2023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 7.4 平行线的判定同步分层训练培优题
一、选择题
1．如图，给出下列条件：①∠1=∠3；②∠2=∠3；③∠4=∠5；④∠2+∠4=180°．其中能判定直线l1∥l2的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2022七下·太原期中）如图，小颖同学按图中的方式摆放一副三角板，画出AB∥CD依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．平行于同一直线的两条直线平行
D．同旁内角互补，两直线平行
3．（2023七下·迪庆期末）如图所示，点在的延长线上，下列条件中不能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023七下·凤城期末）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点、重合，若固定三角形，改变三角板的位置其中点位置始终不变，当时，．（ ）
A． B．或 C．或 D．或
5．（2023七下·潼关期末）如图，已知BF，CD相交于点O，，下列说法正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
6．（2023七下·长沙期末）如图，下列推理不正确的是（ ）
A．∵，∴ B．∵，∴
C．∵，∴ D．∵，∴
7．（2023七下·吕梁期末）如图，下列条件中，不能判断直线 的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023七下·永寿期末）当图中各角分别满足下列条件时，不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2023七下·丰台期末）如图，只需添加一个条件，即可以证明，这个条件可以是 ．（写出一个即可）
10．（2023七下·綦江期中）如图，将一张长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、位置，的延长线与相交于点G，若， ．
11．（2019七下·江苏期中）如图，在△AOB和△COD中，∠AOB=∠COD=90°，∠B=50°，∠C=60°，点D在边OA上，将图中的△COD绕点O按每秒20°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第t秒时，边CD恰好与边AB平行，则t的值为 .
12．（2021七下·北仑期末）在一副三角尺中∠BPA=45°，∠CPD=60°，∠B=∠C=90°，将它们按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器的0°刻度线重合，边AP与量角器的180°刻度线重合.将三角尺PCD绕点P以每秒3°的速度逆时针旋转，同时三角尺ABP绕点P以每秒2°的速度顺时针旋转，当三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时两块三角尺都停止运动，则当运动时间t = 秒时，两块三角尺有一组边平行.
三、解答题
13．如图：已知∠2+∠D=180°，∠1=∠B，试说明：AB∥EF.
14．如图所示，在5×5的网格中，AC是网格中最长的线段，请画出两条线段与AC平行并且过网格的格点．
四、综合题
15．将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起(如图)，其中∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°．
（1）若∠BCD= 150° ，求∠ACE的度数；
（2）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，试探究∠BCD等于多少度时，CD∥AB，并简要说明理由．
16．（2019七下·韶关期末）将一副三角板中的两个直角顶点 叠放在一起（如图①），其中 ， ， .
（1）猜想 与 的数量关系，并说明理由；
（2）若 ，求 的度数；
（3）若按住三角板 不动，绕顶点 转动三角 ，试探究 等于多少度时 ，并简要说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①∵∠1=∠3（已知），
∴l1∥l2（内错角相等，两直线平行），故①能判定；
②∵∠2与∠3不是两条直线被第三条直线所截形成的同位角、内错角中的一对角，
∴即使∠2=∠3，也不能判断l1与l2平行，故②不能判定；
③∵∠4=∠5（已知），
∴l1∥l2（同位角相等，两直线平行），故③能判定；
④∵∠2+∠4=180°（已知），
∴l1∥l2（同旁内角互补，两直线平行），故④能判定，
综上能判定直线l1∥l2的有①②③，共3个.
故答案为：C.
【分析】由内错角相等，两直线平行，可判断①；由于∠2与∠3不是两条直线被第三条直线所截形成的同位角、内错角中的一对角，即使∠2=∠3，也不能判断l1与l2平行，据此可判断②；由同位角相等，两直线平行，可判断③；由同旁内角互补，两直线平行，可判断④.
2．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴（内错角相等，两直线平行），
故答案为：B．
【分析】根据题意先求出，再利用平行线的判定方法证明即可。
3．【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A.∵，∴AB//CD，不能得出，故符合；
B.∵，∴，故不符合；
C.∵，∴，故不符合；
D.∵，∴，故不符合.
故答案为：A.
【分析】以各选项为条件，结合图形作出推理，确定能否判断BD//AE.
4．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①如下图：
∵
∴
②如下图：
∵
∴
∴
故答案为：C.
【分析】分两种情况，根据CD∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠BAD度数.
5．【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、，，
，
，A错误；
B、，，
，无法证明，B错误；
C、，，
，
，C错误；
D、，
，
，
，
，D正确.
