2023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 29.1 点与圆的位置关系同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2021九上·集贤期末）如果⊙O的半径为6，线段OP的长为3，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定
2．已知⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为6cm，则点A与⊙O的位置关系为（ ）
A．点A在⊙O上 B．点A在⊙O内 C．点A在⊙O外 D．不能确定
3．（2023·长宁模拟）如图，已知及其所在平面内的4个点．如果半径为5，那么到圆心距离为7的点可能是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
4．（2023·汕尾模拟）如图，在的正方形网格中（小正方形的连长为1），有6个点A、B、C、D、E、F，若过A、B、C三点作圆O，则点D、E、F三点中在圆O外的有（ ）个
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2023九下·宁波月考）如图，，点A、B分别在射线、射线上运动，四边形是矩形，且，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．无最大值
6．（2022九上·永康月考）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点，∠ADM＝∠BAP，则BM的最小值为（ ）
A． B． C．- D．-2
7．（2021九上·苏州月考）已知P(x，y)是以坐标原点为圆心，5为半径的圆周上的点，若x，y都是整数，则这样的点共有（ ）
A．4个 B．8个 C．12个 D．16个
8．（2023九下·沭阳月考）如图，在6×6的正方形网格图形中，M，N分别是上的格点，.若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则所有满足的中，的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．2
二、填空题
9．（2023九上·江源月考）已知⊙O的半径为4cm，OP =2cm，则点P在⊙O （填“内"、“外”或“上”）．
10．在中，为平面上一个动点，，则线段CD的长度的最小值为 .
11．（2023九上·海曙月考）⊙O外一点P到⊙O上的点的最大距离是12，最小距离是2，求此圆的半径是
12．（2023九上·龙泉期中）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB＝4，∠CAB＝60°，P是弧BC上的一个动点，连结AP，过点C点作CD⊥AP于点D，连结BD，在点P移动的过程中.
（1）AC＝ ；
（2）BD的最小值是 .
13．（2023·苍溪模拟）如图，线段为的直径，点C在的延长线上，，，点P是上一动点，连接，以为斜边在的上方作Rt，且使，连接，则长的最大值为 ．
三、解答题
14．如图，A城气象台测得一热带风暴中心O从A城正西方向300km处向东北方向移动，距风暴中心200km的范围内为受影响区域．问：A城是否会受到这次热带风暴的影响？请说明理由．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点F为AC中点，⊙O经过点B，F，且与AC交于点D，与AB交于点E，与BC交于点G，连结BF，DE，弧EFG的长度为（1+）π．
（1）求⊙O的半径；
（2）若DE∥BF，且AE=a，DF=2+﹣a，请判断圆心O和直线BF的位置关系，并说明理由．
四、综合题
16．（2022·郴州）如图1，在矩形ABCD中， ， .点E是线段AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作 ，交AB于点F.
（1）求证： ；
（2）如图2，连接CF，过点B作 ，垂足为G，连接AG.点M是线段BC的中点，连接GM.
①求 的最小值；
②当 取最小值时，求线段DE的长.
17．（2022·沭阳模拟）如图1，在矩形ABCD中，E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接DF、EF，H为DF中点，连接GH，将绕点B旋转.
（1）当旋转到如图2的位置，连接AF、CE，若，且，则 ， ；
（2）已知.
①当旋转到如图3位置时，连接CE，猜想GH与CE之间的数量关系和位置关系，并说明理由.
②在旋转过程中，射线GH，CE相交于点Q，连接AQ，AQ有最小值吗？若有，请直接写出AQ的最小值；若没有，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵OP=3<6
∴点P在圆内
故答案为：B．
【分析】根据 ⊙O的半径为6，线段OP的长为3， 判断即可。
2．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为 ⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为6cm ，所以点A在圆外.
故答案为：C.
【分析】根据点到圆心的距离与半径的关系判定点与圆的位置关系，即当点到圆心的距离等于半径时，点在圆上，点到圆心的距离小于半径时，点在圆内，点到圆心的距离大于半径点在圆外.
3．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵半径为5，
∴圆心距离为7的点在圆外，
∴该点可能为点M，
故答案为：C
【分析】根据点与圆的位置关系即可求解。
4．【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：连接AC、OD、OE，
∵△ABC为直角三角形，
∴过点A、B、C的圆的圆心为Rt△ABC斜边的中点，设圆心为O，半径为r.
