2023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 29.5 正多边形与圆同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2019八下·北京期末）若一个正多边形的一个内角是135°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．6
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】∵正多边形的一个内角是135°，
∴该正多边形的一个外角为45°，
∵多边形的外角之和为360°，
∴边数= =8，
∴这个正多边形的边数是8．
故答案为：C．
【分析】根据正多边形的一个内角是135°，则知该正多边形的一个外角为45°，再根据多边形的外角之和为360°，即可求出正多边形的边数．
2．（2022·呼和浩特模拟）半径为2的圆内接正六边形的边心距是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：边长为2的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形，
而正六边形的边心距即为每个边长为2的正三角形的高，即图中OD长度，
如图，△OAB是边长为2的正三角形，OD⊥AB，
由垂径定理可知，AD=BD=1，OD=；
故答案为：B．
【分析】由题可知△OAB是边长为2的正三角形，OD⊥AB，再利用垂径定理可得AD=BD=1，OD=。
3．（2021九上·上城月考）如图，正五边形 内接于 ，则 的度数是（ ）
A．36° B．26° C．30° D．45°
【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示，连接OD，OE，
∵ABCDE是正五边形，
∴∠DOE= =72°，
∴ = ∠DOE=36°，
故答案为：A.
【分析】连接OD，OE，先求出圆心角∠DOE的度数，根据圆周角定理可得∠DAE=∠DOE，据此求出结论即可.
4．（2022·莘县模拟）如图，五边形是的内接正五边形，是的直径，则的度数是（ ）
A．18° B．36° C． D．72°
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：五边形是的内接正五边形，
，，，
又是的直径，
，
∴
，
，
故答案为：C．
【分析】先利用正多边形的性质求出，再证明可得，从而可得。
5．（2023九上·大城期中）如图，正五边形内接于半径为3的，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵ 正五边形ABCDE
∴ ∠AOD==144°
∵的半径为3
∴ S阴==
故答案为：A
【分析】本题考查正多边形和圆、扇形面积公式。由正五边形ABCDE求出 ∠AOD=144°，根据扇形面积=来计算，n为扇形圆心角，r为扇形半径。
6．（2023·安徽）如图，正五边形内接于，连接，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；圆心角、弧、弦的关系；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，所以∠BAE=180°-360°÷5=108°，∴∠COD=360°÷5=72°，所以∠BAE-∠COD=108°-72°=36°。
故答案为：D。
【分析】根据正五边形的性质，分别计算∠BAE和∠COD，再把它们相减即可。
7．（2023九上·杭州期中）如图，正六边形内接于，若的周长是，则正六边形的边长是（ ）
A． B．3 C．6 D．
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：因为 的周长是，所以 的半径是6，又因为正六边形内接于，故正六边形的边长是6.
故答案为：C.
【分析】圆的内接正六边形可以分为6个全等的等边三角形，故其边长等于外接圆的半径。
8．（2023九上·雨花月考）我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固、如图，某蜂巢的房孔是边长为的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OA，交BF于点P，如图所示：
∵正六边形
∴，
在Rt △APF中，，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】连接OA，交BF于点P，构造的直角三形，利用正六边形的性质和角的直角三角形的性质求解。
二、填空题
9．（2017·浦东模拟）正五边形的中心角的度数是 ．
【答案】72°
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：正五边形的中心角为： =72°．
故答案为：72°．
【分析】根据正多边形的圆心角定义可知：正n边形的圆中心角为 ，则代入求解即可．
10．经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的 ，这个正多边形也就叫做 ，任何正多边形都有一个外接圆.
【答案】外接圆；圆内接正多边形
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边形也就叫做内接正多边形，任何正多边形都有一个外接圆.
故答案为：外接圆，圆内接正多边形.
【分析】利用正多边形的外接圆及圆内接正多边形的定义，可得答案.
11．（2023·武功模拟）据《汉书律历志》记载：“量者，龠（yuè）、合、升、斗、斛（hú）也”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆”．如图所示，现有一斛，其外圆直径为5尺（古代长度单位），两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.5尺，则此斛底面的正方形的边长为 尺．
【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：由题意得AC=BE=0.5尺，AB=5尺，
∴CE=AB-AC-BE=4尺，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=90°，CD=DE，
设CE=DE=x，
由勾股定理得x2+x2=CE2，即2x2=42，
解得x=（负值已舍），
∴ 此斛底面的正方形的边长为尺.
