＋an)(an＋1－an)＋2(an＋1－an)＝4an＋1，
即(an＋1＋an)(an＋1－an)＝2(an＋1＋an)，
因为an＋1＋an＞0，所以an＋1－an＝2， ··························································4分
所以数列{an}为等差数列，
又因为a1＝1，
所以an＝2n－1． ····················································································· 6分
(2)因为 n∈N* n＋1，2 (bn＋1－bn)＝an＋1，
an＋1 2n＋1
所以bn＋1－bn＝ ＝ n 1 ，····································································· 7分
2n＋1 2
＋
所以bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b3－b2)＋(b2－b1)＋b1
2n－1 2n－3 5 3
… 5＝ n ＋2 2n－1
＋ ＋
23
＋ 2－ ③2 2
2n－1 2n－3 5 3
所以2bn＝ n 1 ＋ n 2 ＋…＋ 2＋ 1－5④ ··················································· 9分2 － 2 － 2 2
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所以④－③得
1 1 1
2 2 2 2n 1 n 2 2n－1 2n＋3bn n 1 n 2 1
2 2 －1－ ＝－
2 2 22 2n 1 2n 2n1
2
即 b 2n＋3n＝－ ． ···················································································12分
2n
22．(本题满分 12分)
解：(1)由题可知，切线斜率存在，则设切线 y＝kx＋ 3，
x2
联立得 ＋k2x2＋2＋2 3kx＝0，即(a2k2＋1)x2＋2 3a2kx＋2a2＝0，
a2
相切得：Δ＝12a4k2－8a2(a2k2＋1)＝0，即 a2k2－2＝0，····································2分
2 2
所以 k1＝－ ，k2＝
a a
k ·k －2由两切线垂直得： 1 2＝ ＝－1
a2
∴a＝ 2；·······························································································4分
(2) (1) x
2
由 得，椭圆方程为 ＋y2＝1
2
由题可知，直线 MN的斜率存在，
设 MN：y＝nx＋t，联立得(2n2＋1)x2＋4ntx＋2t2－2＝0
设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，
－4nt 2t2－2
由韦达定理得：x1＋x2＝ ，x1x2＝ ·················································6分
2n2＋1 2n2＋1
由题意 MN为直径的圆过点 Q，
→→
∴QM·QN＝(x1，y1＋1)·(x2，y2＋1)＝x1x2＋y1y2＋y1＋y2＋1＝0①························ 8分
2
y y (nx t)(nx t) n2x x nt(x x ) t2 t －2n
2
又 1 2＝ 1＋ 2＋ ＝ 1 2＋ 1＋ 2 ＋ ＝
2n2＋1
y1＋y2＝(nx1＋t)＋(nx2＋t)＝n(x1＋x
2t
2)＋2t＝ ···········································10分
2n2＋1
代入①式得：3t2＋2t－1＝0
t 1∴ ＝ 或－1(舍去)，
3
MN (0 1所以 过定点 ， )．···········································································12分
3
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{#{QQABLQaAogAoAAJAAQhCQwHoCAKQkACACIoGgFAIMAIAyANABAA=}#}南京市第九中学高二年级期末试卷
数学 2024.01
注意事项：
1．本试卷考试时间为 120分钟，试卷满分 150分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
第Ⅰ卷(选择题 共 60分)
一、单项选择题(本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的)
1． 在平面直角坐标系 xOy中，若直线 x＋(a－2)y＋1＝0与直线 ax＋3y－1＝0互相垂直，则实数 a
的值是
A． －1 B 2． C 3． D． 3
3 2
2． 5名同学去听同时举行的 3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的 1个讲座，则不同
选择的种数是
A．35 B．53 C．C35 D．A35
3． 设等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，则“a1＜0且 0＜q＜1”是“an *＋1＞an(n∈N )”的
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
4． 在空间直角坐标系 xOy中，已知 a＝(1，－2，－1)，b＝(－1，x－1，1)，且 a 与 b 的夹角为钝
角，则 x的取值范围是
A．(0，＋∞) B．(0，3) C．(3，＋∞) D．(0，3)∪(3，＋∞)
5． 如图，在四棱锥 P－ABCD中，四边形 ABCD为平行四边形，BC⊥平面 PAB，PA⊥AB，M为
PB的中点，PA＝AD＝2．若 AB＝1，则二面角 B－AC－M的余弦值是
(第 5题图)
A 1． B 2 3 6． C． D．
6 6 6 6
