2023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 29.3 切线的性质与判定同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023·怀化模拟） 如图，、、是的切线，切点分别是、、若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】切线的性质；线段的计算
【解析】【解答】解：由题意可得：
AC=AP=6，BP=BD
∴BD=BP=AB-AP=4
故答案为：B
【分析】根据切线性质即可求出答案。
2．（2023·哈尔滨）如图，是的切线，A为切点，连接﹐点C在上，，连接并延长，交于点D，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：∵AB是圆O的切线，且A为切点，
∴AB⊥OA，
又∵OC⊥OA，
∴AB∥OC，
∴∠OCD=∠B=65°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=65°，
∴∠DOC=180°-∠OCD-∠ODC=50°.
故答案为：B.
【分析】根据圆的切线垂直于经过切点的半径可得AB⊥OA，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得AB∥OC，由二直线平行，同位角相等得∠OCD=∠B=65°，由等边对等角得∠OCD=∠ODC=65°，进而根据三角形的内角和定理可算出∠DOC的度数.
3．（2023·昆明模拟）如图，在矩形中，，以的中点为圆心，以长为半径画弧与相切于点，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】切线的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵以长为半径画弧与相切于点，，
∴OA=OD=AB=4，
∴，
故答案为：D.
【分析】先根据切线的性质即可得到OA=OD=AB=4，再根据结合题意即可求解。
4．（2023·莲湖模拟）下列语句中正确的是（ ）
A．长度相等的两条弧是等弧
B．圆上一条弧所对的圆心角等于它所对圆周角的一半
C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线
D．三角形有且只有一个外接圆
【答案】D
【知识点】圆的认识；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的判定
【解析】【解答】解： A、长度相等的弧叫做等弧这个说法错误，应该是完全重合的两条弧叫做等弧，故A不符合题意；
B、圆上一条弧所对的圆心角等于它所对圆周角的一半这个说法错误，应该是同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，故B不符合题意；
C、垂直于圆的半径的直线是圆的切线这个说法错误，应该是垂直于圆的半径的外端点的直线是圆的切线，故C不符合题意；
D、三角形有且只有一个外接圆正确这个说法正确，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】完全重合的两条弧叫做等弧，据此判断A选项；同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，据此判断B选项；垂直于圆的半径的外端点的直线是圆的切线，据此判断C选项；由不在同一直线上的三点确定一个圆可得三角形有且只有一个外接圆正确，据此判断C选项
5．（2023九下·婺城月考）依据圆规作图的痕迹，可以用没有刻度的直尺确定的内心的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的内切圆与内心；作图-垂线；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：三角形内心是三角形三条角平分线的交点，
A、由作图痕迹可得作的是BC边的垂直平分线及过点C作的AB边上的垂线，故此选项不符合题意；
B、由作图痕迹可得作的是AB边的垂直平分线及以及∠BAC的角平分线，故此选项不符合题意；
C、由作图痕迹可得作的是BC、AB边的垂直平分线，故此选项不符合题意；
D、由作图痕迹可得作的是∠A及∠B的角平分线，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】由于三角形内心是三角形三条角平分线的交点，故根据尺规作图判断出各个选项中分别作的是什么，从而即可判断得出答案.
6．中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志.如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°.若圆曲线的半径OA=1.5 km，则这段圆曲线即的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵AC、BC均为圆的切线
∴∠OAC=∠OBC=90°
∵α=60°
∴∠ACB=120°
∴∠AOC=360°-∠ACB-∠OAC-∠OBC=360°-120°-90°-90°=60°
∴
故答案为：B.
【分析】根据切线的性质，可得∠OAC=∠OBC=90°，因为α=60°，故∠ACB=120°.四边形的内角之和为360°，可推出∠AOC=60°，由弧长公式可得 的弧长为.
