2023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 6.1 二元一次方程组同步分层训练培优题
一、选择题
1．方程组的解为，则被遮盖的两个数△，□分别为（ ）
A．1，2 B．1，3 C．1，5 D．2，4
2．甲、乙两人练习跑步，若乙先跑10米，则甲跑5秒就可以追上乙；若乙先跑2秒，则甲跑4秒就可以追上乙．若设甲的速度为每秒x米，乙的速度为每秒y米，则下列方程组中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023八下·上城期中）用长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地，使该场地的面积为，并且在垂直于墙的一边开一个长的小门用其它材料，若设垂直于墙的一边长为，那么可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023八上·济阳期中）若是关于x、y的方程x﹣ay＝3的一个解，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3
5．（2023七下·正定期末）对于关于，的二元一次方程组，甲、乙两人的判断如下甲：当这个方程组的解，的值互为相反数时，；乙：无论取何值，的值始终不变则（ ）
A．甲的判断正确 B．乙的判断正确
C．甲、乙的判断都正确 D．甲、乙的判断都不正确
6．（2023七下·闽侯期末）已知是二元一次方程的解，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
7．以绳测井：若将绳三折(分成三等份)测之，则绳多五尺；若将绳四折(分成四等份)测之，则绳多一尺．问：绳长、井深各几何？若设绳长x尺，并深y尺，则可列方程组为：
8．已知关于x，y的方程组的解是，则m= ，n= ．
9．若是方程3mx-y=-1的解，则m=
10．（2020七下·福清开学考）已知点 C、D是线段AB上两点（不与端点A、B重合），点A、B、C、D四点组成的所有线段的长度都是正整数，且总和为29，则线段AB的长度为 .
三、解答题
11．求方程3x+5y=12的整数解。
12．已知a、b为正整数，并且 、 、 都是既约真分数．如果 、 、 的分子都加上b，得到的三个分数的和为6．求这三个既约真分数的积．
四、综合题
13．（2020七下·下城期末）关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c是常数），b＝a+1，c＝b+1.
（1）当 时，求c的值.
（2）当a＝ 时，求满足|x|＜5，|y|＜5的方程的整数解.
（3）若a是正整数，求证：仅当a＝1时，该方程有正整数解.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：
将代入②得：
将和代入①得：
∴
故答案为：C.
【分析】将代入②即可求出△ 的值，进而再代入①中，即可求解.
2．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设甲的速度为每秒x米，乙的速度为每秒y米，
∴
故答案为：A.
【分析】设甲的速度为每秒x米，乙的速度为每秒y米，根据"若乙先跑10米，则甲跑5秒就可以追上乙"，可列：根据"若乙先跑2秒，则甲跑4秒就可以追上乙"，可列：联立即可得到二元一次方程组，即可求解.
3．【答案】C
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】解：∵铁丝网所围图形为矩形，则可得垂直于墙的另一边的边长为：x-1 m，
∴与墙平行的一边的长度为，
∴由题意得：，
故答案为：C.
【分析】由矩形垂直于墙的一边长为x m，则可得出与它平行的那条边边长为：x-1 m，与墙平行的一边的长度为，根据矩形的面积公式即可得出答案.
4．【答案】A
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】将x=2，y=1代入x﹣ay＝3，可得2-a=3，
解得：a=-1，
故答案为：A.
【分析】将x、y的值代入x﹣ay＝3，可得2-a=3，再求出a的值即可.
5．【答案】C
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】 当这个方程组的解，的值互为相反数时 ，
，
解得： .
，
②-①得，
，
把代入①得，
，
，
∴ 甲、乙的判断都正确 .
故选：C.
【分析】根据二元一次方程的解法对甲乙两人的判断进行证明即可.
6．【答案】C
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵是二元一次方程的解，
∴3a-6=0，
解之：a=2.
故答案为：C.
【分析】将x，y的值代入方程，可得到关于a的方程，解方程求出a的值.
7．【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设绳长x尺，并深y尺，
∴
故答案为：.
