2023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 7.3 平行线同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023七下·前郭尔罗斯期末）下列说法正确的是（ ）
A．过直线外一点作已知直线的垂线段，就是点到直线的距离
B．垂线段最短
C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．同一平面内，两条直线的位置关系为平行和垂直
2．（2023七下·汤阴期中）下列语句中：①一条直线有且只有一条垂线；②不相等的两个角一定不是对顶角；③两条不相交的直线叫做平行线；④如果两个角是邻补角，那么这两个角的角平分线互相垂直；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中错误的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（2021七下·青川期末）下列说法中：
①因为对顶角相等，所以相等的两个角是对顶角；
②在平面内，不相交的两条直线叫做平行线；
③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
正确的有（ ）.
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
4．（2020七下·永州期末）下列说法中不正确的是 （ ）
A．三条直线 ， ， 若 ， ，则
B．在同一平面内，若直线 ， ，则
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
5．（2020七下·江津月考）我们知道“对于实数m，n，k，若m＝n，n＝k，则m＝k”，即相等关系具有传递性.小敏由此进行联想，提出了下列命题：
①a，b，c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c.
②a，b，c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c.
③若∠α与∠β互余，∠β与∠γ互余，则∠α与∠γ互余.
其中正确的命题是（ ）
A．① B．①② C．②③ D．①②③
6．（2020七下·三台期中）下列说法错误的个数是（ ）
①经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
③直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离；
④同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．下列语句：
①不相交的两条直线叫平行线
②在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行
③如果线段AB和线段CD不相交，那么直线AB和直线CD平行
④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行
⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行
正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2019七上·通州期末）下列说法正确的是（ ）
A．有公共顶点且相等的两个角是对顶角
B．已知线段AB＝BC，则点B是线段AC的中点
C．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
二、填空题
9．（2019七下·顺德月考）在同一平面内，三条互不重合的直线 a 、 b 、 ，若 a ⊥ b ， a ⊥ ，则 .
10．（2017七下·泰兴期末）如果∠A与∠B的两边分别平行，∠A比∠B的3倍少36°，则∠A的度数是 .
11．在同一平面内，有三条直线a、b、c，下列说法：①若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；②若a∥b，b∥c，则a∥c；③若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．其中正确命题是 ．（填序号）
12．如图，MC∥AB，NC∥AB，则点M，C，N在同一条直线上，理由是
13．下列说法中：①同位角相等；②过一个点有且只有一条直线与已知直线垂直；③两直线相交成的四个角中相邻两角的角平分线互相垂直；④三条直线两两相交，总有三个交点；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c；⑥若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．其中正确的说法是
三、解答题
14．（2017七下·泗阳期末）已知：三条不同的直线a、b、c在同一平面内：①a∥b；②a⊥c；③b⊥c； ④a⊥b. 请你用①②③④所给出的其中两个事项作为条件，其中一个事项作为结论(用如果…那么…的形式，写出命题，例如：如果a⊥c、b⊥c、那么a∥b).
⑴写出一个真命题，并证明它的正确性；
⑵写出一个假命题，并举出反例.
15．读句画图：如图，直线CD与直线AB相交于C，根据下列语句画图：
（1）过点P作PQ∥CD，交AB于点Q；
（2）过点P作PR⊥CD，垂足为R．
四、综合题
16．（2022七下·凤县期中）如图，P是∠AOB的OB边上的一点，点A、O、P都在格点上，在方格纸上按要求画图，并标注相应的字母.
（1）过点P画OB的垂线，交OA于点C；过点P画OA的垂线，垂足为D；并完成填空：
①线段 的长度表示点P到直线OA的距离；
②PC
OC（填“＞”、“＜”或“＝”）
（2）过点A画OB的平行线AE.
17．（2021七下·东城期末）如图，平面内有两条直线l1，l2点A在直线l1上，按要求画图并填空：
（1）①过点A画l2的垂线段AB，垂足为点B；
②6过点A画直线AC⊥l1，交直线l2于点C；
③过点A画直线AD∥l2；
（2）若AB＝12，AC＝13，则点A到直线l2的距离等于 ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】垂线段最短；点到直线的距离；平行线的定义与现象
【解析】【解答】解：
A、过直线外一点作已知直线的垂线段的长度，就是点到直线的距离，A不符合题意；
B、垂线段最短，B符合题意；
C、过直线外的一点有且只有一条直线与已知直线平行，C不符合题意；
D、同一平面内，两条直线的位置关系为平行和相交，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据点到直线的距离，垂线段最短，平行线的定义，平面内两直线的位置结合题意即可求解。
2．【答案】B
【知识点】垂线；平行公理及推论；平行线的定义与现象；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：① 一条直线的垂线有无数条，说法错误，故符合题意；② 不相等的两个角一定不是对顶角，正确，故不符合题意； ③在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，说法错误，故符合题意； ④如果两个角是邻补角，那么这两个角的角平分线互相垂直，正确，故不符合题意； ⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 ，说法错误，故符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据垂线的定义及性质、对顶角的性质、平行线的定义及平行公理逐一判断即可.
