数学（苏教版）选修2-3导学案：26　正态分布

2.6　正态分布
学习目标 重点、难点
1．了解正态分布的广泛应用性；2．能说出正态分布的参数μ，σ对正态分布曲线形状与位置的影响；3．会用正态分布的几个特殊概率值计算相关的概率并应用于实际问题. 重点：认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的几何意义．难点：求满足标准正态分布的随机变量X在某一范围内的概率值.
1．正态密度曲线
在频率分布直方图中，若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布直方图上的频率折线就将趋于一条光滑的曲线，我们将此曲线称为概率密度曲线．
函数的表达式是，x∈R，此函数为正态分布密度函数．它所表示的曲线叫正态密度曲线．这里有两个参数μ和σ，其中σ＞0，μ∈R，不同的μ和σ对应着不同的正态密度曲线．
预习交流1
正态分布密度曲线与μ，σ的关系是怎样的？
提示：①正态曲线关于直线x＝μ对称；②当 ( http: / / www.21cnjy.com )x＜μ时，曲线上升，当x＞μ时曲线下降；③曲线的形状由σ确定，σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡．
2．正态分布密度函数的性质
若X是一个随机变量，则对任给区间(a，b] ( http: / / www.21cnjy.com )，P(a＜X≤b)恰好是正态密度曲线下方和x轴上(a，b]上方所围成的图形面积，我们称随机变量X服从参数为μ和σ2的正态分布，简记为X～N(μ，σ2)．
随机变量X取值落在区间(μ－σ，μ＋σ)上的概率约为68.3%，
落在区间(μ－2σ，μ＋2σ)上的概率约为95.4%，
落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率约为99.7%.
预习交流2
若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)的几何意义是什么？
提示：表示X取值落在区间(μ－σ，μ＋σ)的概率和正态曲线与X＝μ－σ，X＝μ＋σ以及x轴所围成的图形的面积，大约是68.3%.
在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
我的学困点 我的学疑点
1．正态分布密度函数
下列函数中哪个是正态分布密度函数__________．
①；②；
③；④.
思路分析：正态密度函数的表达式为，凡符合此表达式的均为正态分布密度函数．
答案：②
解析：①是错误的，错在系数部分中的σ应在分母的根号外．
②是正确的，它是正态分布密度函数，其中μ＝0，σ＝1.
③是错误的，从系数部分看σ＝2，可从指数部分看σ＝，不统一．
④是错误的，指数部分缺少一个负号．
设一正态总体，它的概率密度曲线是函数的图象，则这个正态总体的均值与方差分别是：μ＝__________，σ2＝__________.
答案：10　4
解析：对比正态密度函数知，μ＝10，σ2＝4.
对于正态分布密度函数，x∈(－∞，＋∞)，不但要熟记它的解析式，而且要知道其中字母是变量还是常量，还要注意指数上的σ和系数的分母上σ是一致的，且指数部分是一个负数.
2．正态分布密度函数的性质
设ξ～N(1,22)，求P(3＜ξ≤5)．
思路分析：要求随机变量ξ在某一范围内的概率 ( http: / / www.21cnjy.com )，只需借助于正态密度曲线的图象性质以及常见的区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)的概率值进行转化求值．
解：∵P(3＜ξ≤5)＝P(－3＜ξ≤－1)，
∴P(3＜ξ≤5)＝[P(－3＜ξ≤5)－P(－1＜ξ≤3)]
＝[P(1－4＜ξ≤1＋4)－P(1－2＜ξ≤1＋2)]
＝[P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)]
＝×(0.954－0.683)＝0.135 5.
设ξ～N(1,22)，则P(ξ≥5)＝__________.
答案：0.023
解析：∵P(ξ≥5)＝P(ξ≤－3)，
∴P(ξ≥5)＝[1－P(－3＜ξ≤5)]
＝[1－P(1－4＜ξ≤1＋4)]
＝[1－P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)]
＝×(1－0.954)＝0.023.
