数学（苏教版）选修2-3导学案：23　独立性

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2.3　独立性
学习目标 重点、难点
1．能说出条件概率的概念；2．能记住相互独立事件的概念及意义；3．能用条件概率公式及相互独立事件的概率乘法公式解决简单的实际问题. 重点：条件概率，独立事件的概念．难点：条件概率，独立事件的概率计算.
1．条件概率
一般地，对于两个事件A和B，在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为事件B发生的条件下事件A的条件概率，记为P(A|B)．【来源：21·世纪·教育·网】
一般地，若P(B)＞0，则事件B发生的条件下A发生的条件概率是P(A|B)＝.
预习交流1
任意向区间(0,1)上投掷一个点，用x表示该点的坐标，设事件A＝，B＝，你能求出P(B|A)吗？2-1-c-n-j-y
提示：P(B|A)＝＝＝＝0.5.
2．事件的独立性
一般地，若事件A，B满足P(A|B)＝P(A)，则称事件A，B独立．P(AB)＝P(A)P(B)．
预习交流2
若事件A与B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)与P(AB)＝P(A|B)·P(B)矛盾吗？
提示：不矛盾，若事件A与B相互独立，则P(A|B)＝P(A)．
在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
我的学困点 我的学疑点
一、条件概率
盒中装有5个产品，其中3个一等品，2个二等品，不放回地从中取产品，每次取1个．
(1)取两次，求两次都取得一等品的概率；
(2)取两次，求第二次取得一等品的概率；
(3)取两次，已知第二次取得一等品，求第一次取得的二等品的概率．
思路分析：由于是不放回地从中取产品，所以第二次抽取受到第一次的影响，因而是条件概率，应用条件概率中的乘法公式求解．21教育网
解：记Ai为第i次取到一等品，其中i＝1,2.
(1)取两次，两次都取得一等品的概率，则P(A1A2)＝P(A1)·P(A2|A1)＝×＝.
(2)取两次，第二次取得一等品的概率，即第一次有可能取到一等品，也可能取到二等品．
则P(A2)＝P(A2)＋P(A1A2)＝×＋×＝.
(3)取两次，已知第二次取得一等品，那么第一次取得二等品．
则P(|A2)＝＝＝.
从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取2张，将其中1张放在验钞机上检验发现是假钞，则2张都是假钞的概率是__________．　　21*cnjy*com
答案：
解析：设A表示：“抽到2张都是假钞”，B ( http: / / www.21cnjy.com )表示“抽到的2张中至少有1张为假钞”，则所求概率为P(A|B)，又P(AB)＝P(A)＝，P(B)＝，www-2-1-cnjy-com
所以P(A|B)＝＝＝＝.
条件概率的判断：当题目中出现“在……前提( ( http: / / www.21cnjy.com )条件)下”等字眼时，一般为条件概率，题目中没有出现上述字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，一般也认为是条件概率．【来源：21cnj*y.co*m】
二、事件的独立性
一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩 ( http: / / www.21cnjy.com )是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩，又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}，对下述两种情形，讨论A，B的独立性．www.21-cn-jy.com
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．
思路分析：(1)先写出家庭 ( http: / / www.21cnjy.com )中有两个小孩的所有可能情形，需注意基本事件(男，女)，(女，男)是不同的，然后分别求出A，B所含的基本事件数，由于生男生女具有等可能性，故可借助古典概型来求P(A)，P(B)及P(AB)的概率，最后分析P(AB)是否等于P(A)P(B)，(2)同(1)．
解：(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，【版权所有：21教育】
它有4个基本事件，由等可能性知每个基本事件的概率都为.
∵A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，
AB＝{(男，女)，(女，男)}，
∴P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，
∴P(A)P(B)＝≠P(AB)，故事件A，B不相互独立．
(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女 ( http: / / www.21cnjy.com )孩的所有可能情况为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．由等可能性知这8个基本事件的概率均为，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件．21教育名师原创作品
于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，显然有P(AB)＝P(A)P(B)成立．
从而知事件A与B是相互独立的．
设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相 ( http: / / www.21cnjy.com )互之间没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125，求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少？21*cnjy*com
解：记“机器甲需要照顾”为事件A， ( http: / / www.21cnjy.com )“机器乙需要照顾”为事件B，“机器丙需要照顾”为事件C，由题意知，各台机器是否需要照顾相互之间没有影响，因此A，B，C是相互独立事件．21·cn·jy·com
由题意知P(AB)＝P(A)P(B)＝0.05，P(AC)＝P(A)P(C)＝0.1，P(BC)＝P(B)P(C)＝0.125.
解得P(A)＝0.2，P(B)＝0.25，P(C)＝0.5，
∴甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别为0.2，0.25,0.5.
由定义知若P(AB)＝P(A)P(B)，则A ( http: / / www.21cnjy.com )，B相互独立，即如果A，B同时成立时的概率等于事件A的概率与事件B的概率的积，则可得出事件A和事件B相互独立，同时若A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)．
1．把一枚硬币抛掷两次，事件A＝“第一次出现正面”，事件B＝“第二次出现反面”，则P(B|A)＝__________.21世纪教育网版权所有
答案：
解析：P(B)＝P(A)＝，P(AB)＝，∴P(B|A)＝＝＝.
2．在10支铅笔中，有8支正品，2支次品，从中任取2支，则在第一次抽的是次品的条件下，第二次抽的是正品的概率是__________．2·1·c·n·j·y
答案：
解析：记事件A，B分别表示“第一次，第二次抽得正品”，则 B表示“第一次抽得次品，第二次抽得正品”，21·世纪*教育网
∴P(B|)＝＝＝.
3．甲、乙两人独立地解同一 ( http: / / www.21cnjy.com )问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率为p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是__________．【出处：21教育名师】
答案：p1(1－p2)＋p2(1－p1)
解析：甲解决问题乙没解决 ( http: / / www.21cnjy.com )问题的概率为p1(1－p2)，乙解决问题而甲没有解决问题的概率为p2(1－p1)，故恰有1人解决问题的概率为p1(1－p2)＋p2(1－p1)．
4．两个实习生每人加工一个零件，加工为 ( http: / / www.21cnjy.com )一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为__________．
答案：
解析：记两个零件中恰有一个一等品的事件为A，则P(A)＝×＋×＝.
5．在100件产品中有95件合格品，5 ( http: / / www.21cnjy.com )件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次还取到不合格品的概率是多少？
解：记A为“第一次取到不合格品”，B为“第二次取到不合格品”，则得P(A)＝＝，
P(AB)＝×，要求在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率，即求P(B|A)＝＝.21cnjy.com
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