【分析】设绳长x尺，并深y尺，根据"若将绳三折(分成三等份)测之，则绳多五尺"，可列：根据"若将绳四折(分成四等份)测之，则绳多一尺"，可列：联立可得到二元一次方程组，即可求解.
8．【答案】2；3
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：将代入原方程组得：
解得：
故答案为：2，3.
【分析】将代入原方程组得：解此方程组即可得到m和n的值.
9．【答案】-3
【知识点】一元一次方程的解；二元一次方程的解
【解析】【解答】解：将 代入方程3mx-y=-1得3m+8=-1，解得m=-3，
故答案为：-3.
【分析】根据 是方程3mx-y=-1的解，先将x、y的值代入3mx-y=-1，进而求得m的值.
10．【答案】8或9
【知识点】二元一次方程的解；线段的计算
【解析】【解答】解：如图，图中共有线段6条，分别为AC、CD、DB，AD、BC、AB，
由题意得：AC+CD+DB+AD+BC+AB=29，
∵AC+CD+DB=AB，AD=AC+CD，BC=CD+DB，
∴3AB+CD=29，
又∵所有线段的长度都是正整数，AB>CD ，
∴AB=8，CD=5或AB=9，CD=2，
即AB的长度为8或9，
故答案为：8或9.
【分析】根据题意画出图形，可得图中共有线段6条，分别是AC、CD、DB，AD、BC、AB，然后根据所有线段的和为29可得3AB+CD=29，再根据所有线段的长度都是正整数，AB>CD，利用二元一次方程的解进行解答即可.
11．【答案】解：由3x+5y=12得
所以当且仅当3|y时，x为整数．
取y=3，得 =-1．
即x=-1，y=3是原方程的一组解．
因此，原方程的所有整数解为
，(k为任意整数)．
【知识点】解二元一次方程
【解析】【分析】通过观察，容易发现一组解；根据定理：若a与b的最大公约数为1(即a与b互质)，x0、y0为二元一次整系数不定方程ax+by=c的一组整数解(也称为特解)，则ax+by=c的所有整数解(也称通解)为，
可得原方程的整数解.
12．【答案】解：由题意，我们有 ，整理得 3a+11b=64． ① 问题转化为求3a+11b=64的正整数解． 由3a+11b=64得 ，从而a=21-4b+ ．令b=2，得a=14.即这个不定方程有一组整数解 ，从而它的所有整数解为 ， (k为任意整数)． 令a>0，b>0，得不等式组 解得 ．从而k=0或-1．因此，这个方程有两组正整数解 ，和 .注意 与 为既约真分数，所以a=3，b=5是它的唯一解．因此所求的 .
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【分析】该题采用的是一般方法．其实有更简单的解法如下：因为 既约真分数，所以a只能取1或3，代入①，只有a=3时，b为整数．所以a=3，b=5所求的积为 ．
13．【答案】（1）∵b＝a+1，c＝b+1.
∴c＝a+2，
由题意，得3a+a+1＝a+2，
解得a＝ ，
∴c＝a+2＝ ；
（2）当a＝ 时， x+ y= ，
化简得，x+3y＝5，
∴符合题意的整数解是： ， ， ；
（3）由题意，得ax+（a+1）y＝a+2，
整理得，a（x+y﹣1）＝2﹣y①，
∵x、y均为正整数，
∴x+y﹣1是正整数，
∵a是正整数，
∴2﹣y是正整数，
∴y＝1，
把y＝1代入①得，ax＝1，
∴a＝1，
此时，a＝1，b＝2，c＝3，方程的正整数解是 .
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；二元一次方程的解
【解析】【分析】（1）由题意，得3a+a+1＝a+2，解得a＝ ，即可求得c＝ ；
（2）当a＝ 时，方程为 x+ y= ，即x+3y＝5，根据方程即可求得；
（3）由题意，得a（x+y﹣1）＝2﹣y①，x、y均为正整数，则x+y﹣1是正整数，a是正整数，则2﹣y是正整数，从而求得y＝1，把y＝1代入①得，ax＝1，即可求得a＝1，此时方程的正整数解是 .
