数学（苏教版）选修2-3导学案：15 二项式定理
文档属性
| 名称 | 数学（苏教版）选修2-3导学案：15 二项式定理 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 40.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-07-23 20:50:34 | ||
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文档简介
1.5 二项式定理
学习目标 重点、难点
1．理解并掌握二项式定理的项数、系数、二项式系数、通项的特征，熟记它的展开式；2．能应用展开式的通项公式求展开式中的特定项；3．掌握二项展开式的有关性质，能利用展开式的性质计算和证明一些简单问题. 重点：二项式定理及通项公式．难点：二项式定理的实际应用.
1．二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋an－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)．
这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，它一共n＋1项，其中an－rbr叫做二项展开式的第r＋1项(也称通项)，用Tr＋1表示，即Tr＋1＝an－rbr.
(r＝0,1，…，n)叫做第r＋1项的二项式系数．
预习交流1
你是如何理解和记忆二项式定理的？
提示：二项式定理是一个恒等式，左边是二项 ( http: / / www.21cnjy.com )式幂的形式，右边是二项式的展开式，各项的次数都等于二项式的幂的次数为n；字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n.
2．二项式系数的性质及应用
一般地，(a＋b)n展开式的二项式系数C，C，…，C有如下性质：
①C＝C；②C＋C＝C；③当r＜时，＜C，当r＞时，C＜；④C＋C＋C＋…＋C＝2n.
预习交流2
如何说明C－C＋C－C＋…＋(－1)n·C＝0.
提示：利用赋值法，令公式中的a＝1，b＝－1，展开就会得到上式．
在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
我的学困点 我的学疑点
一、二项式定理
求4的展开式．
思路分析：直接利用二项式定理展开，注意每一项都符合通项公式，也可先将原式变形后再展开．
解：解法一：4＝C(3)40＋C(3)31＋C(3)22＋C(3)3＋C(3)04＝81x2＋108x＋54＋＋.
解法二：4＝4＝＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)＝81x2＋108x＋54＋＋.
求二项式10的展开式中的常数项．
解：设第r＋1项为常数项，则(x2)10－r·r＝ ·r(r＝0,1，…，10)，
令20－r＝0得r＝8，所以第9项为常数项，常数项为C8＝.
利用二项式定理求展开式中某特定项，通常的做法是先确定通项公式中的r的值或取值范围，但要注意区分二项式系数、项的系数及项的关系．
二、二项式系数的性质及应用
如果(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，那么a1＋a2＋…＋a7＝__________.
思路分析：比较展开式与a1＋a2＋…＋a7 ( http: / / www.21cnjy.com )结构，会发现当x＝1时，含有a1＋a2＋…＋a7，即(1－2)7＝a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1，从而只要知道a0即可．
答案：－2
解析：令x＝0得(1－2×0)7＝a0，∴a0＝1.
再令x＝1，则有(1－2×1)7＝a0＋a1＋a2＋…＋a7，
∴a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1.
∴a1＋a2＋…＋a7＝－1－a0＝－1－1＝－2.
设(1－2x)2 012＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 012x2 012(x∈R)．
(1)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 011的值．
(2)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 012|的值．
解：(1)令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 012＝32 012.①
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 012＝(－1)2 012＝1.②
由①②，得2(a1＋a3＋a5＋…＋a2 011)＝1－32 012，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 011＝.
(2)∵Tr＋1＝12 012－r·(－2x)r＝(－1)r(2x)r，
∴a2k－1＜0(k∈N*)，a2k＞0(k∈N*)．
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 012|
＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 012＝32 012.
求展开式的系数和关键是给字 ( http: / / www.21cnjy.com )母赋值，赋值需根据展开式系数的特征来定，一般地，多项式f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn的各项系数和为f(1)，奇数项系数和为，偶数项系数的和为.
1．n(n∈N*)的展开式中，若存在常数项，则n的最小值为__________．
答案：5
解析：Tr＋1＝(2x3)n－rr＝2n－r··x3n－5r.
令3n－5r＝0，
又∵0≤r≤n，r，n∈Z，∴n的最小值为5.
2．(1＋2)3(1－)5的展开式中x的系数是__________．
答案：2
解析：(1＋2)3(1－)5＝(1＋6＋12x＋8x)(1－)5，
故(1＋2)3(1－)5的展开式中含x的项为1×C(－)3＋12xC＝－10x＋12x＝2x.
3．5(x∈R)展开式中x3的系数为10，则实数a等于__________．
答案：2
解析：Tr＋1＝xr5－r＝a5－rx2r－5，令2r－5＝3，
∴r＝4.∴C·a＝10，解得a＝2.
4．在20的展开式中，系数是有理数的项共有多少项？
解：Tr＋1＝(x)20－rr＝r·()20－r··x20－r.
∵系数为有理数，∴()r与均为有理数．
∴r能被2整除，且20－r能被3整除．
∴r为偶数，20－r是3的倍数，0≤r≤20，
∴r＝2,8,14,20，∴符合题意的有4项．
5．m，n∈N*，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数．
解：由题设知m＋n＝19，∵m，n∈N*，
∴…
x2的系数为C＋C＝(m2－m)＋(n2－n)＝m2－19m＋171.