7．（2023九上·阜阳月考）已知是边长为3的等边三角形，的半径为1，D是上一动点，分别与相切于点的另一条切线交于点，切点为，则周长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂线段最短；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，连接分别切于点，．
同理的周长．
在中，点与点或点重合时，取得最大值．；
当点是的中点时，取得最小值．是等边三角形，．
在中，，，
．
故答案为：C．
【分析】根据切线长定理和切线的性质求解。连接，，由切线长定理和切线性质、勾股定理求得，根据垂线段最短可得，当时，最小，求出最小值为，当点D与点B（或C）重合时，AD最长，此时，即可得出，从而可求得l最大与是最小值，即可得出答案．
8．（2018·深圳）如图，一把直尺， 60°的直角三角板和光盘如图摆放， A为 60°角与直尺交点， AB=3 ，则光盘的直径是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【知识点】切线的性质；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：设光盘切直角三角形斜边于点C，连接OC、OB、OA（如图），
∵∠DAC=60°，
∴∠BAC=120°.
又∵AB、AC为圆O的切线，
∴AC=AB，∠BAO=∠CAO=60°，
在Rt△AOB中，
∵AB=3，
∴tan∠BAO= ，
∴OB=AB×tan∠60°=3 ，
∴光盘的直径为6 .
故答案为：D.
【分析】设光盘切直角三角形斜边于点C，连接OC、OB、OA（如图），根据邻补角定义得∠BAC=120°，又由切线长定理AC=AB，∠BAO=∠CAO=60°；在Rt△AOB中，根据正切定义得tan∠BAO= ，代入数值即可得半径OB长，由直径是半径的2倍即可得出答案.
二、填空题
9．（2022·孝义模拟）如图，是的切线，，交圆O于点C，若，则扇形的面积为 ．
【答案】
【知识点】切线的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵AB是的切线
∴∠OAB=90°
∴∠O=90°-∠B=50°
∴扇形的面积．
故答案为．
【分析】先求出∠O=90°-∠B=50°，再利用扇形面积公式求解即可。
10．（2023·安岳模拟）如图，、是的两条直径，切于点，交的延长线于点．若，则的度数为 ．
【答案】60°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：由题意可知，∠ABC=75°， 、是的两条直径
∴∠COB=∠AOE=30°
又 切于点 ， 交的延长线于点
∴∠EAB=90°，则∠E=60°
故答案为60°
【分析】根据等腰三角形的性质，求出∠COB=∠AOE=30°，再根据切线的相关性质得出∠EAB=90°，最后根据三角形内角和得出∠E=60°。
11．（2023九上·兰溪月考）图1是修正带实物图，图2是其示意图，使用时⊙B上的白色修正物随透明条（载体）传送到点O处进行修正，留下来的透明条传到⊙A收集.即透明条的运动路径为：M→C→O→P→N.假设O，P，A，B在同一直线上，BC＝3cm，AC＝4cm，AC⊥BC，AD⊥OC于点D，＝，P为OA中点.
（1）点B到OC的距离为 cm.
（2）若⊙A的半径为1cm，当留下的透明条从点O出发，第一次传送到⊙A上某点，且点B到该点距离最小时，最多可以擦除的长度为 cm.
【答案】（1）
（2）
【知识点】勾股定理；切线的性质；弧长的计算；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1）过点B作BH⊥OC，交OC的延长线与点H，如下图：
∵AC⊥BC，BH⊥OC
∴∠ACO+∠BCH=∠BCH+∠CBH=∠H=∠ACB=90°
∴∠ACO=∠CBH
∴△ACD∽△BCH
∴
∵AD⊥OC， ＝ 即CD=3AD且AC=4cm；
∴，解得AD=cm；
∴CD=cm
∴BH=CD÷=÷=cm
故答案为：.
（2）∵AC⊥BC，AC=4cm，BC=3cm；
∴AB=5cm
∵AD⊥OC，BH⊥OC
∴
∴OA=4cm=AC
∵PN是圆A的切线
∴AN=1cm，AN⊥PN
∵点P是OA的中点
∴OP=PA=2cm
∴∠APN=30°，即∠PAN=60°，PN=cm；
∴∠EAN=120°
∴弧EN的长=（cm）
∴最多可擦除的长度=OP+PN+弧EN的长=2++（cm）.
故答案为：.