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 6.1 二元一次方程组同步分层训练培优题
一、选择题
1．方程组的解为，则被遮盖的两个数△，□分别为（ ）
A．1，2 B．1，3 C．1，5 D．2，4
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：
将代入②得：
将和代入①得：
∴
故答案为：C.
【分析】将代入②即可求出△ 的值，进而再代入①中，即可求解.
2．甲、乙两人练习跑步，若乙先跑10米，则甲跑5秒就可以追上乙；若乙先跑2秒，则甲跑4秒就可以追上乙．若设甲的速度为每秒x米，乙的速度为每秒y米，则下列方程组中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设甲的速度为每秒x米，乙的速度为每秒y米，
∴
故答案为：A.
【分析】设甲的速度为每秒x米，乙的速度为每秒y米，根据"若乙先跑10米，则甲跑5秒就可以追上乙"，可列：根据"若乙先跑2秒，则甲跑4秒就可以追上乙"，可列：联立即可得到二元一次方程组，即可求解.
3．（2023八下·上城期中）用长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地，使该场地的面积为，并且在垂直于墙的一边开一个长的小门用其它材料，若设垂直于墙的一边长为，那么可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】解：∵铁丝网所围图形为矩形，则可得垂直于墙的另一边的边长为：x-1 m，
∴与墙平行的一边的长度为，
∴由题意得：，
故答案为：C.
【分析】由矩形垂直于墙的一边长为x m，则可得出与它平行的那条边边长为：x-1 m，与墙平行的一边的长度为，根据矩形的面积公式即可得出答案.
4．（2023八上·济阳期中）若是关于x、y的方程x﹣ay＝3的一个解，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3
【答案】A
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】将x=2，y=1代入x﹣ay＝3，可得2-a=3，
解得：a=-1，
故答案为：A.
【分析】将x、y的值代入x﹣ay＝3，可得2-a=3，再求出a的值即可.
5．（2023七下·正定期末）对于关于，的二元一次方程组，甲、乙两人的判断如下甲：当这个方程组的解，的值互为相反数时，；乙：无论取何值，的值始终不变则（ ）
A．甲的判断正确 B．乙的判断正确
C．甲、乙的判断都正确 D．甲、乙的判断都不正确
【答案】C
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】 当这个方程组的解，的值互为相反数时 ，
，
解得： .
，
②-①得，
，
把代入①得，
，
，
∴ 甲、乙的判断都正确 .
故选：C.
【分析】根据二元一次方程的解法对甲乙两人的判断进行证明即可.
6．（2023七下·闽侯期末）已知是二元一次方程的解，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵是二元一次方程的解，
∴3a-6=0，
解之：a=2.
故答案为：C.
【分析】将x，y的值代入方程，可得到关于a的方程，解方程求出a的值.
二、填空题
7．以绳测井：若将绳三折(分成三等份)测之，则绳多五尺；若将绳四折(分成四等份)测之，则绳多一尺．问：绳长、井深各几何？若设绳长x尺，并深y尺，则可列方程组为：
【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设绳长x尺，并深y尺，
∴
故答案为：.
【分析】设绳长x尺，并深y尺，根据"若将绳三折(分成三等份)测之，则绳多五尺"，可列：根据"若将绳四折(分成四等份)测之，则绳多一尺"，可列：联立可得到二元一次方程组，即可求解.
8．已知关于x，y的方程组的解是，则m= ，n= ．
【答案】2；3
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：将代入原方程组得：
解得：
故答案为：2，3.
【分析】将代入原方程组得：解此方程组即可得到m和n的值.
9．若是方程3mx-y=-1的解，则m=
【答案】-3
【知识点】一元一次方程的解；二元一次方程的解
【解析】【解答】解：将 代入方程3mx-y=-1得3m+8=-1，解得m=-3，
故答案为：-3.
【分析】根据 是方程3mx-y=-1的解，先将x、y的值代入3mx-y=-1，进而求得m的值.
