2023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 7.4 平行线的判定同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023七下·南明月考）下图给出了过直线外一点作已知直线的平行线的一种方法，其依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．平行于同一直线的两条直线平行
【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解： 图中过直线外一点作已知直线的平行线的一种方法，其依据是同位角相等，两直线平行.
故答案为：A.
【分析】根据平行线的判定方法进行判断即可.
2．（2018·吉林）如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=70°，∠2=50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（ ）
A．10° B．20° C．50° D．70°
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：如图．
∵∠AOC=∠2=50°时，OA∥b，
∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是70°﹣50°=20°．
故答案为：B．
【分析】根据平行线的判定定理，只有在∠AOC与∠2这一对同位角相等的时候，两根木条才会平行，故要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是70°﹣50°=20°．
3．（2023·永善模拟） 如图，下列判断中正确的是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么
D．如果，那么
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】A、∵，无法判断出，∴A不正确；
B、∵，无法判断出，∴B不正确；
C、∵，无法判断出，∴C不正确；
D、∵，∴，∴D正确；
故答案为：D.
【分析】利用平行线的判定方法逐项判断即可.
4．（2023七下·仓山期末）如图，直线被所截，，求证：．
下列是佳宁同学的证明过程：
证明：
（填依据）．
则下列关于上述证明过程中括号内填依据正确的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，内错角相等
C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∠1+∠2=180°，∠1=58°，
∴∠2=180°-58°=122°，
∵∠3=122°
∴∠2=∠3，
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）
故答案为：C.
【分析】先由邻补角算出∠2的度数，从而可得∠2=∠3=122°，然后利用同位角相等，两直线平行可得a∥b，从而即可得出答案.
5．（2023七下·梅州期末）如图，已知，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：同一平面内，同位角相等，两直线平行，A，B，D不符合题意，∠4与∠1为同位角，所以C符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据同位角相等、内错角相等或者同旁内角互补，两直线平行，判定即可.
6．在同一平面内，过直线l外一点P作l的垂线m，再过点P作m的垂线n ，则直线l与n的位置关系是（ ）
A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．不能确定
【答案】C
【知识点】垂线；平行线的判定
【解析】【解答】∵l⊥m，n⊥m，
∴l∥n.
故答案为：C.
【分析】 根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，即可解答．
7．下列命题中，真命题是（ ）
A．若2x=-1，则x=-2
B．任何一个角都比它的补角小
C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
D．一个锐角与一个钝角的和等于一个平角
【答案】C
【知识点】角的概念；余角、补角及其性质；垂线；平行线的判定；利用等式的性质解一元一次方程；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A. 2x=-1，两边同除以2，得x=-，A错误，属于假命题；
B.90°的补角是90°，即90°与它的补角相等，B错误，属于假命题；
C.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，C正确，属于真命题；
D.一个锐角与一个钝角的和不一定等于一个平角，D错误，属于假命题.
故答案为：C.
【分析】根据等式的性质，补角的概念、平行线的判定、角的概念逐一判断即可.
8．（2023七下·杭州期末）在同一平面内，将两个完全相同的三角板按如图摆放，可以画出两条互相平行的直线与．这样画的依据是（ ）
A．内错角相等，两直线平行 B．同位角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等
【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：如图，
由题意可得，，
，
，
故答案为：A.
【分析】观察图形可得直线与被BE所截，又根据可得直线与被BE所截得到的内错角相等，故两直线平行.
二、填空题
9．如图所示为一条街道的两个拐角，∠ABC与∠BCD均为140°，则街道AB与CD的关系是 ，这是因为 ．
【答案】平行；内错角相等，两直线平行
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵ ∠ABC=∠BCD=140°，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）.
故答案为：平行，内错角相等，两直线平行.
【分析】根据内错角相等，两直线平行，即可判断得出答案.
10．（2023七下·台江期末）如图，直线c与a、b相交，，，要使直线a与b平行，直线a绕点O逆时针旋转的度数最小的度数是 °．
【答案】35
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：如图，
当∠1=∠3=85时，a∥b，
∴要使直线a与b平行，直线a绕点O逆时针旋转的度数最小的度数是∠2-∠3=120°-85°=35°.
故答案为：35.
【分析】根据同位角相等，两直线平行，求出旋转后∠1的同位角∠3的度数，然后根据角的和差，由∠2-∠3即可求出旋转角的最小度数.
