2023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 7.5 平行线的性质同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023八上·安庆月考）命题：①两点之间线段最短；②对顶角相等；③同旁内角互补；④若一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角一定相等；其中真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2023九下·松原月考）将一副常规直角三角板按如图所示的位置摆放在一把直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．70 B．75 C．80 D．85
3．（2023七上·南岗期中）下列说法中：①同位角相等；②点到直线的距离是指这点到直线的垂线段；③在同一平面内，若有一条直线a和一点A，则过点A可以作两条直线AC和AB垂直于直线a；④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤平移前后的两个图形的对应点连线一定平行．以上命题中真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2023九上·芜湖期中）如图，在中，，将绕点逆时针旋转角度（）得到，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·陕西）如图，直线，点在上，，垂足为若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023七下·黄山期中）如图，，，，，给出以下结论： ； ； ； ．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2022七下·南康期末）如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β，下列各式：①β﹣α，②α﹣β，③180°﹣α+β，④360°﹣α﹣β，可以表示∠AEC的度数的有（ ）
A．③④ B．①③④ C．①②④ D．②③④
8．（2023七下·深圳期中）如图，已知，，点是射线上一动点（与点不重合），、分别平分和，分别交射线于点、，下列结论：①；②；③当时，；④当点运动时，的数量关系不变．其中正确结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．如图，AB//CD，BC//ED，∠B=80°，则∠D= .
10．（2023八上·丰南期中）如图，含有角的直角三角板的两个顶点放在一个长方形的对边上，点为直角顶点，，延长交于点，如果，那么的度数是 ．
11．（2023七下·洪山期末）如图，AB∥EF， ， ，已知∠FCD=60°，则∠P的度数为 ．
12．（2023八上·江北开学考）两块不同的三角板按如图所示摆放，边重合，，接着如图保持三角板不动，将三角板绕着点按顺时针以每秒的速度旋转后停止在此旋转过程中，当旋转时间 秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行．
13．（2023七下·五莲期末）如图，，E为上一点，且垂足为F，，平分，且，则下列结论：①；②平分；③；④；其中正确的有 ．（请填写序号）
三、解答题
14．如图，已知AD⊥BC， FG⊥BC，垂足分别为D，G，∠1=∠2，试猜想∠BDE与∠C的大小关系，并说明理由．
15．（2024八上·交城期中） 探究三角形的内角和
（1）下面是证明三角形内角和定理的一种添加辅助线的方法，请完成证明.
三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°.
已知：如图，△ABC
求证：∠A+∠B+∠C=180°
证明：在BC上任取一点D，过点D作DE∥AB，交AC于点E，过点D作DF∥AC，交AB于点F.
（2）请再用一种不同的方法证明三角形内角和定理.
四、综合题
16．（2023八上·涪城开学考）
（1）已知AB∥CD，点M为平面内一点.如图①，BM⊥CM，小颖说过点M作MP∥AB，很容易说明∠ABM和∠DCM互余.请你帮小颖写出具体的证明过程.
（2）如图②，AB∥CD，点M在射线ED上运动，当点M移动到点A与点D之间时，试判断∠BMC与∠ABM，∠DCM的数量关系，并说明理由.
（3）在(2)的条件下，当点M在射线ED上的其他地方运动时(点M与E，A，D三点不重合)，请直接写出∠BMC与∠ABM，∠DCM之间的数量关系.
17．（2023七下·伊通期末）如图1，线段是由线段平移得到的．分别连接，．直线于点，延长与相交于点．点是射线上的一个动点，点不与点、点、点重合．连接，．
（1）线段，的关系是 ；
（2）如图1，当点在线段上运动时，，，之间的数量关系是 ；
（3）如图2，当点在线段上运动时，，，之间的数量关系是否发生变化？若发生变化请写出它们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由；
（4）如图3，当点在点上方运动时，请直接写出，，之间的数量关系： ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；平行线的性质；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①两点之间线段最短，是真命题；
②对顶角相等，是真命题；
③两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题；
④若一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角相等或互补如下图中，，故原命题是假命题；
∴真命题有2个，
故答案为：B
【分析】根据直线的性质、对顶角的性质、平行线的性质结合题意即可求解。
2．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
，
，
直尺上下两边互相平行，
，
故答案为：B
【分析】根据三角板即可得到∠2的度数，进而运用平行线的性质即可求解。
3．【答案】A
【知识点】点到直线的距离；平行公理及推论；平行线的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①两直线平行，同位角相等，原命题是假命题；
②点到直线的距离是指这点到直线的垂线段的长度，原命题是假命题；
③在同一平面内，若有一条直线a和一点A，则过点A可以作一条直线AC和AB垂直于直线a，原命题是假命题；
④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是真命题；
⑤平移前后的两个图形的对应点连线平行或在同一直线上，原命题是假命题；
综上，只有④是证明题；
故答案为：A.
