数学（苏教版）选修2-3导学案：24　二项分布

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2.4　二项分布
学习目标 重点、难点
1．理解独立重复试验的模型及二项分布；2．能利用二项分布解决一些简单的实际问题. 重点：独立重复试验及二项分布．难点：利用二项分布解决实际问题.
独立重复试验及二项分布
1．一般地，由n次试验构成，且每次试验相 ( http: / / www.21cnjy.com )互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与，每次试验中P(A)＝p＞0，我们将这样的试验称为n次独立重复试验，也称为伯努利试验．21世纪教育网版权所有
2．若随机变量X的分布列为P(X＝k)＝C ( http: / / www.21cnjy.com )pkqn－k，其中0＜p＜1，p＋q＝1，k＝0,1,2，…，n，则称X服从参数n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．21·cn·jy·com
预习交流
下列随机变量服从二项分布吗？如果服从，其参数各为多少？
(1)100件产品有3件不合格品，每次取一件，有放回地抽取三次，取得不合格品的件数；
(2)一个箱子内有三个红球，两个白球，从中依次取2个球，取得白球的个数．
提示：(1)服从二项分布，其参数n＝3，p＝；
(2)不服从二项分布，因为每次取得白球的概率不相同．
在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
我的学困点 我的学疑点
一、独立重复试验概率的求法
某气象站天气预报的准确率为80%，计算，
(1)5次预报中恰有2次准确的概率；
(2)5次预报中至少有2次准确的概率；
(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．
思路分析：由于5次预报是相互独立的，且结果只有两种(准确或不准确)，符合独立重复试验模型．
解：(1)记预报一次准确为事件A，则P(A)＝0.8.5次预报相当于5次独立重复试验．
2次准确的概率为：P＝C0.82×0.23＝0.051 2≈0.05.
(2)“5次预报中至少有2次准确”的反面为“5次预报都不准确或只有1次准确”．
其概率为P(X＝0)＋P(X＝1)＝C0.25＋C0.81×0.24＝0.006 72≈0.01.
所以所求概率为1－P＝1－0.01＝0.99.
(3)说明1,2,4,5次恰有1次准确．
所以P＝C0.8×0.23×0.8＝0.020 48≈0.02.
所以恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02.
射击运动员在双向飞碟比赛中，每轮比赛连续发 ( http: / / www.21cnjy.com )射两枪，击中两个飞碟得2分，击中一个飞碟得1分，不击中飞碟得0分，某射击运动员在每轮比赛连续发射两枪时，第一枪命中率为，第二枪命中率为，该运动员进行2轮比赛．21·世纪*教育网
(1)求该运动员得4分的概率为多少？
(2)若该运动员所得分数为X，求X的分布列？
解：(1)记“运动员得4分”为事件A，则
P(A)＝×××＝.
(2)X的可能取值为0,1,2,3,4.
P(X＝0)＝P(X＝4)＝；
P(X＝1)＝P(X＝3)＝C3＋C3＝；
P(X＝2)＝4＋4＋422＝；
∴X的分布列如表：
X 0 1 2 3 4
P
(1)独立重复试验必须满 ( http: / / www.21cnjy.com )足两个特征：①每次试验的条件都完全相同，有关事件的概率保持不变；②各次试验的结果互不影响，即各次试验相互独立．并且独立重复试验的每次试验只有两个可能的结果，发生与不发生、成功与失败等．21教育网
(2)独立重复试验的实际原型是有放回地抽样检验问题.
二、二项分布的实际应用
某大厦的一部专用电梯从底层出发后只能在 ( http: / / www.21cnjy.com )第18,19,20层可以停靠，若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求随机变量X的分布列．21cnjy.com
思路分析：每位乘客在每一层下电梯的概率都是，服从二项分布，利用二项分布的概率公式求解．
解：考查每一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，5位乘客即5次独立重复试验．
即X～B，也就是P(X＝k)＝Ck5－k，k＝0,1,2,3,4,5.从而X的分布列如表：
X 0 1 2 3 4 5
P
某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2 min.www.21-cn-jy.com
(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率．
(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min的概率．
解：(1)记“这名学生在上学路上到 ( http: / / www.21cnjy.com )第三个路口时首次遇到红灯”为事件A.因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口都没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”．所以事件A发生的概率为P(A)＝××＝.2·1·c·n·j·y
(2)记“这名学生在上学路上遇到红 ( http: / / www.21cnjy.com )灯停留的总时间至多是4 min”为事件B，“这名学生在上学路上遇到k次红灯”为事件Bk(k＝0,1,2,3,4)．【来源：21·世纪·教育·网】
由题意得P(B0)＝4＝，P(B1)＝C×1×3＝，P(B2)＝C×2×2＝.
由于事件B等价于事件“这名学生在上学路上至多遇到2次红灯”，所以事件B发生的概率为P(B)＝P(B0)＋P(B1)＋P(B2)＝.www-2-1-cnjy-com
对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为某一事件的某一类型，最后选用相应的恰当的公式去求解．2-1-c-n-j-y
1．将一枚硬币连掷5次，如果出现k次正面的概率等于出现k＋1次正面的概率，则k＝__________.　　21*cnjy*com
答案：2
解析：依题意有C×k5－k＝C×k＋15－(k＋1)，所以C＝C，∴k＝2.
2．把10个骰子全部投出，设出现6点的骰子的个数为X，则P(X≤2)＝__________.(用式子表示)【来源：21cnj*y.co*m】
答案：10＋C19＋C28
解析：由题意知X～B，
∴P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝10＋C19＋C28.
3．若随机变量X～B，则P(X＝k)最大时，k＝__________.
答案：1或2
解析：依题意P(X＝k)＝C×k5－k(k＝0,1,2,3,4,5)．
可以求得P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，P(X＝5)＝，故当k＝1或2时，P(X＝k)最大．【出处：21教育名师】
4．某处有供水龙头5个，调查表明每个水龙头被打开的概率为，随机变量X表示同时被打开的水龙头的个数，则P(X＝3)＝__________.【版权所有：21教育】
答案：0.008 1
解析：由题意X～B，
∴P(X＝3)＝C32＝0.008 1.
5．在甲、乙两个队的乒乓球比赛中，比赛的规则是“五局三胜制”，现有甲、乙两队获胜的概率分别为和.21教育名师原创作品
(1)若前2局乙队以2∶0领先，求最后甲、乙两队各自获胜的概率；
(2)求乙队以3∶2获胜的概率．
解：(1)由于前2局乙队以 ( http: / / www.21cnjy.com )2∶0领先，即乙队已经赢了2局，所以甲队要想获胜，须在余下的3局中全部获胜，才能最终获胜，所以甲队获胜的概率是P1＝3＝；
从而乙队获胜的概率为P2＝1－P1＝1－＝.
(2)依题意，乙队以3∶ ( http: / / www.21cnjy.com )2获胜时，第五局必为乙队获胜，且在前4局中乙队有2局获胜(甲队也有2局获胜)，故乙队以3∶2获胜的概率为P＝C×2×2×＝.
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