∵AC=，
∴r=.
∵OD=OE=，
∴D、E在圆上.
∵OF=3>r，
∴F在圆外，
∴点D、E、F三点中在圆O外的有1个.
故答案为：B.
【分析】连接AC、OD、OE，可得过点A、B、C的圆的圆心为Rt△ABC斜边的中点，设圆心为O，半径为r，利用勾股定理求出AC的值，进而求出r，然后利用勾股定理求出OD、OE，据此进行判断.
5．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；点与圆的位置关系；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵，，
∴点O在经过点A，B的圆E上，且，
∴，即圆E的半径为，
过E作于G并延长，与交于点F，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
当O，E，D三点共线时，最大，且最大值为，
故答案为：A.
【分析】由题意可得：点O在经过点A，B的圆E上，且∠AEB=90°，AE=BE=OE=，过E作EG⊥AB于G并延长，与CD交于点F，有AG=BG=1，EG=AB=1，根据矩形的性质可得∠DAG=∠ADC=∠AGF=90°，AG=DF=1，AD=FG=1，∠EFD=90°，则EF=EG+GF=2，利用勾股定理可得DE，据此求解.
6．【答案】D
【知识点】矩形的性质；点与圆的位置关系；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，取AD的中点O，连接OB，OM．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝4，
∴∠BAP+∠DAM＝90°，
∵∠ADM＝∠BAP，
∴∠ADM+∠DAM＝90°，
∴∠AMD＝90°，
∵AO＝OD＝2，
∴OM＝ AD＝2，
∴点M的运动轨迹是以O为圆心，2为半径的⊙O．
∵OB＝ ＝ ＝ ，
∴BM≥OB-OM＝ -2，
∴BM的最小值为 -2．
故答案为：D．
【分析】根据矩形的性质易得∠ADM+∠DAM＝90°，根据三角形的内角和定理得∠AMD=90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得OM=2，从而得出点M的运动轨迹是以O为圆心，2为半径的⊙O，根据勾股定理算出OB的长，根据三角形三边之间的关系得BM≥OB-OM，据此即可得出答案.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：①若这个点在坐标轴上，那么有四个，它们是（0，5），（5，0），（-5，0），（0，-5）；
②若这个点在象限内，
∵，而P都是整数点，
∴这样的点有8个，分别是（3，4），（3，-4），（-3，4），（-3，-4）），（4，3），（4，-3），（-4，3），（-4，-3）．
∴共12个，故答案为：C．
【分析】分两种情况：①若这个点在坐标轴上，②若这个点在象限内，据此分别解答即可.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；点与圆的位置关系；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：根据网格的特点，由题意可知点P在以为弦，O为圆心，半径为的圆上， 如图所示，
理由如下：∵，
∴，，
∴是以为斜边的等腰直角三角形，，
以点O为圆心，为半径画圆，则由圆周角定理可知，图中的均满足要求，
∵，
∴所有满足的点中，的最小值是2.
故答案为：D.
【分析】根据网格的特点，由题意可知点P在以MN为弦，O为圆心，半径为的圆上，由勾股定理可得OM、ON、MN的值，结合勾股定理逆定理知△OMN是以MN为斜边的等腰直角三角形，以点O为圆心，OM为半径画圆，由圆周角定理知：图中的P1、P2、P3、P4、P5均满足要求，DP1=DP4=4，DP2=DP3=2，DP5=2，据此解答.
9．【答案】内
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：⊙O的半径r为4cm，OP =2cm，
r>2，
P在⊙O内，
故答案为：内.
【分析】根据 ⊙O的半径为4cm，OP =2cm， 即可得出结论.
10．【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理；点与圆的位置关系；解直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，作△ABD的外接圆，连接OA、OB、OC，过点O作OE⊥BC于点E，因求CD的最小值，故圆心O在AB的右侧，当O、D、C三点共线时，CD的值最小，
∵∠ADB=45°，
∴∠AOB=90°，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴AO=BO=sin45°×AB=，
∵∠OBA=45°，∠ABC=90°，
∴∠OBE=45°，
∴△OBE是等腰直角三角形，
∴OE=BE=sin45°×OB=1，
∴CE=BC-BE=3-1=2，
在Rt△OEC中，，
当O、D、C三点共线时，CD最小为CD=OC-OD=.