【分析】根据平行公理、平行线的判定、平移的性质、点到直线的距离的概念判断即可.
4．【答案】A
【知识点】平行线的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△ADE是由△ABC旋转得到的，
∴△ADE≌△ABC，
∴∠C=∠E=20°，
∵DE//AB，
∴∠BAE=∠E=20°，
∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=20°+55°=75°，
∴旋转角的度数为75°，
故答案为：A.
【分析】利用旋转的性质可得∠C=∠E=20°，利用平行线的性质可得∠BAE=∠E=20°，再利用角的运算求出∠EAC=∠EAB+∠BAC=20°+55°=75°即可.
5．【答案】D
【知识点】垂线；平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：过点B作BD∥l1，
∵AB⊥l3，
∴∠4+∠5=90°，
∵l1∥l2，
∴BD∥l1∥l2，
∴∠3+∠4=180°，∠5=∠2，
∵∠1=∠3=138°，
∴∠4=180°-138°=42°，
∴∠5=90°-42°=48°，
∴∠2=48°.
故答案为：D.
【分析】过点B作BD∥l1，利用垂直的定义可知∠4+∠5=90°，利用平行线公理及其推论，可证得BD∥l1∥l2，利用平行线的性质可证得∠3+∠4=180°，∠5=∠2，可求出∠4，∠5的度数，即可得到∠2的度数.
6．【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，故①正确，符合题意；
∵，，
∴，
∵，
∴，故③正确，符合题意；
∵，
∴，
∴的大小随的大小变化而变化，
∵的度数不固定，
∴不一定成立，即不一定成立，
∴不一定平分，故②错误，不符合题意；
同理可知，不一定成立，
∴不一定成立，故④错误，不符合题意．
故有①③符合题意，
故答案为：B．
【分析】利用平行线的判定方法和性质及角的运算逐项判断即可。
7．【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：
∵CD∥AB
∴∠BAE＝∠DFE=α
又∵∠DCE＝β，
∴∠AEC=α-β
∴②符合题意
∵CD∥AB
∴∠DCE＝∠EFB=β
又∵∠BAE＝α，
∴∠AEC=β-α
∴①符合题意
过点E，作EF∥AB
∵EF∥AB
∴EF∥AB∥CD
∵∠BAE＝α，∠DCE＝β，
∴∠AEF＝α，∠CEF＝β，
∠AEC=∠AEF+∠CEF=α+β
∵CD∥AB
∴∠BAE＝∠DFE=α
又∵∠DCE＝β，
∴∠AEC=α-β
∴②符合题意
∵CD∥AB
∴∠DCE＝∠EFB=β
又∵∠BAE＝α，
∴∠AEC=β-α
∴①符合题意
过点E，作EF∥AB
∵EF∥AB
∴EF∥AB∥CD
∵∠BAE＝α，∠DCE＝β，
∴∠AEF＝180°-α，∠CEF＝180°-β，
∠AEC=∠AEF+∠CEF=360°-α-β
∴④符合题意
∴①②④符合题意
故答案为：C．
【分析】利用平行线的性质和角的运算逐项判断即可。
8．【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故①符合题意；
∵，，
∴，
∵、分别平分和，
∴，，
∴，
故②符合题意；
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
又，，
∴，
故③符合题意；
∵，
∴，，
又，
∴，
∴，
故④符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用平行线的判定方法、平行线的性质及角的运算逐项判断即可。
9．【答案】100°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝80，
∴∠BCD＝∠B＝80°，
∵BC∥ED，
∴∠D+∠BCD＝180°，
∴∠D＝180°﹣∠BCD＝180°﹣80°＝100°．
故答案为：100．
【分析】首先由AB∥CD可得内错角相等即∠BCD＝∠B＝80°，再由BC∥ED得出同旁内角互补即∠D+∠BCD＝180°，据此可得出此题的答案因此可求得∠D的度数．
10．【答案】
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据题意进行运算得到，，进而根据平行线的性质即可求解。
11．【答案】
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：过C作CM∥AB，如下图：
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：.