故答案为：D.
【分析】根据内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行即可判定.
6．【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵，∴AB//CD，∴A不正确，符合题意；
B、∵，∴，∴B正确，不符合题意；
C、∵，∴，∴C正确，不符合题意；
D、∵，∴，∴D正确，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用平行线的判定方法逐项判断即可.
7．【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵无法判断出AD//BC，∴A符合题意；
B、∵，∴AD//BC，∴B不符合题意；
C、∵，∴AD//BC，∴C不符合题意；
D、∵，∴AD//BC，∴D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用平行线的判定方法逐项判断即可.
8．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠2=∠3，∴DE∥BC，故A选项不符合题意；
B、不能判定DE∥BC，故B选项符合题意；
C、∵∠1=∠C，∴DE∥BC，故C选项不符合题意；
D、∵∠C+∠DEC=180°，∴DE∥BC，故D选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】A、根据“内错角相等，两直线平行”进行判断即可；B、∠ADE与∠ABC是是一对同位角，只有在它们相等的时候，才能判断两直线平行，据此可判断；C、根据“同位角相等，两直线平行”进行判断即可；D、根据“同旁内角互补，两直线平行”进行判断即可.
9．【答案】（答案不唯一）
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵ ，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】根据平行线的判定方法进行添加即可.
10．【答案】
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵∠1与∠EGC是邻补角，∠1=40°，
∴∠EGC＝180°-∠1＝40°，
∵四边形ABCD是长方形纸片，
∴∠D＝∠C＝90°．
∵折叠后点D、C分别落在点D′、C′位置，
∴∠D′＝∠C′＝90°，
∴EG∥FC′，
∴∠GFC′＝∠EGC＝40°，
故答案为：40°.
【分析】利用邻补角的定义先求出∠EGC的度数，再利用平行线的判定和性质计算求解即可。
11．【答案】5.5或 14.5
【知识点】平行线的判定；旋转的性质
【解析】【解答】如图1，△COD绕点O顺时针旋转得到△C′OD′，C′D′交OB于E，则∠C′OD′=∠COD=90°，∠OC′D=∠C=60°，
当∠OEC′=∠B=50°时，C′D′∥AB，
∴∠C′OC=∠OEC′+∠OC′E=50°+60°=110°，
∴△COD绕点O顺时针旋转110°得到△C′OD′所需时间为 =5.5（秒）；
如图2，△COD绕点O顺时针旋转得到△C″OD″，C″D″交直线OB于F，则∠C″OD″=∠COD=90°，∠OC″D″=∠C=60°，
当∠OFC″=∠B=50°时，C″D″∥AB，
∴∠C″OC=180°-∠OFC″-∠OC″F=180°-50°-60°=70°，
而360°-70°=290°，
∴△COD绕点O顺时针旋290°得到△C″OD″所需时间为 =14.5（秒）；
综上所述，在旋转的过程中，在第5.5秒或14.5秒时，边CD恰好与边AB平行.
【分析】分两种情况讨论①如图1，△COD绕点O顺时针旋转得到△C′OD′，C′D′交OB于E，可得∠C′OD′=∠COD=90°，∠OC′D=∠C=60°，当∠OFC″=∠B=50°时可得C′D′∥AB，然后利用三角形外角的性质即可求出旋转角∠C″OC的度数，利用旋转角除以旋转速度即得旋转时间.②如图2，△COD绕点O顺时针旋转得到△C″OD″，C″D″交直线OB于F，则∠C″OD″=∠COD=90°，∠OC″D″=∠C=60°，同①先求出旋转角，然后求出旋转时间即可.
12．【答案】6或9或15或33
【知识点】平行线的判定；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据题意，∠MPA=2t，∠NPD=3t，
当三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时两块三角尺都停止运动，
则运动时间为t= （秒）；
当PA∥CD时，即∠APC=∠C=90°，∠CPD=60°，
∴∠MPA+∠APC+∠CPD+∠NPD=180°，即2t+90+60+3t =180，
解得：t =6（秒）；
当PD∥AB时，即∠B=∠BPD=90°，∠BPA=45°，
∴∠MPA+∠BPA+∠BPD+∠NPD=180°，即2t+45+90+3t =180，
解得：t =9（秒）；
当CD∥AB时，即PB与PC重合，∠BPA=45°，∠CPD=60°，
∴∠MPA+∠BPA+∠BPD+∠NPD=180°，即2t+45+60+3t =180，
解得：t =15（秒）；
当CP∥AB时，则四边形BECP为长方形，∠CPB=90°，
∴∠D=∠BPD=30°，
∴∠APD=∠APB-∠BPD =45°-30°=15°，
∴∠MPA+∠APD+∠NPD=180°，即2t+15+3t =180，
解得：t =33（秒）；
当CD∥PA时，则∠D=∠APD=30°，
∴∠MPA +∠NPD-∠APD =180°，即2t+3t-30 =180，
解得：t =42>40，不符合题意；
综上，当运动时间t 为6或9或15或33秒时，两块三角尺有一组边平行.
