2023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 29.4 切线长定理同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023·南关模拟）如图，四边形的两边、与相切于A、C两点，点B在上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·铜仁模拟）如图，已知半圆O与四边形的边相切，切点分别为D，E，C，设半圆的半径为2，，则四边形的周长为（ ）
A．7 B．9 C．12 D．14
3．（2023·武汉模拟）如图，，分别为的切线，切点为A，B，点C为弧上一动点，过点C作的切线，分别交，于点D，E，作的内切圆，若，的半径为R，的半径为r，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·武安模拟）如图是个一不倒的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿，分别相切于点A，B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
5．（2022九上·东城期末）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若，⊙O的半径为6cm，则图中的长为（ ）
A．π cm B．2π cm C．3π cm D．4π cm
6．（2022·上城模拟）在直角坐标系中，一次函数 的图象记作G，以原点O为圆心，作半径为1的圆，有以下几种说法：
①当G与⊙O相交时，y随x增大而增大；②当G与⊙O相切时， ③当G与⊙O相离时， 或 . 其中正确的说法是（ ）
A．① B．①② C．①③ D．②③
7．（2020九上·安徽月考）如图，PA，PB为⊙O的切线，切点分别为A，B，PO交AB于点C，PO的延长线交⊙O于点D。下列结论不一定成立的是（ ）
A．△BPA为等腰三角形 B．AB与PD相互垂直平分
C．点A，B都在以PO为直径的圆上 D．PC为△BPA的边AB上的中线
8．（2019九上·鄞州期末）在 Rt△ABC ，∠C=90°，AB=6．△ABC的内切圆半径为1，则△ABC的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
二、填空题
9．（2023·南京模拟）如图，、是的切线，、为切点，点、在上若，则的度数
10．（2023·泰州）小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一颗大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．则该城堡的外围直径为 里．
11．（2023九上·东阳期末）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A，B，连结PO并延长与⊙O交于点C、D，若CD＝12，PA＝8，则sin∠ADB的值为 ．
12．（2023·潜江）如图，在中，的内切圆与分别相切于点，，连接的延长线交于点，则 ．
13．（2022·宁波模拟）如图， 在矩形 中 ， 点 为 的中点， 点 为边 上的动点， 连结 . 将 沿着 翻折， 使点 的对应点 恰好落在线段 上. 若 三点共线， 则 的值为 ；若 ， 且这样的点 有且只有一个时， 则 的长为 .
三、解答题
14．（2020九上·郑州期末）已知如图：为测量一个圆的半径，采用了下面的方法：将圆平放在一个平面上，用一个含有30°角的三角板和一把无刻度的直尺，按图示的方式测量（此时，⊙O与三角板和直尺分别相切，切点分别为点C、点B），若量得AB＝5cm，试求圆的半径以及 的弧长.
15．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．求△ABC的内切圆半径 ．
四、综合题
16．（2023·绵阳模拟）如图，AB是的直径，PA，PC是的两条切线，点A，C为切点，延长PC，AB相交于点D，若BD＝1，CD＝3，点F为弧AB的中点，连接AC．
（1）连接OP交AC于点M，求证：；
（2）设，求的值；
（3）若点G与点F关于圆心O对称，连接CG，求CG的长．
17．（2023·济宁）如图，已知是的直径，，切于点，过点作交于点，若．
（1）如图1，连接，求证：；
（2）如图2，是上一点，在上取一点，使，连接．请问：三条线段有怎样的数量关系？并证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线长定理
【解析】【解答】连接AO，CO，
∵AD和CD是的切线，
∴∠OAD=∠OCD=90°，
∵，
∴∠AOC=360°-∠OAD-∠OCD-∠D=130°，
∴∠B=∠AOC=65°，
故答案为：B.
【分析】先利用切线的性质及四边形的内角和求出∠AOC的度数，再利用圆周角的性质可得∠B=∠AOC=65°。
2．【答案】D
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC相切，切点分别为D，E，C ，
∴AD=AE，BE=BC.
∵半径为2，AB=5，
∴四边形ABCD的周长为：AD+AE+BE+BC+CD=2AB+CD=2×5+2×2=10+4=14.
故答案为：D.