【分析】（1）根据三角形相似的判定和性质，可得；根据勾股定理，可以求出BH的值；
（2）根据勾股定理，可得AB的值；根据三角形相似的判定和性质，可得；根据圆的切线性质以及中点性质，可得OP=PA=2cm；根据含30°角的直角三角形的性质，可得∠APN=30°，即∠PAN=60°，PN=cm；根据弧长计算公式，可得弧EN的长；最后根据代数式求值，即可求出最多可擦除的长度.
12．（2023·滨州）如图，分别与相切于两点，且．若点是上异于点的一点，则的大小为 ．
【答案】或
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接CA，CB，如图所示：
当点C位于优弧AB上时，
∵分别与相切于两点，且，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-56°=124°，
∴∠ACB=62°，
当点C（C'）位于劣弧AB上时，
∠AC'B=180°-62°=118°，
综上所述，的大小为或，
故答案为：或
【分析】连接CA，CB，然后进行分类讨论：①当点C位于优弧AB上时，根据切线的性质即可得到∠AOB的度数，进而根据圆周角定理即可求解；②当点C（C'）位于劣弧AB上时，运用圆内接四边形的性质结合题意即可求解。
13．（2023九上·兰山月考）发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图．图②中，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点C、D是直线l与的交点；当点A运动到E时，点B到达C；当点A运动到F时，点B到达D．若，，则下列结论①；②；③当与相切时，；④当时，．正确的结论有 ．
【答案】①③
【知识点】勾股定理的应用；切线的性质；线段的计算
【解析】【解答】解：由题意可得：，，，，
∴，故①正确；
，故②错误；
如图，当与相切时，
∴，
∴，
∴，故③正确；
当时，如图，
∴，
∴，，
∴，故④错误．
综上可知正确的结论有①③．
故答案为：①③．
【分析】根据题意可得：，，，，由此可求得，故①正确；进一步求得，故②错误；当与相切时，利用勾股定理求得，可得，故③正确；当时，利用勾股定理求得，进一步求得，，故④错误；从而得出结论.
三、解答题
14．（2023九上·重庆市月考）如图，已知为的直径，是的切线，A为切点，C为点，连接、，且．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：连接，如图，
与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
是的切线；
（2）解：连接，如图，
是的直径，
，
∵，，
∴，
，
，
∵，
∴，
的长．
【知识点】切线的判定与性质；弧长的计算
【解析】【分析】（1） 连接， 由题意的OC为 的半径，证明 即可求解（可概括为“点在圆上，连半径，证垂直即可”）；
（2） 连接， 利用直径所对的圆周角是直角求得 ，结合条件可得，，
，再求得OB,OC的长，利用弧长公式计算即可求解.
15．（2023九上·绥阳期中）如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C，
（1）若∠ADE＝28°，求∠C的度数；
（2）若AC＝6，CE＝3，求⊙O半径的长．
【答案】（1）解：如图，连接OA，
∵∠ADE＝28°，
∴由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ADE＝56°，
∵AC切⊙O于A，
∴∠OAC＝90°，
∴∠C＝180°﹣∠AOC﹣∠OAC＝180°﹣56°﹣90°＝34°；
（2）解：设OA＝OE＝r，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：OA2+AC2＝OC2，
即r2+62＝（r+3）2，
解得：r＝，
答：⊙O半径的长是．
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；圆周角定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）首先根据圆周角定理求得∠AOC=2∠ADE=56°，连接OA，再根据切线的性质定理，求得∠OAC=90°，最后根据三角形内角和定理饥渴求得∠C的度数；
（2） 设OA＝OE＝r，在Rt△OAC中，由勾股定理得：OA2+AC2＝OC2，即r2+62＝（r+3）2， 解方程即可得出 ⊙O半径的长．
四、综合题
16．（2023九上·章贡期中）如图1，已知是的内接三角形，AB为直径，，D为上一点.
图1 图2
（1）当点D为的中点时，连接DB，DC，求和的大小；
（2）如图2，过点D作的切线，与AB的延长线交于点P，且，连接DC，OC，求的大小.
【答案】（1）解：如图1，连接OD，
图1
∵AB是的直径，
∴.
∵，
∴.
∵D为的中点，
∴.
∴.
