2023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 7.2 相交线同步分层训练培优题
一、选择题
1．同一平面内互不重合的3条直线的交点的个数是（ ）
A．可能是0，1，2 B．可能是0，2，3
C．可能是0，1，2或3 D．可能是1，可能是3
【答案】C
【知识点】相交线
【解析】【解答】解： 同一平面内互不重合的3条直线的位置关系如下：
①互相平行，此种情况交点个数为0个；
②其中两条平行，此种情况交点个数为2个；
③三条直线相交于一点，此种情况交点个数为1个；
④两条直线两两相交，此种情况交点个数为3个.
综上所述， 同一平面内互不重合的3条直线的交点的个数是0，1，2或3.
故答案为：C.
【分析】分类讨论：①互相平行，此种情况交点个数为0个；②其中两条平行，此种情况交点个数为2个；③三条直线相交于一点，此种情况交点个数为1个；④两条直线两两相交，此种情况交点个数为3个，综上即可得出答案.
2．如图，与∠α构成同位角的角的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】同位角
【解析】【解答】解： ∠α与∠FAE是直线AE与BD被直线BF所截的一对同位角；
∠α与∠FAC是直线AC与BD被直线BF所截的一对同位角；
∠α与∠ACD是直线BF与AC被直线BD所截的一对同位角，
综上∠α的同位角有3个.
故答案为：C.
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线（被截直线）的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同位角，根据同位角的概念解答即可.
3．如图，直线AB，CD相交于点E，EF⊥AB于点E，若∠FEC-∠AEC=20°，那么∠AED的度数为（ ）
A．125° B．135° C．140° D．145°
【答案】D
【知识点】角的运算；垂线；邻补角
【解析】【解答】解：设∠'AEC为x，则∠FEC=x+20°．
∵EF⊥AB，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEC+∠FEC= 90°，
∴x+x+20°=90°，
解得：x=35°，
即∠AEC=35°，
∴∠AED=180°-35°=145°．
故答案为：D.
【分析】设∠AEC为x，则∠FEC=x+20°；由垂直可得∠AEC+∠FEC=90°，得出x+x+20°=90°，求出x=35°，根据两个角有一条公共边，他们的另一条边互为反向延长线。具有这种关系的两个角叫做邻补角， 互为邻补角的两个角相加的和为180°；即可求出∠AED=180°-35°=145°．
4．（2022七下·仙居期末）小明在做一道数学题．直线AB，CD相交于点O，∠BOC＝25°，过点O作 ，求∠AOE的度数．小明得到 ，但老师说他少了一个答案．那么∠AOE的另一个值是（ ）
A．105° B．115° C．125° D．135°
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；垂线；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：依题意，另一情况画图如下：
∵OE⊥CD，
∴∠DOE＝90°，
∵∠AOD＝∠BOC＝25°，
∴∠AOE＝90°+25°＝115°，
∴∠AOE的另一个值为115°.
故答案为：B.
【分析】依题意，将另一情况图形画出，再根据垂线性质，角的互余关系及对顶角相等，可得∠AOE＝90°+25°＝115°，即可求解.
5．如图，取两根木条a，b，将它们钉在一起，得到一个相交线的模型．转动木条，当∠1增大10°时，有以下两种说法：①∠2增大10°；②∠3减小10．下列说法正确的是（ ）
A．①对，②不对 B．①不对，②对
C．①，②均不对 D．①，②均对
【答案】C
【知识点】相交线；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】∵∠1和∠3是对顶角，
∴∠1=∠3，
∴∠1增大10°时，∠3增大10°，
∵∠1+∠2= 180° ，
∴∠1增大10°时，∠2减小10°．①②均不对．
故答案为：C.
【分析】根据对顶角相等求出∠1=∠3，从而判断∠3是增大还是减小；根据邻补角定义求出∠1和∠2的关系，从而判断∠2的变化.
6．（2022七上·市南区期末）平面内两两相交的7条直线，其交点个数最少是m个，最多是n个，则m+n的值为（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
【答案】C
【知识点】相交线
【解析】【解答】解：平面内两两相交的7条直线，其交点个数最少是1个，即m＝1，
平面内两两相交的7条直线，其交点个数最多是1+2+3+4+5+6＝21（个），即n＝21，
所以m+n＝22，
故答案为：C．
【分析】 平面内两两相交的7条直线，当7条直线相交于一点时交点最少，任意两条直线相交都产生一个交点时交点最多，据此分别求出m、n的值，继而得解.
