数学（苏教版）选修2-3导学案：22　超几何分布

2.2　超几何分布
学习目标 重点、难点
1．通过实例理解超几何分布及其特点；2．理解超几何分布的导出过程；3．能应用超几何分布解决实际问题. 重点：超几何分布的特点．难点：超几何分布的实际应用.
超几何分布
一般地，若一个随机变量X的分布列为P(X ( http: / / www.21cnjy.com )＝r)＝，其中r＝0,1,2,3，…，l，l＝min(n，M)，则称X服从超几何分布．记为X～H(n，M，N)，并将P(X＝r)＝记为H(r；n，M，N)．
预习交流
如何正确理解超几何分布？
提示：设有N件产品，其中有M(M≤N)件次 ( http: / / www.21cnjy.com )品，从中任取n(n≤N)件产品，取出的产品中有r件次品的概率为P(X＝r)＝(其中r为非负整数)，此时随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布．
在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
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一、超几何分布的实例
某班共50名学生，其中35名男生，15名女生，随机从中抽取5名同学参加学生代表大会，所抽取的5名学生代表中，求女生人数X的分布列．
思路分析：由题意知女生人数X服从超几何分布H(5,15,50)．
利用超几何分布的概率公式求解．
解：从50名学生中随机抽取5人共有C种方法，没有女生的取法是CC，恰有1名女生的取法为CC，恰有2名女生的取法为CC，恰有3名女生的取法为CC，恰有4名女生的取法为CC，恰有5名女生的取法为CC.
因此，抽取5名学生代表中，女生人数X的分布列为：
X 0 1 2 3 4 5
P
下列随机变量中，服从超几何分布的有__________．
①一批产品50箱，其中有2 ( http: / / www.21cnjy.com )箱不合格，从该批产品中任取5箱产品进行检测，其中不合格的产品箱数X.②一个盆子里有4个红球和3个黑球，从中任取一个球，然后放回，连续三次，记取到红球的个数为X.
答案：①
解析：①X服从超几何分布H(5,2,50)；②不服从超几何分布，因为它是有放回地抽样．
判断一个随机变量是否服从超几何分布，主要是根据定义，注意超几何分布是不放回的取样．
二、超几何分布的实际应用
从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试．试求出选3名同学中，至少有一名女同学的概率．
思路分析：由题目可知选出的女同学人数服从超几何分布H(3,4,10)，根据超几何分布概率公式直接求，也可用间接法求解．
解：设选出的女同学人数为X，则X的可能 ( http: / / www.21cnjy.com )取值为0,1,2,3，且X服从超几何分布H(3,4,10)，于是选出的3名同学中，至少有一名女同学的概率为：P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＋＝，或P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－＝.
一批产品共50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽2件，求其中出现次品的概率．
解：设抽到次品的件数为X，则X服从 ( http: / / www.21cnjy.com )超几何分布H(2,5,50)．于是出现次品的概率为P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝＋＝，即出现次品的概率为.
①超几何分布是一种常见的随机变量的分布，利用它可解决一类超几何分布问题．
②在超几何分布中，只要知道参数N，M，n就可以根据公式求出X取不同值时的概率．从而列出分布列，再求符合题意的概率．
1．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X表示取得次品的个数，则P(X＜2)＝__________.
答案：
解析：由题意知X可取0,1,2，服从超几何分布H(2,3,10)，
即P(X＜2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝＋＝.
2．100张奖券中有4张有奖，从这100张奖券中任取2张，则2张都中奖的概率为__________．
答案：
解析：由题意知X可取0,1,2且服从超几何分布H(2,4,100)．
所以2张都中奖的概率为P(X＝2)＝＝.
3．把X，Y两种遗传基因冷冻保存， ( http: / / www.21cnjy.com )若X有30个单位，Y有20个单位，且保存过程中有2个单位的基因失效，则X，Y两种基因各失效1个单位的概率是__________．
答案：
解析：由题意可设遗传基因X失效单位的个数为ξ ( http: / / www.21cnjy.com )，则ξ服从超几何分布H(2,30,50)．则X，Y两种基因各失效1个单位的概率为P(ξ＝1)＝＝.
4．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选2台，其中两种型号都齐全的概率为__________．
答案：
解析：由题意可设随机变量X ( http: / / www.21cnjy.com )表示“选出的彩电中乙型彩电的台数”，则X服从超几何分布H(2,2,5)．则两种型号都齐全的概率为P(X＝1)＝＝.
5．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n至少为多少？
解：设随机变量X表示“抽出的中奖票的张数”，则X服从超几何分布H(n,2,50)．
∴P(X≥1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＞0.5.
解得n≥15.
∴n至少为15时，至少有一张中奖的概率大于0.5.
用精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来，并进行识记．
知识精华 技能要领