解答此类题的关键在于充分利 ( http: / / www.21cnjy.com )用正态分布曲线的对称性，把待求区间的概率向已知区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率进行转化．
3．正态分布的实际应用
在某次数学考试中，考生的成绩X服从一个正态分布，即X～N(90,100)．
(1)试求考试成绩X位于区间(70,110)上的概率；
(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)内的考生大约有多少人？
思路分析：正态分布已经确定，则总体的期望μ和方差σ就可以求出，根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解．
解：∵X～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝＝10.
(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ ( http: / / www.21cnjy.com )＋2σ)内取值的概率是0.954，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩X位于区间(70,110)内的概率为0.954.
(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.
由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率为0.683，
所以考试成绩X位于区间(80,100)内的概率为0.683.
一共有2 000名考生，所以考试成绩在(80,100)内的考生大约有2 000×0.683＝1 366(人)．
某厂生产的圆柱形零件的外径X～N( ( http: / / www.21cnjy.com )4,0.25)，质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7，试问该厂生产的这批零件是否合格？
解：由于圆柱形零件的外径X～N(4 ( http: / / www.21cnjy.com ),0.25)，由正态分布的特征可知，正态分布N(4,0.25)在区间(4－3×0.5，4＋3×0.5)即(2.5,5.5)之外的取值概率只有0.003，而5.7 (2.5,5.5)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据小概率事件原理，认为该厂的这批产品是不合格的．
解答这类问题的关键是熟记正态变量的取值位于区 ( http: / / www.21cnjy.com )间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率值，同时又要根据已知的正态分布确定所给区间．
1．已知X～N(0,1)，则X在区间(－∞，－2)内取值的概率为__________．
答案：0.023
解析：∵X～N(0,1)，
∴P(X≤－2)＝[1－P(－2＜X＜2)]
＝[1－P(0－2×1＜X＜0＋2×1)]，
又知P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954，
∴P(X≤－2)＝×(1－0.954)＝0.023.
2．已知ξ～N(0，σ2)，且P(－2≤ξ≤0)＝0.4，则P(ξ＞2)＝__________.
答案：0.1
解析：由ξ～N(0，σ2)，知图象关于x=0对称．
∴P(－2≤ξ≤0)＝P(0≤ξ≤2)＝0.4，
而P(ξ≥0)＝0.5，
∴P(ξ＞2)＝P(ξ≥0)－P(0≤ξ≤2)＝0.5－0.4＝0.1.
3．已知X～N(1，σ2)，P(X≥2)＝0.1，则P(0＜X＜2)＝__________.
答案：0.8
解析：由X～N(1，σ2)可知，密度函数关于x=1对称．
∵X～N(1，σ2)，故X落在(0,1)及(1,2)内的概率相同均为0.5－P(X≥2)=0.4，
∴P(0＜X＜2)=P(0＜X＜1)+P(1＜X＜2)=0.4+0.4=0.8.
4．随机变量X～N(1,22)，则V＝__________.
答案：1
解析：∵X～N(1,22)，∴V(X)＝22＝4.
∴V＝V(X)＝×4＝1.
5．某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间
X(分钟)服从正态分布N( ( http: / / www.21cnjy.com )5,1)；第二条路较长不拥挤，X服从N(6,0.16)．有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？
解：还有7分钟时，若选第 ( http: / / www.21cnjy.com )一条路线，X服从N(5,1)，能及时到达的概率P1＝P(X≤7)＝P(X≤5)＋P(5＜X＜7)＝＋P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)；
若选第二条路线，X服从N(6,0.16 ( http: / / www.21cnjy.com ))，能及时到达的概率P2＝P(X≤7)＝P(X≤6)＋P(6＜X＜7)＝＋P(μ－2.5σ＜X≤μ＋2.5σ)，
所以P1＜P2，选第二条路线．
同理，还有6.5分钟时，选第一条路线．
用精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来，并进行识记．
知识精华 技能要领