7．（2019·广西模拟）两条直线最多有1个交点，三条直线最多有3个交点，四条直线最多有6个交点，那么六条直线最多有 （ ）
A．21个交点 B．18个交点 C．15个交点 D．10个交点
【答案】C
【知识点】相交线
【解析】【解答】两条直线两两相交最多有（条），三条直线直线两两相交最多有（条），四条直线直线两两相交最多有（条）， ……， 以此类推，n条直线两两相交最多有（条），∴六条直线两两相交最多有.
【分析】先从两条开始推出n条直线两两相交的一般规律，则n=6代入一般式即可。
8．（2018七上·南山期末）如图所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，则下列结论中，正确的个数为（ ）
①AB⊥AC； ②AD与AC互相垂直； ③点C到AB的垂线段是线段AB；
④点A到BC的距离是线段AD的长度； ⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；
⑥AD+BD>AB．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】∵∠BAC=90°，∴AB⊥AC，故①正确；
∵∠DAC<∠BAC=90°，∴AD与AC不垂直，故②错误；
点C到AB的垂线段是线段AC，故③错误；
点A到BC的距离是线段AD的长度，故④正确；
线段AB的长度是点B到AC的距离，故⑤正确；
在ABD中，根据两边之和大于第三边，AD+BD>AB，故⑥正确，
∴正确的为：①④⑤⑥.
故答案为：C.
【分析】根据点到直线的距离，垂直、垂线段的定义逐项判断即可.
二、填空题
9．（2022七上·哈尔滨月考）直线AB与直线CD相交于点，，射线，则的度数为 .
【答案】50°
【知识点】垂线
【解析】【解答】解：∵，
又∵，
∴，
∴.
故答案为：50°.
【分析】先作图，根据条件求得的度数，再根据求解即可.
10．如图，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，则a+b+c的值是 ．
【答案】14
【知识点】同位角；内错角；同旁内角
【解析】【解答】解：∵∠5与∠1、∠2与∠6，∠8与∠4，∠3与∠7，∠7与∠9，∠4与∠9都是同位角，
∴a=6；
∵∠5与∠9、∠4与∠6，∠1与∠7，∠2与∠9都是内错角，
∴b=4；
∵∠6与∠9、∠1与∠6，∠1与∠9，∠4与∠7，都是同旁内角，
∴c=4；
∴a+b+c=14.
故答案为：14.
【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同位角；内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线(截线)的两旁，则这样一对角叫做内错角；同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，据此逐个判断得出a、b、c的值，再求和即可.
11．为了测量一座古塔外墙底部的底角∠AOB的度数，李潇同学设计了如下测量方案：分别作AO，BO的延长线OD，OC，量出∠COD的度数，从而得到∠AOB的度数．这个测量方案的依据是
【答案】对顶角相等
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵作AO，BO的延长线OD，OC，量出∠COD的度数 ，
∴∠COD和∠AOB属于对顶角，
∵对顶角相等，
∴测量方案为：对顶角相等.
【分析】根据对顶角概念（ 即如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角 ）和性质即可知道其测量方案.
12．（2020七上·朝阳期末）如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p，q分别是点M到直线l1，l2，的距离，则称（p，q）为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是（3，2）的点共有 个．
【答案】4
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】因为两条直线相交有四个角，因此每一个角内就有一个到直线l1，l2的距离分别是3，2的点，即距离坐标是（3，2）的点，因而共有4个，
故答案为4．
【分析】由于两条直线相交有四个角，因此每一个角内就有一个到直线l1，l2的距离分别是3，2的点，据此解答即可.