【分析】由切线长定理可得AD=AE，BE=BC，则四边形ABCD的周长为=AD+AE+BE+BC+CD=2AB+CD，据此计算.
3．【答案】D
【知识点】三角形的面积；三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，设的内切圆与、、的交点分别为G、H、F连接、、、、、、
，，
根据题意，过点C作的切线，分别交，于点D，E
，
，分别为的切线
，
是的角平分线
.
故答案为：D.
【分析】设△PDE的内切圆⊙O2与PD、DE、PE的交点分别为G、H、F，连接PO2、PO1、GQ2、FO2、HO2、DO2、EO2，根据三角形的面积公式以及面积间的和差关系可得S△PDE=(PE+DE+PD)×r，由切线长定理可得DA=DC，EC=EB，则PD+DE+PE=PA+PB，易得PO1是∠P的角平分线，∠APO1=α，根据三角函数的概念可得PD+DE+PE=PA+PB=，据此计算.
4．【答案】A
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：切于点A，是半径，
，
．
，
．
、分别切于点A、B，
，
．
，
．
故答案为：A．
【分析】利用切线长的性质可得，再利用等边对等角的性质可得，再利用三角形的内角和求出即可。
5．【答案】B
【知识点】弧长的计算；切线长定理
【解析】【解答】连接OC、OD，
分别与相切于点C，D，
∴，
，
∴，
的长，
故答案为：B
【分析】连接OC、OD，先求出，再利用弧长公式求解即可。
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；直线与圆的位置关系；锐角三角函数的定义；一次函数的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：∵ ，当x=2时，y=1，
∴一次函数经过点（2，1），
如图1，P（2，1），A、B为直线与圆的切点，连接OB，OP，AB，AB与OP交于点C，过B作BE⊥y轴于E，
∵A点坐标（0，1），∴PA∥x轴，
∵PA=2，OA=1，∴OP= ，
Rt△PAO中，sin∠OPA= ，cos∠OPA= ，
由切线长定理可得：PB=PA，PO⊥AB，
∴AB=2AC，∵AC=APsin∠OPA= ，∴AB= ，
∵∠AOP+∠OPA=90°，∠AOC+∠OAC=90°，∴∠OAC=∠OPA，
Rt△ABE中，BE=ABsin∠EAB= × = ，AE=ABcos∠EAB= × = ，
∴OE=AE-AO= ，
∴B点坐标（ ，- ），代入 可得：k= ，
∵直线 与y轴交点纵坐标为（1-2k），
当k= 时，直线与圆相切，直线与y轴交点（0， ），
当k＞ 时，（1-2k）＜ ，直线与圆相离；
当k＜0时，（1-2k）＞1，直线与圆相离；
当0＜k＜ ， ＜（1-2k）＜1，直线与圆相交；
∵直线与圆相交时，0＜k＜ ，∴一次函数递增，故①正确；
∵直线与圆相切时，k= ，故②错误；
∵直线与圆相离时， 或 ，故③正确；
①③正确.
故答案为：C.
【分析】由一次函数解析式可得其图象过点（2，1），P（2，1），A、B为直线与圆的切点，连接OB，OP，AB，AB与OP交于点C，过B作BE⊥y轴于E，根据点A的坐标可得PA=2，OA=1，利用勾股定理求出OP，由切线长定理可得：PB=PA，PO⊥AB，则AB=2AC，根据三角函数的概念可得AC、AB，根据同角的余角相等可得∠OAC=∠OPA，利用三角函数的概念可得BE、AE，然后求出OE，得到点B的坐标，代入y=kx+1-2k中求出k的值，得到直线与y轴交点的纵坐标，然后根据直线与圆的位置关系以及一次函数的性质进行判断.
