2023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 29.4 切线长定理同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023·长沙模拟）如图，分别与相切于A、B两点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·南沙模拟）根钢管放在V形架内，如图是其截面图，O为钢管的圆心，如果钢管的直径为20cm，∠MPN＝60°，则OP的长度是（ ）
A．40cm B．40cm C．20cm D．20cm
3．（2021九下·渝中月考）如图，PA，PB为⊙O的两条切线，点A，B是切点，OP交⊙O于点C，交弦AB于点D.下列结论中错误的是（ ）
A．PA＝PB B．AD＝BD
C．OP⊥AB D．∠PAB＝∠APB
4．（2020九上·镇原期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝6，则△PCD的周长为（ ）
A．8 B．6 C．12 D．10
5．（2022九上·宁波期中）如图，⊙O与正方形ABCD的两边AB，AD相切，且DE与⊙O相切于E点．若⊙O的半径为4，且AB＝10，则DE的长度为（ ）
A．5 B．6 C． D．
6．（2023·广州）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，若的半径为，，则的值和的大小分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．（2023·武汉）如图，在四边形中，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·衡水模拟）如图，将直尺、含的直角三角尺和量角器按如图摆放，角的顶点A在直尺上读数为4，量角器与直尺的接触点B在直尺上的读数为7，量角器与直角三角尺的接触点为点C，则该量角器的直径是（ ）．
A．3 B． C．6 D．
二、填空题
9．（2021九上·高安期末）如图，中，，，，则的内切圆半径为 ．
10．（2021九上·察哈尔右翼前旗期末）如图，直线AB，CD，BC分别与相切于点E，G，F，且 ，若，，则的长等于 ．
11．（2021九上·呼和浩特期末）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，若OA＝2，∠APB＝60°，则PB＝ ．
12．（2023九上·北京市期中）如图，是的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE为的切线，若的周长为25，BC的长是9，则的周长是 .
13．（2023九上·玉环期中）如图所示，过半径为6cm的⊙O外一点P引圆的切线PA，PB，连接PO交⊙O于F，过F作⊙O的切线，交PA，PB分别于D，E，如果PO=10cm，∠APB=40°，则△PED的周长= ；∠DOE的度数=
三、解答题
14．（2023九上·从江期中）如图所示，PA，PB是☉O的切线，CD切☉O于点E，△PCD的周长为12，∠APB=60°.求：
（1）PA的长；
（2）∠COD的度数.
15．（2023·凤岗模拟）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B，延长BO与PA的延长线交于点D．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若OB＝3，OD＝5，求AB的长．
四、综合题
16．（2023·衢州）如图，在Rt中，为AC边上一点，连结OB.以OC为半径的半圆与AB边相切于点，交AC边于点.
（1）求证：.
（2）若.
①求半圆的半径.
②求图中阴影部分的面积.
17．（2023九下·孝南月考）如图，以矩形ABCD的边CD为直径作，点E是AB的中点，连接CE交于点F，连接AF并延长交BC于点H．
（1）若连接AO，试判断四边形AECO的形状，并说明理由；
（2）求证：AH是的切线；
（3）若，，求AH的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】∵ PA、PB分别于相切于点A、B两点
∴ OB⊥PB，OA⊥PA
∵ ∠APB=70°，四边形内角和360°
∴ ∠AOB=360°-90°-90°-70°=110°
故答案为：B
【分析】本题考查圆的切线定理，熟悉定理内容是关键。根据PA、PB是圆O的两条切线，可得两个直角，根据已知角度，依据四边形内角和360°，可得所求角度值。
2．【答案】D
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：如图，连接OM、ON，
∵圆与V形架的两边相切，且∠MPN＝60°，
∴△OMP是直角三角形，∠OPN=∠OPM=30°，
∵钢管的直径为20cm，ON=10cm，
∴OP=2ON=20cm；
故答案为：D．
【分析】连接OM，ON，先求出∠OPN=∠OPM=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得OP=2ON=20cm。
3．【答案】D
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：由切线长定理可得：∠APO=∠BPO，PA=PB，从而AB⊥OP，AD=BD.
因此A.B.C都正确.
无法得出∠PAB=∠APB，可知：D是错误的.
综上可知：只有D是错误的.
故答案为：D.
