河南省焦作市博爱县2023-2024学年高一上学期1月期末考试数学试题（含解析）

焦作市博爱县2023—2024学年（上）高一期末考试
数 学
考生注意：
1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
3.已知函数.若方程有三个不等的实数解且，则（ ）
A. B.
C. D.
4.函数的单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
5.函数（，，），若，则的值为（ ）
A.4 B.4或 C.2或 D.2
6.已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（ ）
A.的周期为2
B.
C.的所有零点之和为16
D.
7.有一组样本数据，，其平均数为，中位数为b，方差为c，极差为d.由这组数据得到新样本数据，，，…，，其中，则新样本数据的（ ）
A.样本平均数为2a B.样本中位数为2b
C.样本方差为4c D.样本极差为
8.中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，有一种茶的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感.某研究人员在室温下，每隔测一次茶水温度，得到数据如下：
放置时间/min 0 1 2 3 4
茶水温度/ 90.00 84.00 78.62 73.75 69.39
为了描述茶水温度与放置时间的关系，现有以下两种函数模型供选择：①，②.选择最符合实际的函数模型，可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为（参考数据：，）（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.已知函数，的定义域均为R，且，，，则下列说法正确的有（ ）
A. B.为奇函数 C.的周期为6 D.
10.已知函数且的反函数为，则（ ）
A.且且定义域是
B.函数与的图象关于直线对称
C.若，则
D.当时，函数与的图象的交点个数可能是
11.已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A.当时，的最小值为0
B.若存在最小值，则的取值范围为
C.若是减函数，则的取值范围为
D.若存在零点，则的取值范围为
12.有一组样本甲的数据，一组样本乙的数据，其中为不完全相等的正数，则下列说法正确的是（ ）
A.样本甲的极差一定小于样本乙的极差
B.样本甲的方差一定大于样本乙的方差
C.若样本甲的中位数是，则样本乙的中位数是
D.若样本甲的平均数是，则样本乙的平均数是
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13.已知，且，则的最小值为 .
14.若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是 .
15.函数，若存在，使得，则的取值范围是
16.若函数的单调递增开区间为，对，，则实数a的取值范围是 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知集合，集合（）
(1)当时，求；
(2)若，求a的取值范围.
18.（12分）平面直角坐标系中，角的始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆的交点为
(1)求，；
(2)化简并求值：.
19.（12分）已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)若函数的最大值为2，求的值.
20.（12分）建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调.如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足关系.
(1)求的表达式；
(2)请根据(1)的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长.
21.（12分）已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的解析式；
(2)设函数，求的最大值.
22.（12分）设常数，函数.
(1)判断并证明函数在上的单调性；
(2)若存在区间，使得函数在的值域为，求实数的取值范围.
参考答案
一、单项选择题
1.【答案】C
【解析】∵，，则，
∴，
又∵，且，
可得，
令，则原题意等价于对一切，恒成立，
∵的开口向下，对称轴，
则当时，取到最大值，
故实数的取值范围是.
故选：C.
2.【答案】C
【解析】A：若，此时，错；
B：若，此时，错；
C：由单调递增，且，则，所以，对；
D：若，则，此时，错.
故选：C
3.【答案】BCD
【解析】画出的大致图象如图所示.
若方程有三个不等的实数解，根据图象可得，且.
令，得；令，得，
则，，
，
当且仅当时，等号成立，因为，所以.
所以BCD选项正确，A选项错误.
故选：BCD
4.【答案】B
【解析】内函数，其在上单调递增，
而外函数在上单调递减，则根据复合函数单调性“同增异减”的原则知的单调递减区间为，故选：B.
5.【答案】C
【解析】由题意得，，
令，则，
则函数，即为，
当时，在上单调递增，由可得：
；
当时，在上单调递减，由可得：
；
故的值为2或，
故选：C
6.【答案】D
【解析】由为偶函数，得，即，函数的图象关于直线对称，
由为奇函数，得，即，则，的图象关于点对称，
因此函数是周期为的周期函数，A错误；
由当时，，得，而，，，
因此，B错误；
的零点可看作与的图象交点的横坐标，作出与的图象，
观察图形知，直线与的图象共有7个交点，且它们关于点成中心对称，
所以所有零点之和为，C错误；
当时，，，与均为奇函数，则当时，
因此当时，，又与的周期都为，所以 ，D正确.
故选：D
7.【答案】C
【解析】A选项，由题意得，
则，故A错误；
B选项，由于，故的大小排列顺序与变化后的的大小排列顺序一致，
由于的中位数为，故的中位数为，B错误；
C选项，由题意得，
所以
，C正确；
D选项，由于，故中最大值和最小值，经过变化后仍然为中的最大值和最小值，
即，则，D错误.
故选：C.
8.【答案】B
【解析】由表格中数据可得，茶水温度下降的速度先快后慢，
所以选①，
则即，
解得，所以，
当时，可得，
即.
故选：.
二、多项选择题
9.【答案】ACD
【解析】对于A，，故A正确；
，，
，令，
则①，
②，
①+②可得，
，，
，因此，故C正确；
令，，
令，，，
则，故，，
故为偶函数，所以B不正确；
因为，故关于对称，
且，，令，，
则，令，，，
则，，
，一个周期的和为0，
则，故D正确.