7．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；切线长定理
【解析】【解答】解：
A.∵PA，PB为⊙O的切线，∴PA= PB，∴△BPA是等腰三角形，故A选项不符合题意。
B.由圆的对称性可知：PD垂直平分AB，但AB不一定平分PD，故B选项符合题意，
C.连接OB，OA，PA，PB为⊙O的切线∠OBP=∠OAP=90°，点A，B，P在以OP为直径的圆上，故C选项不符合题意．
D.∵△BPA是等腰三角形，PD⊥AB，∴PC为OBPA的边AB上的中线，故D选项不符合题意。
【分析】根据切线长定理、等腰三角形的性质以及菱形的性质，分别判断得到答案即可。
8．【答案】B
【知识点】切线的性质；三角形的内切圆与内心；切线长定理
【解析】【解答】解：连结OA、OB、OC、OD、OE、OF（如图），
∵⊙O是 △ABC的内切圆 ，切点分别为D、E、F，
∴OD⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC，BE=BF，AD=AE，
∴∠ODC=∠ACB=∠OFC=90°，
∵OD=DC，
∴四边形ODCF为正方形，
∴OD=DC=CF=OF=1，
∵BE=BF，AD=AE，AE+BE=AB=6，
∴AD+BF=6，
∴C △ABC =AD+DC+CF+FB+BE+AE=6+1+1+6=14.
故答案为：B.
【分析】根据切线长定理得BE=BF，AD=AE，即AE+BE=AD+BF=6，由切线性质得∠ODC=∠ACB=∠OFC=90°，根据正方形的判定得四边形ODCF为正方形，从而得DC=CF=1，根据三角形周长计算即可.
9．【答案】100
【知识点】圆内接四边形的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，连接AB，
∵四边形ABCD是圆的内接四边形
∴C+BAD=180°
∵
∴BAP=40°
∵、是的切线
∴ PA=PB
∴ABP=40°
∴P=100°
故答案为：100.
【分析】根据圆的内接四边形的性质得到C+BAD=180°，根据题意，可得BAP=40°，根据切线长定理 PA=PB，所以为等腰三角形，ABP=BAP，根据三角形内角和定理，求出P=100°。
10．【答案】9
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，在中，点O是AB上一点，以OB为半径的与AC相切与点D，连接OD，
，又∵∠A=∠A，
，是的切线，
，，
里，
里，
里，
里，
里，
设里，
里，
，
，
里，
故答案为：9.
【分析】首先由切线的定义证得，再通过切线长定理得到AC的长，然后由勾股定理求得AB的长，设里，利用相似三角形的线段比求得r的值，进而得到该城堡的外围直径长.
11．【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：如图：连接OA、OB，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥PA，
∴，
∵弧AB=弧AB，
∴∠ADB＝∠AOB，
∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴∠APO＝∠BPO，∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOP＝∠BOP，
∴∠ADB＝∠AOP，
∴sin∠ADB＝sin∠AOP＝.
故答案为：.
【分析】连接OA、OB，根据切线的性质得到OA⊥PA，根据勾股定理求出OP，根据圆周角定理、切线长定理及三角形的内角和定理得到∠ADB＝∠AOP，根据等角的同名三角函数值相等结合正弦的定义计算即可．
12．【答案】度
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；三角形的内切圆与内心；切线长定理；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：连接OE、OB、OD，设OB、DE交于点H.
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴OA、OB分别为∠CAB、∠CBA的平分线，
∴∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠CBA.
∵∠ACB=70°，
∴∠CAB+∠CBA=110°，
∴∠OAB+∠OBA=(∠CAB+∠CBA)=55°，
∴∠AOB=180°-(∠OAB+∠OBA)=125°.
∵⊙O与AB、BC分别切于点D、E，
∴BD=BE.
∵OD=OE，
∴OB为DE的垂直平分线，
∴OB⊥DE，即∠OHF=90°，
∴∠AFD=∠AOH-∠OHF=125°-90°=35°.
故答案为：35°.
【分析】连接OE、OB、OD，设OB、DE交于点H，由题意可得OA、OB分别为∠CAB、∠CBA的平分线，根据角平分线的概念以及内角和定理可得∠OAB+∠OBA=(∠CAB+∠CBA)=55°，∠AOB=180°-(∠OAB+∠OBA)=125°，由切线长定理可得BD=BE，进而推出OB为DE的垂直平分线，得到∠OHF=90°，根据外角的性质可得∠OHF+∠AFD=∠AOH，据此计算.
13．【答案】；4
【知识点】矩形的性质；直线与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：如图， 当 A、B'、C 三点共线时， 连结三点，
则 ，
∴ ， 则 .
当这样的点B'有且只有一个时，
即以AB为半径的 与DE相切，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：，4.