故答案为：.
【分析】结合图形及已知可得AC=BE=0.5尺，AB=5尺，则可由线段的和差算出CE的长，进而根据正方形的性质及勾股定理可算出答案.
12．（2023九上·抚松月考）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠BAC的度数是 。
【答案】36°
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解： 连接OC，OB ，根据正多边形的性质可得， ∠BOC=°＝72° 根据圆周角定理可得： ∠BAC= ∠BOC=36°
故答案为：36°.
【分析】连接OC，OB ，根据正多边形的性质 可得∠BOC 的度数 ，即可求解。
13．（2023九上·杭州期中）如图，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，∠ABC=30°，弦EF过AB边的中点D，且EF∥BC，若BC＝，则外接圆的半径为 ，EF= .
【答案】；
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：连接OE、OC
∵△ABC是等腰三角形
∴∠BAC=∠ABC=30°
∠BOC=2∠BAC=2x30°=60°
(同弧所对圆周角是圆心角一半)
又∵DB=OC
∴△BOC为等边三角形
∴DB=OC=BC=即外接圆半径为
∵AC=BC=，∠ACB=180"-∠BAC-∠ABC=120°
∴AB=6，AD=BD=3
过O作于点M
∵EF//BC
∴∠DDM=∠DCB=60°(等腰三角形三线合一线)
∴OD=
∴，OM=OD×sin60°=
∴
∴EF=2EM=
故答案为：第1空： ，第2空：
【分析】第1空：根据等腰三角形的性质得出：∠BAC=∠ABC=30° 从而求出∠BOC=60°，然后证明出△BOC为等边三角形，即可求出外接圆的半径.
第2空：根据已知条件求出AB的值，以及AD=BD=3，然后作辅助线，根据平行线的性质得出∠DDM=∠DCB=60°(等腰三角形三线合一线)，从而求出OD和OM的长度，最后根据勾股定理求出EF的长.
三、解答题
14．如图，在正十二边形A1A2……A12 中，连结A3A7，A7A10，求∠A3A7A10的度数．
【答案】解：如图，设该正十二边形的圆心为O，
由题意，得的长= ⊙O的周长，
∴∠A3OA10= ×360°=150°，
∴∠A3A7A10=75°．
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【分析】利用正多边形的性质可证得的长= ⊙O的周长，可求出∠A3OA10的度数，再利用圆周角定理可求出∠A3A7A10的度数.
15．如图甲所示，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答相关问题：
作法如图乙所示.①作直径AF.②以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N.③连结AM，MN，NA.
（1）求∠ABC的度数.
（2）△AMN是正三角形吗 请说明理由.
（3）从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连结这些分点，得到正n边形，求n的值.
【答案】（1）解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴；
（2）解：△AMN是正三角形，理由如下：
如图，连接FN、OD、ON，
由题意易得FN=ON=OF，
∴△OFN是等边三角形，
∴∠NFA=60°，
∴∠NMA=60°，
同理∠ANM=60°，
∴∠MAN=60°，
∴△AMN是正三角形；
（3）解：∵∠AMN=60°，
∴∠AON=120°，
∵∠AOD=，
∴∠NOD=∠AOD-∠AON=144°-120°=24°，
∵
∴n的值为15.
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）由于正多边形的每一个内角都相等，故用正多边形的内角和除以内角的个数即可求出其中一个内角的度数；
（2）△AMN是正三角形，理由如下：如图，连接FN、OD、ON，由题意易得FN=ON=OF，则△OFN是等边三角形，根据等边三角形的性质及同弧所对的圆周角相等得∠NMA=60°，同理∠ANM=60°，根据有两个角是60°的三角形是等边三角形可得结论；
（3）根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠AON=120°，由正多边形的中心角求法可得∠AOD=144°，再由∠NOD=∠AOD-∠AON求出∠NOD的度数，从而根据正多边形与圆的关系可求出n的值.