故答案为：.
【分析】如图，作△ABD的外接圆，连接OA、OB、OC，过点O作OE⊥BC于点E，因求CD的最小值，故圆心O在AB的右侧，当O、D、C三点共线时，CD的值最小，将问题转化为点圆最值，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠AOB=90°，则△AOB为等腰直角三角形，则AO=BO=，进而证得△OBE是等腰直角三角形，得OE=BE=1，在Rt△OEC中，由勾股定理算出OC的长，进而根据CD最小为OC-OD算出答案.
11．【答案】5
【知识点】圆的认识；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：如图：
∴
∴圆的半径是：
故答案为：5.
【分析】由题意知根据线段间的数量关系得到：，据此即可求解.
12．【答案】（1）2
（2）
【知识点】勾股定理；圆周角定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：（1）连接BC，如图：
∵AB是半圆O的直径，
∴
∵
∴
∴；
故答案为：2；
（2）以AC为直径作圆O'，连接BO'，BC，如图：
∵
∴
∴在点P移动的过程中，点D在AC为直径的圆上运动，
在中，
∵
∴
在中，
∴当O'，D，B三点共线时，BD最小，最小值为
故答案为：.
【分析】（1）连接BC，根据"直径所对的圆周角为直角"得到：进而结合已知条件求出∠ABC的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质即可求解；
（2）以AC为直径作圆O'，连接BO'，BC，在点P移动的过程中，点D在AC为直径的圆上运动，当O'，D，B三点共线时，BD最小，最小值为利用勾股定理求出BO'的长度，即可求解.
13．【答案】
【知识点】三角形三边关系；含30°角的直角三角形；点与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，作△CEO，使∠CEO=90°，∠ECO=60°，连接OP，
∵AB=4，BC=2，
∴CO=4，
在Rt△COE中，∠OEC=90°，∠ECO=60°，
∴∠EOC=30°，
∴CO=2CE，OE=，
∵∠OCP+∠PCE=∠PCE+∠ECD=60°，
∴∠OCP=∠ECD，
∵∠PDC=90°，∠DCP=60°，
∴CP=2CD，
∴，
∴△COP∽△CED，
∴，
即ED=OP=1，
∵点E是定点，DE是定长，
∴点D在半径为1的圆E上，
∵OD≤OE+DE，
∴，
∴OD的最大值为：.
故答案为：.
【分析】作△CEO，使∠CEO=90°，∠ECO=60°，连接OP，根据含30°角直角三角形的性质得CO=2CE，OE=，CP=2CD，根据角的和差推出∠OCP=∠ECD，进而由有两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得△COP∽△CED，由相似三角形对应边成比例可得ED=OP=1，则点D在半径为1的圆E上，进而根据三角形三边关系及点与圆的位置关系可得答案.
14．【答案】解：不会受影响.
过点A作AB⊥OB于点B，如图：
由题意可得，∠BOA=45°，
则BO=AB，
故AO2=BO2+AB2，
即3002=2AB2，
解得：；
∴A城不会受到这次热带风暴的影响．
【知识点】勾股定理的应用；点与圆的位置关系
【解析】【分析】根据题意结合直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方得出A点到OB的最短距离，进而得出答案．
15．【答案】解：（1）设⊙O的半径为r，
∵∠ABC=90°
∴弧EFG所对的圆心角的度数为180°，
∴=（1+）π，即r=1+；
（2）答：圆心O在直线BF上．
理由如下：
∵DE∥BF，
∴∠ADE=∠AFB．
∵四边形DEBF是⊙O的内接四边形，
∴∠AFB+∠DEB=180°．
∵∠AED+∠DEB=180°，
∴∠AFB=∠AED，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE=a．
∵DF=2+﹣a，
∴AF=AD+DF=2+．
在Rt△ABC中，∠ABC=90°且F为AC中点，
∴BF=AF=2+．
∵r=1+ ，
∴BF=2r．
∵B、F都在⊙O上，
∴BF为⊙O直径，
∴点O在直线BF上．
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）设⊙O的半径为r，再根据弧长公式即可得出结论；
（2）先根据DE∥BF得出∠ADE=∠AFB，再根据圆内接四边形的性质得出∠AFB+∠DEB=180°，进而得出AF的长．在Rt△ABC中，根据直角三角形的性质求出BF的长，再由B、F都在⊙O上即可得出结论．
16．【答案】（1）证明：如图1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
（2）解：①解：如图2-1，连接AM.