【分析】由切线长定理“从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线，平分两条切线的夹角"可得∠APO=∠BPO，PA=PB，由等腰三角形的三线合一可得AB⊥OP，AD=BD；结合各选项可求解.
4．【答案】C
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA＝PB＝6，AC＝EC，BD＝ED，
∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝6+6＝12，
即△PCD的周长为12，
故答案为：C.
【分析】由切线长定理可求得PA＝PB，AC＝CE，BD＝ED，则可求得答案.
5．【答案】B
【知识点】正方形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：过O分别作OM⊥AD和ON⊥AB，如下图，
∵⊙O与正方形ABCD的两边AB，AD相切，且DE与⊙O相切于E点，
∴
∵四边形ABCD为正方形，
∴
∵
∴四边形ANOM为正方形，
∵⊙O的半径为4，
∴
∴
∴
故答案为：B.
【分析】过O分别作OM⊥AD和ON⊥AB，根据切线长定理得再根据正方形的性质求出AD和AM，进而求出MD，即可得解.
6．【答案】D
【知识点】圆周角定理；三角形的内切圆与内心；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，连接IE、IF、ID，
∵AC、BC、B分别与圆I相切于点E、D、F，
∴BD=BF，CD=CE，∠IFA=∠IEA=90°，
∴BF+CE-BC=BD+CD-BC=BC-BC=0，
∵ ，∠IFA=∠IEA=90°，
∴∠FIE=180°-，
∴∠EDF=∠FIE=（180°-）= .
故答案为：D.
【分析】连接IE、IF、ID，由切线长定理得BD=BF，CD=CE，∠IFA=∠IEA=90°，根据线段的和差即可求出BF+CE-BC=0；进而根据四边形的内角和定理得∠FIE=180°-，最后根据圆周角定理，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得答案.
7．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：连接DB，DE，
∵，
∴设AB=x，则CD=3x，
∵AD⊥AB，AD是半径，
∴AB是切线，
∵BC是切线，
∴AB=BE=x，∠ABD=∠DBC，∠DEC=90°，
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠DBC=∠BDC，
∴DC=BC=3x，
∴CE=BC-BE=3x-x=2x，
∴，
∴.
故答案为：B
【分析】设AB=x，则CD=3x，连接DB，DE，可证得AB是切线，利用切线长定理可证得AB=BE=x，∠ABD=∠DBC，∠DEC=90°，利用平行线的性质可推出∠ABD=∠DBC=∠BDC，再利用等腰三角形的性质可表示出BC，CE的长；利用勾股定理表示出DE的长；然后利用锐角三角函数的定义可求出sinC的值.
8．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的应用；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】
解：如图，连接OA、OB、OC，
∵AC、AB都与圆相切，
∴OC⊥AC，OB⊥AB，OA平分∠BAC，
∵∠BAC＝180°-60°＝120°，∴∠OAC＝∠OAB＝60°，∴∠AOB＝30°，
∴OA＝2AB＝6，
∴，
∴量角器的直径为.
故答案为：D
【分析】
连接OA，OB，OC，根据切线的性质，切线长定理，含有30°角的直角三角形的性质，勾股定理可求出可求出OB。
9．【答案】2
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：如图，
∵在，，，
∴由勾股定理得：，
∵圆O为的内切圆，
∴，；
四边形是正方形；
由切线长定理，得：，，；
，
即：，
故答案为：2．
【分析】根据切线长定理可得，，，再利用角的运算可得，再求出即可。
10．【答案】10
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：直线AB，CD，BC分别与相切于点E，G，F，且 ，
平分，平分，，
，
，，
故答案为：
【分析】根据切线长的性质可得，再求出，最后利用勾股定理求出BC=10，即可得到。
11．【答案】
【知识点】解直角三角形；切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线
∴PA=PB，且PO平分∠APB
∴∠APO=
∵OA⊥PA
∴
∴
故答案为：
【分析】根据切线的性质可得∠APO=，再结合解直角三角形的方法可得，即可得到。
12．【答案】7
【知识点】三角形的内切圆与内心；切线长定理
【解析】【解答】解由切线长定理得，BF=BG，CM=CG，DF=DN，EN=EM，
∴BF十CM=BG十GC=BC'=9，
∴AF+AM=25-9-9=7，
∴△ADE的周长= AD+ AE+ DE= AD+ DF+ AE+EM=AF+AM= 7
故答案为： 7.
