数学（苏教版）选修2-3导学案：21　随机变量及概率分布

2.1　随机变量及概率分布
学习目标 重点、难点
1．能说出随机变量的定义；2．能记住随机变量的概率分布列的两种形式；3．理解并会应用两点分布. 重点：随机变量的概率分布列．难点：每个随机变量的概率求法，求随机变量的概率分布列.
1．随机变量
一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变 ( http: / / www.21cnjy.com )量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．通常用大写拉丁字母X，Y，Z(或小写希腊字母ξ，η，ζ)等表示，而用小写拉丁字母x，y，z(加上适当下标)等表示随机变量取的可能值．
预习交流1
随机变量与函数有哪些区别和联系？
提示：随机变量和函数都是一种映射，而随机变 ( http: / / www.21cnjy.com )量是用变量对试验结果的一种刻画，是试验结果和实数之间的一个对应关系，即随机变量把随机试验的结果映射为实数．函数是把实数映射为实数，它们的本质是相同的，在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的范围相当于函数值域．
2．概率分布
一般地，假定随机变量X有n个不同的取值，它 ( http: / / www.21cnjy.com )们分别是x1，x2，…，xn且P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n，①，称①为随机变量X的概率分布列．简称为X的分布列，也可以将①用表的形式来表示.
X x1 x2 … xn
P p1 p1 … pn
我们将表称为随机变量X的概 ( http: / / www.21cnjy.com )率分布表．它和①都叫做随机变量的概率分布．显然这里的pi(i＝1,2，…，n)满足条件pi≥0，p1＋p2＋…＋pn＝1.
预习交流2
盒中装有6支白粉笔和8支红粉笔，从中任 ( http: / / www.21cnjy.com )意取出3支，其中所含白粉笔的支数为ξ，那么ξ的可能取值是多少？当ξ＝2时表示怎样的试验结果．此时P(ξ＝2)是多少？
提示：ξ的取值为0,1,2,3，“ξ＝2”表示取出2支白粉笔和1支红粉笔．
P(ξ＝2)＝＝.
3．两点分布
随机变量X只取两个可能值0和1，我们把这一类概率分布称为0－1分布或两点分布，并记为X～0－1分布或X～两点分布．此处“～”表示“服从”．
预习交流3
试验结果有两种情况的是不是两点分布？
提示：不一定．因为两点分布要求试验结果只有两种，且随机变量必须只能为0和1.
在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
我的学困点 我的学疑点
一、随机变量
指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)某人射击一次命中的环数；
(2)任意掷一枚均匀的硬币5次，出现正面向上的次数；
(3)掷一枚质地均匀的骰子出现的点数(最上面的数字)；
(4)某个人的属相随年龄的变化．
思路分析：判断一个变量是否为随机变量，主要看变量的某些值的出现是不是确定，结果不能确定的是随机变量．
解：(1)某人射击一次，可能命中的环数是0环，1环，…，10环结果中的一个而且出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．
(2)任意掷一枚硬币1次，可能出现 ( http: / / www.21cnjy.com )正面向上也可能出现反面向上，因此投掷5次硬币，出现正面向上的次数可能是0,1,2,3,4,5，而且出现哪种结果是随机的，所以是随机变量．
(3)掷一颗骰子出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个且出现哪个结果是随机的，因此是随机变量．
(4)属相是出生时便确定的，不随年龄的变化而变化，因此不是随机变量．
从4张已编号(1～4号)的卡片中任取2张，被取出的卡片号之和为X，写出X可能取的值，并说明随机变量所取值表示的随机试验的结果．
解：X可取3,4,5,6,7.其中，
X＝3表示取出分别标有1,2的两张卡片；
X＝4表示取出分别标有1,3的两张卡片；
X＝5表示取出分别标有1,4或2,3的两张卡片；
X＝6表示取出分别标有2,4的两张卡片；
X＝7表示取出分别标有3,4的两张卡片．
①随机试验的结果可用变量ξ来表示； ( http: / / www.21cnjy.com )②试验前可以判断其可能出现的所有值；③试验前不能确定取何值．这是随机变量的特征，随机变量的取值一般源于实际问题，且有特定的含义，写随机变量时，一般将值按从小到大排列，做到不重不漏．