【分析】第一空、由翻折性质得，易得，可得，所以 ，，易得，求得即可；第二空，AB=AB'，即B'的运动轨迹是以A为圆心，AB长为半径的圆弧，因为B'在DE上仅有一个，说明圆弧与DE相切，BC也与圆弧相切，由切长线定理可得E和F重合，AB'⊥DE，∠ADB’=∠DEC，AB’=AB=CD，易得，得DE=AD，即可.
14．【答案】解：如图，连接OB，OA，OC，
则∠BAC＝180°﹣60°＝120°∠OBA＝∠OCA＝90°，
∵AB＝AC
∴△OBA≌△OCA
∴∠BAO＝ ∠BAC＝60°，
OB＝AB tan60°＝5 .
由以上可得∠BOA＝∠COA＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∴ ＝2×5 π× ＝ π，
所以圆的半径以及 的弧长分别为：5 ， π.
【知识点】弧长的计算；解直角三角形；切线长定理
【解析】【分析】连接OB，OA，OC，证明△OBA≌△OCA，从而得出∠BAO=60°，然后利用三角函数算出半径，利用弧长公式算出弧长.
15．【答案】解：如图，
在Rt△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB= =10，
四边形OECF中，OE=OF，∠OEC=∠OFC=∠C=90°，
∴四边形OECF是正方形；
由切线长定理，得：AD=AF，BD=BE，CE=CF；
∴CE=CF= （AC+BC-AB），
即：r= （6+8-10）=2．
【知识点】勾股定理；切线长定理
【解析】【分析】由勾股定理，可求出AB的长度，再利用邻边相等以及四个角为直角得出四边形OECF为正方形，利用切线长得出 BE=BD，AF=AD，得出BE＋AF=AB，则BC＋AC-AB=2CE=2r，即可求出r的值。
16．【答案】（1）证明：∵PA，PC是 的两条切线，
∴ ， ，PA＝PC．
在 和 中，
∴ ．
∴ ，即AM平分 ，
∴OP垂直平分AC，即 ．
∵AB是 的直径，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵OB＝OC，
∴ ，
∴ ．
（3）解：连接CF，FG．
∵点G与点F关于圆心O对称，
∴GF过圆心，且为 的直径，
∴ ．
由（2）得 ，
∴ ，即 ，
∴AB＝8．又 ，
∴设BC＝k，AC＝3k，由 得，
∴ ，即 ，
∴ （舍去负值），
即 ， ．
如图，过点A作 ，垂足为H，连接AF，BF．
∵点F为AB的中点，
∴AF＝BF， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ．
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；切线长定理；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】（1）根据切线的性质以及切线长定理可得AB⊥AP，OC⊥CP，PA=PC，利用SSS证明△APO≌△CPO，得到∠AOM=∠COM，由垂直平分线的性质可得∠AMO=90°，由圆周角定理可得∠ACB=90°，据此证明；
（2）根据等腰三角形的性质以及余角的性质可得∠BCD=∠ACO=∠OAC，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△DCA∽△DBC，由等腰三角形的性质可得∠OCB=∠OBC，然后根据三角函数的概念以及相似三角形的性质进行解答；
（3）连接CF、FG，易得∠GCF=90°，利用相似三角形的性质可得AB的值，设BC＝k，AC＝3k，由勾股定理可得k的值，进而可得BC、AC，过点A作AH⊥CF，垂足为H，连接AF，BF，易得AH、AF、FH、CF的值，然后在Rt△CFG中，利用勾股定理进行计算.
17．【答案】（1）证明：∵，是半径，
∴是的切线，
∵是的切线，
∴，
∵
∴，
∴
∴，，
∵
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下，
延长至使得，连接，，如图所示
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）可得，
又是直径，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
即．
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线的判定；切线长定理
【解析】【分析】（1）先根据切线的判定证明是的切线，进而根据切线长定理即可得到，进而即可得到，从而得到，进而即可得到，，再根据题意即可得到，进而根据圆周角定理即可得到，进而得到，再根据含30°角的直角三角形的性质即可得到，进而根据三角形全等的判定即可求解；
（2），理由如下：延长至使得，连接，，先根据题意即可得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，，由（1）可得，再根据圆周角定理得到，进而得到，从而证明，再根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而即可求解。
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 29.4 切线长定理同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023·南关模拟）如图，四边形的两边、与相切于A、C两点，点B在上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线长定理
【解析】【解答】连接AO，CO，
∵AD和CD是的切线，
∴∠OAD=∠OCD=90°，
∵，
∴∠AOC=360°-∠OAD-∠OCD-∠D=130°，
∴∠B=∠AOC=65°，
故答案为：B.