【分析】本题考查的是三角形的内切圆与内心，切线长定理.根据切线长定理得到BF=BG， CM=CG，DF=DN， EN=EM，根据三角形的周长公式求出AF+AM，计算即可.
13．【答案】16cm；70°
【知识点】切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OA、OB，
第一空：∵DA、DF分别切⊙O于A、F两点，EF、EB分别切⊙O于B、F两点，
∴DA=DF，EF=EB，
∴△PED的周长=PD+PE+DE=PD+PE+EF+DF=PD+PE+DA+EB=PA+PB，
∵PA、PB分别切⊙O于A、B两点，
∴PA=PB，
∵OA=6cm，PO=10cm，
∴PA=，
∴△PED的周长=PA+PB=8+8=16（cm）
第二空：∵PA、PB分别切⊙O于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
而∠APB=40°，∠AOB+∠APB+∠PAO+∠PBO=360°，
∴∠AOB=140°，
∵DA、DF分别切⊙O于A、F两点，EF、EB分别切⊙O于B、F两点，
∴∠AOD=∠FOD，∠FOE=∠BOE，
∴∠EOD=∠FOD+∠FOE=∠AOB=70°.
故答案为：16cm，70°.
【分析】第一空：连接OA、OB，根据切线长定理可得DA=DF，EF=EB，在直角三角形POA中，用勾股定理求出AP的值，然后由三角形的周长等于三边之和可求得△PED的周长；
第二空：由圆的切线的性质可得∠PAO=∠PBO=90°，结合四边形的内角和等于360度可求得∠AOB的度数，然后根据切线长定理可求解.
14．【答案】（1）解：∵CA，CE都是圆O的切线，
∴CA=CE，
同理DE=DB，PA=PB.
∴三角形PCD的周长为PD+CD+PC
=PD+PC+CA+BD
=PA+PB
=2PA=12.
即PA的长为6.
（2）解：∵∠P=60°，
∴∠PCE+∠PDE=120°.
∴∠ACD+∠CDB=360°-120°=240°.
∵CA，CE是圆O的切线，
∴∠OCE=∠OCA=∠ACD.
同理∠ODE=∠CDB，
∴∠OCE+∠ODE=(∠ACD+∠CDB)=120°.
∴∠COD=180°-120°=60°.
【知识点】切线的性质；切线长定理
【解析】【分析】（1）利用切线长的性质可得CA=CE，DE=DB，PA=PB，再利用三角形的周长公式及等量代换求解即可；
（2）利用切线长的性质可得 ∠OCE=∠OCA=∠ACD，∠ODE=∠CDB，再求出∠OCE+∠ODE=(∠ACD+∠CDB)=120°，最后求出∠COD=180°-120°=60°即可.
15．【答案】（1）证明：连接OA，
∵AB⊥OP，OB＝OA，
∴∠BOP＝∠AOP，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
在△OBP与△OAP中，
，
∴△OBP≌△OAP（SAS），
∴∠OBP＝∠OAP＝90°，
∴OB⊥PB，
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：∵OD＝5，OA＝OB＝3，
∴在Rt△AOD中，AD＝＝4，
∵PA、PB为⊙O的切线，
∴PA＝PB，
在Rt△DBP中，PD2＝PB2+BD2，即（PB+4）2＝PB2+82，
∴PB＝6，
在Rt△OBP中，OP＝＝＝3，
∵S△BOP＝OP BC＝OB PB，
∴3BC＝3×6，
∴BC＝，
∴AB＝2BC＝．
【知识点】勾股定理；切线的判定与性质；切线长定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）连接OA，根据切线的性质得出∠OAP＝90°，再证出△OBP≌△OAP，得出∠OBP＝∠OAP＝90°，从而得出OB⊥PB，再根据切线的判定定理即可证出PB是⊙O的切线；
（2）根据勾股定理求出PB和OP的长，再根据等积法求出BC的长，即可求出AB的长.
16．【答案】（1）【方法一】证明：如图，连结OD.
∵BD是圆O的切线，D为切点，
.
，
且，
Rt.