∵ ，
∴ 是直角二角形.
∴ .
∴点G在以点M为圆心，3为半径的圆上.
当A，G，M三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得： ，
当A，G，M三点共线时， .
此时， 取最小值.在 中， .
∴ 的最小值为5.
②（求AF的方法一）如图2-2，过点M作 交FC于点N，
∴ .
∴ .
设 ，则 ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由①知 的最小值为5、即 ，
又∵ ，
∴ .
∴ ，解得 ，即 .
（求AF的方法二）
如图2-3，过点G作 交BC于点H.
∴ .
∴ ，
由①知 的最小值为5，即 ，
又∵ ，
∴ .
∴ ， .
由 得 ，
∴ ，即 ，
解得 .
∴ .
由（1）的结论可得 .
设 ，则 ，
∴ ，
解得 或 .
∵ ， ，
∴ 或 .
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；矩形的性质；点与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得∠A=∠D=90°，根据同角的余角相等可得∠DCE=∠AEF，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（2）①连接AM，易得△BGC是直角二角形，由直角三角形斜边上中线性质得BM=CM=GM=3，推出点G在以点M为圆心，3为半径的圆上，故当A，G，M三点共线时，AG+GM=AM，此时AG+GM最小，利用勾股定理求解即可；
②过点M作MN∥AB交FC于点N，证明△CMN∽△CBF，设AF=x，则BF=4-x，根据相似三角形的性质可得MN=BF=(4-x)，证明△AFG∽△MNG，由①知AG+GM的最小值为5，即AM=5，则AG=2，根据相似三角形的性质可得x的值，由（1）的结论可得，设DE=y，则AE=6-y，根据相似三角形的性质可得y的值，据此解答.
17．【答案】（1）2；1
（2）解：①猜想，理由如下，
如图，连接AF，延长CE交AF于N，交AB于M，
，E，F分别为边BC，AB的中点，
，
由旋转可知：，
，
又，
；
，
设，
点G是AD的中点，点H是DF的中点，
，
，
，
，
，
即，
，
；
②有最小值，理由如下：
如图，延长GH和CE交于点Q，连接CG，取CG的中点O，
由①知CE⊥GH，即∠CEG=90°，
则Q点在以CG为直径的圆上，
当A、Q、O三点共线时，AQ最短，
作于，
∴，
∴OP是△CGD的中位线，
∴ ， ，
∴AP=AG+GP=2+1=3，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】点与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）∵∠CBE+∠CBF=∠CBF+∠ABF=90°，
∴∠CBE=∠ABF，
∵AB=BC，E、F分别是BC、AC的中点，
∴BF=BE，
在△ABF和△CBE中， ，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴AF=CE=2，
∵G、H分别是AD和DF的中点，
∴GH是△ADF的中位线，
∴
故答案为：2，1；
【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠CBE=∠ABF，根据AB=BC结合中点的概念可得BF=BE，证明△ABF≌△CBE，得到AF=CE=2，易得GH是△ADF的中位线，据此求解；
（2）①连接AF，延长CE交AF于N，交AB于M，根据中点的概念可得BF、BE，由旋转可知∠ABC=∠FBE=90°，证明△ABF∽△CBE，根据相似三角形的性质可得，∠BAF=∠BCE，设AF=3x，CE=4x，易得GH为△ADF的中位线，则GH∥AF，GH=AF=x，则CE=GH，易得∠ANC=90°，结合GH∥AF可得结论；
②延长GH和CE交于点Q，连接CG，取CG的中点O，则Q点在以CG为直径的圆上，当A、Q、O三点共线时，AQ最短，作OP⊥GD于P，则OP是△CGD的中位线，OP=CD=，GP=GD=1，由AP=AG+GP可得AP，利用勾股定理可得OA、CG，据此求解.