四、综合题
16．（2022·九江模拟）如图，为正五边形的外接圆，已知，请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹．
（1）在图1中的边上求作点，使；
（2）在图2中的边上求作点，使．
【答案】（1）解：连接AO并延长 与CD相交，连接EF交AO延长线于M，连接BM交DE于点G，则点G为所求作，如图1所示；
理由：
∵⊙O为正五边形的外接圆，
∴直线AO是正五边形ABCDE的一条对称轴，点B与点E、点C与点D分别是一对对称点．
∵点M在直线AO上，
∴射线BM与射线EF关于直线AO对称，从而点F与点G关于直线AO对称，
∴CF与DG关于直线AO对称．
∴DG=CF．
（2）解：在（1）的基础上，连接BO并延长与DE相交，连接AG交BO延长线于N，连接CN，如图2所示；
【知识点】圆内接正多边形；作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）连接AO并延长 与CD相交，连接EF交AO延长线于M，连接BM交DE于点G，则点G为所求作；
（2）在（1）的基础上，连接BO并延长与DE相交，连接AG交BO延长线于N，连接CN，即可得解。
17．（2021九上·永城月考）如图，六边形ABCDEF是的内接正六边形.
（1）求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分.
（2）设的面积为，六边形ABCDEF的面积为，求的值.
【答案】（1）解：连接AE，AD，AC，
∵六边形ABCDEF是的内接正六边形，
∴EF=ED=CD=BC，
∴∠FAE=∠EAD=∠DAC=∠CAB，
即过顶点A的三条对角线四等分；
（2）解：过点O作OG⊥DE于G，连接OE，
设圆O的半径为r，
∴EF=BC=ED=r，AD=2r，
在正六边形ABCDEF中，
∠OED=∠ODE=60°，
∴∠EOG=30°，
∴EG=r，
∴OG==r，
∴正六边形ABCDEF的面积==，
圆O的面积=，
∴==.
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）连接AE，AD，AC，由正多边形的性质得EF=ED=CD=BC，再利用同圆中弧、弦、圆心角之间的关系及圆周角定理得∠FAE=∠EAD=∠DAC=∠CAB，由此可证得结论；
（2）过点O作OG⊥DE于G，连接OE，设圆O的半径为r，可得EF=BC=ED=r，AD=2r，由正六边形的性质可求出∠EOG=30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可证得 EG=r， 利用勾股定理表示出OG的长，然后求出正六边形的面积和圆O的面积，然后求出 的值 .
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 29.5 正多边形与圆同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2019八下·北京期末）若一个正多边形的一个内角是135°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．6
2．（2022·呼和浩特模拟）半径为2的圆内接正六边形的边心距是（ ）
A．1 B． C． D．
3．（2021九上·上城月考）如图，正五边形 内接于 ，则 的度数是（ ）
A．36° B．26° C．30° D．45°
4．（2022·莘县模拟）如图，五边形是的内接正五边形，是的直径，则的度数是（ ）
A．18° B．36° C． D．72°
5．（2023九上·大城期中）如图，正五边形内接于半径为3的，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·安徽）如图，正五边形内接于，连接，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·杭州期中）如图，正六边形内接于，若的周长是，则正六边形的边长是（ ）
A． B．3 C．6 D．
8．（2023九上·雨花月考）我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固、如图，某蜂巢的房孔是边长为的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2017·浦东模拟）正五边形的中心角的度数是 ．
10．经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的 ，这个正多边形也就叫做 ，任何正多边形都有一个外接圆.
11．（2023·武功模拟）据《汉书律历志》记载：“量者，龠（yuè）、合、升、斗、斛（hú）也”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆”．如图所示，现有一斛，其外圆直径为5尺（古代长度单位），两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.5尺，则此斛底面的正方形的边长为 尺．
12．（2023九上·抚松月考）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠BAC的度数是 。
13．（2023九上·杭州期中）如图，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，∠ABC=30°，弦EF过AB边的中点D，且EF∥BC，若BC＝，则外接圆的半径为 ，EF= .
三、解答题
14．如图，在正十二边形A1A2……A12 中，连结A3A7，A7A10，求∠A3A7A10的度数．
15．如图甲所示，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答相关问题：
作法如图乙所示.①作直径AF.②以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N.③连结AM，MN，NA.
（1）求∠ABC的度数.
（2）△AMN是正三角形吗 请说明理由.
（3）从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连结这些分点，得到正n边形，求n的值.
四、综合题
16．（2022·九江模拟）如图，为正五边形的外接圆，已知，请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹．
（1）在图1中的边上求作点，使；
（2）在图2中的边上求作点，使．
17．（2021九上·永城月考）如图，六边形ABCDEF是的内接正六边形.