13．（2016七下·江阴期中）如图，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM=30°，∠OCD=45°．将三角尺OCD绕点O按每秒30°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当第 秒时，直线CD恰好与直线MN垂直．
【答案】5.5或11.5
【知识点】垂线
【解析】【解答】解：如图，CD在OM的右边时，设CD与AB相交于G，
∵CD⊥MN，
∴∠NGC=90°﹣∠MNO=90°﹣30°=60°，
∴∠CON=∠NGC﹣∠OCD=60°﹣45°=15°，
∴旋转角为180°﹣∠CON=180°﹣15°=165°，
t=165°÷30°=5.5秒，
CD在OM的左边时，设CD与AB相交于G，
∵CD⊥MN，
∴∠NGD=90°﹣∠MNO=90°﹣30°=60°，
∴∠AOC=∠NGD﹣∠C=60°﹣45°=15°，
∴旋转角为360°﹣∠AOC=360°﹣15°=345°，
t=345°÷30°=11.5秒，
综上所述，第5.5或11.5秒时，直线CD恰好与直线MN垂直．
故答案为：5.5或11.5．
【分析】分CD在OM的右边时，设CD与AB相交于G，根据直角三角形两锐角互余求出∠CGN，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CON，再求出旋转角即可，CD在OM的左边时，设CD与AB相交于G，根据直角三角形两锐角互余求出∠NGD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠AOC，然后求出旋转角，计算即可得解．
三、解答题
14．如图，BCD是一条直线，∠1=∠B，∠2=∠A，指出∠1的同位角，∠2的内错角，并求出∠A+∠B+∠ACB的度数．
【答案】∠1的同位角是∠B，∠2的内错角∠A，180°
【知识点】同位角；内错角
【解析】【解答】根据同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角．内错角就是：两个角都在截线的两侧，又分别处在被截的两条直线中间位置的角；根据等量代换，角的和差，可得答案．由同位角的定义，内错角的定义，得∠1的同位角是∠B，∠2的内错角∠A，
由角的和差，得∠A+∠B+∠ACB=∠ACB+∠1+∠2=180°．
【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
15．如图，已知A，O，E三点在一条直线上，OB平分∠AOC，∠AOB＋∠DOE＝90°，试问：∠COD与∠DOE之间有怎样的关系 说明理由.－com
【答案】相等，理由：∠AOB＋∠DOE＝90°，且A、O、E三点共线，所以∠BOC＋∠COD＝90°．因为OB平分∠AOC，所以∠AOB＝∠BOC，通过等量代换，可以得知∠COD与∠DOE相等．
【知识点】垂线
【解析】【解答】由题意可知，∠AOB＋∠DOE＝90°，且A、O、E三点共线，所以∠BOC＋∠COD＝90°．因为OB平分∠AOC，所以∠AOB＝∠BOC，通过等量代换，可以得知∠COD与∠DOE相等．
【分析】掌握相交线相关知识，是解答本题的关键．本题考查垂线．
四、综合题
16．（2020七上·香坊期末）已知：直线AB与直线CD交于点O，过点O作 ．
（1）如图1，若 ，求 的度数；
（2）如图2，过点O画直线FG满足射线OF在 内部，且使 ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出与 互余的角．
【答案】（1）解：∵
∴
∴
∵
∴
解得：
∵∠BOD＝∠AOC＝30°
∴∠BOE＝∠BOD＋∠DOE＝90°＋30°＝120°
（2）解：由（1）知 ，
∴∠AOE＝60°
又
∴∠EOF＝15°，
∵∠EOF＋∠DOF＝90°＝∠DOE
∵∠DOF＝∠COG＝75°
∴∠EOF＋∠COG＝90°
∵∠AOE＋∠EOF＝60°＋15°＝∠AOF＝75°
∴∠AOF＋∠EOF＝90°
∵∠AOF＝∠BOG
∴∠BOG＋∠EOF＝90°
故：∠DOF、∠COG、∠AOF、∠BOG都是与 互余的角．
【知识点】余角、补角及其性质；垂线
【解析】【分析】（1）先求出
，再求出
，即可作答；
（2）先求出 ∠EOF＝15° ，再证明 ∠AOF＋∠EOF＝90° ，即可作答。
17．（2020七上·房山期末）已知，如图，点 、 分别代表两个村庄，直线 代表两个村庄之间的一条燃气管道，根据村民燃气需求，计划在管道 上某处修建一座燃气管理站，向两村庄接入管道．
（1）若计划建一个离村庄 最近的燃气管理站，请画出燃气管理站的位置（用点 表示），并写出这样做的依据．
（2）若考虑到管道铺设费用问题，希望燃气管理站的位置到村庄 、村庄 距离之和最小，画出燃气管理站的位置（用点 表示），并写出这样做的依据．
【答案】（1）解：∵计划建一个离村庄 最近的燃气管理站，
过点M作MP⊥直线l，
则MP为垂线段，
∴点P为所求，
根据连结直线外一点M，与直线上个点的所有线中，垂线段最短，
故依据为：垂线段最短
（2）解：∵燃气管理站的位置到村庄 、村庄 距离之和最小，
∴连结MN，
∵根据所有连结两点的线中，线段最短，
∴MQ+NQ=MN，
∴点Q为所求．
故依据为：两点之间，线段最短．
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短
【解析】【分析】（1）根据垂线段最短作图求解即可；
（2）根据两点之间线段最短进行求解即可。
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 7.2 相交线同步分层训练培优题