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 29.1 点与圆的位置关系同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2021九上·集贤期末）如果⊙O的半径为6，线段OP的长为3，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定
【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵OP=3<6
∴点P在圆内
故答案为：B．
【分析】根据 ⊙O的半径为6，线段OP的长为3， 判断即可。
2．已知⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为6cm，则点A与⊙O的位置关系为（ ）
A．点A在⊙O上 B．点A在⊙O内 C．点A在⊙O外 D．不能确定
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为 ⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为6cm ，所以点A在圆外.
故答案为：C.
【分析】根据点到圆心的距离与半径的关系判定点与圆的位置关系，即当点到圆心的距离等于半径时，点在圆上，点到圆心的距离小于半径时，点在圆内，点到圆心的距离大于半径点在圆外.
3．（2023·长宁模拟）如图，已知及其所在平面内的4个点．如果半径为5，那么到圆心距离为7的点可能是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵半径为5，
∴圆心距离为7的点在圆外，
∴该点可能为点M，
故答案为：C
【分析】根据点与圆的位置关系即可求解。
4．（2023·汕尾模拟）如图，在的正方形网格中（小正方形的连长为1），有6个点A、B、C、D、E、F，若过A、B、C三点作圆O，则点D、E、F三点中在圆O外的有（ ）个
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：连接AC、OD、OE，
∵△ABC为直角三角形，
∴过点A、B、C的圆的圆心为Rt△ABC斜边的中点，设圆心为O，半径为r.
∵AC=，
∴r=.
∵OD=OE=，
∴D、E在圆上.
∵OF=3>r，
∴F在圆外，
∴点D、E、F三点中在圆O外的有1个.
故答案为：B.
【分析】连接AC、OD、OE，可得过点A、B、C的圆的圆心为Rt△ABC斜边的中点，设圆心为O，半径为r，利用勾股定理求出AC的值，进而求出r，然后利用勾股定理求出OD、OE，据此进行判断.
5．（2023九下·宁波月考）如图，，点A、B分别在射线、射线上运动，四边形是矩形，且，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．无最大值
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；点与圆的位置关系；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵，，
∴点O在经过点A，B的圆E上，且，
∴，即圆E的半径为，
过E作于G并延长，与交于点F，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
当O，E，D三点共线时，最大，且最大值为，
故答案为：A.
【分析】由题意可得：点O在经过点A，B的圆E上，且∠AEB=90°，AE=BE=OE=，过E作EG⊥AB于G并延长，与CD交于点F，有AG=BG=1，EG=AB=1，根据矩形的性质可得∠DAG=∠ADC=∠AGF=90°，AG=DF=1，AD=FG=1，∠EFD=90°，则EF=EG+GF=2，利用勾股定理可得DE，据此求解.
6．（2022九上·永康月考）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点，∠ADM＝∠BAP，则BM的最小值为（ ）
A． B． C．- D．-2
【答案】D
【知识点】矩形的性质；点与圆的位置关系；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，取AD的中点O，连接OB，OM．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝4，
∴∠BAP+∠DAM＝90°，
∵∠ADM＝∠BAP，
∴∠ADM+∠DAM＝90°，
∴∠AMD＝90°，
∵AO＝OD＝2，
∴OM＝ AD＝2，
∴点M的运动轨迹是以O为圆心，2为半径的⊙O．
∵OB＝ ＝ ＝ ，
∴BM≥OB-OM＝ -2，
∴BM的最小值为 -2．
故答案为：D．
【分析】根据矩形的性质易得∠ADM+∠DAM＝90°，根据三角形的内角和定理得∠AMD=90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得OM=2，从而得出点M的运动轨迹是以O为圆心，2为半径的⊙O，根据勾股定理算出OB的长，根据三角形三边之间的关系得BM≥OB-OM，据此即可得出答案.
7．（2021九上·苏州月考）已知P(x，y)是以坐标原点为圆心，5为半径的圆周上的点，若x，y都是整数，则这样的点共有（ ）
A．4个 B．8个 C．12个 D．16个
【答案】C
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：①若这个点在坐标轴上，那么有四个，它们是（0，5），（5，0），（-5，0），（0，-5）；
②若这个点在象限内，
∵，而P都是整数点，
∴这样的点有8个，分别是（3，4），（3，-4），（-3，4），（-3，-4）），（4，3），（4，-3），（-4，3），（-4，-3）．
∴共12个，故答案为：C．
【分析】分两种情况：①若这个点在坐标轴上，②若这个点在象限内，据此分别解答即可.