故答案为：6或9或15或33.
【分析】根据题意可得到∠MPA=2t，∠NPD=3t，当三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时两块三角尺都停止运动可求出运动时间t的值；再分情况讨论：当PA∥CD时，即∠APC=∠C=90°，∠CPD=60°， 利用平角的定义建立关于t的方程，解方程求出t的值；当PD∥AB时，即∠B=∠BPD=90°，∠BPA=45°，利用∠MPA+∠BPA+∠BPD+∠NPD=180°，建立关于t的方程，解方程求出t的值；当CD∥AB时，即PB与PC重合，∠BPA=45°，∠CPD=60°，根据∠MPA+∠BPA+∠BPD+∠NPD=180°，建立关于t的方程，解方程求出t的值；当CP∥AB时，则四边形BECP为长方形，∠CPB=90°，可求出∠BPD的度数，由此可求出∠APD的度数；然后根据∠MPA+∠APD+∠NPD=180°，建立关于t的方程，解方程求出t的值；当CD∥PA时，则∠D=∠APD=30°，根据∠MPA +∠NPD-∠APD =180°，建立关于t的方程，求出t的值不符合题意；
综上所述可得到符合题意的t的值.
13．【答案】证明 ∵∠2+∠D=180°，
∴EF∥DC(同旁内角互补，两直线平行)
∵∠1=∠B
∴AB∥DC(同位角相等，两直线平行)。
∴AB∥E F (平行于同一条直线的两条直线平行)。
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】由同旁内角互补、同位角相等判定两直线平行
【分析】考查了平行线的判定及推理格式
14．【答案】如图所示：
EF∥AC，PQ∥AC，MN∥AC，且它们都过格点．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】过网格格点，EF，PQ，MN与竖直线AB都成45°角，AC与AB成45°，由同位角相等得两直线平行．
15．【答案】（1）解：∵∠BCA=∠ECD= 90°，∠BCD= 150°，
∠DCA=∠BCD-∠BCA=150°-90°=60°，
∴∠ACE=∠ECD-∠DCA=90°-60°= 30°．
（2）解：当∠BCD= 120°或60°时，CD∥AB．
理由：如图1，
∵∠B=60°，∠BCD=120°，
∴∠B+∠BCD= 180°，
∴CD∥AB；
如图2
∵∠B=60°，∠BCD=60°，
∴∠B=∠BCD，
∴CD∥AB；
【知识点】平行线的判定；图形的旋转
【解析】【分析】（1）利用直角三角形的定义可得到∠BCA=∠ECD= 90°，根据∠DCA=∠BCD-∠BCA，代入计算求出∠DCA的度数；然后根据∠ACE=∠ECD-∠DCA，可求出∠ACE的度数.
（2）如图1，根据∠B=60°，∠BCD=120°，可得到∠B+∠BCD= 180°，利用同旁内角互补，两直线平行，可证得结论；如图2，由∠B=60°，∠BCD=60°，可得到∠B=∠BCD，利用内错角相等，两直线平行，可证得结论.
16．【答案】（1）解： ，理由如下：
，
（2）解：如图①，设 ，则 ，
由（1）可得 ，
，
，
（3）解：分两种情况：
①如图1所示，当 时， ，
又 ，
；
②如图2所示，当 时， ，
又 ，
.
综上所述， 等于 或 时， .
【知识点】角的运算；平行线的判定
【解析】【分析】（1）由∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，即可求出∠BCD+∠ACE的度数.
（2）如图①，设∠ACE=a，可得∠BCD=3a，结合（1）可得3a+a=180°，求出a的度数，即得∠BCD的度数.
（3）分两种情况讨论，①如图1所示，当AB∥CE时，∠BCE=180°-∠B=120°，②如图2所示，当AB∥CE时，∠BCE=∠B=60°，分别求出∠BCD的度数即可.