【分析】先利用切线的性质及四边形的内角和求出∠AOC的度数，再利用圆周角的性质可得∠B=∠AOC=65°。
2．（2023·铜仁模拟）如图，已知半圆O与四边形的边相切，切点分别为D，E，C，设半圆的半径为2，，则四边形的周长为（ ）
A．7 B．9 C．12 D．14
【答案】D
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC相切，切点分别为D，E，C ，
∴AD=AE，BE=BC.
∵半径为2，AB=5，
∴四边形ABCD的周长为：AD+AE+BE+BC+CD=2AB+CD=2×5+2×2=10+4=14.
故答案为：D.
【分析】由切线长定理可得AD=AE，BE=BC，则四边形ABCD的周长为=AD+AE+BE+BC+CD=2AB+CD，据此计算.
3．（2023·武汉模拟）如图，，分别为的切线，切点为A，B，点C为弧上一动点，过点C作的切线，分别交，于点D，E，作的内切圆，若，的半径为R，的半径为r，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，设的内切圆与、、的交点分别为G、H、F连接、、、、、、
，，
根据题意，过点C作的切线，分别交，于点D，E
，
，分别为的切线
，
是的角平分线
.
故答案为：D.
【分析】设△PDE的内切圆⊙O2与PD、DE、PE的交点分别为G、H、F，连接PO2、PO1、GQ2、FO2、HO2、DO2、EO2，根据三角形的面积公式以及面积间的和差关系可得S△PDE=(PE+DE+PD)×r，由切线长定理可得DA=DC，EC=EB，则PD+DE+PE=PA+PB，易得PO1是∠P的角平分线，∠APO1=α，根据三角函数的概念可得PD+DE+PE=PA+PB=，据此计算.
4．（2023·武安模拟）如图是个一不倒的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿，分别相切于点A，B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：切于点A，是半径，
，
．
，
．
、分别切于点A、B，
，
．
，
．
故答案为：A．
【分析】利用切线长的性质可得，再利用等边对等角的性质可得，再利用三角形的内角和求出即可。
5．（2022九上·东城期末）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若，⊙O的半径为6cm，则图中的长为（ ）
A．π cm B．2π cm C．3π cm D．4π cm
【答案】B
【知识点】弧长的计算；切线长定理
【解析】【解答】连接OC、OD，
分别与相切于点C，D，
∴，
，
∴，
的长，
故答案为：B
【分析】连接OC、OD，先求出，再利用弧长公式求解即可。
6．（2022·上城模拟）在直角坐标系中，一次函数 的图象记作G，以原点O为圆心，作半径为1的圆，有以下几种说法：
①当G与⊙O相交时，y随x增大而增大；②当G与⊙O相切时， ③当G与⊙O相离时， 或 . 其中正确的说法是（ ）
A．① B．①② C．①③ D．②③
【答案】C
【知识点】勾股定理；直线与圆的位置关系；锐角三角函数的定义；一次函数的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：∵ ，当x=2时，y=1，
∴一次函数经过点（2，1），
如图1，P（2，1），A、B为直线与圆的切点，连接OB，OP，AB，AB与OP交于点C，过B作BE⊥y轴于E，
∵A点坐标（0，1），∴PA∥x轴，
∵PA=2，OA=1，∴OP= ，
Rt△PAO中，sin∠OPA= ，cos∠OPA= ，
由切线长定理可得：PB=PA，PO⊥AB，
∴AB=2AC，∵AC=APsin∠OPA= ，∴AB= ，
∵∠AOP+∠OPA=90°，∠AOC+∠OAC=90°，∴∠OAC=∠OPA，
Rt△ABE中，BE=ABsin∠EAB= × = ，AE=ABcos∠EAB= × = ，
∴OE=AE-AO= ，
∴B点坐标（ ，- ），代入 可得：k= ，
∵直线 与y轴交点纵坐标为（1-2k），
当k= 时，直线与圆相切，直线与y轴交点（0， ），
当k＞ 时，（1-2k）＜ ，直线与圆相离；
当k＜0时，（1-2k）＞1，直线与圆相离；
当0＜k＜ ， ＜（1-2k）＜1，直线与圆相交；
∵直线与圆相交时，0＜k＜ ，∴一次函数递增，故①正确；
∵直线与圆相切时，k= ，故②错误；
∵直线与圆相离时， 或 ，故③正确；
①③正确.