3．【答案】C
【知识点】垂线；平行线的定义与现象
【解析】【解答】①说法错误，因对顶角有特殊的位置关系，相等的角不一定是对顶角；②是平行线的定义，正确；③是垂线的性质，正确.
故答案为：C.
【分析】根据相等的角不一定是对顶角可判断①；根据平行线的定义可判断②；根据垂线的性质可判断③.
4．【答案】D
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】A.三条直线 ， ， 若 ， ，则 ，即平行于同一条直线的两条直线平行，故正确；
B.在同一平面内，若直线 ， ，则 ，根据平行线的性质可确定正确；
C.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，根据垂线的性质可确定正确；
D.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，不正确，应为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
故答案为：D.
【分析】根据平行公理可判断A、D；根据垂直的概念可判断B、C.
5．【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质；垂线；平行公理及推论；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①a，b，c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c，故原命题是真命题.
②a，b，c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a∥c，故原命题是假命题.
③若∠α与∠β互余，∠β与∠γ互余，则∠α＝∠γ，故原命题是假命题；
故答案为：A.
【分析】根据平行于同一直线的两条直线互相平行；同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行；同角的余角相等即可一一判断即可.
6．【答案】C
【知识点】点到直线的距离；平行公理及推论
【解析】【解答】解：①经过直线外的一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①不符合题意；
②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故②不符合题意；
③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离，故③不符合题意；
④同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，故④符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据平行公理及其推理、点到直线的距离即可判断出结果．
7．【答案】B
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：①不相交的两条直线叫平行线，必须是在同一平面内，故错误；
②在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行，正确
③如果线段AB和线段CD不相交，那么直线AB和直线CD平行，错误；
④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行，正确；
⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误，
故选：B．
【分析】直接利用平行公理以及其推论分析得出答案．
8．【答案】D
【知识点】垂线；平行公理及推论；线段的中点；对顶角及其性质
【解析】【解答】A.有公共顶点且两边分别互为反向延长线的两个角是对顶角，故本选项错误；
B.已知线段AB=BC，A、B、C三点不一定共线，所以，点B不一定是线段AC的中点，故本选项错误.
C.经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；
D.在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项正确；
故答案为：D.
【分析】根据对顶角的定义、平行公理以及推论，对各选项分析判断后利用排除法求解
9．【答案】 ∥
【知识点】平行线的定义与现象
【解析】【解答】解：∵a⊥b，a⊥c
∴b∥c
【分析】垂直于同一直线的两条直线平行，即可得到答案。
10．【答案】18°或126°
【知识点】角的运算；平行公理及推论
【解析】【解答】解：∵∠A与∠B的两边分别平行，
∴∠A与∠B相等或互补。
分两种情况：
①如图1，
当∠A+∠B=180°时，∠A=3∠B 36°，
解得：∠A=126°；
②如图2，
当∠A=∠B，∠A=3∠B 36°，
解得：∠A=18°.
所以∠A=18°或126°.
11．【答案】②
【知识点】垂线；平行公理及推论；相交线；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①若a与b相交，b与c相交，则a与c可能相交，也可能平行，故说法错误；
②若a∥b，b∥c，则a∥c，说法正确；
③若a⊥b，b⊥c，则a∥c，说法错误．
故答案为②．
【分析】根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行进行分析即可．
12．【答案】经过直线外一点，有且只有一条 直线与这条直线平行
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：∵MC∥AB，NC∥AB，∴点M，C，N在同一条直线上，
理由是：经过直线外一点，有且只有一条 直线与这条直线平行．
故答案为：经过直线外一点，有且只有一条 直线与这条直线平行．
【分析】直接利用平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，得出即可．
13．【答案】③⑤
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：①应为：两直线平行，同位角相等，故本小题错误；
②应为：在同一平面内，过一个点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本小题错误；
③两直线相交成的四个角中相邻两角的角平分线互相垂直，故本小题正确；
④三条直线两两相交，总有一个交点或三个交点，故本小题错误；
⑤若a∥b，b∥c，则a∥c，故本小题正确；
⑥应为：在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c，故本小题错误．
综上所述，正确的有③⑤．
故答案为③⑤．
【分析】利用同位角的性质、垂线的性质、垂直的定义，两直线的位置关系以及平行公理的推论等知识分别判断后即可确定正确的答案．
14．【答案】解：本题答案不唯一，（1）已知：b∥c，a⊥b，结论a⊥c；证明：如图：∵b∥c，∴∠1＝∠2，又∵a⊥b，∴∠1=90°，∴∠2=90°，∴a⊥c.（2）如果a⊥c，b⊥c，那么a⊥b；反例，如上图，a⊥c，b⊥c，那么a∥b.