一、选择题
1．同一平面内互不重合的3条直线的交点的个数是（ ）
A．可能是0，1，2 B．可能是0，2，3
C．可能是0，1，2或3 D．可能是1，可能是3
2．如图，与∠α构成同位角的角的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，直线AB，CD相交于点E，EF⊥AB于点E，若∠FEC-∠AEC=20°，那么∠AED的度数为（ ）
A．125° B．135° C．140° D．145°
4．（2022七下·仙居期末）小明在做一道数学题．直线AB，CD相交于点O，∠BOC＝25°，过点O作 ，求∠AOE的度数．小明得到 ，但老师说他少了一个答案．那么∠AOE的另一个值是（ ）
A．105° B．115° C．125° D．135°
5．如图，取两根木条a，b，将它们钉在一起，得到一个相交线的模型．转动木条，当∠1增大10°时，有以下两种说法：①∠2增大10°；②∠3减小10．下列说法正确的是（ ）
A．①对，②不对 B．①不对，②对
C．①，②均不对 D．①，②均对
6．（2022七上·市南区期末）平面内两两相交的7条直线，其交点个数最少是m个，最多是n个，则m+n的值为（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
7．（2019·广西模拟）两条直线最多有1个交点，三条直线最多有3个交点，四条直线最多有6个交点，那么六条直线最多有 （ ）
A．21个交点 B．18个交点 C．15个交点 D．10个交点
8．（2018七上·南山期末）如图所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，则下列结论中，正确的个数为（ ）
①AB⊥AC； ②AD与AC互相垂直； ③点C到AB的垂线段是线段AB；
④点A到BC的距离是线段AD的长度； ⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；
⑥AD+BD>AB．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
9．（2022七上·哈尔滨月考）直线AB与直线CD相交于点，，射线，则的度数为 .
10．如图，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，则a+b+c的值是 ．
11．为了测量一座古塔外墙底部的底角∠AOB的度数，李潇同学设计了如下测量方案：分别作AO，BO的延长线OD，OC，量出∠COD的度数，从而得到∠AOB的度数．这个测量方案的依据是
12．（2020七上·朝阳期末）如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p，q分别是点M到直线l1，l2，的距离，则称（p，q）为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是（3，2）的点共有 个．
13．（2016七下·江阴期中）如图，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM=30°，∠OCD=45°．将三角尺OCD绕点O按每秒30°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当第 秒时，直线CD恰好与直线MN垂直．
三、解答题
14．如图，BCD是一条直线，∠1=∠B，∠2=∠A，指出∠1的同位角，∠2的内错角，并求出∠A+∠B+∠ACB的度数．
15．如图，已知A，O，E三点在一条直线上，OB平分∠AOC，∠AOB＋∠DOE＝90°，试问：∠COD与∠DOE之间有怎样的关系 说明理由.－com
四、综合题
16．（2020七上·香坊期末）已知：直线AB与直线CD交于点O，过点O作 ．
（1）如图1，若 ，求 的度数；
（2）如图2，过点O画直线FG满足射线OF在 内部，且使 ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出与 互余的角．
17．（2020七上·房山期末）已知，如图，点 、 分别代表两个村庄，直线 代表两个村庄之间的一条燃气管道，根据村民燃气需求，计划在管道 上某处修建一座燃气管理站，向两村庄接入管道．
（1）若计划建一个离村庄 最近的燃气管理站，请画出燃气管理站的位置（用点 表示），并写出这样做的依据．
（2）若考虑到管道铺设费用问题，希望燃气管理站的位置到村庄 、村庄 距离之和最小，画出燃气管理站的位置（用点 表示），并写出这样做的依据．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相交线
【解析】【解答】解： 同一平面内互不重合的3条直线的位置关系如下：
①互相平行，此种情况交点个数为0个；
②其中两条平行，此种情况交点个数为2个；
③三条直线相交于一点，此种情况交点个数为1个；
④两条直线两两相交，此种情况交点个数为3个.
综上所述， 同一平面内互不重合的3条直线的交点的个数是0，1，2或3.
故答案为：C.
【分析】分类讨论：①互相平行，此种情况交点个数为0个；②其中两条平行，此种情况交点个数为2个；③三条直线相交于一点，此种情况交点个数为1个；④两条直线两两相交，此种情况交点个数为3个，综上即可得出答案.
2．【答案】C
【知识点】同位角
【解析】【解答】解： ∠α与∠FAE是直线AE与BD被直线BF所截的一对同位角；
∠α与∠FAC是直线AC与BD被直线BF所截的一对同位角；
∠α与∠ACD是直线BF与AC被直线BD所截的一对同位角，
综上∠α的同位角有3个.