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 7.4 平行线的判定同步分层训练培优题
一、选择题
1．如图，给出下列条件：①∠1=∠3；②∠2=∠3；③∠4=∠5；④∠2+∠4=180°．其中能判定直线l1∥l2的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①∵∠1=∠3（已知），
∴l1∥l2（内错角相等，两直线平行），故①能判定；
②∵∠2与∠3不是两条直线被第三条直线所截形成的同位角、内错角中的一对角，
∴即使∠2=∠3，也不能判断l1与l2平行，故②不能判定；
③∵∠4=∠5（已知），
∴l1∥l2（同位角相等，两直线平行），故③能判定；
④∵∠2+∠4=180°（已知），
∴l1∥l2（同旁内角互补，两直线平行），故④能判定，
综上能判定直线l1∥l2的有①②③，共3个.
故答案为：C.
【分析】由内错角相等，两直线平行，可判断①；由于∠2与∠3不是两条直线被第三条直线所截形成的同位角、内错角中的一对角，即使∠2=∠3，也不能判断l1与l2平行，据此可判断②；由同位角相等，两直线平行，可判断③；由同旁内角互补，两直线平行，可判断④.
2．（2022七下·太原期中）如图，小颖同学按图中的方式摆放一副三角板，画出AB∥CD依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．平行于同一直线的两条直线平行
D．同旁内角互补，两直线平行
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴（内错角相等，两直线平行），
故答案为：B．
【分析】根据题意先求出，再利用平行线的判定方法证明即可。
3．（2023七下·迪庆期末）如图所示，点在的延长线上，下列条件中不能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A.∵，∴AB//CD，不能得出，故符合；
B.∵，∴，故不符合；
C.∵，∴，故不符合；
D.∵，∴，故不符合.
故答案为：A.
【分析】以各选项为条件，结合图形作出推理，确定能否判断BD//AE.
4．（2023七下·凤城期末）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点、重合，若固定三角形，改变三角板的位置其中点位置始终不变，当时，．（ ）
A． B．或 C．或 D．或
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①如下图：
∵
∴
②如下图：
∵
∴
∴
故答案为：C.
【分析】分两种情况，根据CD∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠BAD度数.
5．（2023七下·潼关期末）如图，已知BF，CD相交于点O，，下列说法正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、，，
，
，A错误；
B、，，
，无法证明，B错误；
C、，，
，
，C错误；
D、，
，
，
，
，D正确.
故答案为：D.
【分析】根据内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行即可判定.
6．（2023七下·长沙期末）如图，下列推理不正确的是（ ）
A．∵，∴ B．∵，∴
C．∵，∴ D．∵，∴
【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵，∴AB//CD，∴A不正确，符合题意；
B、∵，∴，∴B正确，不符合题意；
C、∵，∴，∴C正确，不符合题意；
D、∵，∴，∴D正确，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用平行线的判定方法逐项判断即可.
7．（2023七下·吕梁期末）如图，下列条件中，不能判断直线 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵无法判断出AD//BC，∴A符合题意；
B、∵，∴AD//BC，∴B不符合题意；
C、∵，∴AD//BC，∴C不符合题意；
D、∵，∴AD//BC，∴D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用平行线的判定方法逐项判断即可.
8．（2023七下·永寿期末）当图中各角分别满足下列条件时，不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠2=∠3，∴DE∥BC，故A选项不符合题意；
B、不能判定DE∥BC，故B选项符合题意；
C、∵∠1=∠C，∴DE∥BC，故C选项不符合题意；
D、∵∠C+∠DEC=180°，∴DE∥BC，故D选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】A、根据“内错角相等，两直线平行”进行判断即可；B、∠ADE与∠ABC是是一对同位角，只有在它们相等的时候，才能判断两直线平行，据此可判断；C、根据“同位角相等，两直线平行”进行判断即可；D、根据“同旁内角互补，两直线平行”进行判断即可.
二、填空题
9．（2023七下·丰台期末）如图，只需添加一个条件，即可以证明，这个条件可以是 ．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵ ，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】根据平行线的判定方法进行添加即可.
10．（2023七下·綦江期中）如图，将一张长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、位置，的延长线与相交于点G，若， ．
【答案】
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵∠1与∠EGC是邻补角，∠1=40°，
∴∠EGC＝180°-∠1＝40°，
∵四边形ABCD是长方形纸片，
∴∠D＝∠C＝90°．
∵折叠后点D、C分别落在点D′、C′位置，
∴∠D′＝∠C′＝90°，
∴EG∥FC′，
∴∠GFC′＝∠EGC＝40°，
故答案为：40°.
