2023-2024学年冀教版初中数学八年级下册 19.4 坐标与图形的变化同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2020八上·拜泉期末）若点 与 关于 轴对称，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】由题意可得： ，解得： .
故答案为：B.
【分析】根据坐标点关于x对称，可知两点纵坐标互为相反数，横坐标相等，得出二元一次方程组解出即可.
2．（2023·凉山）点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意得∵点与点关于原点对称，
∴，
故答案为：D
【分析】根据坐标系中关于原点对称的点，横坐标和纵坐标都相反即可求解。
3．（2023八上·丰南期中） 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值为（ ）
A．8 B． C． D．4
【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点与点关于轴对称，
∴b=-4，a=2，
∴ab=-8，
故答案为：B
【分析】根据点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变为相反数即可求出a和b，进而即可求出ab。
4．（2023八上·亳州月考）如图，在平面直角坐标系，线段的两个端点坐标依次为，将线段向右平移5个单位，再向上平移1个单位，得到对应线段，则四边形的面积为（ ）
A．7.5 B．10.5 C．15 D．18
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：由题意，，
∴四边形的面积为；
故答案为：C．
【分析】根据坐标与平移，分割法求图形面积解答．利用平移规则，求得的坐标，用长方形的面积减去两个直角三角形的面积求解即可．平移规则：左减右加，上加下减．
5．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为2，点坐标为，沿某一方向平移后点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：由题意得，根据A点坐标（-2，1）和四边形ABCD是边长2的正方形，由图可知：C点坐标为（-4，3），然后根据A 平移后的坐标 ，将A点坐标先向上平移1个单位长度，再向右平移6个单位长度得出坐标，则将C点坐标（-4，3）先向上平移1个单位长度得出（-4，4），再将（-4，4）向右平移6个单位长度得出 点坐标（2，4）.
故答案为：B.
【分析】首先根据A点坐标（-2，1）和四边形ABCD是边长2的正方形求出C点坐标，再根据A点和点坐标得出该正方形ABCD是如何平移得到的正方形，最后将C点坐标也这样平移得到点坐标即可.
6．（2023八下·石景山期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，，将矩形绕点逆时针旋转，则旋转后点的对应点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】旋转后的点B即左上角的点，观察得知为（-2，3）.
故选A.
【分析】此题关键画出旋转后的图形，考察到是图形的旋转。
7．（2023七下·中江期末）如图，平面直角坐标系中，点，点P从点O出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒3个长度单位，点Q从点O出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒1个长度单位，记点P与点Q在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为…，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质
【解析】【解答】解：∵A（3，0）B（3，-1），C（0，-1）
∴AB=OC=1，AO=BC=3，
∴长方形ABCO的周长为2×（1+3）=8，
∴点P、Q每次相遇间隔8÷（1+3）=2秒，
∴M1（1，0），M2（3，1），M3（2，0），M4（0，0），M5（1，0），M6（3，1）·······，
∴每相遇4次相遇点的坐标循环，
2023÷4=505······3，
∴的坐标为（2，0）；
故答案为：A.
【分析】先求出相遇一次需要的时间，再求出相遇点M1~M6的坐标，可得每相遇4次相遇点的坐标循环，据此解答即可.
二、填空题
8．（2023·金华）在直角坐标系中，点（4，5）绕原点O逆时针方向旋转90°，得到的点的坐标是 .
【答案】（-5，4）
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，
∵点A（4，5），
∴AD=4，OD=5，
将点A绕原点O逆时针方向旋转90° 得到点B，
∴∠AOD+∠DOB=90°=∠DOB+∠BOC，OA=OB，
∴∠BOC=∠AOD，
在△AOD与△BOC中，
∵∠ADO=∠BCO=90°，∠BOC=∠AOD，OA=OB，
∴△AOD≌△BOC，
∴BC=AD=4，OC=OD=5，
∴点B（-5，4）.
故答案为：（-5，4）.
【分析】根据题意作出图形，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，由点A的坐标可得AD=4，OD=5，由旋转的性质得OA=OB，由同角的余角相等得∠BOC=∠AOD，从而利用AAS判断出△AOD≌△BOC，得BC=AD=4，OC=OD=5，此题得解了.
9．点E(a，－5)与点F(－2，b)关于y轴对称，则a＝ ，b＝ .
【答案】2；-5
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】点E、F关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变。
故答案为：2；-5.