8．（2023九下·沭阳月考）如图，在6×6的正方形网格图形中，M，N分别是上的格点，.若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则所有满足的中，的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；点与圆的位置关系；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：根据网格的特点，由题意可知点P在以为弦，O为圆心，半径为的圆上， 如图所示，
理由如下：∵，
∴，，
∴是以为斜边的等腰直角三角形，，
以点O为圆心，为半径画圆，则由圆周角定理可知，图中的均满足要求，
∵，
∴所有满足的点中，的最小值是2.
故答案为：D.
【分析】根据网格的特点，由题意可知点P在以MN为弦，O为圆心，半径为的圆上，由勾股定理可得OM、ON、MN的值，结合勾股定理逆定理知△OMN是以MN为斜边的等腰直角三角形，以点O为圆心，OM为半径画圆，由圆周角定理知：图中的P1、P2、P3、P4、P5均满足要求，DP1=DP4=4，DP2=DP3=2，DP5=2，据此解答.
二、填空题
9．（2023九上·江源月考）已知⊙O的半径为4cm，OP =2cm，则点P在⊙O （填“内"、“外”或“上”）．
【答案】内
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：⊙O的半径r为4cm，OP =2cm，
r>2，
P在⊙O内，
故答案为：内.
【分析】根据 ⊙O的半径为4cm，OP =2cm， 即可得出结论.
10．在中，为平面上一个动点，，则线段CD的长度的最小值为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理；点与圆的位置关系；解直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，作△ABD的外接圆，连接OA、OB、OC，过点O作OE⊥BC于点E，因求CD的最小值，故圆心O在AB的右侧，当O、D、C三点共线时，CD的值最小，
∵∠ADB=45°，
∴∠AOB=90°，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴AO=BO=sin45°×AB=，
∵∠OBA=45°，∠ABC=90°，
∴∠OBE=45°，
∴△OBE是等腰直角三角形，
∴OE=BE=sin45°×OB=1，
∴CE=BC-BE=3-1=2，
在Rt△OEC中，，
当O、D、C三点共线时，CD最小为CD=OC-OD=.
故答案为：.
【分析】如图，作△ABD的外接圆，连接OA、OB、OC，过点O作OE⊥BC于点E，因求CD的最小值，故圆心O在AB的右侧，当O、D、C三点共线时，CD的值最小，将问题转化为点圆最值，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠AOB=90°，则△AOB为等腰直角三角形，则AO=BO=，进而证得△OBE是等腰直角三角形，得OE=BE=1，在Rt△OEC中，由勾股定理算出OC的长，进而根据CD最小为OC-OD算出答案.
11．（2023九上·海曙月考）⊙O外一点P到⊙O上的点的最大距离是12，最小距离是2，求此圆的半径是
【答案】5
【知识点】圆的认识；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：如图：
∴
∴圆的半径是：
故答案为：5.
【分析】由题意知根据线段间的数量关系得到：，据此即可求解.
12．（2023九上·龙泉期中）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB＝4，∠CAB＝60°，P是弧BC上的一个动点，连结AP，过点C点作CD⊥AP于点D，连结BD，在点P移动的过程中.
（1）AC＝ ；
（2）BD的最小值是 .
【答案】（1）2
（2）
【知识点】勾股定理；圆周角定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：（1）连接BC，如图：
∵AB是半圆O的直径，
∴
∵
∴
∴；
故答案为：2；
（2）以AC为直径作圆O'，连接BO'，BC，如图：
∵
∴
∴在点P移动的过程中，点D在AC为直径的圆上运动，
在中，
∵
∴
在中，
∴当O'，D，B三点共线时，BD最小，最小值为
故答案为：.
【分析】（1）连接BC，根据"直径所对的圆周角为直角"得到：进而结合已知条件求出∠ABC的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质即可求解；
（2）以AC为直径作圆O'，连接BO'，BC，在点P移动的过程中，点D在AC为直径的圆上运动，当O'，D，B三点共线时，BD最小，最小值为利用勾股定理求出BO'的长度，即可求解.