故答案为：C.
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线（被截直线）的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同位角，根据同位角的概念解答即可.
3．【答案】D
【知识点】角的运算；垂线；邻补角
【解析】【解答】解：设∠'AEC为x，则∠FEC=x+20°．
∵EF⊥AB，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEC+∠FEC= 90°，
∴x+x+20°=90°，
解得：x=35°，
即∠AEC=35°，
∴∠AED=180°-35°=145°．
故答案为：D.
【分析】设∠AEC为x，则∠FEC=x+20°；由垂直可得∠AEC+∠FEC=90°，得出x+x+20°=90°，求出x=35°，根据两个角有一条公共边，他们的另一条边互为反向延长线。具有这种关系的两个角叫做邻补角， 互为邻补角的两个角相加的和为180°；即可求出∠AED=180°-35°=145°．
4．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；垂线；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：依题意，另一情况画图如下：
∵OE⊥CD，
∴∠DOE＝90°，
∵∠AOD＝∠BOC＝25°，
∴∠AOE＝90°+25°＝115°，
∴∠AOE的另一个值为115°.
故答案为：B.
【分析】依题意，将另一情况图形画出，再根据垂线性质，角的互余关系及对顶角相等，可得∠AOE＝90°+25°＝115°，即可求解.
5．【答案】C
【知识点】相交线；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】∵∠1和∠3是对顶角，
∴∠1=∠3，
∴∠1增大10°时，∠3增大10°，
∵∠1+∠2= 180° ，
∴∠1增大10°时，∠2减小10°．①②均不对．
故答案为：C.
【分析】根据对顶角相等求出∠1=∠3，从而判断∠3是增大还是减小；根据邻补角定义求出∠1和∠2的关系，从而判断∠2的变化.
6．【答案】C
【知识点】相交线
【解析】【解答】解：平面内两两相交的7条直线，其交点个数最少是1个，即m＝1，
平面内两两相交的7条直线，其交点个数最多是1+2+3+4+5+6＝21（个），即n＝21，
所以m+n＝22，
故答案为：C．
【分析】 平面内两两相交的7条直线，当7条直线相交于一点时交点最少，任意两条直线相交都产生一个交点时交点最多，据此分别求出m、n的值，继而得解.
7．【答案】C
【知识点】相交线
【解析】【解答】两条直线两两相交最多有（条），三条直线直线两两相交最多有（条），四条直线直线两两相交最多有（条）， ……， 以此类推，n条直线两两相交最多有（条），∴六条直线两两相交最多有.
【分析】先从两条开始推出n条直线两两相交的一般规律，则n=6代入一般式即可。
8．【答案】C
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】∵∠BAC=90°，∴AB⊥AC，故①正确；
∵∠DAC<∠BAC=90°，∴AD与AC不垂直，故②错误；
点C到AB的垂线段是线段AC，故③错误；
点A到BC的距离是线段AD的长度，故④正确；
线段AB的长度是点B到AC的距离，故⑤正确；
在ABD中，根据两边之和大于第三边，AD+BD>AB，故⑥正确，
∴正确的为：①④⑤⑥.
故答案为：C.
【分析】根据点到直线的距离，垂直、垂线段的定义逐项判断即可.
9．【答案】50°
【知识点】垂线
【解析】【解答】解：∵，
又∵，
∴，
∴.
故答案为：50°.
【分析】先作图，根据条件求得的度数，再根据求解即可.
10．【答案】14
【知识点】同位角；内错角；同旁内角
【解析】【解答】解：∵∠5与∠1、∠2与∠6，∠8与∠4，∠3与∠7，∠7与∠9，∠4与∠9都是同位角，
∴a=6；
∵∠5与∠9、∠4与∠6，∠1与∠7，∠2与∠9都是内错角，
∴b=4；
∵∠6与∠9、∠1与∠6，∠1与∠9，∠4与∠7，都是同旁内角，
∴c=4；
∴a+b+c=14.
故答案为：14.
【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同位角；内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线(截线)的两旁，则这样一对角叫做内错角；同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，据此逐个判断得出a、b、c的值，再求和即可.
11．【答案】对顶角相等
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵作AO，BO的延长线OD，OC，量出∠COD的度数 ，
∴∠COD和∠AOB属于对顶角，
∵对顶角相等，
∴测量方案为：对顶角相等.