；
【方法二】证明：，点C在圆O上，
∴BC是圆O的切线.
∵BD是圆O的切线，
；
（2）解：①如图，连结OD，
∵OB=OA，
∴∠OBD=∠A，
，
.
.
，
.
在Rt△ODA中，∵∠ADO=90°，∠A=30°，
∴AO=2OD，
又∵OD=OE，AO=OE+AE，
∴OE=AE=2，
∴半圆O的半径为2；
②在Rt中，.
.
，
.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；含30°角的直角三角形；切线的判定与性质；扇形面积的计算；切线长定理
【解析】【分析】（1）方法一：连结OD，由切线性质得∠ODB=90°，从而用HL判断出Rt△ODB≌Rt△OCB，得BC=BD；方法二：根据切线的判定定理得BC是圆O的切线，进而根据切线长定理可得结论；
（2）①根据等边对等角、全等三角形的对应角相等及直角三角形的两锐角互余可推出∠OBD=∠OBC=∠A=30°，然后根据含30°角直角三角形的性质可推出OE=AE=2，从而得出答案；
②先用勾股定理算出AD的长，再根据S阴影部分=S△ODA-S扇形ODE，列式计算可得答案.
17．【答案】（1）结论：四边形AECO是平行四边形
理由：∵四边形ABCD是矩形
∴，
又，
∴，
∴四边形AECO是平行四边形
（2）解：由（1）得
∴，
又
∴
则又
∴
∴即又OF是的半径
∴是的切线
（3）由切线长定理可设，
且则
在中，
由得得
∴
【知识点】平行四边形的判定；矩形的性质；切线的判定；切线长定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得AB=CD，AB∥CD，由中点的概念可得AE=AB，CO=CD，推出AE=OC，AE∥OC，然后根据平行四边形的判定定理进行解答；
（2）由平行线的性质可得∠1=∠4，∠2=∠3，由等腰三角形的性质可得∠3=∠4，则∠1=∠2，利用SAS证明△AOD≌△AOF，得到∠AFO=∠ADO=90°，据此证明；
（3）由切线长定理可设AD=AF=x，则BH=x+2，然后在Rt△ABH中，由勾股定理可得x的值，进而可得AH.
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 29.4 切线长定理同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023·长沙模拟）如图，分别与相切于A、B两点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】∵ PA、PB分别于相切于点A、B两点
∴ OB⊥PB，OA⊥PA
∵ ∠APB=70°，四边形内角和360°
∴ ∠AOB=360°-90°-90°-70°=110°
故答案为：B
【分析】本题考查圆的切线定理，熟悉定理内容是关键。根据PA、PB是圆O的两条切线，可得两个直角，根据已知角度，依据四边形内角和360°，可得所求角度值。
2．（2022·南沙模拟）根钢管放在V形架内，如图是其截面图，O为钢管的圆心，如果钢管的直径为20cm，∠MPN＝60°，则OP的长度是（ ）
A．40cm B．40cm C．20cm D．20cm
【答案】D
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：如图，连接OM、ON，
∵圆与V形架的两边相切，且∠MPN＝60°，
∴△OMP是直角三角形，∠OPN=∠OPM=30°，
∵钢管的直径为20cm，ON=10cm，
∴OP=2ON=20cm；
故答案为：D．
【分析】连接OM，ON，先求出∠OPN=∠OPM=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得OP=2ON=20cm。
3．（2021九下·渝中月考）如图，PA，PB为⊙O的两条切线，点A，B是切点，OP交⊙O于点C，交弦AB于点D.下列结论中错误的是（ ）
A．PA＝PB B．AD＝BD
C．OP⊥AB D．∠PAB＝∠APB
【答案】D
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：由切线长定理可得：∠APO=∠BPO，PA=PB，从而AB⊥OP，AD=BD.
因此A.B.C都正确.
无法得出∠PAB=∠APB，可知：D是错误的.
综上可知：只有D是错误的.
故答案为：D.
【分析】由切线长定理“从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线，平分两条切线的夹角"可得∠APO=∠BPO，PA=PB，由等腰三角形的三线合一可得AB⊥OP，AD=BD；结合各选项可求解.