故答案为：C.
【分析】由一次函数解析式可得其图象过点（2，1），P（2，1），A、B为直线与圆的切点，连接OB，OP，AB，AB与OP交于点C，过B作BE⊥y轴于E，根据点A的坐标可得PA=2，OA=1，利用勾股定理求出OP，由切线长定理可得：PB=PA，PO⊥AB，则AB=2AC，根据三角函数的概念可得AC、AB，根据同角的余角相等可得∠OAC=∠OPA，利用三角函数的概念可得BE、AE，然后求出OE，得到点B的坐标，代入y=kx+1-2k中求出k的值，得到直线与y轴交点的纵坐标，然后根据直线与圆的位置关系以及一次函数的性质进行判断.
7．（2020九上·安徽月考）如图，PA，PB为⊙O的切线，切点分别为A，B，PO交AB于点C，PO的延长线交⊙O于点D。下列结论不一定成立的是（ ）
A．△BPA为等腰三角形 B．AB与PD相互垂直平分
C．点A，B都在以PO为直径的圆上 D．PC为△BPA的边AB上的中线
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；切线长定理
【解析】【解答】解：
A.∵PA，PB为⊙O的切线，∴PA= PB，∴△BPA是等腰三角形，故A选项不符合题意。
B.由圆的对称性可知：PD垂直平分AB，但AB不一定平分PD，故B选项符合题意，
C.连接OB，OA，PA，PB为⊙O的切线∠OBP=∠OAP=90°，点A，B，P在以OP为直径的圆上，故C选项不符合题意．
D.∵△BPA是等腰三角形，PD⊥AB，∴PC为OBPA的边AB上的中线，故D选项不符合题意。
【分析】根据切线长定理、等腰三角形的性质以及菱形的性质，分别判断得到答案即可。
8．（2019九上·鄞州期末）在 Rt△ABC ，∠C=90°，AB=6．△ABC的内切圆半径为1，则△ABC的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】B
【知识点】切线的性质；三角形的内切圆与内心；切线长定理
【解析】【解答】解：连结OA、OB、OC、OD、OE、OF（如图），
∵⊙O是 △ABC的内切圆 ，切点分别为D、E、F，
∴OD⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC，BE=BF，AD=AE，
∴∠ODC=∠ACB=∠OFC=90°，
∵OD=DC，
∴四边形ODCF为正方形，
∴OD=DC=CF=OF=1，
∵BE=BF，AD=AE，AE+BE=AB=6，
∴AD+BF=6，
∴C △ABC =AD+DC+CF+FB+BE+AE=6+1+1+6=14.
故答案为：B.
【分析】根据切线长定理得BE=BF，AD=AE，即AE+BE=AD+BF=6，由切线性质得∠ODC=∠ACB=∠OFC=90°，根据正方形的判定得四边形ODCF为正方形，从而得DC=CF=1，根据三角形周长计算即可.
二、填空题
9．（2023·南京模拟）如图，、是的切线，、为切点，点、在上若，则的度数
【答案】100
【知识点】圆内接四边形的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，连接AB，
∵四边形ABCD是圆的内接四边形
∴C+BAD=180°
∵
∴BAP=40°
∵、是的切线
∴ PA=PB
∴ABP=40°
∴P=100°
故答案为：100.
【分析】根据圆的内接四边形的性质得到C+BAD=180°，根据题意，可得BAP=40°，根据切线长定理 PA=PB，所以为等腰三角形，ABP=BAP，根据三角形内角和定理，求出P=100°。
10．（2023·泰州）小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一颗大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．则该城堡的外围直径为 里．
【答案】9
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，在中，点O是AB上一点，以OB为半径的与AC相切与点D，连接OD，
，又∵∠A=∠A，
，是的切线，
，，
里，
里，
里，
里，
里，
设里，
里，
，
，
里，
故答案为：9.