二、随机变量的概率分布列
从装有6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机 ( http: / / www.21cnjy.com )地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值呢？求X的分布列．
思路分析：要求赢得的钱数X的概率分布列，需先写出X的可能取值，然后求出X中每一个可能值的概率，从而列出分布列．
解：从箱中取两个球的情形有以下六种：
{2白}，{1白1黄}，{1白1黑}，{2黄}，{1黑1黄}，{2黑}．
当取到2白时，结果输2元，随机变量X＝－2，此时
P(X＝－2)＝＝；
当取到1白1黄时，结果输1元，随机变量X＝－1，此时P(X＝－1)＝＝；
当取到1白1黑时，结果赢1元，随机变量X＝1，此时P(X＝1)＝＝；
当取到2黄时，结果无输赢，随机变量X＝0，此时
P(X＝0)＝＝；
当取到1黑1黄时，结果赢2元，随机变量X＝2，此时P(X＝2)＝＝；
当取到2黑时，结果赢4元，随机变量X＝4，此时
P(X＝4)＝＝；
可见，随机变量X可以取－2，－1,0,1,2,4，其分布列为：
X＝xi －2 －1 0 1 2 4
P(X＝xi)
设随机变量X的分布列P＝ak(k＝1,2,3,4,5)，
(1)求常数a的值；
(2)求P的值．
解：由题意得X的分布列为：
X 1
P a 2a 3a 4a 5a
(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝；
(2)P＝P＋P＋P(X＝1)＝＋＋＝＝.
解答此类问题的关键有两点：一是依据试验的所有可能结果写出随机变量的可能取值；二是依据随机变量取值所对应的结果求出随机变量取每一个值的概率．
1．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X，则“X＞4”表示的试验结果为__________．
答案：第一枚骰子掷出的为6点，第二枚掷出的是1点
解析：因为一枚骰子的点数可以是1,2,3,4,5,6六种结果之一．
由已知得－5≤X≤5，也就是说“X＞4”就是“X＝5”．
所以，“X＞4”表示第一枚掷出的为6点，第二枚掷出的是1点．
2．袋中装有大小相同的5个 ( http: / / www.21cnjy.com )球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回取出的条件下依次取两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ的可能值有__________个．
答案：9
解析：两个球的号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10共9个．
3．某人进行射击，共有5 ( http: / / www.21cnjy.com )发子弹，击中目标或打完子弹就停止射击，射击次数为ξ.则前4次均未击中目标用“ξ＝k”表示，则k＝__________.
答案：5
解析：ξ＝5表示射击5次，即前4次均未击中，否则不可能射击第5次．
4．篮球运动员在比赛中，每次罚球命中得 ( http: / / www.21cnjy.com )1分，不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为0.8，求他罚球一次的得分X的分布列，此分布列是两点分布列吗？
解：用随机变量X表示“每次罚球得的分值 ( http: / / www.21cnjy.com )”，根据题意，X可能取值为0,1，且取这两个值的概率分别为0.2，0.8，因此所求的分布列是：此分布列是两点分布列.
X 1 0
P 0.8 0.2
5．某车间三天内每天生产10件某产 ( http: / / www.21cnjy.com )品，其中第一天，第二天分别生产了1件，2件次品，而质检部门每天要在生产的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．若工厂内对车间生产的产品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过一天，两天分别得1分，2分，设该车间在这两天内总得分为ξ，写出ξ的可能取值．
解：ξ的可能取值为0,1,2.
ξ＝0表示在两天检查中均发现了次品，
ξ＝1表示在两天检查中有1天没有检查到次品，1天检查到了次品，
ξ＝2表示在两天检查中都没有发现次品．
用精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来，并进行识记．
知识精华 技能要领