4．（2020九上·镇原期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝6，则△PCD的周长为（ ）
A．8 B．6 C．12 D．10
【答案】C
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA＝PB＝6，AC＝EC，BD＝ED，
∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝6+6＝12，
即△PCD的周长为12，
故答案为：C.
【分析】由切线长定理可求得PA＝PB，AC＝CE，BD＝ED，则可求得答案.
5．（2022九上·宁波期中）如图，⊙O与正方形ABCD的两边AB，AD相切，且DE与⊙O相切于E点．若⊙O的半径为4，且AB＝10，则DE的长度为（ ）
A．5 B．6 C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：过O分别作OM⊥AD和ON⊥AB，如下图，
∵⊙O与正方形ABCD的两边AB，AD相切，且DE与⊙O相切于E点，
∴
∵四边形ABCD为正方形，
∴
∵
∴四边形ANOM为正方形，
∵⊙O的半径为4，
∴
∴
∴
故答案为：B.
【分析】过O分别作OM⊥AD和ON⊥AB，根据切线长定理得再根据正方形的性质求出AD和AM，进而求出MD，即可得解.
6．（2023·广州）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，若的半径为，，则的值和的大小分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】圆周角定理；三角形的内切圆与内心；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，连接IE、IF、ID，
∵AC、BC、B分别与圆I相切于点E、D、F，
∴BD=BF，CD=CE，∠IFA=∠IEA=90°，
∴BF+CE-BC=BD+CD-BC=BC-BC=0，
∵ ，∠IFA=∠IEA=90°，
∴∠FIE=180°-，
∴∠EDF=∠FIE=（180°-）= .
故答案为：D.
【分析】连接IE、IF、ID，由切线长定理得BD=BF，CD=CE，∠IFA=∠IEA=90°，根据线段的和差即可求出BF+CE-BC=0；进而根据四边形的内角和定理得∠FIE=180°-，最后根据圆周角定理，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得答案.
7．（2023·武汉）如图，在四边形中，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：连接DB，DE，
∵，
∴设AB=x，则CD=3x，
∵AD⊥AB，AD是半径，
∴AB是切线，
∵BC是切线，
∴AB=BE=x，∠ABD=∠DBC，∠DEC=90°，
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠DBC=∠BDC，
∴DC=BC=3x，
∴CE=BC-BE=3x-x=2x，
∴，
∴.
故答案为：B
【分析】设AB=x，则CD=3x，连接DB，DE，可证得AB是切线，利用切线长定理可证得AB=BE=x，∠ABD=∠DBC，∠DEC=90°，利用平行线的性质可推出∠ABD=∠DBC=∠BDC，再利用等腰三角形的性质可表示出BC，CE的长；利用勾股定理表示出DE的长；然后利用锐角三角函数的定义可求出sinC的值.
8．（2023·衡水模拟）如图，将直尺、含的直角三角尺和量角器按如图摆放，角的顶点A在直尺上读数为4，量角器与直尺的接触点B在直尺上的读数为7，量角器与直角三角尺的接触点为点C，则该量角器的直径是（ ）．
A．3 B． C．6 D．
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的应用；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】
解：如图，连接OA、OB、OC，
∵AC、AB都与圆相切，
∴OC⊥AC，OB⊥AB，OA平分∠BAC，
∵∠BAC＝180°-60°＝120°，∴∠OAC＝∠OAB＝60°，∴∠AOB＝30°，
∴OA＝2AB＝6，
∴，
∴量角器的直径为.
故答案为：D
【分析】
连接OA，OB，OC，根据切线的性质，切线长定理，含有30°角的直角三角形的性质，勾股定理可求出可求出OB。
二、填空题
9．（2021九上·高安期末）如图，中，，，，则的内切圆半径为 ．
【答案】2
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：如图，
∵在，，，
∴由勾股定理得：，
∵圆O为的内切圆，
∴，；
四边形是正方形；
由切线长定理，得：，，；
，
即：，
故答案为：2．
【分析】根据切线长定理可得，，，再利用角的运算可得，再求出即可。
10．（2021九上·察哈尔右翼前旗期末）如图，直线AB，CD，BC分别与相切于点E，G，F，且 ，若，，则的长等于 ．
【答案】10
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：直线AB，CD，BC分别与相切于点E，G，F，且 ，
平分，平分，，
，
，，
故答案为：
【分析】根据切线长的性质可得，再求出，最后利用勾股定理求出BC=10，即可得到。
11．（2021九上·呼和浩特期末）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，若OA＝2，∠APB＝60°，则PB＝ ．
【答案】
【知识点】解直角三角形；切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线
∴PA=PB，且PO平分∠APB
∴∠APO=
∵OA⊥PA
∴
∴
故答案为：
【分析】根据切线的性质可得∠APO=，再结合解直角三角形的方法可得，即可得到。
12．（2023九上·北京市期中）如图，是的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE为的切线，若的周长为25，BC的长是9，则的周长是 .