∴.
（2）解：如图2，连接OD，
图2
∵，，
∴，.
设.
∴.
∵DP为的切线，
∴.
∴.
∵，
∴.
即，
解得：.
∴.
【知识点】圆周角定理；切线的性质；圆的综合题；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理求解。先利用圆周角定理得到，则利用互余可计算出；再根据圆周角定理由点D为的中点得到，所以；
（2）根据切线的性质和等腰三角形的性质求解。连接，如图，先根据平行线的性质得到，再根据切线的性质得到，则可计算出，接着根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，所以，然后计算的度数．
17．（2019九上·云安期末）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于E，与AB的延长线相交于点F，G为AB的下半圆弧的中点，DG交AB于H，连接DB、GB．
（1）证明EF是⊙O的切线；
（2）求证：∠DGB=∠BDF：
（3）已知圆的半径R=5，BH=3，求GH的长．
【答案】（1）证明：连接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA
又∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠CAD
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AE，
又∵EF⊥AE，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线
（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°
∴∠DAB+∠OBD＝90°
由（1）得，EF是⊙O的切线，∴∠ODF＝90°
∴∠BDF+∠ODB＝90°
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD
∴∠DAB＝∠BDF
又∠DAB＝∠DGB
∴∠DGB＝∠BDF
（3）解：连接OG，∵G是半圆弧中点，
∴∠BOG＝90°
在Rt△OGH中，OG＝5，OH=OB－BH=5－3=2.
∴
【知识点】垂径定理的应用；切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OD，
D在⊙O上，通过证明OD∥AE，得到EF⊥AE，OD⊥EF，即得EF是⊙O的切线；
（2）通过等角的余角相等可得
∠DAB＝∠BDF，再根据同弧所对的圆周角相等即可得到∠DAB＝∠DGB，即得∠DGB＝∠BDF；
（3）由垂径定理可得
∠BOG＝90°，再利用勾股定理即可求出GH长。
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 29.3 切线的性质与判定同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023·怀化模拟） 如图，、、是的切线，切点分别是、、若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·哈尔滨）如图，是的切线，A为切点，连接﹐点C在上，，连接并延长，交于点D，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·昆明模拟）如图，在矩形中，，以的中点为圆心，以长为半径画弧与相切于点，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·莲湖模拟）下列语句中正确的是（ ）
A．长度相等的两条弧是等弧
B．圆上一条弧所对的圆心角等于它所对圆周角的一半
C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线
D．三角形有且只有一个外接圆
5．（2023九下·婺城月考）依据圆规作图的痕迹，可以用没有刻度的直尺确定的内心的是（ ）
A． B．
C． D．
6．中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志.如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°.若圆曲线的半径OA=1.5 km，则这段圆曲线即的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·阜阳月考）已知是边长为3的等边三角形，的半径为1，D是上一动点，分别与相切于点的另一条切线交于点，切点为，则周长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2018·深圳）如图，一把直尺， 60°的直角三角板和光盘如图摆放， A为 60°角与直尺交点， AB=3 ，则光盘的直径是（ ）
A．3 B． C． D．
二、填空题
9．（2022·孝义模拟）如图，是的切线，，交圆O于点C，若，则扇形的面积为 ．
10．（2023·安岳模拟）如图，、是的两条直径，切于点，交的延长线于点．若，则的度数为 ．
11．（2023九上·兰溪月考）图1是修正带实物图，图2是其示意图，使用时⊙B上的白色修正物随透明条（载体）传送到点O处进行修正，留下来的透明条传到⊙A收集.即透明条的运动路径为：M→C→O→P→N.假设O，P，A，B在同一直线上，BC＝3cm，AC＝4cm，AC⊥BC，AD⊥OC于点D，＝，P为OA中点.
（1）点B到OC的距离为 cm.
（2）若⊙A的半径为1cm，当留下的透明条从点O出发，第一次传送到⊙A上某点，且点B到该点距离最小时，最多可以擦除的长度为 cm.