13．（2023·苍溪模拟）如图，线段为的直径，点C在的延长线上，，，点P是上一动点，连接，以为斜边在的上方作Rt，且使，连接，则长的最大值为 ．
【答案】
【知识点】三角形三边关系；含30°角的直角三角形；点与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，作△CEO，使∠CEO=90°，∠ECO=60°，连接OP，
∵AB=4，BC=2，
∴CO=4，
在Rt△COE中，∠OEC=90°，∠ECO=60°，
∴∠EOC=30°，
∴CO=2CE，OE=，
∵∠OCP+∠PCE=∠PCE+∠ECD=60°，
∴∠OCP=∠ECD，
∵∠PDC=90°，∠DCP=60°，
∴CP=2CD，
∴，
∴△COP∽△CED，
∴，
即ED=OP=1，
∵点E是定点，DE是定长，
∴点D在半径为1的圆E上，
∵OD≤OE+DE，
∴，
∴OD的最大值为：.
故答案为：.
【分析】作△CEO，使∠CEO=90°，∠ECO=60°，连接OP，根据含30°角直角三角形的性质得CO=2CE，OE=，CP=2CD，根据角的和差推出∠OCP=∠ECD，进而由有两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得△COP∽△CED，由相似三角形对应边成比例可得ED=OP=1，则点D在半径为1的圆E上，进而根据三角形三边关系及点与圆的位置关系可得答案.
三、解答题
14．如图，A城气象台测得一热带风暴中心O从A城正西方向300km处向东北方向移动，距风暴中心200km的范围内为受影响区域．问：A城是否会受到这次热带风暴的影响？请说明理由．
【答案】解：不会受影响.
过点A作AB⊥OB于点B，如图：
由题意可得，∠BOA=45°，
则BO=AB，
故AO2=BO2+AB2，
即3002=2AB2，
解得：；
∴A城不会受到这次热带风暴的影响．
【知识点】勾股定理的应用；点与圆的位置关系
【解析】【分析】根据题意结合直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方得出A点到OB的最短距离，进而得出答案．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点F为AC中点，⊙O经过点B，F，且与AC交于点D，与AB交于点E，与BC交于点G，连结BF，DE，弧EFG的长度为（1+）π．
（1）求⊙O的半径；
（2）若DE∥BF，且AE=a，DF=2+﹣a，请判断圆心O和直线BF的位置关系，并说明理由．
【答案】解：（1）设⊙O的半径为r，
∵∠ABC=90°
∴弧EFG所对的圆心角的度数为180°，
∴=（1+）π，即r=1+；
（2）答：圆心O在直线BF上．
理由如下：
∵DE∥BF，
∴∠ADE=∠AFB．
∵四边形DEBF是⊙O的内接四边形，
∴∠AFB+∠DEB=180°．
∵∠AED+∠DEB=180°，
∴∠AFB=∠AED，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE=a．
∵DF=2+﹣a，
∴AF=AD+DF=2+．
在Rt△ABC中，∠ABC=90°且F为AC中点，
∴BF=AF=2+．
∵r=1+ ，
∴BF=2r．
∵B、F都在⊙O上，
∴BF为⊙O直径，
∴点O在直线BF上．
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）设⊙O的半径为r，再根据弧长公式即可得出结论；
（2）先根据DE∥BF得出∠ADE=∠AFB，再根据圆内接四边形的性质得出∠AFB+∠DEB=180°，进而得出AF的长．在Rt△ABC中，根据直角三角形的性质求出BF的长，再由B、F都在⊙O上即可得出结论．
四、综合题
16．（2022·郴州）如图1，在矩形ABCD中， ， .点E是线段AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作 ，交AB于点F.
（1）求证： ；
（2）如图2，连接CF，过点B作 ，垂足为G，连接AG.点M是线段BC的中点，连接GM.
①求 的最小值；
②当 取最小值时，求线段DE的长.
【答案】（1）证明：如图1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
（2）解：①解：如图2-1，连接AM.
∵ ，
∴ 是直角二角形.
∴ .