11．（2023七下·海曙期中）如图所示绑在一起的木条.若测得，，要使木条，木条至少要旋转 .
【答案】45°
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：如图，
∵时，，
∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是.
故答案是：.
【分析】根据同位角相等两直线平行可得∠AOC=∠1=40°，然后由角的构成可求得木条a旋转的度数.
12．如图，点D，E，F分别是△ABC的边AB，AC，BC上的点．
若∠B= ，则EF∥AB；
若∠B= ，则DE∥BC．
【答案】∠EFC；∠ADE
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵点F是BC上的点，
∴当∠B=∠EFC时，EF∥AB，
∵点D是AB上的点，
∴当∠B=∠ADE时，DE∥BC.
故答案为：∠EFC，∠ADE.
【分析】根据同位角相等，两直线平行，进行填空即可.
13．（2022八上·安定期中）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC =∠DAE=90°，∠B=50°，∠E=65°，则①∠1=∠3；②∠CAD+∠2=180°；③如果∠2=40°，则有BC∥AD；④如果∠2=30°，则有AC∥DE，上述结论中正确的是 .（填写序号）
【答案】①②③
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定
【解析】【解答】解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，故①正确；
②∵∠1+∠2+∠2+∠3=180°，
∴∠CAD+∠2=180°，故②正确；
③∵∠2=40°，
∴∠3=∠B=50°，
∴BC∥AD，故③正确；
④∵∠2=30°，
∴∠1=60°，
∵∠E=65°，
∴AC与DE不平行，故④不正确.
故答案为：①②③.
【分析】由同角的余角相等得∠1=∠3，据此判断①；根据角的和差得∠1+∠2+∠2+∠3=180°，从而可得∠CAD+∠2=180°，据此判断②；根据角的和差把那个结合已知可得∠3=∠B=50°，根据内错角相等，两直线平行，可得BC∥AD，据此判断③；根据角的和差可得∠1=60°≠∠E，故判断不出AC与DE平行，据此判断④.
三、解答题
14．（2023九上·昌邑期末）如图，在中，，将以B为中心顺时针旋转90°，得到.求证：.
【答案】证明：由旋转知，.∵，∴，∴.
【知识点】平行线的判定；旋转的性质
【解析】【分析】先根据旋转的性质得到，进而结合题意运用平行线的判定即可求解。
15．（2023八上·襄都月考）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行、如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程（注明理由）．
已知：如图，， ▲ ．
求证： ▲ ．
【答案】解：b⊥l，a∥b
证明：∵a⊥l，b⊥l，（已知）
∴∠1=∠2=90°，（垂直的定义）
∴a∥b.（同位角相等，两直线平行）
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】根据要求先把题干补充完整，再利用平行线的判定方法求解即可.
四、综合题
16．（2023七下·宁河月考）如图，
（1）如果，那么直线与平行吗？写出理由；
（2）当与满足什么关系时，直线与平行？说明理由．
【答案】（1）解：直线与平行．
理由如下：
∵，，
∴，
∴．
（2）解：当时，，
理由如下：
∵，，
∴，
∴．
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）直线与平行．理由：根据已知及对顶角相等可得，根据平行线的判定即得；
（2） 当时，.理由：根据同角的补角相等可得， 根据平行线的判定即得.
17．（2023七下·河西期中）
（1）已知：如图，且，求证．
证明：∵，（已知），
∴（ ），
∵（已知）
∵( ），
∴ ▲ ，
∴（ ）；
（2）已知：如图，直线，被所截，，求证：．
证明：∵（ ），
又∵（已知），
∴ ▲ （ ），
∴（ ）．
【答案】（1）证明：∵，（已知），
∴（垂直的定义），
∵（已知）
∵（等式的性质），
∴，
∴（内错角相等，两直线平行）．
（2）证明：∵（对顶角相等），
又∵（已知），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行）．
【知识点】垂线；平行线的判定；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）由垂直的定义可得∠ABC=∠BCD=90°，由∠1=∠2，利用等式的性质可得，即得∠3=∠4，根据内错角相等，两直线平行即证结论；
（2）由对顶角相等可得∠2=∠3，结合已知利用等量代换可得∠1=∠3，根据同位角相等，两直线平行即证结论.