12．（2023·滨州）如图，分别与相切于两点，且．若点是上异于点的一点，则的大小为 ．
13．（2023九上·兰山月考）发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图．图②中，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点C、D是直线l与的交点；当点A运动到E时，点B到达C；当点A运动到F时，点B到达D．若，，则下列结论①；②；③当与相切时，；④当时，．正确的结论有 ．
三、解答题
14．（2023九上·重庆市月考）如图，已知为的直径，是的切线，A为切点，C为点，连接、，且．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求的长．
15．（2023九上·绥阳期中）如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C，
（1）若∠ADE＝28°，求∠C的度数；
（2）若AC＝6，CE＝3，求⊙O半径的长．
四、综合题
16．（2023九上·章贡期中）如图1，已知是的内接三角形，AB为直径，，D为上一点.
图1 图2
（1）当点D为的中点时，连接DB，DC，求和的大小；
（2）如图2，过点D作的切线，与AB的延长线交于点P，且，连接DC，OC，求的大小.
17．（2019九上·云安期末）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于E，与AB的延长线相交于点F，G为AB的下半圆弧的中点，DG交AB于H，连接DB、GB．
（1）证明EF是⊙O的切线；
（2）求证：∠DGB=∠BDF：
（3）已知圆的半径R=5，BH=3，求GH的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】切线的性质；线段的计算
【解析】【解答】解：由题意可得：
AC=AP=6，BP=BD
∴BD=BP=AB-AP=4
故答案为：B
【分析】根据切线性质即可求出答案。
2．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：∵AB是圆O的切线，且A为切点，
∴AB⊥OA，
又∵OC⊥OA，
∴AB∥OC，
∴∠OCD=∠B=65°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=65°，
∴∠DOC=180°-∠OCD-∠ODC=50°.
故答案为：B.
【分析】根据圆的切线垂直于经过切点的半径可得AB⊥OA，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得AB∥OC，由二直线平行，同位角相等得∠OCD=∠B=65°，由等边对等角得∠OCD=∠ODC=65°，进而根据三角形的内角和定理可算出∠DOC的度数.
3．【答案】D
【知识点】切线的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵以长为半径画弧与相切于点，，
∴OA=OD=AB=4，
∴，
故答案为：D.
【分析】先根据切线的性质即可得到OA=OD=AB=4，再根据结合题意即可求解。
4．【答案】D
【知识点】圆的认识；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的判定
【解析】【解答】解： A、长度相等的弧叫做等弧这个说法错误，应该是完全重合的两条弧叫做等弧，故A不符合题意；
B、圆上一条弧所对的圆心角等于它所对圆周角的一半这个说法错误，应该是同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，故B不符合题意；
C、垂直于圆的半径的直线是圆的切线这个说法错误，应该是垂直于圆的半径的外端点的直线是圆的切线，故C不符合题意；
D、三角形有且只有一个外接圆正确这个说法正确，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】完全重合的两条弧叫做等弧，据此判断A选项；同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，据此判断B选项；垂直于圆的半径的外端点的直线是圆的切线，据此判断C选项；由不在同一直线上的三点确定一个圆可得三角形有且只有一个外接圆正确，据此判断C选项
5．【答案】D
【知识点】三角形的内切圆与内心；作图-垂线；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：三角形内心是三角形三条角平分线的交点，
A、由作图痕迹可得作的是BC边的垂直平分线及过点C作的AB边上的垂线，故此选项不符合题意；
B、由作图痕迹可得作的是AB边的垂直平分线及以及∠BAC的角平分线，故此选项不符合题意；
C、由作图痕迹可得作的是BC、AB边的垂直平分线，故此选项不符合题意；
D、由作图痕迹可得作的是∠A及∠B的角平分线，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】由于三角形内心是三角形三条角平分线的交点，故根据尺规作图判断出各个选项中分别作的是什么，从而即可判断得出答案.
6．【答案】B
【知识点】切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵AC、BC均为圆的切线
∴∠OAC=∠OBC=90°
∵α=60°
∴∠ACB=120°
∴∠AOC=360°-∠ACB-∠OAC-∠OBC=360°-120°-90°-90°=60°
∴
故答案为：B.