【答案】7
【知识点】三角形的内切圆与内心；切线长定理
【解析】【解答】解由切线长定理得，BF=BG，CM=CG，DF=DN，EN=EM，
∴BF十CM=BG十GC=BC'=9，
∴AF+AM=25-9-9=7，
∴△ADE的周长= AD+ AE+ DE= AD+ DF+ AE+EM=AF+AM= 7
故答案为： 7.
【分析】本题考查的是三角形的内切圆与内心，切线长定理.根据切线长定理得到BF=BG， CM=CG，DF=DN， EN=EM，根据三角形的周长公式求出AF+AM，计算即可.
13．（2023九上·玉环期中）如图所示，过半径为6cm的⊙O外一点P引圆的切线PA，PB，连接PO交⊙O于F，过F作⊙O的切线，交PA，PB分别于D，E，如果PO=10cm，∠APB=40°，则△PED的周长= ；∠DOE的度数=
【答案】16cm；70°
【知识点】切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OA、OB，
第一空：∵DA、DF分别切⊙O于A、F两点，EF、EB分别切⊙O于B、F两点，
∴DA=DF，EF=EB，
∴△PED的周长=PD+PE+DE=PD+PE+EF+DF=PD+PE+DA+EB=PA+PB，
∵PA、PB分别切⊙O于A、B两点，
∴PA=PB，
∵OA=6cm，PO=10cm，
∴PA=，
∴△PED的周长=PA+PB=8+8=16（cm）
第二空：∵PA、PB分别切⊙O于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
而∠APB=40°，∠AOB+∠APB+∠PAO+∠PBO=360°，
∴∠AOB=140°，
∵DA、DF分别切⊙O于A、F两点，EF、EB分别切⊙O于B、F两点，
∴∠AOD=∠FOD，∠FOE=∠BOE，
∴∠EOD=∠FOD+∠FOE=∠AOB=70°.
故答案为：16cm，70°.
【分析】第一空：连接OA、OB，根据切线长定理可得DA=DF，EF=EB，在直角三角形POA中，用勾股定理求出AP的值，然后由三角形的周长等于三边之和可求得△PED的周长；
第二空：由圆的切线的性质可得∠PAO=∠PBO=90°，结合四边形的内角和等于360度可求得∠AOB的度数，然后根据切线长定理可求解.
三、解答题
14．（2023九上·从江期中）如图所示，PA，PB是☉O的切线，CD切☉O于点E，△PCD的周长为12，∠APB=60°.求：
（1）PA的长；
（2）∠COD的度数.
【答案】（1）解：∵CA，CE都是圆O的切线，
∴CA=CE，
同理DE=DB，PA=PB.
∴三角形PCD的周长为PD+CD+PC
=PD+PC+CA+BD
=PA+PB
=2PA=12.
即PA的长为6.
（2）解：∵∠P=60°，
∴∠PCE+∠PDE=120°.
∴∠ACD+∠CDB=360°-120°=240°.
∵CA，CE是圆O的切线，
∴∠OCE=∠OCA=∠ACD.
同理∠ODE=∠CDB，
∴∠OCE+∠ODE=(∠ACD+∠CDB)=120°.
∴∠COD=180°-120°=60°.
【知识点】切线的性质；切线长定理
【解析】【分析】（1）利用切线长的性质可得CA=CE，DE=DB，PA=PB，再利用三角形的周长公式及等量代换求解即可；
（2）利用切线长的性质可得 ∠OCE=∠OCA=∠ACD，∠ODE=∠CDB，再求出∠OCE+∠ODE=(∠ACD+∠CDB)=120°，最后求出∠COD=180°-120°=60°即可.
