数学（苏教版）选修2-3导学案：12　排列

1.2　排列
学习目标 重点、难点
1．能说出排列的概念；2．能利用计数原理推导排列数公式；3．能利用排列数公式解决简单的实际问题. 重点：排列概念的理解，排列数公式．难点：利用排列数公式解决实际问题.
1．排列的概念
一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
预习交流1
如何判断一个问题是否是排列问题？
提示：排列问题与元素的排列顺序有关，是按一定的顺序排成一列，如果交换元素的位置，其结果发生了变化，叫它是排列问题，否则，不是排列问题．
2．排列数的概念
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示．
根据分步计数原理，我们得到排列数公式＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中n，m∈N*，且m≤n.
n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列．在排列数公式中，当m＝n时，即有＝n(n－1)(n－2)·…·3·2·1，称为n的阶乘(factorial)，通常用n！表示，即＝n！.
我们规定0！＝1，排列数公式还可以写成＝.
预习交流2
如何理解和记忆排列数公式？
提示：是m个连续自然数的积，最大一个是n，依次递减，最后一个是(n－m＋1)．
在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
我的学困点 我的学疑点
一、排列问题
下列三个问题中，是排列问题的是__________．
①在各国举行的足球联赛中，一般采取“主客场制”，若共有12支球队参赛，求比赛场数；
②在“世界杯”足球赛中，采用“分组循环淘汰制”，共有32支球队参赛，分为八组，每组4支球队进行循环，问在小组循环赛中，共需进行多少场比赛？
③在乒乓球单打比赛中，由于参赛选手较多，故常采用“抽签捉对淘汰制”决出冠军．
若共有100名选手参赛，待冠军产生时，共需举行多少场比赛？
思路分析：交换元素的顺序，有影响的是排列问题，否则，不是．
答案：①
解析：对于①，同样是甲、乙两队比赛，甲作 ( http: / / www.21cnjy.com )为主队和乙作为主队是两场不同的比赛，故与顺序有关，是排列问题；对于②，由于是组内循环，故一组内的甲、乙只需进行一场比赛，与顺序无关，故不是排列问题；对于③，由于两名选手一旦比赛后就淘汰其中一位，故也与顺序无关，故不是排列问题．
下列问题是排列问题吗？并说明理由．
①从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？
②从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？
解：①不是排列问题；②是排列问题．
理由：由于加法运算满足交换律，所以选出的两 ( http: / / www.21cnjy.com )个元素做加法时，与两个元素的位置无关，但做除法时，两个元素谁是除数，谁是被除数不一样，此时与位置有关，故做加法不是排列问题，做除法是排列问题．
判断排列问题的原则：①与顺序有关；②元素互不相同；③一次性抽取．
二、排列数问题
解方程：3A＝2A＋6A.
思路分析：先把式中的排列数转化为关于x的表达式，并注意A中m≤n，且m，n为正整数这些限制条件，再求解关于x的方程．
解：由3A＝2A＋6A，
得3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)．
∵x≥3，∴3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)，
即3x2－17x＋10＝0.
解得x＝5或x＝(舍)，故x＝5.
解不等式：A＞6A.
解：由排列数公式，原不等式可化为：
＞6×，
∴＞6，解得x＞－75.
又∴2≤x≤8.
又∵x为整数，∴原不等式的解集为{2,3,4,5,6,7,8}．
有关以排列数公式形式给出的方程、不等式，应根据有关公式转化为一般方程、不等式，再求解，但应注意其中的字母都是满足一定条件的自然数．
三、数字排列问题
用1,2,3,4,5,6,7这7个数字组成没有重复数字的四位数，如果组成的四位数必须是偶数，那么这样的四位数有多少个？
思路分析：先排个位数，再排千、百、十位数，再由分步计数原理求得适合条件的四位数的个数．
解：第一步排个位上的数，因为组成的四位数必 ( http: / / www.21cnjy.com )须是偶数，个位数字只能是2,4,6之一，所以有A种排法，第二步排千、百、十这三个数位上的数，有A种排法．根据分步计数原理，适合条件的四位数的个数为N＝AA＝360，所以这样的四位数有360个．
由0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复数字的六位数，其中小于50万，又不是5的倍数的数有多少个？
解：法一：因为0和5不能排 ( http: / / www.21cnjy.com )在首位和个位，先将它们排在中间4个数位上有A种排法，再排其他4个数位有A种排法，由分步计数原理得，共有A·A＝12×24＝288个数符合要求．
法二：六个数位的全排列共有A个，其中0排在首位或个位有2A个，还有5排在首位或个位上的也有2A个，这两种情况都包含0和5分别在首位或个位上的排法有2A种，所以符合条件的数字个数有A－4A＋2A＝288个．
关于数字问题要注意首位数字不能为0，其次注意特殊位置或特殊数字，再考虑其他位置或其他数．也可用全排列数减去不合要求的排列数．
1．已知A＝7A，则n＝__________.
答案：7
解析：由排列数公式得，n(n－1)＝7(n－4)(n－5)，
∴3n2－31n＋70＝0，解得n＝7或n＝(舍)．
∴n＝7.
2．将五辆车停在5个车位上，其中A车不停在1号车位上的停车方案有__________种．
答案：96
解析：因为A车不停在1号车位上，所 ( http: / / www.21cnjy.com )以可先将A车停在其他四个车位上，有A种停法；然后将另外四辆车在剩余的四个车位上进行全排列，有A种停法，由分步计数原理得，共有N＝A·A＝4×24＝96种不同的停车方案．
3．用1,2,3,4,5这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数有__________个．
答案：36
解析：当个位数字分别为1,3,5时 ( http: / / www.21cnjy.com )，百位、十位上数字的排列总数均为A＝12个．由分类计数原理知，没有重复数字的三位奇数共有12＋12＋12＝36个．
4．从甲、乙、丙、丁4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块试验田上进行试验，其中甲品种必须入选，则不同的种植方法有多少种？
解：本题相当于从4个元素中取出3个元素的排列 ( http: / / www.21cnjy.com )，其中甲元素必取，优先考虑甲元素，先排甲，有A种方法，再从乙、丙、丁三个元素中选出两个元素的排列数为A.则由分步计数原理得，满足条件的排列有A·A＝18种不同的种植方法．
5．从7名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，求满足下列条件的方案种数．
(1)甲、乙二人都不跑中间两棒；
(2)甲、乙二人不都跑中间两棒．
解：(1)从甲、乙之外的5 ( http: / / www.21cnjy.com )人中选2人安排在中间两棒，有A种方法，再从余下的5人中安排首末两棒，有A种方法，由分步计数原理知共有A·A＝400种不同的安排方案．
(2)从7人中选4人安排接力赛有A种方法，而甲、乙都跑中间两棒有AA种方法，因此符合条件的方案有A－AA＝800种．
用精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来，并进行识记．
知识精华 技能要领