【知识点】平行公理及推论；真命题与假命题
【解析】【分析】（1）已知：b∥c，a⊥b，结论a⊥c，根据平行公理及其推论证明即可.
（2）如果a⊥c，b⊥c，那么a⊥b；根据平行公理的推论即可举出反例.
15．【答案】解：（1）过点P作PQ∥CD，交AB于点Q，如图；（2）过点P作PR⊥CD，垂足为R．如图；
【知识点】作图-平行线；作图-垂线
【解析】【分析】（1）过点P作∠PQA=∠DCA即可．
（2）过点P作∠QPR=90°即可．
16．【答案】（1）PD；<
（2）解：如图，直线AE即为所求作.
【知识点】垂线段最短；点到直线的距离；作图-平行线
【解析】【解答】解：（1）①如图，
直线PC，直线PD即为所求作，线段PD的长度表示点P到直线OA的距离.
故答案为：PD；
②根据垂线段最短可知，PC＜OC.
故答案为：＜；
【分析】（1）①根据要求画出图形，再根据点到直线的距离的定义判断即可；②根据垂线段最短，即可解答；
（2）如图取格点E，作直线AE即可.
17．【答案】（1）
（2）12
【知识点】作图-平行线；作图-垂线
【解析】【解答】（2）点到直线间的距离，即垂线段的长度，
所以，点A到直线l2的距离等于12，
故答案为：12．
【分析】（1）①根据垂直线段的定义画出图形即可；
②根据垂直线段的定义画出图形即可；
③根据平行线的定义画出图形即可；
（2）根据点到直线的距离的定义解决问题即可。
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 7.3 平行线同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023七下·前郭尔罗斯期末）下列说法正确的是（ ）
A．过直线外一点作已知直线的垂线段，就是点到直线的距离
B．垂线段最短
C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．同一平面内，两条直线的位置关系为平行和垂直
【答案】B
【知识点】垂线段最短；点到直线的距离；平行线的定义与现象
【解析】【解答】解：
A、过直线外一点作已知直线的垂线段的长度，就是点到直线的距离，A不符合题意；
B、垂线段最短，B符合题意；
C、过直线外的一点有且只有一条直线与已知直线平行，C不符合题意；
D、同一平面内，两条直线的位置关系为平行和相交，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据点到直线的距离，垂线段最短，平行线的定义，平面内两直线的位置结合题意即可求解。
2．（2023七下·汤阴期中）下列语句中：①一条直线有且只有一条垂线；②不相等的两个角一定不是对顶角；③两条不相交的直线叫做平行线；④如果两个角是邻补角，那么这两个角的角平分线互相垂直；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中错误的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】垂线；平行公理及推论；平行线的定义与现象；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：① 一条直线的垂线有无数条，说法错误，故符合题意；② 不相等的两个角一定不是对顶角，正确，故不符合题意； ③在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，说法错误，故符合题意； ④如果两个角是邻补角，那么这两个角的角平分线互相垂直，正确，故不符合题意； ⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 ，说法错误，故符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据垂线的定义及性质、对顶角的性质、平行线的定义及平行公理逐一判断即可.
3．（2021七下·青川期末）下列说法中：
①因为对顶角相等，所以相等的两个角是对顶角；
②在平面内，不相交的两条直线叫做平行线；
③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
正确的有（ ）.
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【知识点】垂线；平行线的定义与现象
【解析】【解答】①说法错误，因对顶角有特殊的位置关系，相等的角不一定是对顶角；②是平行线的定义，正确；③是垂线的性质，正确.
故答案为：C.
【分析】根据相等的角不一定是对顶角可判断①；根据平行线的定义可判断②；根据垂线的性质可判断③.