【分析】首先由切线的定义证得，再通过切线长定理得到AC的长，然后由勾股定理求得AB的长，设里，利用相似三角形的线段比求得r的值，进而得到该城堡的外围直径长.
11．（2023九上·东阳期末）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A，B，连结PO并延长与⊙O交于点C、D，若CD＝12，PA＝8，则sin∠ADB的值为 ．
【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：如图：连接OA、OB，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥PA，
∴，
∵弧AB=弧AB，
∴∠ADB＝∠AOB，
∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴∠APO＝∠BPO，∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOP＝∠BOP，
∴∠ADB＝∠AOP，
∴sin∠ADB＝sin∠AOP＝.
故答案为：.
【分析】连接OA、OB，根据切线的性质得到OA⊥PA，根据勾股定理求出OP，根据圆周角定理、切线长定理及三角形的内角和定理得到∠ADB＝∠AOP，根据等角的同名三角函数值相等结合正弦的定义计算即可．
12．（2023·潜江）如图，在中，的内切圆与分别相切于点，，连接的延长线交于点，则 ．
【答案】度
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；三角形的内切圆与内心；切线长定理；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：连接OE、OB、OD，设OB、DE交于点H.
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴OA、OB分别为∠CAB、∠CBA的平分线，
∴∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠CBA.
∵∠ACB=70°，
∴∠CAB+∠CBA=110°，
∴∠OAB+∠OBA=(∠CAB+∠CBA)=55°，
∴∠AOB=180°-(∠OAB+∠OBA)=125°.
∵⊙O与AB、BC分别切于点D、E，
∴BD=BE.
∵OD=OE，
∴OB为DE的垂直平分线，
∴OB⊥DE，即∠OHF=90°，
∴∠AFD=∠AOH-∠OHF=125°-90°=35°.
故答案为：35°.
【分析】连接OE、OB、OD，设OB、DE交于点H，由题意可得OA、OB分别为∠CAB、∠CBA的平分线，根据角平分线的概念以及内角和定理可得∠OAB+∠OBA=(∠CAB+∠CBA)=55°，∠AOB=180°-(∠OAB+∠OBA)=125°，由切线长定理可得BD=BE，进而推出OB为DE的垂直平分线，得到∠OHF=90°，根据外角的性质可得∠OHF+∠AFD=∠AOH，据此计算.
13．（2022·宁波模拟）如图， 在矩形 中 ， 点 为 的中点， 点 为边 上的动点， 连结 . 将 沿着 翻折， 使点 的对应点 恰好落在线段 上. 若 三点共线， 则 的值为 ；若 ， 且这样的点 有且只有一个时， 则 的长为 .
【答案】；4
【知识点】矩形的性质；直线与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：如图， 当 A、B'、C 三点共线时， 连结三点，
则 ，
∴ ， 则 .
当这样的点B'有且只有一个时，
即以AB为半径的 与DE相切，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：，4.
【分析】第一空、由翻折性质得，易得，可得，所以 ，，易得，求得即可；第二空，AB=AB'，即B'的运动轨迹是以A为圆心，AB长为半径的圆弧，因为B'在DE上仅有一个，说明圆弧与DE相切，BC也与圆弧相切，由切长线定理可得E和F重合，AB'⊥DE，∠ADB’=∠DEC，AB’=AB=CD，易得，得DE=AD，即可.
三、解答题
14．（2020九上·郑州期末）已知如图：为测量一个圆的半径，采用了下面的方法：将圆平放在一个平面上，用一个含有30°角的三角板和一把无刻度的直尺，按图示的方式测量（此时，⊙O与三角板和直尺分别相切，切点分别为点C、点B），若量得AB＝5cm，试求圆的半径以及 的弧长.
【答案】解：如图，连接OB，OA，OC，
则∠BAC＝180°﹣60°＝120°∠OBA＝∠OCA＝90°，
∵AB＝AC
∴△OBA≌△OCA
∴∠BAO＝ ∠BAC＝60°，
OB＝AB tan60°＝5 .