【分析】根据两点关于y轴对称，即横坐标互为相反数，纵坐标不变，分别求得a、b的值。
10．（2023八上·泸州期中）如图，BC⊥AB，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】4
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：作于C，于F，如图所示，
∴，
∵点B的坐标为，
∴，，
又∵，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：4．
【分析】根据全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质，把不规则图形变为规则图形来解答．作，，根据ASA证明，可得到，据此求解．
11．在平面直角坐标系中，有点A(2，1)和点B，若点B在x轴上方，且△AOB为等腰直角三角形，则点B的坐标为
【答案】或
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
当时，结合方格可得B点坐标为（1，3）；
当时，结合方格可得B点坐标为（-1，2）；
OA为斜边时，B点坐标为.
综上所述： 点B的坐标为或.
故答案为：或.
【分析】画出坐标系，分类讨论：当时，当时，当OA为斜边时，数形结合分别写出B点坐标即可得解.
12．如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形①的边BC及四边形②的边CD都在c轴上“猫”耳尖E在y轴上.若“猫”尾巴尖A的横坐标为1，则“猫”爪尖F的坐标为 .
【答案】
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【解答】解：如图，作AH⊥x轴于H，过点F作FJ⊥y轴于J交PQ于K，延长PQ交OB于T．设大正方形的边长为4a，则OC＝a，CD＝2a，
在Rt△ADH中，∠ADH＝45°，
∴AH＝DH＝a，
∴OH＝4a，
∵点A的横坐标为1，
∴4a＝1，
∴，
在Rt△FPQ中，PF＝FQ＝2a，
∴PQPF，
∵FK⊥PQ，
∴PK＝KQ，
∴FK＝PK＝QK，
∵KJ，PT＝1+()，
∴FJ， KT＝PT﹣PK，
∴F(，)．
故答案为：(，)．
【分析】如图，过点A作AH⊥x轴于点H，过点F作FJ⊥y轴于点J交PQ于点K，延长PQ交OB于点T．设大正方形的边长为4a，则OC＝a，CD＝2a，根据点A 的横坐标为1，由4a＝1可求出a，然后再解直角三角形求出FJ，KT，最后根据F在第二象限，从而可确定F点的坐标即可解答．
三、解答题
13．（2023八上·龙岗期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足．
（1）填空： ， ；
（2）若在第三象限内有一点，用含的式子表示的面积；
（3）在（2）的条件下，线段与轴相交于点，当时，点是轴上的动点，当满足的面积是的面积的5倍时，求点的坐标．
【答案】（1）；3
（2）解：由（1）得：，，
∴，
如图，过点M作轴于点N，
∵在第三象限内有一点，
∴，
∴；
（3）解：当时，，
∵的面积是的面积的5倍
∴，
设点P的坐标为，
∵点，
∴，
∴，
∴，
解得：或，
即点的坐标或．
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：（1）∵，，，
∴a=-1，b=3，
故答案为：-1；3；
【分析】（1）根据二次根式和偶次方的非负性得出a+1=0，b-3=0，得出a=-1，b=3，即可得出答案；
（2）先求出AB的长，再利用三角形的面积公式代入计算，即可得出答案；
（3）先求出△PBM的面积=30，设点P的坐标为（0，n），求出PC=，再利用三角形的面积公式得出2=30，求出n的值，即可得出答案.
14．（2023八上·亳州月考）如图，在中，，点和点分别落在轴的正半轴和轴的正半轴上，已知点的坐标为．
图1 图2 图3
（1）如图1，过点作轴于点，证明：，并直接写出点的坐标；
（2）如图2，若与轴交于点，证明：是的中线；
（3）如图3，若与轴交于点，连接，探索线段和之间的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）证明：由题意可知，
．
又．
点的坐标为；
（2）如图，过点作轴于点，则．
由（1）可知，
，即点是的中点，是的中线；
（3），理由如下：
如图，在上截取，使得，连接．
在和中，，
，则．
由（2）可知，
．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形全等的判定；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据证明，求出，根据全等三角形对应边相等可得，即可得出点的坐标；
（2）过点作轴于点，则．根据可得，进而根据ASA证明，推出，即可证明是的中线；
（3）在上截取，使得，连接．先根据SAS证和，根据全等三角形的性质得出，可证．
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学八年级下册 19.4 坐标与图形的变化同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2020八上·拜泉期末）若点 与 关于 轴对称，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．（2023·凉山）点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八上·丰南期中） 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值为（ ）
A．8 B． C． D．4
4．（2023八上·亳州月考）如图，在平面直角坐标系，线段的两个端点坐标依次为，将线段向右平移5个单位，再向上平移1个单位，得到对应线段，则四边形的面积为（ ）
A．7.5 B．10.5 C．15 D．18
5．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为2，点坐标为，沿某一方向平移后点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八下·石景山期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，，将矩形绕点逆时针旋转，则旋转后点的对应点坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023七下·中江期末）如图，平面直角坐标系中，点，点P从点O出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒3个长度单位，点Q从点O出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒1个长度单位，记点P与点Q在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为…，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．（2023·金华）在直角坐标系中，点（4，5）绕原点O逆时针方向旋转90°，得到的点的坐标是 .