15．（2023·凤岗模拟）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B，延长BO与PA的延长线交于点D．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若OB＝3，OD＝5，求AB的长．
【答案】（1）证明：连接OA，
∵AB⊥OP，OB＝OA，
∴∠BOP＝∠AOP，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
在△OBP与△OAP中，
，
∴△OBP≌△OAP（SAS），
∴∠OBP＝∠OAP＝90°，
∴OB⊥PB，
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：∵OD＝5，OA＝OB＝3，
∴在Rt△AOD中，AD＝＝4，
∵PA、PB为⊙O的切线，
∴PA＝PB，
在Rt△DBP中，PD2＝PB2+BD2，即（PB+4）2＝PB2+82，
∴PB＝6，
在Rt△OBP中，OP＝＝＝3，
∵S△BOP＝OP BC＝OB PB，
∴3BC＝3×6，
∴BC＝，
∴AB＝2BC＝．
【知识点】勾股定理；切线的判定与性质；切线长定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）连接OA，根据切线的性质得出∠OAP＝90°，再证出△OBP≌△OAP，得出∠OBP＝∠OAP＝90°，从而得出OB⊥PB，再根据切线的判定定理即可证出PB是⊙O的切线；
（2）根据勾股定理求出PB和OP的长，再根据等积法求出BC的长，即可求出AB的长.
四、综合题
16．（2023·衢州）如图，在Rt中，为AC边上一点，连结OB.以OC为半径的半圆与AB边相切于点，交AC边于点.
（1）求证：.
（2）若.
①求半圆的半径.
②求图中阴影部分的面积.
【答案】（1）【方法一】证明：如图，连结OD.
∵BD是圆O的切线，D为切点，
.
，
且，
Rt.
；
【方法二】证明：，点C在圆O上，
∴BC是圆O的切线.
∵BD是圆O的切线，
；
（2）解：①如图，连结OD，
∵OB=OA，
∴∠OBD=∠A，
，
.
.
，
.
在Rt△ODA中，∵∠ADO=90°，∠A=30°，
∴AO=2OD，
又∵OD=OE，AO=OE+AE，
∴OE=AE=2，
∴半圆O的半径为2；
②在Rt中，.
.
，
.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；含30°角的直角三角形；切线的判定与性质；扇形面积的计算；切线长定理
【解析】【分析】（1）方法一：连结OD，由切线性质得∠ODB=90°，从而用HL判断出Rt△ODB≌Rt△OCB，得BC=BD；方法二：根据切线的判定定理得BC是圆O的切线，进而根据切线长定理可得结论；
（2）①根据等边对等角、全等三角形的对应角相等及直角三角形的两锐角互余可推出∠OBD=∠OBC=∠A=30°，然后根据含30°角直角三角形的性质可推出OE=AE=2，从而得出答案；
②先用勾股定理算出AD的长，再根据S阴影部分=S△ODA-S扇形ODE，列式计算可得答案.
17．（2023九下·孝南月考）如图，以矩形ABCD的边CD为直径作，点E是AB的中点，连接CE交于点F，连接AF并延长交BC于点H．
（1）若连接AO，试判断四边形AECO的形状，并说明理由；
（2）求证：AH是的切线；
（3）若，，求AH的长．
【答案】（1）结论：四边形AECO是平行四边形
理由：∵四边形ABCD是矩形
∴，
又，
∴，
∴四边形AECO是平行四边形
（2）解：由（1）得
∴，
又
∴
则又
∴
∴即又OF是的半径
∴是的切线
（3）由切线长定理可设，
且则
在中，
由得得
∴
【知识点】平行四边形的判定；矩形的性质；切线的判定；切线长定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得AB=CD，AB∥CD，由中点的概念可得AE=AB，CO=CD，推出AE=OC，AE∥OC，然后根据平行四边形的判定定理进行解答；
（2）由平行线的性质可得∠1=∠4，∠2=∠3，由等腰三角形的性质可得∠3=∠4，则∠1=∠2，利用SAS证明△AOD≌△AOF，得到∠AFO=∠ADO=90°，据此证明；
（3）由切线长定理可设AD=AF=x，则BH=x+2，然后在Rt△ABH中，由勾股定理可得x的值，进而可得AH.
1 / 1
