湖南省长沙市大联考2023-2024学年高三上学期期末考试数学试题（含解析）

长沙市大联考2023-2024学年高三上学期期末考试
数 学
本试卷共6页，22小题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数，，则的实部与虚部分别为
A．3， B．3， C．2， D．2，
2．已知集合，，则
A． B． C． D．
3．函数的部分图象大致形状是
A． B．
C． D．
4．已知向量，满足，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为
A． B． C． D．
5．已知角的始边为x轴非负半轴，终边经过点，将角的终边顺时针旋转后得到角，则
A． B． C． D．
6．已知抛物线E：（）点为F，准线为l，过E上的一点A作l的垂线，垂足为B，若（O为坐标原点），且△ABF的面积为，则E的方程为
A． B． C． D．
7．一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥型封闭容器内放入一个半径为1的小球后，再放入一个球，则球的表面积与容器表面积之比的最大值为
A． B． C． D．
8．已知函数的定义域为，且，若关于x的方程有4个不同实根，，，（），则的取值范围是
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0．
9．若a，，则下列命题正确的是
A．若且，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系（…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在14℃的保鲜时间是48小时（参考数据：，），则下列说法正确的是
A．
B．若该食品储藏温度是21℃，则它的保鲜时间是16小时
C．
D．若该食品保鲜时间超过96小时，则它的储藏温度不高于7℃
11．欧拉函数（）的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如：，，则
A． B．当n为奇数时，
C．数列为等比数列 D．数列的前n项和小于
12．如图，在棱长为2的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，BC的中点，Q为平面PMN上的动点，且直线与直线的夹角为30°，则
A．平面PMN
B．平面PMN截正方体所得的截面面积为
C．点Q的轨迹长度为
D．能放入由平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．的展开式中的系数为 （用数字作答）．
14．某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值（，2，3，…，100），经计算，．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布，则估计该市高中生身体素质的合格率为 ．（用百分数作答，精确到0.1%）
参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，
，．
15．已知函数（）恰有两个零点，则 ．
16．在1，2，…，50中随机选取三个数，能构成公差不小于5的等差数列的概率为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
记为数列的前n项和，若，．
（1）求；
（2）若，求数列的前n项和．
18．（本小题满分12分）
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，△ABC的面积为S，．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如图，若，，O为△ABC内一点，且，，求OB的长．
19．（本小题满分12分）
如图，已知斜四棱柱，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，点在底面ABCD的射影为O，且，，，．
（1）求证：平面ABCD⊥平面；
（2）若M为线段上一点，且平面MBC与平面ABCD夹角的余弦值为，求直线与平面MBC所成角的正弦值．
20．（本小题满分12分）
杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神．甲同学可采用如下两种方式购买吉祥物：
方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒19元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一个，只有打开才会知道买到吉祥物的款式，买到每款吉祥物是等可能的；