【分析】过C作CM∥AB，根据"两直线平行，同旁内角互补"得结合已知条件即可知：进而求出则可得到∠P的度数.
12．【答案】
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：由题意可知①当AB∥A'C时如图②，∠ACA’=45°，
∵△ACD绕着点C按顺时针方向以每秒12°的速度旋转，
∴t==，
∴此时t=
②当A'D∥AC时如图②，∠ACA'=30°，
∵△ACD绕着点C按顺时针方向以每秒12°的速度旋转，
∴t== ，
∴t=，
③如图
当A'D∥AB时，∠CEA'+∠ABC=180°，
∵∠ABC=90°，
∴∠CEA'=90°，
又∵∠CA'D=30°，
∴∠A'CE=60°，
∵∠ACB=45°，∠BCE=180°，
∴∠ACA'=75°，
∵△ACD绕着点C按顺时针方向以每秒12°的速度旋转，
∴ t = =，
∴此时 t=，
④如图
当AB∥CD'时，∠ABC=∠BCD'=90°，
∵∠ACD'=90°，
∵∠ACB=45°，
∴∠ACA'=135°，
∵△ACD绕着点C按顺时针方向以每秒12°的速度旋转，
∴ t==，
故答案为：、、或 .
【分析】此题分四种情况讨论：①当AB∥A'C时；②当A'D'∥AC时；③当A'D'∥AB；④AB∥CD时分别求出∠ACA'的度数，再除以每秒12°即可.
13．【答案】①②③④
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；平行线的性质
【解析】【解答】
解：
∵AB∥CD，∴∠BEG＝∠CGE=，
∴∠AEG＝180°-∠BEG＝180°-，
∵CE平分∠AEG，∴∠CEG＝∠AEC＝（180°-）＝90°- ， ①正确；
∵∠CED＝90°，
∴∠GED＝∠CED-∠CEG＝90°-（90°-）=
∴DE平分∠GEB。②正确；
∵∠CEF＝∠AEF-∠AEC＝90°-（90°-）＝
∴∠CEF＝∠GED， ③正确；
∵∠FED+∠CEF＝∠CED＝90°， ∠AEC+∠CEF＝∠AEF＝90°
∴∠FED＝∠AEC，
∴∠FED+∠BEC＝∠AEC+∠BEC＝180°，∴④正确。
故答案为：①②③④
【分析】根据平行线的性质推导出∠BEG＝∠CGE，再结合角间关系验证各结论。
14．【答案】解： ∠BDE=∠C ，理由如下：
∵ AD⊥BC， FG⊥BC，
∴AD∥FG（同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行），
∴∠1=∠DAC（两直线平行，同位角相等），
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠DAC，
∴ED∥AC（内错角相等，两直线平行），
∴∠EDB=∠C（两直线平行，同位角相等）.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】 ∠BDE=∠C ，理由如下：由同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，得AD∥FG，由两直线平行，同位角相等，得∠1=∠DAC，几何已知可推出∠2=∠DAC，从而由内错角相等，两直线平行，得ED∥AC，最后根据两直线平行，同位角相等，得∠EDB=∠C.
15．【答案】（1）解：证明：∵DE∥AB
∴∠B=∠EDC，∠A=∠CED
∵DF∥AC
∴∠C=∠BDF，∠CED=∠EDF
∴∠A=∠EDF
∵∠BDF+∠EDF+∠EDC=180°
∴∠A+∠B+∠C=180°
（2）解： 如图，过点A作DE∥BC，
则∠B=∠BAD，∠C=∠EAC．（两直线平行，内错角相等）
∵点D，A，E在同一条直线上，
∴∠DAB+∠BAC+∠C=180°．（平角的定义）
∴∠B+∠BAC+∠C=180°．
即三角形的内角和为180°．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】(1)根据平行线性质和平角定义，通过等量代换即可证明.