【分析】根据对顶角概念（ 即如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角 ）和性质即可知道其测量方案.
12．【答案】4
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】因为两条直线相交有四个角，因此每一个角内就有一个到直线l1，l2的距离分别是3，2的点，即距离坐标是（3，2）的点，因而共有4个，
故答案为4．
【分析】由于两条直线相交有四个角，因此每一个角内就有一个到直线l1，l2的距离分别是3，2的点，据此解答即可.
13．【答案】5.5或11.5
【知识点】垂线
【解析】【解答】解：如图，CD在OM的右边时，设CD与AB相交于G，
∵CD⊥MN，
∴∠NGC=90°﹣∠MNO=90°﹣30°=60°，
∴∠CON=∠NGC﹣∠OCD=60°﹣45°=15°，
∴旋转角为180°﹣∠CON=180°﹣15°=165°，
t=165°÷30°=5.5秒，
CD在OM的左边时，设CD与AB相交于G，
∵CD⊥MN，
∴∠NGD=90°﹣∠MNO=90°﹣30°=60°，
∴∠AOC=∠NGD﹣∠C=60°﹣45°=15°，
∴旋转角为360°﹣∠AOC=360°﹣15°=345°，
t=345°÷30°=11.5秒，
综上所述，第5.5或11.5秒时，直线CD恰好与直线MN垂直．
故答案为：5.5或11.5．
【分析】分CD在OM的右边时，设CD与AB相交于G，根据直角三角形两锐角互余求出∠CGN，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CON，再求出旋转角即可，CD在OM的左边时，设CD与AB相交于G，根据直角三角形两锐角互余求出∠NGD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠AOC，然后求出旋转角，计算即可得解．
14．【答案】∠1的同位角是∠B，∠2的内错角∠A，180°
【知识点】同位角；内错角
【解析】【解答】根据同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角．内错角就是：两个角都在截线的两侧，又分别处在被截的两条直线中间位置的角；根据等量代换，角的和差，可得答案．由同位角的定义，内错角的定义，得∠1的同位角是∠B，∠2的内错角∠A，
由角的和差，得∠A+∠B+∠ACB=∠ACB+∠1+∠2=180°．
【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
15．【答案】相等，理由：∠AOB＋∠DOE＝90°，且A、O、E三点共线，所以∠BOC＋∠COD＝90°．因为OB平分∠AOC，所以∠AOB＝∠BOC，通过等量代换，可以得知∠COD与∠DOE相等．
【知识点】垂线
【解析】【解答】由题意可知，∠AOB＋∠DOE＝90°，且A、O、E三点共线，所以∠BOC＋∠COD＝90°．因为OB平分∠AOC，所以∠AOB＝∠BOC，通过等量代换，可以得知∠COD与∠DOE相等．
【分析】掌握相交线相关知识，是解答本题的关键．本题考查垂线．
16．【答案】（1）解：∵
∴
∴
∵
∴
解得：
∵∠BOD＝∠AOC＝30°
∴∠BOE＝∠BOD＋∠DOE＝90°＋30°＝120°
（2）解：由（1）知 ，
∴∠AOE＝60°
又
∴∠EOF＝15°，
∵∠EOF＋∠DOF＝90°＝∠DOE
∵∠DOF＝∠COG＝75°
∴∠EOF＋∠COG＝90°
∵∠AOE＋∠EOF＝60°＋15°＝∠AOF＝75°
∴∠AOF＋∠EOF＝90°
∵∠AOF＝∠BOG
∴∠BOG＋∠EOF＝90°
故：∠DOF、∠COG、∠AOF、∠BOG都是与 互余的角．
【知识点】余角、补角及其性质；垂线
【解析】【分析】（1）先求出
，再求出
，即可作答；
（2）先求出 ∠EOF＝15° ，再证明 ∠AOF＋∠EOF＝90° ，即可作答。
17．【答案】（1）解：∵计划建一个离村庄 最近的燃气管理站，
过点M作MP⊥直线l，
则MP为垂线段，
∴点P为所求，
根据连结直线外一点M，与直线上个点的所有线中，垂线段最短，
故依据为：垂线段最短
（2）解：∵燃气管理站的位置到村庄 、村庄 距离之和最小，
∴连结MN，
∵根据所有连结两点的线中，线段最短，
∴MQ+NQ=MN，
∴点Q为所求．
故依据为：两点之间，线段最短．
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短
【解析】【分析】（1）根据垂线段最短作图求解即可；
（2）根据两点之间线段最短进行求解即可。
1 / 1