方式二：直接购买吉祥物，每个30元．
（1）甲若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并打开．当甲买到的吉祥物首次出现相同款式时，用X表示甲购买的次数，求X的分布列；
（2）为了集齐三款吉祥物，甲计划先一次性购买盲盒，且数量不超过3个，若未集齐再直接购买吉祥物，以所需费用的期望值为决策依据，甲应一次性购买多少个盲盒？
21．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，点，点是平面内的动点．若以PF为直径的圆与圆O：内切，记点P的轨迹为曲线E．
（1）求E的方程；
（2）设点，，（），直线AM，AN分别与曲线E交于点S，T（S，T异于A），AH⊥ST，垂足为H，求的最小值．
22．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）已知，若，，当时，恒成立，求k的最大值．
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A A C B B C A A BD ACD ACD ABD
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．）
1．A
【解析】因为，，所以，其实部与虚部分别为3，．
2．A
【解析】由，解得，所以，
而，所以，
所以．
故选：A．
3．C
【解析】因为的定义域为R．
定义域关于原点对称，
，
所以是偶函数，图象关于y轴对称，故排除选项B、D，
当时，令可得或（），
所以时，两个相邻的零点为和，
当时，，，，故排除选项A，故选：C．
4．B
【解析】由，得，则，
即，则，
所以向量在向量上的投影向量的坐标为．故选：B．
5．B
【解析】因角的终边经过点，由三角函数的定义可得，
又依题意得，所以，故选：B．
6．C
【解析】由题意，在抛物线E：（）中，，
焦点，准线l：
∴，，则
∴，解得：
∴E的方程为：．
故选：C．
7．A
【解析】由边长为的正三角形的内切圆半径为，
即轴截面是边长为的正三角形的圆锥内切球半径为1，
所以放入一个半径为1的小球后，再放一个球，如下图，
要使球的表面积与容器表面积之比的最大，即球的半径最大，
所以只需球与球、圆锥都相切，其轴截面如上图，此时，
所以球的表面积为，圆锥表面积为，
所以球的表面积与容器表面积之比的最大值为．
故选：A
8．A
【解析】由，
若，则，可得，，
所以，，
若，则，可得，，
所以，，
所以，其函数图象如下图，
要使 4个不同实根，，，（），则，
由图知：，，故，且，
所以的范围为．
故选：A．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
9．BD
【解析】对选项A，取，，满足且，则，错误；
对选项B，因为函数单调递增，当时，，正确；
对选项C，，要使，即，即，错误；
对选项D，因为函数单调递增，当，则，正确．
10．ACD
【解析】在函数中，当时，，
由，知，，故A正确；
当时，，所以，则，
当时，，故B不正确；
由，得，故C正确；
由，得，所以，故D正确．故选ACD．
11．ACD
【解析】
对于A，因为，，，
所以，故A正确；
对于B，由，故B错误；
对于C，因为小于的所有正奇数与均互质，且小于的所有正奇数有个，
所以，因此数列为等比数列，故C正确；
对于D，同理，所以，令，
则，故D正确，故选ACD．
12．ABD
【解析】A选项，以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
，，，，，
故，，．
设平面PMN的法向量为，
则，
令得，，故，
因为，故平面PMN，A正确；
B选项，取，AB，的中点E，F，Q，
连接MQ，ME，EN，NF，FP，PQ，EP，，，
因为M，N，P分别是棱，，BC的中点，
所以，，又，
所以，所以平面PMN截正方体所得的截面为正六边形FPQMEN，
其中边长为，故面积为，B正确；
C选项，Q为平面PMN上的动点，直线与直线的夹角为30°，
又平面PMN，设垂足为S，以S为圆心，为半径作圆，
即为点Q的轨迹，
其中，由对称性可知，，
故半径，
故点Q的轨迹长度为，C错误；
D选项，因为M，N，P分别是棱，，BC的中点，
所以平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体对称，
不妨求能放入含有顶点D的空间几何体的球的半径最大值，
该球与平面PMN切与点S，与平面，平面ADCB，平面相切，
由对称性可知，球心在上，设球心为，则半径为t，
，故，即，解得，
故球的半径的最大值为，D正确．
故选：ABD．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．120