(2)通过作平行线，利用角的等量代换证明即可.
16．【答案】（1）解：如图1，过M作MP∥AB，则∠BMP=∠ABM，
∵AB∥CD，
∴MP∥CD，
∴∠PMC=∠MCD，
∵BM⊥CM，
∴∠BMP+∠PMC=90°，
∴∠ABM+∠MCD=90°，
∴∠ABM和∠DCM互余.
（2）解：∠ABM+∠DCM=∠BMC.理由如下：
如图2，过M作MF∥AB，交BC于F，则∠ABM=∠BMF，
∵AB∥CD，∴MF∥CD，∴∠DCM=∠FMC，
∴∠ABM+∠DCM=∠BMF+∠CMF=∠BMC.
（3）解：当点M在E，A两点之间时，如图3，∠BMC=∠DCM-∠ABM；
当点M在点D的右侧时，如图4，∠BMC=∠ABM-∠DCM.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 MP∥CD， 再根据平行线的性质求出 ∠PMC=∠MCD， 最后求解即可；
（2）根据题意先求出 MF∥CD， 再根据平行线的性质求出 ∠DCM=∠FMC， 最后求解即可；
（3）分类讨论，结合图形求解即可。
17．【答案】（1），
（2）
（3）解：当点P在线段上运动时，，，之间的数量关系不会发生变化，理由如下：
如图，过点P作交于点H，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（4）
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵线段是由线段平移得到的，
∴点A与点C是对应点，点B和点D是对应点，
∴，；
故答案为：，；
（2）如图，设与交于点G，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
（4）如图，设交于点M，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】（1）利用平移的性质可得 ， ；
（2）设与交于点G，根据平行的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得；
（3）过点P作交于点H，根据平行线的性质可得，，再利用角的运算和等量代换可得；
（4）设交于点M，根据平行的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得.
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 7.5 平行线的性质同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023八上·安庆月考）命题：①两点之间线段最短；②对顶角相等；③同旁内角互补；④若一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角一定相等；其中真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；平行线的性质；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①两点之间线段最短，是真命题；
②对顶角相等，是真命题；
③两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题；
④若一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角相等或互补如下图中，，故原命题是假命题；
∴真命题有2个，
故答案为：B
【分析】根据直线的性质、对顶角的性质、平行线的性质结合题意即可求解。
2．（2023九下·松原月考）将一副常规直角三角板按如图所示的位置摆放在一把直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．70 B．75 C．80 D．85
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
，
，
直尺上下两边互相平行，
，
故答案为：B
【分析】根据三角板即可得到∠2的度数，进而运用平行线的性质即可求解。
3．（2023七上·南岗期中）下列说法中：①同位角相等；②点到直线的距离是指这点到直线的垂线段；③在同一平面内，若有一条直线a和一点A，则过点A可以作两条直线AC和AB垂直于直线a；④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤平移前后的两个图形的对应点连线一定平行．以上命题中真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】点到直线的距离；平行公理及推论；平行线的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①两直线平行，同位角相等，原命题是假命题；
②点到直线的距离是指这点到直线的垂线段的长度，原命题是假命题；
③在同一平面内，若有一条直线a和一点A，则过点A可以作一条直线AC和AB垂直于直线a，原命题是假命题；
④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是真命题；
⑤平移前后的两个图形的对应点连线平行或在同一直线上，原命题是假命题；
综上，只有④是证明题；
故答案为：A.
【分析】根据平行公理、平行线的判定、平移的性质、点到直线的距离的概念判断即可.
4．（2023九上·芜湖期中）如图，在中，，将绕点逆时针旋转角度（）得到，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△ADE是由△ABC旋转得到的，
∴△ADE≌△ABC，
∴∠C=∠E=20°，
∵DE//AB，
∴∠BAE=∠E=20°，
∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=20°+55°=75°，
∴旋转角的度数为75°，
故答案为：A.