6． 在平面直角坐标系 xOy中，已知圆 C1：(x－4)2＋(y－8)2＝1，圆 C2：(x－6)2＋(y＋6)2＝9.若圆心
在 x轴上的圆 C同时平分圆 C1和圆 C2的圆周，则圆 C的方程是
A．x2＋y2＝81 B．x2＋y2＝64 C．x2＋y2＝49 D．x2＋y2＝36
7． 已知数列{an}满足 an n＋1＋(－1) an＝2n＋1，则 a1＋a3＋a5＋…＋a99的值是
A． 25 B． 50 C． 75 D． 100
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x28 xOy C y
2 2
1(a b 0) C x y
2
． 在平面直角坐标系 中，已知椭圆 1： ＋ ＝ 1＞ 1＞ 与双曲线 2： － ＝1(a2 2 2 2 2＞0，a1 b1 a2 b2
b2＞0)有相同的焦点F F
→ → →
1， 2，点P是两曲线在第一象限的交点，且F1F2在F1P上的投影向量为F1P，
e1，e2分别是椭圆C1和双曲线C2的离心率，则 9e12＋e22的最小值是
A．4 B．6 C．8 D．16
二、多项选择题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分)
9． 在平面直角坐标系 xOy中，过点 P(2，1)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程是
A． x＋y－3＝0 B． x＋y＋3＝0 C． x－y－1＝0 D． x－2y＝0
10．已知某种产品的加工需要经过 5道工序，则下列说法正确的是
A．若其中某道工序不能放在最后，有 96种加工顺序
B．若其中某 2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，有 72种加工顺序
C．若其中某 2道工序必须相邻，有 48种加工顺序
D．若其中某 2道工序不能相邻，有 36种加工顺序
11．在平面直角坐标系 xOy中，过抛物线 C：y2＝4x的焦点 F作直线 l交抛物线 C于 A，B两点，
则
A．|AB|的最小值为 2
B．以线段 AF为直径的圆与 y轴相切
C 1 1． ＋ ＝1
|FA| |FB|
D →．当AF 3→＝ FB时，直线 AB的斜率为±1
12．已知正方体 ABCD－A1B1C1D
→ →
1的棱长为 1，点 E满足BE＝λBC＋μB
→B1(0≤λ≤1，0≤μ≤1)，则
A．若λ＝μ，则 B1C⊥AE
B．若λ＋μ＝1，则 B1C∥平面 A1DE
C．若λ＋μ＝1，则 AE＋D1E的最小值为 6
D．若λ2＋μ2＝1，则 AE与平面 BB1C1C
π
的所成角为定值
4
第Ⅱ卷(非选择题 共 90分)
三、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分)
13 －．已知 Cn 1n＋1＝21，那么 n＝___▲_____．
14．在直三棱柱 ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝3，AB＝3 2，AA1＝4，则直线 A1C与 BC1夹角的余弦
值是____▲____．
15．若数列{an}满足 a 1n＋1＝1－ ，且 a1=2，则 a2024=____▲____．an
2
16 y．在平面直角坐标系 xOy中，已知双曲线 C：x2－ ＝1的左、右顶点分别为 P、Q，点 D在双曲
4
线上且位于第一象限，若|DP|＝t|DQ|且∠DQP＝2∠DPQ，则 t的值是____▲____．
四、解答题(本题共 6 小题，共 70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答
案写在答题纸的指定区域内)
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17．(本小题满分 10分)
→
如图，正四面体(四个面都是正三角形)OABC的棱长为 1，M是棱 BC的中点，点 N满足ON＝
→ → →
2NM 3，点 P满足AP＝ AN．
4
→ → → →
(1)用向量OA，OB，OC表示OP；
→
(2)求|OP|．
(第 17题图)
18．(本小题满分 12分)
在平面直角坐标系 xOy中，已知半径为 4的圆 C与直线 l1：3x－4y＋8＝0相切，圆心 C在 y轴
的负半轴上．
(1)求圆 C的方程；
(2)若直线 l2：kx－y＋17＝0与圆 相交于 A，B两点，且△ABC的面积为 8，求直线 l2的方程．
19．(本小题满分 12分)
在等比数列{an}中，a 3 93＝ ，S3＝ ．
2 2
(1)求数列{an}的通项公式；
(2) b log 6设 n＝ 2 ，且{b }
1 1
n 为递增数列，若 cn＝ ，求证：c1＋c2＋c3＋…＋cn＜
a2n＋1 bn·bn＋1 4
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20．(本小题满分 12分)
如图，在四棱锥 S—ABCD中，ΔABS是正三角形，四边形 ABCD是菱形，点 E是 BS的中点．
(1)求证：SD∥平面 ACE；
(2)若平面 ABS⊥平面 ABCD，AB＝2，∠ABC＝120 ．求直线 AC与平面 ADS所成角的正弦值．
(第 20题图)
21．(本小题满分 12分)
已知数列{an}的前 n项和为 Sn，a1＝1，对任意的 n∈N*，都有 an＞0，an＝2 Sn－1．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2) 5设数列{bn}，b1＝－ ， n∈N* ＋，2n 1 (bn＋1－bn)＝an2 ＋
1，求数列{bn}的通项公式．
22．(本小题满分 12分)
x2
在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆 22＋y ＝1(a＞1)，过点(0， 3)作椭圆的两条切线，且两切a
线垂直．
(1)求 a；
(2)已知点 Q(0，－1)，若直线 l与椭圆交于 M，N，且以 MN为直径的圆过点 Q(M，N不与 Q重
合)，求证直线 MN过定点，并求出定点坐标．
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