故选：ACD
10.【答案】ABD
【解析】对A，根据指数函数与对数函数为一对反函数，则且且定义域是，故A正确；
对B，根据反函数的特点知函数与的图象关于直线对称，故B正确；
对C，若，则，解得（负舍）；
则，则，故C错误；
对D，对于D：如图所示，
当时，函数与的图象无公共点（如图1）；
当时，函数与的图象有一个公共点（如图2）；
当时，函数与的图象有两个公共点（如图3）；
所以当时，与的图象的交点个数可能为0，1，2，D正确，
故选：ABD.
11.【答案】BCD
【解析】对于A选项：
当时，的图像如下：
故此时，.故A选项不对.
对于B选项：
当时，
当时，单减，此时，
当时，单调增，故，
因为；所以；所以；
即；
当时，的最小值为：.
故B选项正确.
对于C选项：
当时，时，单减，
此时的斜率为负，故此当时，单减，
故C选项正确.
对于D选项：此时要对分类讨论；
分类讨论一：当时，一定有零点；
分类讨论二：当时，由A选项可知此时无零点；
分类讨论三：当时，
当时，此时左区段无零点；
当时，函数右区段表达式为，此时直线单减，
故才会有零点；
解不等式.
与取交集有：；
分类讨论四：当时，
由B选项的讨论过程可知：此时函数图像左区段单减，左区段单增；
因为不在左区段的定义域内，故区段上无零点；
要使存在零点，则零点必在右区段上；
即右区段的最小值必然小于等零，即
即或
上式再与取交集有：
综上所述：若存在零点，则的取值范围为.
故D选项正确.
故选：BCD.
12.【答案】ACD
【解析】不妨设样本甲的数据为，且，
则样本乙的数据为，且，
对于选项A：样本甲的极差为，样本乙的极差，
因为，即，
所以样本甲的极差一定小于样本乙的极差，故A正确；
对于选项B：记样本甲的方差为，则样本乙的方差为，
因为，即，
所以样本甲的方差一定小于样本乙的方差，故B错误；
对于选项C：因为样本甲的中位数是，
则样本乙的中位数是，故C正确；
对于选项D：若样本甲的平均数是，则样本乙的平均数是，故D正确；
故选：ACD.
13.【答案】9
【解析】由，得，即.
因为，所以，
当且仅当时，取等号，
令，则，解得或（舍去），
即，当且仅当时，取等号，
故的最小值是9.
故答案为：9.
三、填空题
14.【答案】
【解析】解：，
，
，即对于任意恒成立，
对于任意恒成立，
∴，
∵函数在上单调递减，
，即，
所以，实数的取值范围是
故答案为：.
15.【答案】
【分析】根据函数图象与性质得，，对所求表达式消元后得，再根据函数图象求出即可求出取值范围.
【解析】由，得，则，由，得，则，
由图象知，，结合对勾函数单调性知在时单调递减，在时单调递增，
所以当时，取得最小值，当时，当时，所以.
故答案为：.
16.【答案】
【解析】函数的开口向下，对称轴为直线，
函数在上单调递减，
根据复合函数单调性同增异减可知的单调递增开区间为.
依题意，对，，
所以对，，
函数的开口向上，对称轴是直线，
当时，函数在上单调递增，
所以，
解得或.
当时，函数在时取得最小值，
所以，
解得.
综上所述，的取值范围是.
故答案为：
四、解答题
17.（10分）【答案】(1)
(2)
【解析】（1），所以
当时，解得，则
（2）由（1）及题设，，，
18.（12分）【答案】(1)，
(2)，
【解析】（1）根据三角函数的定义：，，
则，.
（2）.
19.（12分）【答案】(1)
(2)
【解析】（1）令，解得，
所以函数的定义域.
（2）函数，
设，则在单调递增，在单调递减，
因为函数有最大值，根据复合函数的单调性性质，所以，
所以函数也在单调递增，在单调递减，
故函数的最大值为，即
20.（12分）【答案】(1) ，;(2) 8小时.
【解析】(1)因为图像上最低点坐标为，与之相邻的最高点坐标为，
所以，，，
所以，解得.
所以，.
(2)由(1)得，，
所以，
所以，
解得，
因为，
所以，.
所以该商场的中央空调应在本天内开启时长为8小时.
21.（12分）【答案】(1)
(2)2
【解析】（1）由图可得：，，即，
且，可得，可知，
因为的图象过点，则，即
可得，解得，，
因为，则，
所以.
（2）由题意可得：
，
当，即时，取到最大值为2.
22.（12分）【答案】(1)函数在上是增函数，证明见解析
(2).
【解析】（1）函数在上是增函数.
在上任取，且，
则，
，，，
又，，，
即，
所以函数在上是增函数.
（2）因为函数在上是增函数，
所以可得，
由此可知，是方程的两个不相等的实数根，
即方程有两个不相等的实数根，
令，则方程有两个不相等的正实数根，
设，
则，解得，
所以实数的取值范围是.
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