【分析】根据切线的性质，可得∠OAC=∠OBC=90°，因为α=60°，故∠ACB=120°.四边形的内角之和为360°，可推出∠AOC=60°，由弧长公式可得 的弧长为.
7．【答案】C
【知识点】垂线段最短；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，连接分别切于点，．
同理的周长．
在中，点与点或点重合时，取得最大值．；
当点是的中点时，取得最小值．是等边三角形，．
在中，，，
．
故答案为：C．
【分析】根据切线长定理和切线的性质求解。连接，，由切线长定理和切线性质、勾股定理求得，根据垂线段最短可得，当时，最小，求出最小值为，当点D与点B（或C）重合时，AD最长，此时，即可得出，从而可求得l最大与是最小值，即可得出答案．
8．【答案】D
【知识点】切线的性质；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：设光盘切直角三角形斜边于点C，连接OC、OB、OA（如图），
∵∠DAC=60°，
∴∠BAC=120°.
又∵AB、AC为圆O的切线，
∴AC=AB，∠BAO=∠CAO=60°，
在Rt△AOB中，
∵AB=3，
∴tan∠BAO= ，
∴OB=AB×tan∠60°=3 ，
∴光盘的直径为6 .
故答案为：D.
【分析】设光盘切直角三角形斜边于点C，连接OC、OB、OA（如图），根据邻补角定义得∠BAC=120°，又由切线长定理AC=AB，∠BAO=∠CAO=60°；在Rt△AOB中，根据正切定义得tan∠BAO= ，代入数值即可得半径OB长，由直径是半径的2倍即可得出答案.
9．【答案】
【知识点】切线的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵AB是的切线
∴∠OAB=90°
∴∠O=90°-∠B=50°
∴扇形的面积．
故答案为．
【分析】先求出∠O=90°-∠B=50°，再利用扇形面积公式求解即可。
10．【答案】60°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：由题意可知，∠ABC=75°， 、是的两条直径
∴∠COB=∠AOE=30°
又 切于点 ， 交的延长线于点
∴∠EAB=90°，则∠E=60°
故答案为60°
【分析】根据等腰三角形的性质，求出∠COB=∠AOE=30°，再根据切线的相关性质得出∠EAB=90°，最后根据三角形内角和得出∠E=60°。
11．【答案】（1）
（2）
【知识点】勾股定理；切线的性质；弧长的计算；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1）过点B作BH⊥OC，交OC的延长线与点H，如下图：
∵AC⊥BC，BH⊥OC
∴∠ACO+∠BCH=∠BCH+∠CBH=∠H=∠ACB=90°
∴∠ACO=∠CBH
∴△ACD∽△BCH
∴
∵AD⊥OC， ＝ 即CD=3AD且AC=4cm；
∴，解得AD=cm；
∴CD=cm
∴BH=CD÷=÷=cm
故答案为：.
（2）∵AC⊥BC，AC=4cm，BC=3cm；
∴AB=5cm
∵AD⊥OC，BH⊥OC
∴
∴OA=4cm=AC
∵PN是圆A的切线
∴AN=1cm，AN⊥PN
∵点P是OA的中点
∴OP=PA=2cm
∴∠APN=30°，即∠PAN=60°，PN=cm；
∴∠EAN=120°
∴弧EN的长=（cm）
∴最多可擦除的长度=OP+PN+弧EN的长=2++（cm）.
故答案为：.
【分析】（1）根据三角形相似的判定和性质，可得；根据勾股定理，可以求出BH的值；
（2）根据勾股定理，可得AB的值；根据三角形相似的判定和性质，可得；根据圆的切线性质以及中点性质，可得OP=PA=2cm；根据含30°角的直角三角形的性质，可得∠APN=30°，即∠PAN=60°，PN=cm；根据弧长计算公式，可得弧EN的长；最后根据代数式求值，即可求出最多可擦除的长度.