【分析】利用旋转的性质可得∠C=∠E=20°，利用平行线的性质可得∠BAE=∠E=20°，再利用角的运算求出∠EAC=∠EAB+∠BAC=20°+55°=75°即可.
5．（2023·陕西）如图，直线，点在上，，垂足为若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】垂线；平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：过点B作BD∥l1，
∵AB⊥l3，
∴∠4+∠5=90°，
∵l1∥l2，
∴BD∥l1∥l2，
∴∠3+∠4=180°，∠5=∠2，
∵∠1=∠3=138°，
∴∠4=180°-138°=42°，
∴∠5=90°-42°=48°，
∴∠2=48°.
故答案为：D.
【分析】过点B作BD∥l1，利用垂直的定义可知∠4+∠5=90°，利用平行线公理及其推论，可证得BD∥l1∥l2，利用平行线的性质可证得∠3+∠4=180°，∠5=∠2，可求出∠4，∠5的度数，即可得到∠2的度数.
6．（2023七下·黄山期中）如图，，，，，给出以下结论： ； ； ； ．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，故①正确，符合题意；
∵，，
∴，
∵，
∴，故③正确，符合题意；
∵，
∴，
∴的大小随的大小变化而变化，
∵的度数不固定，
∴不一定成立，即不一定成立，
∴不一定平分，故②错误，不符合题意；
同理可知，不一定成立，
∴不一定成立，故④错误，不符合题意．
故有①③符合题意，
故答案为：B．
【分析】利用平行线的判定方法和性质及角的运算逐项判断即可。
7．（2022七下·南康期末）如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β，下列各式：①β﹣α，②α﹣β，③180°﹣α+β，④360°﹣α﹣β，可以表示∠AEC的度数的有（ ）
A．③④ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：
∵CD∥AB
∴∠BAE＝∠DFE=α
又∵∠DCE＝β，
∴∠AEC=α-β
∴②符合题意
∵CD∥AB
∴∠DCE＝∠EFB=β
又∵∠BAE＝α，
∴∠AEC=β-α
∴①符合题意
过点E，作EF∥AB
∵EF∥AB
∴EF∥AB∥CD
∵∠BAE＝α，∠DCE＝β，
∴∠AEF＝α，∠CEF＝β，
∠AEC=∠AEF+∠CEF=α+β
∵CD∥AB
∴∠BAE＝∠DFE=α
又∵∠DCE＝β，
∴∠AEC=α-β
∴②符合题意
∵CD∥AB
∴∠DCE＝∠EFB=β
又∵∠BAE＝α，
∴∠AEC=β-α
∴①符合题意
过点E，作EF∥AB
∵EF∥AB
∴EF∥AB∥CD
∵∠BAE＝α，∠DCE＝β，
∴∠AEF＝180°-α，∠CEF＝180°-β，
∠AEC=∠AEF+∠CEF=360°-α-β
∴④符合题意
∴①②④符合题意
故答案为：C．
【分析】利用平行线的性质和角的运算逐项判断即可。
8．（2023七下·深圳期中）如图，已知，，点是射线上一动点（与点不重合），、分别平分和，分别交射线于点、，下列结论：①；②；③当时，；④当点运动时，的数量关系不变．其中正确结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故①符合题意；
∵，，
∴，
∵、分别平分和，
∴，，
∴，
故②符合题意；
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
又，，
∴，
故③符合题意；
∵，
∴，，
又，
∴，
∴，
故④符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用平行线的判定方法、平行线的性质及角的运算逐项判断即可。
二、填空题
9．如图，AB//CD，BC//ED，∠B=80°，则∠D= .
【答案】100°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝80，
∴∠BCD＝∠B＝80°，
∵BC∥ED，
∴∠D+∠BCD＝180°，
∴∠D＝180°﹣∠BCD＝180°﹣80°＝100°．
故答案为：100．
【分析】首先由AB∥CD可得内错角相等即∠BCD＝∠B＝80°，再由BC∥ED得出同旁内角互补即∠D+∠BCD＝180°，据此可得出此题的答案因此可求得∠D的度数．
10．（2023八上·丰南期中）如图，含有角的直角三角板的两个顶点放在一个长方形的对边上，点为直角顶点，，延长交于点，如果，那么的度数是 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据题意进行运算得到，，进而根据平行线的性质即可求解。
11．（2023七下·洪山期末）如图，AB∥EF， ， ，已知∠FCD=60°，则∠P的度数为 ．
【答案】
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：过C作CM∥AB，如下图：
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：.