由以上可得∠BOA＝∠COA＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∴ ＝2×5 π× ＝ π，
所以圆的半径以及 的弧长分别为：5 ， π.
【知识点】弧长的计算；解直角三角形；切线长定理
【解析】【分析】连接OB，OA，OC，证明△OBA≌△OCA，从而得出∠BAO=60°，然后利用三角函数算出半径，利用弧长公式算出弧长.
15．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．求△ABC的内切圆半径 ．
【答案】解：如图，
在Rt△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB= =10，
四边形OECF中，OE=OF，∠OEC=∠OFC=∠C=90°，
∴四边形OECF是正方形；
由切线长定理，得：AD=AF，BD=BE，CE=CF；
∴CE=CF= （AC+BC-AB），
即：r= （6+8-10）=2．
【知识点】勾股定理；切线长定理
【解析】【分析】由勾股定理，可求出AB的长度，再利用邻边相等以及四个角为直角得出四边形OECF为正方形，利用切线长得出 BE=BD，AF=AD，得出BE＋AF=AB，则BC＋AC-AB=2CE=2r，即可求出r的值。
四、综合题
16．（2023·绵阳模拟）如图，AB是的直径，PA，PC是的两条切线，点A，C为切点，延长PC，AB相交于点D，若BD＝1，CD＝3，点F为弧AB的中点，连接AC．
（1）连接OP交AC于点M，求证：；
（2）设，求的值；
（3）若点G与点F关于圆心O对称，连接CG，求CG的长．
【答案】（1）证明：∵PA，PC是 的两条切线，
∴ ， ，PA＝PC．
在 和 中，
∴ ．
∴ ，即AM平分 ，
∴OP垂直平分AC，即 ．
∵AB是 的直径，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵OB＝OC，
∴ ，
∴ ．
（3）解：连接CF，FG．
∵点G与点F关于圆心O对称，
∴GF过圆心，且为 的直径，
∴ ．
由（2）得 ，
∴ ，即 ，
∴AB＝8．又 ，
∴设BC＝k，AC＝3k，由 得，
∴ ，即 ，
∴ （舍去负值），
即 ， ．
如图，过点A作 ，垂足为H，连接AF，BF．
∵点F为AB的中点，
∴AF＝BF， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ．
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；切线长定理；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】（1）根据切线的性质以及切线长定理可得AB⊥AP，OC⊥CP，PA=PC，利用SSS证明△APO≌△CPO，得到∠AOM=∠COM，由垂直平分线的性质可得∠AMO=90°，由圆周角定理可得∠ACB=90°，据此证明；
（2）根据等腰三角形的性质以及余角的性质可得∠BCD=∠ACO=∠OAC，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△DCA∽△DBC，由等腰三角形的性质可得∠OCB=∠OBC，然后根据三角函数的概念以及相似三角形的性质进行解答；
（3）连接CF、FG，易得∠GCF=90°，利用相似三角形的性质可得AB的值，设BC＝k，AC＝3k，由勾股定理可得k的值，进而可得BC、AC，过点A作AH⊥CF，垂足为H，连接AF，BF，易得AH、AF、FH、CF的值，然后在Rt△CFG中，利用勾股定理进行计算.
17．（2023·济宁）如图，已知是的直径，，切于点，过点作交于点，若．
（1）如图1，连接，求证：；
（2）如图2，是上一点，在上取一点，使，连接．请问：三条线段有怎样的数量关系？并证明你的结论．
【答案】（1）证明：∵，是半径，
∴是的切线，
∵是的切线，
∴，
∵
∴，
∴
∴，，
∵
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下，
延长至使得，连接，，如图所示
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）可得，
又是直径，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
即．
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线的判定；切线长定理
【解析】【分析】（1）先根据切线的判定证明是的切线，进而根据切线长定理即可得到，进而即可得到，从而得到，进而即可得到，，再根据题意即可得到，进而根据圆周角定理即可得到，进而得到，再根据含30°角的直角三角形的性质即可得到，进而根据三角形全等的判定即可求解；
（2），理由如下：延长至使得，连接，，先根据题意即可得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，，由（1）可得，再根据圆周角定理得到，进而得到，从而证明，再根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而即可求解。
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