4．（2020七下·永州期末）下列说法中不正确的是 （ ）
A．三条直线 ， ， 若 ， ，则
B．在同一平面内，若直线 ， ，则
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】D
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】A.三条直线 ， ， 若 ， ，则 ，即平行于同一条直线的两条直线平行，故正确；
B.在同一平面内，若直线 ， ，则 ，根据平行线的性质可确定正确；
C.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，根据垂线的性质可确定正确；
D.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，不正确，应为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
故答案为：D.
【分析】根据平行公理可判断A、D；根据垂直的概念可判断B、C.
5．（2020七下·江津月考）我们知道“对于实数m，n，k，若m＝n，n＝k，则m＝k”，即相等关系具有传递性.小敏由此进行联想，提出了下列命题：
①a，b，c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c.
②a，b，c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c.
③若∠α与∠β互余，∠β与∠γ互余，则∠α与∠γ互余.
其中正确的命题是（ ）
A．① B．①② C．②③ D．①②③
【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质；垂线；平行公理及推论；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①a，b，c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c，故原命题是真命题.
②a，b，c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a∥c，故原命题是假命题.
③若∠α与∠β互余，∠β与∠γ互余，则∠α＝∠γ，故原命题是假命题；
故答案为：A.
【分析】根据平行于同一直线的两条直线互相平行；同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行；同角的余角相等即可一一判断即可.
6．（2020七下·三台期中）下列说法错误的个数是（ ）
①经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
③直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离；
④同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】点到直线的距离；平行公理及推论
【解析】【解答】解：①经过直线外的一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①不符合题意；
②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故②不符合题意；
③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离，故③不符合题意；
④同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，故④符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据平行公理及其推理、点到直线的距离即可判断出结果．
7．下列语句：
①不相交的两条直线叫平行线
②在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行
③如果线段AB和线段CD不相交，那么直线AB和直线CD平行
④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行
⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行
正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：①不相交的两条直线叫平行线，必须是在同一平面内，故错误；
②在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行，正确
③如果线段AB和线段CD不相交，那么直线AB和直线CD平行，错误；
④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行，正确；
⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误，
故选：B．
【分析】直接利用平行公理以及其推论分析得出答案．
8．（2019七上·通州期末）下列说法正确的是（ ）
A．有公共顶点且相等的两个角是对顶角
B．已知线段AB＝BC，则点B是线段AC的中点
C．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】D
【知识点】垂线；平行公理及推论；线段的中点；对顶角及其性质
【解析】【解答】A.有公共顶点且两边分别互为反向延长线的两个角是对顶角，故本选项错误；
B.已知线段AB=BC，A、B、C三点不一定共线，所以，点B不一定是线段AC的中点，故本选项错误.
C.经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；
D.在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项正确；
故答案为：D.
【分析】根据对顶角的定义、平行公理以及推论，对各选项分析判断后利用排除法求解
二、填空题
9．（2019七下·顺德月考）在同一平面内，三条互不重合的直线 a 、 b 、 ，若 a ⊥ b ， a ⊥ ，则 .
【答案】 ∥
【知识点】平行线的定义与现象
【解析】【解答】解：∵a⊥b，a⊥c
∴b∥c
【分析】垂直于同一直线的两条直线平行，即可得到答案。
10．（2017七下·泰兴期末）如果∠A与∠B的两边分别平行，∠A比∠B的3倍少36°，则∠A的度数是 .
【答案】18°或126°
【知识点】角的运算；平行公理及推论
【解析】【解答】解：∵∠A与∠B的两边分别平行，
∴∠A与∠B相等或互补。
分两种情况：
①如图1，
当∠A+∠B=180°时，∠A=3∠B 36°，
解得：∠A=126°；
②如图2，
当∠A=∠B，∠A=3∠B 36°，
解得：∠A=18°.
所以∠A=18°或126°.