【分析】过C作CM∥AB，根据"两直线平行，同旁内角互补"得结合已知条件即可知：进而求出则可得到∠P的度数.
12．（2023八上·江北开学考）两块不同的三角板按如图所示摆放，边重合，，接着如图保持三角板不动，将三角板绕着点按顺时针以每秒的速度旋转后停止在此旋转过程中，当旋转时间 秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行．
【答案】
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：由题意可知①当AB∥A'C时如图②，∠ACA’=45°，
∵△ACD绕着点C按顺时针方向以每秒12°的速度旋转，
∴t==，
∴此时t=
②当A'D∥AC时如图②，∠ACA'=30°，
∵△ACD绕着点C按顺时针方向以每秒12°的速度旋转，
∴t== ，
∴t=，
③如图
当A'D∥AB时，∠CEA'+∠ABC=180°，
∵∠ABC=90°，
∴∠CEA'=90°，
又∵∠CA'D=30°，
∴∠A'CE=60°，
∵∠ACB=45°，∠BCE=180°，
∴∠ACA'=75°，
∵△ACD绕着点C按顺时针方向以每秒12°的速度旋转，
∴ t = =，
∴此时 t=，
④如图
当AB∥CD'时，∠ABC=∠BCD'=90°，
∵∠ACD'=90°，
∵∠ACB=45°，
∴∠ACA'=135°，
∵△ACD绕着点C按顺时针方向以每秒12°的速度旋转，
∴ t==，
故答案为：、、或 .
【分析】此题分四种情况讨论：①当AB∥A'C时；②当A'D'∥AC时；③当A'D'∥AB；④AB∥CD时分别求出∠ACA'的度数，再除以每秒12°即可.
13．（2023七下·五莲期末）如图，，E为上一点，且垂足为F，，平分，且，则下列结论：①；②平分；③；④；其中正确的有 ．（请填写序号）
【答案】①②③④
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；平行线的性质
【解析】【解答】
解：
∵AB∥CD，∴∠BEG＝∠CGE=，
∴∠AEG＝180°-∠BEG＝180°-，
∵CE平分∠AEG，∴∠CEG＝∠AEC＝（180°-）＝90°- ， ①正确；
∵∠CED＝90°，
∴∠GED＝∠CED-∠CEG＝90°-（90°-）=
∴DE平分∠GEB。②正确；
∵∠CEF＝∠AEF-∠AEC＝90°-（90°-）＝
∴∠CEF＝∠GED， ③正确；
∵∠FED+∠CEF＝∠CED＝90°， ∠AEC+∠CEF＝∠AEF＝90°
∴∠FED＝∠AEC，
∴∠FED+∠BEC＝∠AEC+∠BEC＝180°，∴④正确。
故答案为：①②③④
【分析】根据平行线的性质推导出∠BEG＝∠CGE，再结合角间关系验证各结论。
三、解答题
14．如图，已知AD⊥BC， FG⊥BC，垂足分别为D，G，∠1=∠2，试猜想∠BDE与∠C的大小关系，并说明理由．
【答案】解： ∠BDE=∠C ，理由如下：
∵ AD⊥BC， FG⊥BC，
∴AD∥FG（同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行），
∴∠1=∠DAC（两直线平行，同位角相等），
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠DAC，
∴ED∥AC（内错角相等，两直线平行），
∴∠EDB=∠C（两直线平行，同位角相等）.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】 ∠BDE=∠C ，理由如下：由同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，得AD∥FG，由两直线平行，同位角相等，得∠1=∠DAC，几何已知可推出∠2=∠DAC，从而由内错角相等，两直线平行，得ED∥AC，最后根据两直线平行，同位角相等，得∠EDB=∠C.