9．点E(a，－5)与点F(－2，b)关于y轴对称，则a＝ ，b＝ .
10．（2023八上·泸州期中）如图，BC⊥AB，则图中阴影部分的面积为 ．
11．在平面直角坐标系中，有点A(2，1)和点B，若点B在x轴上方，且△AOB为等腰直角三角形，则点B的坐标为
12．如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形①的边BC及四边形②的边CD都在c轴上“猫”耳尖E在y轴上.若“猫”尾巴尖A的横坐标为1，则“猫”爪尖F的坐标为 .
三、解答题
13．（2023八上·龙岗期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足．
（1）填空： ， ；
（2）若在第三象限内有一点，用含的式子表示的面积；
（3）在（2）的条件下，线段与轴相交于点，当时，点是轴上的动点，当满足的面积是的面积的5倍时，求点的坐标．
14．（2023八上·亳州月考）如图，在中，，点和点分别落在轴的正半轴和轴的正半轴上，已知点的坐标为．
图1 图2 图3
（1）如图1，过点作轴于点，证明：，并直接写出点的坐标；
（2）如图2，若与轴交于点，证明：是的中线；
（3）如图3，若与轴交于点，连接，探索线段和之间的数量关系，并加以证明．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】由题意可得： ，解得： .
故答案为：B.
【分析】根据坐标点关于x对称，可知两点纵坐标互为相反数，横坐标相等，得出二元一次方程组解出即可.
2．【答案】D
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意得∵点与点关于原点对称，
∴，
故答案为：D
【分析】根据坐标系中关于原点对称的点，横坐标和纵坐标都相反即可求解。
3．【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点与点关于轴对称，
∴b=-4，a=2，
∴ab=-8，
故答案为：B
【分析】根据点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变为相反数即可求出a和b，进而即可求出ab。
4．【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：由题意，，
∴四边形的面积为；
故答案为：C．
【分析】根据坐标与平移，分割法求图形面积解答．利用平移规则，求得的坐标，用长方形的面积减去两个直角三角形的面积求解即可．平移规则：左减右加，上加下减．
5．【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：由题意得，根据A点坐标（-2，1）和四边形ABCD是边长2的正方形，由图可知：C点坐标为（-4，3），然后根据A 平移后的坐标 ，将A点坐标先向上平移1个单位长度，再向右平移6个单位长度得出坐标，则将C点坐标（-4，3）先向上平移1个单位长度得出（-4，4），再将（-4，4）向右平移6个单位长度得出 点坐标（2，4）.
故答案为：B.
【分析】首先根据A点坐标（-2，1）和四边形ABCD是边长2的正方形求出C点坐标，再根据A点和点坐标得出该正方形ABCD是如何平移得到的正方形，最后将C点坐标也这样平移得到点坐标即可.
6．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】旋转后的点B即左上角的点，观察得知为（-2，3）.
故选A.
【分析】此题关键画出旋转后的图形，考察到是图形的旋转。
7．【答案】A
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质
【解析】【解答】解：∵A（3，0）B（3，-1），C（0，-1）
∴AB=OC=1，AO=BC=3，
∴长方形ABCO的周长为2×（1+3）=8，
∴点P、Q每次相遇间隔8÷（1+3）=2秒，
∴M1（1，0），M2（3，1），M3（2，0），M4（0，0），M5（1，0），M6（3，1）·······，
∴每相遇4次相遇点的坐标循环，
2023÷4=505······3，
∴的坐标为（2，0）；
故答案为：A.