11．在同一平面内，有三条直线a、b、c，下列说法：①若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；②若a∥b，b∥c，则a∥c；③若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．其中正确命题是 ．（填序号）
【答案】②
【知识点】垂线；平行公理及推论；相交线；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①若a与b相交，b与c相交，则a与c可能相交，也可能平行，故说法错误；
②若a∥b，b∥c，则a∥c，说法正确；
③若a⊥b，b⊥c，则a∥c，说法错误．
故答案为②．
【分析】根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行进行分析即可．
12．如图，MC∥AB，NC∥AB，则点M，C，N在同一条直线上，理由是
【答案】经过直线外一点，有且只有一条 直线与这条直线平行
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：∵MC∥AB，NC∥AB，∴点M，C，N在同一条直线上，
理由是：经过直线外一点，有且只有一条 直线与这条直线平行．
故答案为：经过直线外一点，有且只有一条 直线与这条直线平行．
【分析】直接利用平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，得出即可．
13．下列说法中：①同位角相等；②过一个点有且只有一条直线与已知直线垂直；③两直线相交成的四个角中相邻两角的角平分线互相垂直；④三条直线两两相交，总有三个交点；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c；⑥若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．其中正确的说法是
【答案】③⑤
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：①应为：两直线平行，同位角相等，故本小题错误；
②应为：在同一平面内，过一个点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本小题错误；
③两直线相交成的四个角中相邻两角的角平分线互相垂直，故本小题正确；
④三条直线两两相交，总有一个交点或三个交点，故本小题错误；
⑤若a∥b，b∥c，则a∥c，故本小题正确；
⑥应为：在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c，故本小题错误．
综上所述，正确的有③⑤．
故答案为③⑤．
【分析】利用同位角的性质、垂线的性质、垂直的定义，两直线的位置关系以及平行公理的推论等知识分别判断后即可确定正确的答案．
三、解答题
14．（2017七下·泗阳期末）已知：三条不同的直线a、b、c在同一平面内：①a∥b；②a⊥c；③b⊥c； ④a⊥b. 请你用①②③④所给出的其中两个事项作为条件，其中一个事项作为结论(用如果…那么…的形式，写出命题，例如：如果a⊥c、b⊥c、那么a∥b).
⑴写出一个真命题，并证明它的正确性；
⑵写出一个假命题，并举出反例.
【答案】解：本题答案不唯一，（1）已知：b∥c，a⊥b，结论a⊥c；证明：如图：∵b∥c，∴∠1＝∠2，又∵a⊥b，∴∠1=90°，∴∠2=90°，∴a⊥c.（2）如果a⊥c，b⊥c，那么a⊥b；反例，如上图，a⊥c，b⊥c，那么a∥b.
【知识点】平行公理及推论；真命题与假命题
【解析】【分析】（1）已知：b∥c，a⊥b，结论a⊥c，根据平行公理及其推论证明即可.
（2）如果a⊥c，b⊥c，那么a⊥b；根据平行公理的推论即可举出反例.
15．读句画图：如图，直线CD与直线AB相交于C，根据下列语句画图：
（1）过点P作PQ∥CD，交AB于点Q；
（2）过点P作PR⊥CD，垂足为R．
【答案】解：（1）过点P作PQ∥CD，交AB于点Q，如图；（2）过点P作PR⊥CD，垂足为R．如图；
【知识点】作图-平行线；作图-垂线
【解析】【分析】（1）过点P作∠PQA=∠DCA即可．
（2）过点P作∠QPR=90°即可．
四、综合题
16．（2022七下·凤县期中）如图，P是∠AOB的OB边上的一点，点A、O、P都在格点上，在方格纸上按要求画图，并标注相应的字母.
（1）过点P画OB的垂线，交OA于点C；过点P画OA的垂线，垂足为D；并完成填空：
①线段 的长度表示点P到直线OA的距离；
②PC
OC（填“＞”、“＜”或“＝”）
（2）过点A画OB的平行线AE.
【答案】（1）PD；<
（2）解：如图，直线AE即为所求作.
【知识点】垂线段最短；点到直线的距离；作图-平行线
【解析】【解答】解：（1）①如图，
直线PC，直线PD即为所求作，线段PD的长度表示点P到直线OA的距离.
故答案为：PD；
②根据垂线段最短可知，PC＜OC.
故答案为：＜；
【分析】（1）①根据要求画出图形，再根据点到直线的距离的定义判断即可；②根据垂线段最短，即可解答；
（2）如图取格点E，作直线AE即可.
17．（2021七下·东城期末）如图，平面内有两条直线l1，l2点A在直线l1上，按要求画图并填空：
（1）①过点A画l2的垂线段AB，垂足为点B；
②6过点A画直线AC⊥l1，交直线l2于点C；
③过点A画直线AD∥l2；
（2）若AB＝12，AC＝13，则点A到直线l2的距离等于 ．
【答案】（1）
（2）12
【知识点】作图-平行线；作图-垂线
【解析】【解答】（2）点到直线间的距离，即垂线段的长度，
所以，点A到直线l2的距离等于12，
故答案为：12．
【分析】（1）①根据垂直线段的定义画出图形即可；
②根据垂直线段的定义画出图形即可；
③根据平行线的定义画出图形即可；
（2）根据点到直线的距离的定义解决问题即可。
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