15．（2024八上·交城期中） 探究三角形的内角和
（1）下面是证明三角形内角和定理的一种添加辅助线的方法，请完成证明.
三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°.
已知：如图，△ABC
求证：∠A+∠B+∠C=180°
证明：在BC上任取一点D，过点D作DE∥AB，交AC于点E，过点D作DF∥AC，交AB于点F.
（2）请再用一种不同的方法证明三角形内角和定理.
【答案】（1）解：证明：∵DE∥AB
∴∠B=∠EDC，∠A=∠CED
∵DF∥AC
∴∠C=∠BDF，∠CED=∠EDF
∴∠A=∠EDF
∵∠BDF+∠EDF+∠EDC=180°
∴∠A+∠B+∠C=180°
（2）解： 如图，过点A作DE∥BC，
则∠B=∠BAD，∠C=∠EAC．（两直线平行，内错角相等）
∵点D，A，E在同一条直线上，
∴∠DAB+∠BAC+∠C=180°．（平角的定义）
∴∠B+∠BAC+∠C=180°．
即三角形的内角和为180°．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】(1)根据平行线性质和平角定义，通过等量代换即可证明.
(2)通过作平行线，利用角的等量代换证明即可.
四、综合题
16．（2023八上·涪城开学考）
（1）已知AB∥CD，点M为平面内一点.如图①，BM⊥CM，小颖说过点M作MP∥AB，很容易说明∠ABM和∠DCM互余.请你帮小颖写出具体的证明过程.
（2）如图②，AB∥CD，点M在射线ED上运动，当点M移动到点A与点D之间时，试判断∠BMC与∠ABM，∠DCM的数量关系，并说明理由.
（3）在(2)的条件下，当点M在射线ED上的其他地方运动时(点M与E，A，D三点不重合)，请直接写出∠BMC与∠ABM，∠DCM之间的数量关系.
【答案】（1）解：如图1，过M作MP∥AB，则∠BMP=∠ABM，
∵AB∥CD，
∴MP∥CD，
∴∠PMC=∠MCD，
∵BM⊥CM，
∴∠BMP+∠PMC=90°，
∴∠ABM+∠MCD=90°，
∴∠ABM和∠DCM互余.
（2）解：∠ABM+∠DCM=∠BMC.理由如下：
如图2，过M作MF∥AB，交BC于F，则∠ABM=∠BMF，
∵AB∥CD，∴MF∥CD，∴∠DCM=∠FMC，
∴∠ABM+∠DCM=∠BMF+∠CMF=∠BMC.
（3）解：当点M在E，A两点之间时，如图3，∠BMC=∠DCM-∠ABM；
当点M在点D的右侧时，如图4，∠BMC=∠ABM-∠DCM.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 MP∥CD， 再根据平行线的性质求出 ∠PMC=∠MCD， 最后求解即可；
（2）根据题意先求出 MF∥CD， 再根据平行线的性质求出 ∠DCM=∠FMC， 最后求解即可；
（3）分类讨论，结合图形求解即可。
17．（2023七下·伊通期末）如图1，线段是由线段平移得到的．分别连接，．直线于点，延长与相交于点．点是射线上的一个动点，点不与点、点、点重合．连接，．
（1）线段，的关系是 ；
（2）如图1，当点在线段上运动时，，，之间的数量关系是 ；
（3）如图2，当点在线段上运动时，，，之间的数量关系是否发生变化？若发生变化请写出它们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由；
（4）如图3，当点在点上方运动时，请直接写出，，之间的数量关系： ．
【答案】（1），
（2）
（3）解：当点P在线段上运动时，，，之间的数量关系不会发生变化，理由如下：
如图，过点P作交于点H，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（4）
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵线段是由线段平移得到的，
∴点A与点C是对应点，点B和点D是对应点，
∴，；
故答案为：，；
（2）如图，设与交于点G，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
（4）如图，设交于点M，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】（1）利用平移的性质可得 ， ；
（2）设与交于点G，根据平行的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得；
（3）过点P作交于点H，根据平行线的性质可得，，再利用角的运算和等量代换可得；
（4）设交于点M，根据平行的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得.
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