【分析】利用邻补角的定义先求出∠EGC的度数，再利用平行线的判定和性质计算求解即可。
11．（2019七下·江苏期中）如图，在△AOB和△COD中，∠AOB=∠COD=90°，∠B=50°，∠C=60°，点D在边OA上，将图中的△COD绕点O按每秒20°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第t秒时，边CD恰好与边AB平行，则t的值为 .
【答案】5.5或 14.5
【知识点】平行线的判定；旋转的性质
【解析】【解答】如图1，△COD绕点O顺时针旋转得到△C′OD′，C′D′交OB于E，则∠C′OD′=∠COD=90°，∠OC′D=∠C=60°，
当∠OEC′=∠B=50°时，C′D′∥AB，
∴∠C′OC=∠OEC′+∠OC′E=50°+60°=110°，
∴△COD绕点O顺时针旋转110°得到△C′OD′所需时间为 =5.5（秒）；
如图2，△COD绕点O顺时针旋转得到△C″OD″，C″D″交直线OB于F，则∠C″OD″=∠COD=90°，∠OC″D″=∠C=60°，
当∠OFC″=∠B=50°时，C″D″∥AB，
∴∠C″OC=180°-∠OFC″-∠OC″F=180°-50°-60°=70°，
而360°-70°=290°，
∴△COD绕点O顺时针旋290°得到△C″OD″所需时间为 =14.5（秒）；
综上所述，在旋转的过程中，在第5.5秒或14.5秒时，边CD恰好与边AB平行.
【分析】分两种情况讨论①如图1，△COD绕点O顺时针旋转得到△C′OD′，C′D′交OB于E，可得∠C′OD′=∠COD=90°，∠OC′D=∠C=60°，当∠OFC″=∠B=50°时可得C′D′∥AB，然后利用三角形外角的性质即可求出旋转角∠C″OC的度数，利用旋转角除以旋转速度即得旋转时间.②如图2，△COD绕点O顺时针旋转得到△C″OD″，C″D″交直线OB于F，则∠C″OD″=∠COD=90°，∠OC″D″=∠C=60°，同①先求出旋转角，然后求出旋转时间即可.
12．（2021七下·北仑期末）在一副三角尺中∠BPA=45°，∠CPD=60°，∠B=∠C=90°，将它们按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器的0°刻度线重合，边AP与量角器的180°刻度线重合.将三角尺PCD绕点P以每秒3°的速度逆时针旋转，同时三角尺ABP绕点P以每秒2°的速度顺时针旋转，当三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时两块三角尺都停止运动，则当运动时间t = 秒时，两块三角尺有一组边平行.
【答案】6或9或15或33
【知识点】平行线的判定；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据题意，∠MPA=2t，∠NPD=3t，
当三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时两块三角尺都停止运动，
则运动时间为t= （秒）；
当PA∥CD时，即∠APC=∠C=90°，∠CPD=60°，
∴∠MPA+∠APC+∠CPD+∠NPD=180°，即2t+90+60+3t =180，
解得：t =6（秒）；
当PD∥AB时，即∠B=∠BPD=90°，∠BPA=45°，
∴∠MPA+∠BPA+∠BPD+∠NPD=180°，即2t+45+90+3t =180，
解得：t =9（秒）；
当CD∥AB时，即PB与PC重合，∠BPA=45°，∠CPD=60°，
∴∠MPA+∠BPA+∠BPD+∠NPD=180°，即2t+45+60+3t =180，
解得：t =15（秒）；
当CP∥AB时，则四边形BECP为长方形，∠CPB=90°，
∴∠D=∠BPD=30°，
∴∠APD=∠APB-∠BPD =45°-30°=15°，
∴∠MPA+∠APD+∠NPD=180°，即2t+15+3t =180，
解得：t =33（秒）；
当CD∥PA时，则∠D=∠APD=30°，
∴∠MPA +∠NPD-∠APD =180°，即2t+3t-30 =180，
解得：t =42>40，不符合题意；
综上，当运动时间t 为6或9或15或33秒时，两块三角尺有一组边平行.
故答案为：6或9或15或33.