∴当m＝9或10时，x2的系数取最小值81，此时x7的系数为C＋C＝156.
用精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来，并进行识记．
知识精华 技能要领
学习目标 重点、难点
1．理解并掌握二项式定理的项数、系数、二项式系数、通项的特征，熟记它的展开式；2．能应用展开式的通项公式求展开式中的特定项；3．掌握二项展开式的有关性质，能利用展开式的性质计算和证明一些简单问题. 重点：二项式定理及通项公式．难点：二项式定理的实际应用.
1．二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋an－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)．
这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，它一共n＋1项，其中an－rbr叫做二项展开式的第r＋1项(也称通项)，用Tr＋1表示，即Tr＋1＝an－rbr.
(r＝0,1，…，n)叫做第r＋1项的二项式系数．
预习交流1
你是如何理解和记忆二项式定理的？
提示：二项式定理是一个恒等式，左边是二项 ( http: / / www.21cnjy.com )式幂的形式，右边是二项式的展开式，各项的次数都等于二项式的幂的次数为n；字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n.
2．二项式系数的性质及应用
一般地，(a＋b)n展开式的二项式系数C，C，…，C有如下性质：
①C＝C；②C＋C＝C；③当r＜时，＜C，当r＞时，C＜；④C＋C＋C＋…＋C＝2n.
预习交流2
如何说明C－C＋C－C＋…＋(－1)n·C＝0.
提示：利用赋值法，令公式中的a＝1，b＝－1，展开就会得到上式．
在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
我的学困点 我的学疑点
一、二项式定理
求4的展开式．
思路分析：直接利用二项式定理展开，注意每一项都符合通项公式，也可先将原式变形后再展开．
解：解法一：4＝C(3)40＋C(3)31＋C(3)22＋C(3)3＋C(3)04＝81x2＋108x＋54＋＋.
解法二：4＝4＝＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)＝81x2＋108x＋54＋＋.
求二项式10的展开式中的常数项．
解：设第r＋1项为常数项，则(x2)10－r·r＝ ·r(r＝0,1，…，10)，
令20－r＝0得r＝8，所以第9项为常数项，常数项为C8＝.
利用二项式定理求展开式中某特定项，通常的做法是先确定通项公式中的r的值或取值范围，但要注意区分二项式系数、项的系数及项的关系．
二、二项式系数的性质及应用
如果(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，那么a1＋a2＋…＋a7＝__________.
思路分析：比较展开式与a1＋a2＋…＋a7 ( http: / / www.21cnjy.com )结构，会发现当x＝1时，含有a1＋a2＋…＋a7，即(1－2)7＝a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1，从而只要知道a0即可．
答案：－2
解析：令x＝0得(1－2×0)7＝a0，∴a0＝1.
再令x＝1，则有(1－2×1)7＝a0＋a1＋a2＋…＋a7，
∴a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1.
∴a1＋a2＋…＋a7＝－1－a0＝－1－1＝－2.
设(1－2x)2 012＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 012x2 012(x∈R)．
(1)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 011的值．
(2)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 012|的值．
解：(1)令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 012＝32 012.①
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 012＝(－1)2 012＝1.②
由①②，得2(a1＋a3＋a5＋…＋a2 011)＝1－32 012，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 011＝.
(2)∵Tr＋1＝12 012－r·(－2x)r＝(－1)r(2x)r，
∴a2k－1＜0(k∈N*)，a2k＞0(k∈N*)．
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 012|
＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 012＝32 012.
求展开式的系数和关键是给字 ( http: / / www.21cnjy.com )母赋值，赋值需根据展开式系数的特征来定，一般地，多项式f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn的各项系数和为f(1)，奇数项系数和为，偶数项系数的和为.
1．n(n∈N*)的展开式中，若存在常数项，则n的最小值为__________．
答案：5
解析：Tr＋1＝(2x3)n－rr＝2n－r··x3n－5r.
令3n－5r＝0，
又∵0≤r≤n，r，n∈Z，∴n的最小值为5.
2．(1＋2)3(1－)5的展开式中x的系数是__________．
答案：2
解析：(1＋2)3(1－)5＝(1＋6＋12x＋8x)(1－)5，
故(1＋2)3(1－)5的展开式中含x的项为1×C(－)3＋12xC＝－10x＋12x＝2x.
3．5(x∈R)展开式中x3的系数为10，则实数a等于__________．
答案：2
解析：Tr＋1＝xr5－r＝a5－rx2r－5，令2r－5＝3，
∴r＝4.∴C·a＝10，解得a＝2.
4．在20的展开式中，系数是有理数的项共有多少项？
解：Tr＋1＝(x)20－rr＝r·()20－r··x20－r.
∵系数为有理数，∴()r与均为有理数．
∴r能被2整除，且20－r能被3整除．
∴r为偶数，20－r是3的倍数，0≤r≤20，
∴r＝2,8,14,20，∴符合题意的有4项．
5．m，n∈N*，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数．
解：由题设知m＋n＝19，∵m，n∈N*，
∴…
x2的系数为C＋C＝(m2－m)＋(n2－n)＝m2－19m＋171.
∴当m＝9或10时，x2的系数取最小值81，此时x7的系数为C＋C＝156.
用精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来，并进行识记．
知识精华 技能要领