10．（2020七下·福清开学考）已知点 C、D是线段AB上两点（不与端点A、B重合），点A、B、C、D四点组成的所有线段的长度都是正整数，且总和为29，则线段AB的长度为 .
【答案】8或9
【知识点】二元一次方程的解；线段的计算
【解析】【解答】解：如图，图中共有线段6条，分别为AC、CD、DB，AD、BC、AB，
由题意得：AC+CD+DB+AD+BC+AB=29，
∵AC+CD+DB=AB，AD=AC+CD，BC=CD+DB，
∴3AB+CD=29，
又∵所有线段的长度都是正整数，AB>CD ，
∴AB=8，CD=5或AB=9，CD=2，
即AB的长度为8或9，
故答案为：8或9.
【分析】根据题意画出图形，可得图中共有线段6条，分别是AC、CD、DB，AD、BC、AB，然后根据所有线段的和为29可得3AB+CD=29，再根据所有线段的长度都是正整数，AB>CD，利用二元一次方程的解进行解答即可.
三、解答题
11．求方程3x+5y=12的整数解。
【答案】解：由3x+5y=12得
所以当且仅当3|y时，x为整数．
取y=3，得 =-1．
即x=-1，y=3是原方程的一组解．
因此，原方程的所有整数解为
，(k为任意整数)．
【知识点】解二元一次方程
【解析】【分析】通过观察，容易发现一组解；根据定理：若a与b的最大公约数为1(即a与b互质)，x0、y0为二元一次整系数不定方程ax+by=c的一组整数解(也称为特解)，则ax+by=c的所有整数解(也称通解)为，
可得原方程的整数解.
12．已知a、b为正整数，并且 、 、 都是既约真分数．如果 、 、 的分子都加上b，得到的三个分数的和为6．求这三个既约真分数的积．
【答案】解：由题意，我们有 ，整理得 3a+11b=64． ① 问题转化为求3a+11b=64的正整数解． 由3a+11b=64得 ，从而a=21-4b+ ．令b=2，得a=14.即这个不定方程有一组整数解 ，从而它的所有整数解为 ， (k为任意整数)． 令a>0，b>0，得不等式组 解得 ．从而k=0或-1．因此，这个方程有两组正整数解 ，和 .注意 与 为既约真分数，所以a=3，b=5是它的唯一解．因此所求的 .
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【分析】该题采用的是一般方法．其实有更简单的解法如下：因为 既约真分数，所以a只能取1或3，代入①，只有a=3时，b为整数．所以a=3，b=5所求的积为 ．
四、综合题
13．（2020七下·下城期末）关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c是常数），b＝a+1，c＝b+1.
（1）当 时，求c的值.
（2）当a＝ 时，求满足|x|＜5，|y|＜5的方程的整数解.
（3）若a是正整数，求证：仅当a＝1时，该方程有正整数解.
【答案】（1）∵b＝a+1，c＝b+1.
∴c＝a+2，
由题意，得3a+a+1＝a+2，
解得a＝ ，
∴c＝a+2＝ ；
（2）当a＝ 时， x+ y= ，
化简得，x+3y＝5，
∴符合题意的整数解是： ， ， ；
（3）由题意，得ax+（a+1）y＝a+2，
整理得，a（x+y﹣1）＝2﹣y①，
∵x、y均为正整数，
∴x+y﹣1是正整数，
∵a是正整数，
∴2﹣y是正整数，
∴y＝1，
把y＝1代入①得，ax＝1，
∴a＝1，
此时，a＝1，b＝2，c＝3，方程的正整数解是 .
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；二元一次方程的解
【解析】【分析】（1）由题意，得3a+a+1＝a+2，解得a＝ ，即可求得c＝ ；
（2）当a＝ 时，方程为 x+ y= ，即x+3y＝5，根据方程即可求得；
（3）由题意，得a（x+y﹣1）＝2﹣y①，x、y均为正整数，则x+y﹣1是正整数，a是正整数，则2﹣y是正整数，从而求得y＝1，把y＝1代入①得，ax＝1，即可求得a＝1，此时方程的正整数解是 .
1 / 1