∴点G在以点M为圆心，3为半径的圆上.
当A，G，M三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得： ，
当A，G，M三点共线时， .
此时， 取最小值.在 中， .
∴ 的最小值为5.
②（求AF的方法一）如图2-2，过点M作 交FC于点N，
∴ .
∴ .
设 ，则 ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由①知 的最小值为5、即 ，
又∵ ，
∴ .
∴ ，解得 ，即 .
（求AF的方法二）
如图2-3，过点G作 交BC于点H.
∴ .
∴ ，
由①知 的最小值为5，即 ，
又∵ ，
∴ .
∴ ， .
由 得 ，
∴ ，即 ，
解得 .
∴ .
由（1）的结论可得 .
设 ，则 ，
∴ ，
解得 或 .
∵ ， ，
∴ 或 .
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；矩形的性质；点与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得∠A=∠D=90°，根据同角的余角相等可得∠DCE=∠AEF，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（2）①连接AM，易得△BGC是直角二角形，由直角三角形斜边上中线性质得BM=CM=GM=3，推出点G在以点M为圆心，3为半径的圆上，故当A，G，M三点共线时，AG+GM=AM，此时AG+GM最小，利用勾股定理求解即可；
②过点M作MN∥AB交FC于点N，证明△CMN∽△CBF，设AF=x，则BF=4-x，根据相似三角形的性质可得MN=BF=(4-x)，证明△AFG∽△MNG，由①知AG+GM的最小值为5，即AM=5，则AG=2，根据相似三角形的性质可得x的值，由（1）的结论可得，设DE=y，则AE=6-y，根据相似三角形的性质可得y的值，据此解答.
17．（2022·沭阳模拟）如图1，在矩形ABCD中，E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接DF、EF，H为DF中点，连接GH，将绕点B旋转.
（1）当旋转到如图2的位置，连接AF、CE，若，且，则 ， ；
（2）已知.
①当旋转到如图3位置时，连接CE，猜想GH与CE之间的数量关系和位置关系，并说明理由.
②在旋转过程中，射线GH，CE相交于点Q，连接AQ，AQ有最小值吗？若有，请直接写出AQ的最小值；若没有，请说明理由.
【答案】（1）2；1
（2）解：①猜想，理由如下，
如图，连接AF，延长CE交AF于N，交AB于M，
，E，F分别为边BC，AB的中点，
，
由旋转可知：，
，
又，
；
，
设，
点G是AD的中点，点H是DF的中点，
，
，
，
，
，
即，
，
；
②有最小值，理由如下：
如图，延长GH和CE交于点Q，连接CG，取CG的中点O，
由①知CE⊥GH，即∠CEG=90°，
则Q点在以CG为直径的圆上，
当A、Q、O三点共线时，AQ最短，
作于，
∴，
∴OP是△CGD的中位线，
∴ ， ，
∴AP=AG+GP=2+1=3，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】点与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）∵∠CBE+∠CBF=∠CBF+∠ABF=90°，
∴∠CBE=∠ABF，
∵AB=BC，E、F分别是BC、AC的中点，
∴BF=BE，
在△ABF和△CBE中， ，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴AF=CE=2，
∵G、H分别是AD和DF的中点，
∴GH是△ADF的中位线，
∴
故答案为：2，1；
【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠CBE=∠ABF，根据AB=BC结合中点的概念可得BF=BE，证明△ABF≌△CBE，得到AF=CE=2，易得GH是△ADF的中位线，据此求解；
（2）①连接AF，延长CE交AF于N，交AB于M，根据中点的概念可得BF、BE，由旋转可知∠ABC=∠FBE=90°，证明△ABF∽△CBE，根据相似三角形的性质可得，∠BAF=∠BCE，设AF=3x，CE=4x，易得GH为△ADF的中位线，则GH∥AF，GH=AF=x，则CE=GH，易得∠ANC=90°，结合GH∥AF可得结论；
②延长GH和CE交于点Q，连接CG，取CG的中点O，则Q点在以CG为直径的圆上，当A、Q、O三点共线时，AQ最短，作OP⊥GD于P，则OP是△CGD的中位线，OP=CD=，GP=GD=1，由AP=AG+GP可得AP，利用勾股定理可得OA、CG，据此求解.
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