黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷(无答案)

哈尔滨市第九中学2023—2024学年度
高二上学期期末考试 数学试卷
（考试时间：120分 钟满分150分）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题分别给出四个选项，只有一个选项符合题意）
1.已知向量，且，则的值为（ ）
A.4 B.2 C.3 D.1
2.若直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）
A.1 B. C.3 D.4
3.已知等差数列的前项和为，，，则当取得最大值时，（ ）
A.37 B.36 C.18 D.19
4.若平面的一个法向量为，，，，则点到平面的距离为（ ）
A.1 B. C. D.
5.等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A.12 B.18 C.24 D.42
6.2023年10月17～18日，第三届“一带一路”高峰论坛在北京举行，有150个国家、92个国际组织的外宾参与论坛.从2013年到2022年，中国与共建“一带一路”国家的进出口累计总额年均增长率为6.4%.现已知2013年进出口累计总额为10.9万亿美元，则2022年进出口累计总额（保留1位小数）约为（ ）
参考数据：，，，
A.17.9万亿 B.19.1万亿 C.20.3万亿 D.21.6万亿
7.已知：，直线：，为上的动点，过点作的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，已知，是双曲线：的左、右焦点，，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9.设为实数，若方程表示圆，则（ ）
A.
B.该圆必过定点
C.若直线被该圆截得的弦长为2，则或
D.当时，该圆上的点到直线的距离的最小值为
10.已知抛物线：的焦点坐标为，过点的直线与抛物线相交于，两点，点在抛物线上.则（ ）
A. B.当轴时，
C.为定值2 D.若，则直线的斜率为
11.已知数列满足，设数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A.数列为等差数列 B.
C.数列的前100项和为300 D.数列的前20项和为284
12.已知，分别为椭圆：的左、右焦点，为椭圆上任意一点（不在轴上），外接圆的圆心为，半径为，内切圆的圆心为，半径为，直线交轴于点，为坐标原点，则（ ）
A.的取值范围为 B.最大时，
C. D.的最小值为8
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知双曲线（，）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为______.
14.数列是等差数列，且，，那么______.
15.已知、、，且动点满足，则的最小值是______.
16.将正偶数按如下所示的规律排列：
2
4 6 8
10 12 14 16 18
20 22 24 26 28 30 32
……
则数字2024的位置为第______行，从左向右第______个数.
四、解答题（本大题共6题，满分70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程和验算步骤）
17.（本小题满分10分）
已知圆：与圆：外切.
（1）求实数的值；
（2）若直线与圆交于，两点，求弦的长.
18.（本小题满分12分）
已知，若.
（1）求数列通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
19.（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，，求平面与平面夹角的余弦值.
20.（本小题满分12分）
已知抛物线：（），直线：交抛物线于，两点，中点为.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）记抛物线上一点，，直线斜率为，直线斜率为，求.
21.（本小题满分12分）
已知数列的首项，且满足.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）记，求数列的前项和，证明：.
22.（本小题满分12分）
已知椭圆的方程为（），其离心率为，，为椭圆的左右焦点，过作一条不平行于坐标轴的直线交椭圆于，两点，的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过作轴的垂线交椭圆于点.
①试讨论直线是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
②求面积的最大值.