【分析】先求出相遇一次需要的时间，再求出相遇点M1~M6的坐标，可得每相遇4次相遇点的坐标循环，据此解答即可.
8．【答案】（-5，4）
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，
∵点A（4，5），
∴AD=4，OD=5，
将点A绕原点O逆时针方向旋转90° 得到点B，
∴∠AOD+∠DOB=90°=∠DOB+∠BOC，OA=OB，
∴∠BOC=∠AOD，
在△AOD与△BOC中，
∵∠ADO=∠BCO=90°，∠BOC=∠AOD，OA=OB，
∴△AOD≌△BOC，
∴BC=AD=4，OC=OD=5，
∴点B（-5，4）.
故答案为：（-5，4）.
【分析】根据题意作出图形，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，由点A的坐标可得AD=4，OD=5，由旋转的性质得OA=OB，由同角的余角相等得∠BOC=∠AOD，从而利用AAS判断出△AOD≌△BOC，得BC=AD=4，OC=OD=5，此题得解了.
9．【答案】2；-5
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】点E、F关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变。
故答案为：2；-5.
【分析】根据两点关于y轴对称，即横坐标互为相反数，纵坐标不变，分别求得a、b的值。
10．【答案】4
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：作于C，于F，如图所示，
∴，
∵点B的坐标为，
∴，，
又∵，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：4．
【分析】根据全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质，把不规则图形变为规则图形来解答．作，，根据ASA证明，可得到，据此求解．
11．【答案】或
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
当时，结合方格可得B点坐标为（1，3）；
当时，结合方格可得B点坐标为（-1，2）；
OA为斜边时，B点坐标为.
综上所述： 点B的坐标为或.
故答案为：或.
【分析】画出坐标系，分类讨论：当时，当时，当OA为斜边时，数形结合分别写出B点坐标即可得解.
12．【答案】
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【解答】解：如图，作AH⊥x轴于H，过点F作FJ⊥y轴于J交PQ于K，延长PQ交OB于T．设大正方形的边长为4a，则OC＝a，CD＝2a，
在Rt△ADH中，∠ADH＝45°，
∴AH＝DH＝a，
∴OH＝4a，
∵点A的横坐标为1，
∴4a＝1，
∴，
在Rt△FPQ中，PF＝FQ＝2a，
∴PQPF，
∵FK⊥PQ，
∴PK＝KQ，
∴FK＝PK＝QK，
∵KJ，PT＝1+()，
∴FJ， KT＝PT﹣PK，
∴F(，)．
故答案为：(，)．
【分析】如图，过点A作AH⊥x轴于点H，过点F作FJ⊥y轴于点J交PQ于点K，延长PQ交OB于点T．设大正方形的边长为4a，则OC＝a，CD＝2a，根据点A 的横坐标为1，由4a＝1可求出a，然后再解直角三角形求出FJ，KT，最后根据F在第二象限，从而可确定F点的坐标即可解答．
13．【答案】（1）；3
（2）解：由（1）得：，，
∴，
如图，过点M作轴于点N，
∵在第三象限内有一点，
∴，
∴；
（3）解：当时，，
∵的面积是的面积的5倍
∴，
设点P的坐标为，
∵点，
∴，
∴，
∴，
解得：或，
即点的坐标或．
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：（1）∵，，，
∴a=-1，b=3，
故答案为：-1；3；
【分析】（1）根据二次根式和偶次方的非负性得出a+1=0，b-3=0，得出a=-1，b=3，即可得出答案；
（2）先求出AB的长，再利用三角形的面积公式代入计算，即可得出答案；
（3）先求出△PBM的面积=30，设点P的坐标为（0，n），求出PC=，再利用三角形的面积公式得出2=30，求出n的值，即可得出答案.
14．【答案】（1）证明：由题意可知，
．
又．
点的坐标为；
（2）如图，过点作轴于点，则．
由（1）可知，
，即点是的中点，是的中线；
（3），理由如下：
如图，在上截取，使得，连接．
在和中，，
，则．
由（2）可知，
．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形全等的判定；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据证明，求出，根据全等三角形对应边相等可得，即可得出点的坐标；
（2）过点作轴于点，则．根据可得，进而根据ASA证明，推出，即可证明是的中线；
（3）在上截取，使得，连接．先根据SAS证和，根据全等三角形的性质得出，可证．
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