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 7.4 平行线的判定同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023七下·南明月考）下图给出了过直线外一点作已知直线的平行线的一种方法，其依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．平行于同一直线的两条直线平行
2．（2018·吉林）如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=70°，∠2=50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（ ）
A．10° B．20° C．50° D．70°
3．（2023·永善模拟） 如图，下列判断中正确的是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么
D．如果，那么
4．（2023七下·仓山期末）如图，直线被所截，，求证：．
下列是佳宁同学的证明过程：
证明：
（填依据）．
则下列关于上述证明过程中括号内填依据正确的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，内错角相等
C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行
5．（2023七下·梅州期末）如图，已知，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．在同一平面内，过直线l外一点P作l的垂线m，再过点P作m的垂线n ，则直线l与n的位置关系是（ ）
A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．不能确定
7．下列命题中，真命题是（ ）
A．若2x=-1，则x=-2
B．任何一个角都比它的补角小
C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
D．一个锐角与一个钝角的和等于一个平角
8．（2023七下·杭州期末）在同一平面内，将两个完全相同的三角板按如图摆放，可以画出两条互相平行的直线与．这样画的依据是（ ）
A．内错角相等，两直线平行 B．同位角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等
二、填空题
9．如图所示为一条街道的两个拐角，∠ABC与∠BCD均为140°，则街道AB与CD的关系是 ，这是因为 ．
10．（2023七下·台江期末）如图，直线c与a、b相交，，，要使直线a与b平行，直线a绕点O逆时针旋转的度数最小的度数是 °．
11．（2023七下·海曙期中）如图所示绑在一起的木条.若测得，，要使木条，木条至少要旋转 .
12．如图，点D，E，F分别是△ABC的边AB，AC，BC上的点．
若∠B= ，则EF∥AB；
若∠B= ，则DE∥BC．
13．（2022八上·安定期中）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC =∠DAE=90°，∠B=50°，∠E=65°，则①∠1=∠3；②∠CAD+∠2=180°；③如果∠2=40°，则有BC∥AD；④如果∠2=30°，则有AC∥DE，上述结论中正确的是 .（填写序号）
三、解答题
14．（2023九上·昌邑期末）如图，在中，，将以B为中心顺时针旋转90°，得到.求证：.
15．（2023八上·襄都月考）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行、如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程（注明理由）．
已知：如图，， ▲ ．
求证： ▲ ．
四、综合题
16．（2023七下·宁河月考）如图，
（1）如果，那么直线与平行吗？写出理由；
（2）当与满足什么关系时，直线与平行？说明理由．
17．（2023七下·河西期中）
（1）已知：如图，且，求证．
证明：∵，（已知），
∴（ ），
∵（已知）
∵( ），
∴ ▲ ，
∴（ ）；
（2）已知：如图，直线，被所截，，求证：．
证明：∵（ ），
又∵（已知），
∴ ▲ （ ），
∴（ ）．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解： 图中过直线外一点作已知直线的平行线的一种方法，其依据是同位角相等，两直线平行.
故答案为：A.
【分析】根据平行线的判定方法进行判断即可.
2．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：如图．
∵∠AOC=∠2=50°时，OA∥b，
∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是70°﹣50°=20°．
故答案为：B．
【分析】根据平行线的判定定理，只有在∠AOC与∠2这一对同位角相等的时候，两根木条才会平行，故要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是70°﹣50°=20°．
3．【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】A、∵，无法判断出，∴A不正确；
B、∵，无法判断出，∴B不正确；
C、∵，无法判断出，∴C不正确；
D、∵，∴，∴D正确；
故答案为：D.
【分析】利用平行线的判定方法逐项判断即可.
4．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∠1+∠2=180°，∠1=58°，
∴∠2=180°-58°=122°，
∵∠3=122°
∴∠2=∠3，
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）
故答案为：C.
【分析】先由邻补角算出∠2的度数，从而可得∠2=∠3=122°，然后利用同位角相等，两直线平行可得a∥b，从而即可得出答案.
5．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：同一平面内，同位角相等，两直线平行，A，B，D不符合题意，∠4与∠1为同位角，所以C符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据同位角相等、内错角相等或者同旁内角互补，两直线平行，判定即可.
6．【答案】C
【知识点】垂线；平行线的判定
【解析】【解答】∵l⊥m，n⊥m，
∴l∥n.