（1）求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分.
（2）设的面积为，六边形ABCDEF的面积为，求的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】∵正多边形的一个内角是135°，
∴该正多边形的一个外角为45°，
∵多边形的外角之和为360°，
∴边数= =8，
∴这个正多边形的边数是8．
故答案为：C．
【分析】根据正多边形的一个内角是135°，则知该正多边形的一个外角为45°，再根据多边形的外角之和为360°，即可求出正多边形的边数．
2．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：边长为2的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形，
而正六边形的边心距即为每个边长为2的正三角形的高，即图中OD长度，
如图，△OAB是边长为2的正三角形，OD⊥AB，
由垂径定理可知，AD=BD=1，OD=；
故答案为：B．
【分析】由题可知△OAB是边长为2的正三角形，OD⊥AB，再利用垂径定理可得AD=BD=1，OD=。
3．【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示，连接OD，OE，
∵ABCDE是正五边形，
∴∠DOE= =72°，
∴ = ∠DOE=36°，
故答案为：A.
【分析】连接OD，OE，先求出圆心角∠DOE的度数，根据圆周角定理可得∠DAE=∠DOE，据此求出结论即可.
4．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：五边形是的内接正五边形，
，，，
又是的直径，
，
∴
，
，
故答案为：C．
【分析】先利用正多边形的性质求出，再证明可得，从而可得。
5．【答案】A
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵ 正五边形ABCDE
∴ ∠AOD==144°
∵的半径为3
∴ S阴==
故答案为：A
【分析】本题考查正多边形和圆、扇形面积公式。由正五边形ABCDE求出 ∠AOD=144°，根据扇形面积=来计算，n为扇形圆心角，r为扇形半径。
6．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；圆心角、弧、弦的关系；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，所以∠BAE=180°-360°÷5=108°，∴∠COD=360°÷5=72°，所以∠BAE-∠COD=108°-72°=36°。
故答案为：D。
【分析】根据正五边形的性质，分别计算∠BAE和∠COD，再把它们相减即可。
7．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：因为 的周长是，所以 的半径是6，又因为正六边形内接于，故正六边形的边长是6.
故答案为：C.
【分析】圆的内接正六边形可以分为6个全等的等边三角形，故其边长等于外接圆的半径。
8．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OA，交BF于点P，如图所示：
∵正六边形
∴，
在Rt △APF中，，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】连接OA，交BF于点P，构造的直角三形，利用正六边形的性质和角的直角三角形的性质求解。
9．【答案】72°
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：正五边形的中心角为： =72°．
故答案为：72°．
【分析】根据正多边形的圆心角定义可知：正n边形的圆中心角为 ，则代入求解即可．
10．【答案】外接圆；圆内接正多边形
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边形也就叫做内接正多边形，任何正多边形都有一个外接圆.
故答案为：外接圆，圆内接正多边形.
【分析】利用正多边形的外接圆及圆内接正多边形的定义，可得答案.
11．【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：由题意得AC=BE=0.5尺，AB=5尺，
∴CE=AB-AC-BE=4尺，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=90°，CD=DE，
设CE=DE=x，
由勾股定理得x2+x2=CE2，即2x2=42，
解得x=（负值已舍），
∴ 此斛底面的正方形的边长为尺.
故答案为：.
【分析】结合图形及已知可得AC=BE=0.5尺，AB=5尺，则可由线段的和差算出CE的长，进而根据正方形的性质及勾股定理可算出答案.
12．【答案】36°
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解： 连接OC，OB ，根据正多边形的性质可得， ∠BOC=°＝72° 根据圆周角定理可得： ∠BAC= ∠BOC=36°
故答案为：36°.
【分析】连接OC，OB ，根据正多边形的性质 可得∠BOC 的度数 ，即可求解。
13．【答案】；
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：连接OE、OC
∵△ABC是等腰三角形
∴∠BAC=∠ABC=30°
∠BOC=2∠BAC=2x30°=60°
(同弧所对圆周角是圆心角一半)
又∵DB=OC
∴△BOC为等边三角形
∴DB=OC=BC=即外接圆半径为
∵AC=BC=，∠ACB=180"-∠BAC-∠ABC=120°
∴AB=6，AD=BD=3
过O作于点M
∵EF//BC
∴∠DDM=∠DCB=60°(等腰三角形三线合一线)
∴OD=
∴，OM=OD×sin60°=
∴
∴EF=2EM=
故答案为：第1空： ，第2空：
【分析】第1空：根据等腰三角形的性质得出：∠BAC=∠ABC=30° 从而求出∠BOC=60°，然后证明出△BOC为等边三角形，即可求出外接圆的半径.
