数学（苏教版）选修2-3导学案：13　组合

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1.3　组合
学习目标 重点、难点
1．通过实例能理解组合的概念；2．能利用计数原理推导组合数公式；3．能理解组合数的有关性质；4．能用组合数公式解决简单的实际问题. 重点：排列与组合的区分，及组合数公式．难点：排列与组合的区分，利用组合数公式解决简单的实际问题.
1．组合的概念
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．21教育网
预习交流1
如何区分排列问题和组合问题？
提示：区分某一问题是排列问题还是组合问题 ( http: / / www.21cnjy.com )，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；而交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题．【出处：21教育名师】
2．组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示．【版权所有：21教育】
C＝＝＝.
预习交流2
如何理解和记忆组合数公式？
提示：同排列数公式相类比，在排列数公式的基础上，分母再乘以m！.
3．组合数的性质
性质1：C＝C，性质2：C＝C＋C.
预习交流3
如何理解和记忆组合数的性质？
提示：从n个元素中取m个元素，就剩余(n－ ( http: / / www.21cnjy.com )m)个元素，故C＝C.从n＋1个元素中取m个元素记作C，可认为分作两类：第一类为含有某元素a的取法为C；第二类不含有此元素a，则为C，由分类计数原理知：C＝C＋C.21·cn·jy·com
在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
我的学困点 我的学疑点
一、组合问题
判断下列问题是组合问题，还是排列问题．
①设集合A＝{a，b，c，d}，则集合A的含3个元素的子集有多少个？
②一个班中有52人，任两个人握一次手，共握多少次手？
③4人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？
思路分析：交换两个元素的顺序，看结果是否有影响，如无影响则是组合问题．
解：①因为集合中取出的元素具有“无序性”，故这是组合问题；
②因为两人握手是相互的，没有顺序之分，故这是组合问题；
③因为5种工作是不同的，一种分工方法就是从5种不同的工作中选出4种，按一定的顺序分配给4个人，它与顺序有关，故这是排列问题．www.21-cn-jy.com
下列问题中，是组合问题的有__________．
①从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法；
②从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法；
③a，b，c，d四支足球队进行单循环赛，共需多少场比赛；
④a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果．
答案：①③
解析：①2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题；
②2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题；
③单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题；
④冠亚军是有顺序的，是排列问题．
组合问题与顺序无关，而排列问题与顺序有关．
二、组合数公式及组合数的性质
(1)计算C＋C；
(2)已知C＝C，求n；
(3)化简C＋C＋C＋C＋1.
思路分析：先把组合数利用性质化简或利用组合数性质直接求解．
解：(1)C＋C＝C＋C＝＋200＝5 150.
(2)由C＝C，知3n＋6＝4n－2或3n＋6＋(4n－2)＝18，解得n＝8或2.
而3n＋6≤18且4n－2≤18，即n≤4且n∈N*，∴n＝2.
(3)C＋C＋C＋C＋1＝1＋C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＝C＋C＝C＝C＝＝126.2·1·c·n·j·y
(1)C＋C＋C＋…＋C＝__________；
(2)(C＋C)÷A＝__________.
答案：(1)329　(2)
解析：(1)原式＝C＋C＋C＋…＋C－C＝C＋C＋…＋C－1＝…＝C＋C－1＝C－1＝329.21世纪教育网版权所有
(2)原式＝C÷A＝C÷A＝÷A＝.
利用组合数的性质解题时，要抓住公式的结构特征，应用时，可结合题目的特点，灵活运用公式变形，达到解题的目的．【来源：21·世纪·教育·网】
三、组合知识的实际应用
现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．
(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？
(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
思路分析：由于选出的教师不 ( http: / / www.21cnjy.com )需要考虑顺序，因此是组合问题．第(1)小题选2名教师不考虑男女，实质上是从10个不同的元素中取出2个的组合问题，可用直接法求解．第(2)小题必须选男、女教师各2名，才算完成所做的事，因此需要分两步进行，先从6名男教师中选2名，再从4名女教师中选2名．21cnjy.com
解：(1)从10名教师中选2名参加会议的选法数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C＝＝45种．21·世纪*教育网
(2)从6名男教师中选2名的选法有C，从4名女教师中选2名的选法有C种，根据分步乘法计数原理，因此共有不同的选法C·C＝·＝90种．2-1-c-n-j-y
某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的不同选法有多少种？
解：方法一：(直接法)至少1名女生当选可分为两类：
第一类：1名女生1名男生当选代表， ( http: / / www.21cnjy.com )有C·C种方法，第二类：2名女生当选代表，有C种方法．由分类加法计数原理，至少有1名女生当选的不同选法有C·C＋C＝21＋3＝24种．　　21*cnjy*com
方法二：(间接法)10名学生中选2 ( http: / / www.21cnjy.com )名代表有C种选法，若2名代表全是男生有C种选法，所以至少有1名女生当选代表的选法有C－C＝24种．【来源：21cnj*y.co*m】
利用组合知识解决实际问题要注意：
①将已知条件中的元素的特征搞清，是用直接法还是间接法；
②要使用分类方法，要做到不重不漏；
③当问题的反面比较简单时，常用间接法解决．
1．给出下面几个问题，其中是组合问题的有__________．
①某班选10名学生参加拔河比赛；
②由1,2,3,4选出两个数，构成平面向量a的坐标；
③由1,2,3,4选出两个数分别作为双曲线的实轴和虚轴，焦点在x轴上的双曲线方程数；
④从正方体8个顶点中任取两个点构成的线段条数是多少？
答案：①④
解析：由组合的概念知①④是组合问题，与顺序无关，而②③是排列问题，与顺序有关．
2．C＋2C＋C＝__________.
答案：161 700
解析：原式＝C＋C＋C＋C＝C＋C＝C＝C＝161 700.
3．平面上有12个点，其中没有3个点在一条直线上，也没有4个点共圆，过这几个点中的每三个点作圆，共可作__________个圆．www-2-1-cnjy-com
答案：220
解析：由题意知，可作C＝＝220个不同的圆．
4．解方程：C－C＝C.
解：∵C＝C＋C，∴C－C＝C，∴C＝C.
由组合数的性质得x－1＝2x＋2或x－1＋2x＋2＝16，解得x＝－3(舍)或x＝5.∴x＝5.
5．平面内有10个点，其中任何3点不共线，以其中任意2点为端点，试求：(1)线段有多少条？(2)有向线段有多少条？21教育名师原创作品
解：(1)所求线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的组合，共有C＝＝45条不同的线段．
(2)所求有向线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的排列，共有A＝10×9＝90条不同的有向线段．21*cnjy*com
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