【分析】根据题意可得到∠MPA=2t，∠NPD=3t，当三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时两块三角尺都停止运动可求出运动时间t的值；再分情况讨论：当PA∥CD时，即∠APC=∠C=90°，∠CPD=60°， 利用平角的定义建立关于t的方程，解方程求出t的值；当PD∥AB时，即∠B=∠BPD=90°，∠BPA=45°，利用∠MPA+∠BPA+∠BPD+∠NPD=180°，建立关于t的方程，解方程求出t的值；当CD∥AB时，即PB与PC重合，∠BPA=45°，∠CPD=60°，根据∠MPA+∠BPA+∠BPD+∠NPD=180°，建立关于t的方程，解方程求出t的值；当CP∥AB时，则四边形BECP为长方形，∠CPB=90°，可求出∠BPD的度数，由此可求出∠APD的度数；然后根据∠MPA+∠APD+∠NPD=180°，建立关于t的方程，解方程求出t的值；当CD∥PA时，则∠D=∠APD=30°，根据∠MPA +∠NPD-∠APD =180°，建立关于t的方程，求出t的值不符合题意；
综上所述可得到符合题意的t的值.
三、解答题
13．如图：已知∠2+∠D=180°，∠1=∠B，试说明：AB∥EF.
【答案】证明 ∵∠2+∠D=180°，
∴EF∥DC(同旁内角互补，两直线平行)
∵∠1=∠B
∴AB∥DC(同位角相等，两直线平行)。
∴AB∥E F (平行于同一条直线的两条直线平行)。
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】由同旁内角互补、同位角相等判定两直线平行
【分析】考查了平行线的判定及推理格式
14．如图所示，在5×5的网格中，AC是网格中最长的线段，请画出两条线段与AC平行并且过网格的格点．
【答案】如图所示：
EF∥AC，PQ∥AC，MN∥AC，且它们都过格点．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】过网格格点，EF，PQ，MN与竖直线AB都成45°角，AC与AB成45°，由同位角相等得两直线平行．
四、综合题
15．将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起(如图)，其中∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°．
（1）若∠BCD= 150° ，求∠ACE的度数；
（2）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，试探究∠BCD等于多少度时，CD∥AB，并简要说明理由．
【答案】（1）解：∵∠BCA=∠ECD= 90°，∠BCD= 150°，
∠DCA=∠BCD-∠BCA=150°-90°=60°，
∴∠ACE=∠ECD-∠DCA=90°-60°= 30°．
（2）解：当∠BCD= 120°或60°时，CD∥AB．
理由：如图1，
∵∠B=60°，∠BCD=120°，
∴∠B+∠BCD= 180°，
∴CD∥AB；
如图2
∵∠B=60°，∠BCD=60°，
∴∠B=∠BCD，
∴CD∥AB；
【知识点】平行线的判定；图形的旋转
【解析】【分析】（1）利用直角三角形的定义可得到∠BCA=∠ECD= 90°，根据∠DCA=∠BCD-∠BCA，代入计算求出∠DCA的度数；然后根据∠ACE=∠ECD-∠DCA，可求出∠ACE的度数.
（2）如图1，根据∠B=60°，∠BCD=120°，可得到∠B+∠BCD= 180°，利用同旁内角互补，两直线平行，可证得结论；如图2，由∠B=60°，∠BCD=60°，可得到∠B=∠BCD，利用内错角相等，两直线平行，可证得结论.
16．（2019七下·韶关期末）将一副三角板中的两个直角顶点 叠放在一起（如图①），其中 ， ， .
（1）猜想 与 的数量关系，并说明理由；
（2）若 ，求 的度数；
（3）若按住三角板 不动，绕顶点 转动三角 ，试探究 等于多少度时 ，并简要说明理由.
【答案】（1）解： ，理由如下：
，
（2）解：如图①，设 ，则 ，
由（1）可得 ，
，
，
（3）解：分两种情况：
①如图1所示，当 时， ，
又 ，
；
②如图2所示，当 时， ，
又 ，
.
综上所述， 等于 或 时， .
【知识点】角的运算；平行线的判定
【解析】【分析】（1）由∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，即可求出∠BCD+∠ACE的度数.
（2）如图①，设∠ACE=a，可得∠BCD=3a，结合（1）可得3a+a=180°，求出a的度数，即得∠BCD的度数.
（3）分两种情况讨论，①如图1所示，当AB∥CE时，∠BCE=180°-∠B=120°，②如图2所示，当AB∥CE时，∠BCE=∠B=60°，分别求出∠BCD的度数即可.
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