故答案为：C.
【分析】 根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，即可解答．
7．【答案】C
【知识点】角的概念；余角、补角及其性质；垂线；平行线的判定；利用等式的性质解一元一次方程；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A. 2x=-1，两边同除以2，得x=-，A错误，属于假命题；
B.90°的补角是90°，即90°与它的补角相等，B错误，属于假命题；
C.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，C正确，属于真命题；
D.一个锐角与一个钝角的和不一定等于一个平角，D错误，属于假命题.
故答案为：C.
【分析】根据等式的性质，补角的概念、平行线的判定、角的概念逐一判断即可.
8．【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：如图，
由题意可得，，
，
，
故答案为：A.
【分析】观察图形可得直线与被BE所截，又根据可得直线与被BE所截得到的内错角相等，故两直线平行.
9．【答案】平行；内错角相等，两直线平行
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵ ∠ABC=∠BCD=140°，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）.
故答案为：平行，内错角相等，两直线平行.
【分析】根据内错角相等，两直线平行，即可判断得出答案.
10．【答案】35
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：如图，
当∠1=∠3=85时，a∥b，
∴要使直线a与b平行，直线a绕点O逆时针旋转的度数最小的度数是∠2-∠3=120°-85°=35°.
故答案为：35.
【分析】根据同位角相等，两直线平行，求出旋转后∠1的同位角∠3的度数，然后根据角的和差，由∠2-∠3即可求出旋转角的最小度数.
11．【答案】45°
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：如图，
∵时，，
∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是.
故答案是：.
【分析】根据同位角相等两直线平行可得∠AOC=∠1=40°，然后由角的构成可求得木条a旋转的度数.
12．【答案】∠EFC；∠ADE
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵点F是BC上的点，
∴当∠B=∠EFC时，EF∥AB，
∵点D是AB上的点，
∴当∠B=∠ADE时，DE∥BC.
故答案为：∠EFC，∠ADE.
【分析】根据同位角相等，两直线平行，进行填空即可.
13．【答案】①②③
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定
【解析】【解答】解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，故①正确；
②∵∠1+∠2+∠2+∠3=180°，
∴∠CAD+∠2=180°，故②正确；
③∵∠2=40°，
∴∠3=∠B=50°，
∴BC∥AD，故③正确；
④∵∠2=30°，
∴∠1=60°，
∵∠E=65°，
∴AC与DE不平行，故④不正确.
故答案为：①②③.
【分析】由同角的余角相等得∠1=∠3，据此判断①；根据角的和差得∠1+∠2+∠2+∠3=180°，从而可得∠CAD+∠2=180°，据此判断②；根据角的和差把那个结合已知可得∠3=∠B=50°，根据内错角相等，两直线平行，可得BC∥AD，据此判断③；根据角的和差可得∠1=60°≠∠E，故判断不出AC与DE平行，据此判断④.
14．【答案】证明：由旋转知，.∵，∴，∴.
【知识点】平行线的判定；旋转的性质
【解析】【分析】先根据旋转的性质得到，进而结合题意运用平行线的判定即可求解。
15．【答案】解：b⊥l，a∥b
证明：∵a⊥l，b⊥l，（已知）
∴∠1=∠2=90°，（垂直的定义）
∴a∥b.（同位角相等，两直线平行）
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】根据要求先把题干补充完整，再利用平行线的判定方法求解即可.
16．【答案】（1）解：直线与平行．
理由如下：
∵，，
∴，
∴．
（2）解：当时，，
理由如下：
∵，，
∴，
∴．
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）直线与平行．理由：根据已知及对顶角相等可得，根据平行线的判定即得；
（2） 当时，.理由：根据同角的补角相等可得， 根据平行线的判定即得.
17．【答案】（1）证明：∵，（已知），
∴（垂直的定义），
∵（已知）
∵（等式的性质），
∴，
∴（内错角相等，两直线平行）．
（2）证明：∵（对顶角相等），
又∵（已知），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行）．
【知识点】垂线；平行线的判定；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）由垂直的定义可得∠ABC=∠BCD=90°，由∠1=∠2，利用等式的性质可得，即得∠3=∠4，根据内错角相等，两直线平行即证结论；
（2）由对顶角相等可得∠2=∠3，结合已知利用等量代换可得∠1=∠3，根据同位角相等，两直线平行即证结论.
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