第2空：根据已知条件求出AB的值，以及AD=BD=3，然后作辅助线，根据平行线的性质得出∠DDM=∠DCB=60°(等腰三角形三线合一线)，从而求出OD和OM的长度，最后根据勾股定理求出EF的长.
14．【答案】解：如图，设该正十二边形的圆心为O，
由题意，得的长= ⊙O的周长，
∴∠A3OA10= ×360°=150°，
∴∠A3A7A10=75°．
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【分析】利用正多边形的性质可证得的长= ⊙O的周长，可求出∠A3OA10的度数，再利用圆周角定理可求出∠A3A7A10的度数.
15．【答案】（1）解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴；
（2）解：△AMN是正三角形，理由如下：
如图，连接FN、OD、ON，
由题意易得FN=ON=OF，
∴△OFN是等边三角形，
∴∠NFA=60°，
∴∠NMA=60°，
同理∠ANM=60°，
∴∠MAN=60°，
∴△AMN是正三角形；
（3）解：∵∠AMN=60°，
∴∠AON=120°，
∵∠AOD=，
∴∠NOD=∠AOD-∠AON=144°-120°=24°，
∵
∴n的值为15.
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）由于正多边形的每一个内角都相等，故用正多边形的内角和除以内角的个数即可求出其中一个内角的度数；
（2）△AMN是正三角形，理由如下：如图，连接FN、OD、ON，由题意易得FN=ON=OF，则△OFN是等边三角形，根据等边三角形的性质及同弧所对的圆周角相等得∠NMA=60°，同理∠ANM=60°，根据有两个角是60°的三角形是等边三角形可得结论；
（3）根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠AON=120°，由正多边形的中心角求法可得∠AOD=144°，再由∠NOD=∠AOD-∠AON求出∠NOD的度数，从而根据正多边形与圆的关系可求出n的值.
16．【答案】（1）解：连接AO并延长 与CD相交，连接EF交AO延长线于M，连接BM交DE于点G，则点G为所求作，如图1所示；
理由：
∵⊙O为正五边形的外接圆，
∴直线AO是正五边形ABCDE的一条对称轴，点B与点E、点C与点D分别是一对对称点．
∵点M在直线AO上，
∴射线BM与射线EF关于直线AO对称，从而点F与点G关于直线AO对称，
∴CF与DG关于直线AO对称．
∴DG=CF．
（2）解：在（1）的基础上，连接BO并延长与DE相交，连接AG交BO延长线于N，连接CN，如图2所示；
【知识点】圆内接正多边形；作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）连接AO并延长 与CD相交，连接EF交AO延长线于M，连接BM交DE于点G，则点G为所求作；
（2）在（1）的基础上，连接BO并延长与DE相交，连接AG交BO延长线于N，连接CN，即可得解。
17．【答案】（1）解：连接AE，AD，AC，
∵六边形ABCDEF是的内接正六边形，
∴EF=ED=CD=BC，
∴∠FAE=∠EAD=∠DAC=∠CAB，
即过顶点A的三条对角线四等分；
（2）解：过点O作OG⊥DE于G，连接OE，
设圆O的半径为r，
∴EF=BC=ED=r，AD=2r，
在正六边形ABCDEF中，
∠OED=∠ODE=60°，
∴∠EOG=30°，
∴EG=r，
∴OG==r，
∴正六边形ABCDEF的面积==，
圆O的面积=，
∴==.
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）连接AE，AD，AC，由正多边形的性质得EF=ED=CD=BC，再利用同圆中弧、弦、圆心角之间的关系及圆周角定理得∠FAE=∠EAD=∠DAC=∠CAB，由此可证得结论；
（2）过点O作OG⊥DE于G，连接OE，设圆O的半径为r，可得EF=BC=ED=r，AD=2r，由正六边形的性质可求出∠EOG=30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可证得 EG=r， 利用勾股定理表示出OG的长，然后求出正六边形的面积和圆O的面积，然后求出 的值 .
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