由于，
所以的展开式中含的项为
，
所以的展开式中的系数为120．
故答案为：120．
14．97.7%
【解析】因为100个数据，，，…，的平均值，
方差，
所以的估计值为，的估计值为．
设该市高中生的身体素质指标值为X，
由，
得，
所以．
故答案为：97.7%．
15．
【解析】因为（），
所以
令，则，令，
故当时，函数为增函数，
当时，函数为减函数，
即当时函数有最小值，
若，即时，
此时函数在R上为增函数，与题意不符；
若，即时，此时函数，（）与x轴有两个不同交点，
设交点为，，且，即，
所以当或时，即，此时函数为增函数，
当时，即，此时函数为减函数，
依题意，函数恰有两个零点即函数与x轴有两个不同的交点，
即或，
所以或，
化简得或，所以，
故答案为：．
16．
在1，2，…，50中随机选取三个数有：，
公差为5的等差数列有：，，……，，共40个；
公差为6的等差数列有：，，……，，共38个；
……，
公差为24的等差数列有：，，共2个；
所以共有：，
所以能构成公差不小于5的等差数列的概率为：．
故答案为：．
四、解答题（本题共6小题，共70分．）
17．【解析】
（1）由题设，则，
又，故是首项是3，公差为2的等差数列，
所以，则．
（2）由（1）得，
所以．
18．【解析】
（1）∵，
∴，即，
再由正弦定理边化角得，
∵，
∴，又A为锐角，
∴，
∴或，
∴或，
∴△ABC为直角三角形或钝角三角形；
（2）由（1）的结果以及，可得，
∴△ABC为等腰直角三角形，又，
∴，
在△AOC中，
则，解得，负值舍去，
又∵，
∴，
∴，
在△BOC中，，
∴．
19．【解析】
（1）证明：等腰梯形ABCD中，，，
作CE∥AD交AB于E，如图，则ADCE是菱形，，
△BCE是等边三角形，则，，，
所以，即AC⊥BC，
又，，，平面，
所以BC⊥平面，又平面ABCD，
所以平面ABCD⊥平面；
（2）点在底面ABCD的射影为O，由（1），得O在AC上，且，
又，，所以，而由（1）知，因此，
建立如图所示空间直角坐标系C-xyz，
则，，，，，
则，
又，，
所以，
设（），，
，，
设平面MBC的法向量为，
则，
取，则，则平面ABCD的法向量，
，则（负值舍去），
即，，
设直线与平面MBC所成的角为，则，
所以，直线与平面MBC所成的角正弦值为．
20．【解析】
（1）由题意可知X所有可能取值为2，3，4，
，，，
所以X的分布列如下：
X 2 3 4
P
（2）设甲一次性购买x个吉祥物盲盒，集齐三款吉祥物需要的总费用为Z．
依题意，x可取0，1，2，3．
方案1：不购买盲盒时，则需要直接购买三款吉祥物，总费用元．
方案2：购买1个盲盒时，则需要直接购买另外两款吉祥物，
总费用元．
方案3：购买2个盲盒时，
当2个盲盒打开后款式不同，则只需直接购买剩下一款吉祥物，
总费用，，
当2个盲盒打开后款式相同，则需要直接购买另外2款吉祥物，
总费用，，
所以元．
方案4：购买3个盲盒时，
当3个盲盒打开后款式各不相同，则总费用，，
当3个盲盒打开后恰有2款相同，则需要直接购买剩下一款吉祥物，
则总费用，，
当3个盲盒打开后款式全部相同，则需要直接购买另外两款吉祥物，
总费用，，
所以元．
对比4个方案可知，第3个方案总费用的期望值最小，故应该一次性购买2个吉祥物盲盒．
21．【解析】
（1）设，则PF的中点，
根据题意得，即，
整理得，
化简得点P的轨迹方程E：
（2）设，，先证直线ST恒过定点，理由如下：
由对称性可知直线ST的斜率不为0，所以可设直线ST：，
联立直线ST与E：，，
则，①
，，②
所以AS：，令，得点M横坐标，
同理可得点N横坐标，
故，
将，代入上式整理得：
，
将②代入得，
若，则直线ST：，恒过不合题意；
若，则ST：，恒过，
因为直线ST恒过，且与E：始终有两个交点，
又，AH⊥ST，垂足为H，
所以点H轨迹是以AQ为直径的半圆（不含点A，Q，在直线AQ下方部分），
设AQ中点为C，则圆心，半径为1，
所以，当且仅当点H在线段OC上时，
所以的最小值为．
22．【解析】
（1）依题意，，，
若，则，在上单调递增；
若，则，令，
解得，，
其中，
若，则，
故当时，
，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增；
若，则，故当时，，
当时，，
故在上单调递增，在上单调递减；
综上所述，
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）依题意，，
即，即，
即恒成立，
令，（），有恒成立，
得恒成立，所以恒成立
令，
有，（注：）
（ⅰ）当时，即时，
易知方程有一根大于1，一根小于1，
所以在上单调递增，
故有，不符；
（ⅱ）当时，有，
所以，
当且仅当时等号成立，从而在上单调递减，
故当时，恒有，符合．
由ⅰ、ⅱ可知，正实数k的取值范围为，
因此，k的最大值为2．