12．【答案】或
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接CA，CB，如图所示：
当点C位于优弧AB上时，
∵分别与相切于两点，且，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-56°=124°，
∴∠ACB=62°，
当点C（C'）位于劣弧AB上时，
∠AC'B=180°-62°=118°，
综上所述，的大小为或，
故答案为：或
【分析】连接CA，CB，然后进行分类讨论：①当点C位于优弧AB上时，根据切线的性质即可得到∠AOB的度数，进而根据圆周角定理即可求解；②当点C（C'）位于劣弧AB上时，运用圆内接四边形的性质结合题意即可求解。
13．【答案】①③
【知识点】勾股定理的应用；切线的性质；线段的计算
【解析】【解答】解：由题意可得：，，，，
∴，故①正确；
，故②错误；
如图，当与相切时，
∴，
∴，
∴，故③正确；
当时，如图，
∴，
∴，，
∴，故④错误．
综上可知正确的结论有①③．
故答案为：①③．
【分析】根据题意可得：，，，，由此可求得，故①正确；进一步求得，故②错误；当与相切时，利用勾股定理求得，可得，故③正确；当时，利用勾股定理求得，进一步求得，，故④错误；从而得出结论.
14．【答案】（1）证明：连接，如图，
与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
是的切线；
（2）解：连接，如图，
是的直径，
，
∵，，
∴，
，
，
∵，
∴，
的长．
【知识点】切线的判定与性质；弧长的计算
【解析】【分析】（1） 连接， 由题意的OC为 的半径，证明 即可求解（可概括为“点在圆上，连半径，证垂直即可”）；
（2） 连接， 利用直径所对的圆周角是直角求得 ，结合条件可得，，
，再求得OB,OC的长，利用弧长公式计算即可求解.
15．【答案】（1）解：如图，连接OA，
∵∠ADE＝28°，
∴由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ADE＝56°，
∵AC切⊙O于A，
∴∠OAC＝90°，
∴∠C＝180°﹣∠AOC﹣∠OAC＝180°﹣56°﹣90°＝34°；
（2）解：设OA＝OE＝r，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：OA2+AC2＝OC2，
即r2+62＝（r+3）2，
解得：r＝，
答：⊙O半径的长是．
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；圆周角定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）首先根据圆周角定理求得∠AOC=2∠ADE=56°，连接OA，再根据切线的性质定理，求得∠OAC=90°，最后根据三角形内角和定理饥渴求得∠C的度数；
（2） 设OA＝OE＝r，在Rt△OAC中，由勾股定理得：OA2+AC2＝OC2，即r2+62＝（r+3）2， 解方程即可得出 ⊙O半径的长．
16．【答案】（1）解：如图1，连接OD，
图1
∵AB是的直径，
∴.
∵，
∴.
∵D为的中点，
∴.
∴.
∴.
（2）解：如图2，连接OD，
图2
∵，，
∴，.
设.
∴.
∵DP为的切线，
∴.
∴.
∵，
∴.
即，
解得：.
∴.
【知识点】圆周角定理；切线的性质；圆的综合题；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理求解。先利用圆周角定理得到，则利用互余可计算出；再根据圆周角定理由点D为的中点得到，所以；
（2）根据切线的性质和等腰三角形的性质求解。连接，如图，先根据平行线的性质得到，再根据切线的性质得到，则可计算出，接着根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，所以，然后计算的度数．
17．【答案】（1）证明：连接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA
又∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠CAD
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AE，
又∵EF⊥AE，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线
（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°
∴∠DAB+∠OBD＝90°
由（1）得，EF是⊙O的切线，∴∠ODF＝90°
∴∠BDF+∠ODB＝90°
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD
∴∠DAB＝∠BDF
又∠DAB＝∠DGB
∴∠DGB＝∠BDF
（3）解：连接OG，∵G是半圆弧中点，
∴∠BOG＝90°
在Rt△OGH中，OG＝5，OH=OB－BH=5－3=2.
∴
【知识点】垂径定理的应用；切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OD，
D在⊙O上，通过证明OD∥AE，得到EF⊥AE，OD⊥EF，即得EF是⊙O的切线；
（2）通过等角的余角相等可得
∠DAB＝∠BDF，再根据同弧所对的圆周角相等即可得到∠DAB＝∠DGB，即得∠DGB＝∠BDF；
（3）由垂径定理可得
∠BOG＝90°，再利用勾股定理即可求出GH长。
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