2023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 29.5 正多边形与圆同步分层训练培优题
一、选择题
1．正六边形内接于圆，它的边所对的圆周角是（ ）
A．60° B．120°
C．60°或120° D．30°或150°
【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】圆内接正六边形的边所对的圆心角=360°÷6=60°，根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半，边所对的圆周角的度数是60×=30°或180°﹣30°=150°．故选D．
【分析】作出图形，求出一条边所对的圆心角的度数，再根据圆周角和圆心角的关系解答．
2．（2020九下·沈阳月考）如图，⊙O的周长等于4πcm，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB，作OG⊥AB于点G，
∵⊙O的周长等于4πcm，
∴⊙O的半径为： ＝2cm，
∵ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴OA＝OB＝AB＝2cm，
∵OG⊥AB，
∴AG＝BG＝ AB＝1 cm，
∴OG＝ cm，
∴S△AOB＝ AB OG＝ ×2× ＝ cm2，
∴它的内接正六边形ABCDEF的面积是6S△AOB＝ cm2.
故答案为：C.
【分析】根据⊙O的周长等于4πcm，可得⊙O的半径为2，然后求出三角形AOB的面积，进而根据圆内接正六边形ABCDEF的面积等于6倍三角形AOB的面积即可解答.
3．（2023九上·玉环期中）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（ ）
A．，π B．，π C．， D．，2π
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OB、OC，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴∠BOC=，
∵OM⊥BC，
∴∠OMB=90°，
∴∠BOM=30°，
∵OB=6，
∴BM=OB=3，
∴OM=；
【分析】连接OB、OC，由圆的内接正六边形的性质可求得圆心角∠BOC的度数，在直角三角形BOM中，由30度角所对的直角边等于斜边的一半可求得BM的值，然后用勾股定理可求得边心距OM的值；
4．如图所示，正五边形ABCDE内接于为BC的中点，为DE的中点，则的大小为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵ 正五边形ABCDE内接于为BC的中点，为DE的中点，
∴OM⊥BC，ON⊥DE，∠C=∠D=108°，
∴∠OMC=∠OND=90°，
∴∠MON=540°-∠OMC-∠OND-∠C-∠D=540°-90°-90°-108°-108°=144°.
故答案为：B.
【分析】利用正五边形的性质和垂径定理可证得OM⊥BC，ON⊥DE，∠C=∠D=108°，可求出∠OMC=∠OND=90°，再利用五边形的内角和为540°，可求出∠MON的度数.
5．（2023·杭州模拟）如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H，若该圆的半径为12，则线段GH的长为（ ）
A．6 B． C． D．8
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB，OB交AC于点N，
∵正六边形ABCDEF内接于圆O，
∴AB=AF=BC=CD，∠BAF=∠BCD=∠ABC=120°，∠AOB=60°，
∴∠AFB=∠ABF=∠BAC=∠ACB=∠CBD=∠BDC=30°，OB⊥AC，AC=2AN，
∴AG=BG，BH=CH，∠GBH=∠BGH=∠BHG=60°，
∴AG=GH=BG=BH=CH，
∵OA=12，
∴，
∴AC=2AN=，
∴GH=AC=.
故答案为：B.
【分析】连接OA、OB，OB交AC于点N，由正六边形性质得AB=AF=BC=CD，∠BAF=∠BCD=∠ABC=120°，∠AOB=60°，由等边对等角及三角形内角和定理得∠AFB=∠ABF=∠BAC=∠ACB=∠CBD=∠BDC=30°，由垂径定理得OB⊥AC，AC=2AN，由等角对等边得AG=BG，BH=CH，由角的和差及三角形外角性质得∠GBH=∠BGH=∠BHG=60°，推出AG=GH=BG=BH=CH，在Rt△AON中，由∠O得正弦函数可求出AN，从而即可解决此题.
6．（2023九上·期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，正方形PQRS的顶点S，R在⊙O上，则S正方形PQRS：S正方形ABCD等于( )．
A．1 ：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5
【答案】D
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，过点O作OF⊥SR，连接OD，OR.
∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，正方形PQRS的顶点S，R在⊙O上，
∴OD = OR，DE =OE =CD，OF= RS = 2FR.
在Rt△ODE中，OD2=DE2 +OE2=2DE2 =CD2，即CD2=2OD2；
在Rt△OFR中，OR2=FR2 +OF2=OF2 +OF2=OF2，即OF2=OR2.
∴S正方形PQRS：S正方形ABCD =OF2：CD2=OR2：2OD2=2：5.
故答案为：D.
【分析】以圆的半径为突破点，并利用勾股定理，将S正方形PQRS和S正方形ABCD表示为关于圆的半径的关系式即可得到答案.
7．（2023·旌阳模拟）如图，半径为，正方形内接于，点E在上运动，连接作，垂足为F，连接.则长的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接，取的中点K，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵正方形的外接圆的半径为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴CF的最小值为.
故答案为：A.
【分析】连接，取的中点K，连接，由直角三角形斜边中线的性质及 半径为 ，可得KF=AK=BK=1，由勾股定理求出CK=，根据即可求解.
8．（2023·天门模拟）如图，将的圆周分成五等分（分点为A、B、C、D、E），依次隔一个分点相连，即成一个正五角星形.小张在制图过程中，惊讶于图形的奇妙，于是对图形展开了研究，得到：点M是线段AD、BE的黄金分割点，也是线段NE、AH的黄金分割点.在以下结论中，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形；黄金分割
【解析】【解答】解：如图，连接AB，BC，CD，DE，EA，
∵点M是线段AD、BE的黄金分割点，也是线段NE、AH的黄金分割点，
∴，
∵AB=BC=CD=DE=EA，
∴∠DAE=∠AEB，
∴AM=ME，
∴，
∴A正确，不符合题意；
∵点M是线段AD、BE的黄金分割点，也是线段NE、AH的黄金分割点，
∴点F是线段BD的黄金分割点，
∴，
∵AB=BC=CD=DE=EA，∠BCD=∠AED，
∴△BCD≌△AED，
∴AD=BD，
∴，
∴B正确，不符合题意；
∵AB=BC=CD=DE=EA， ∠BAE=108°，
∴∠BAC=∠CAD=∠DAE，
∴∠CAD=36°，
∴D正确，不符合题意；
∵∠CAD=36°， AN=BN=AM=ME，
∴∠ANM=∠AMN=72°，
∴AM＞MN，
∴C错误，符合题意；
故答案为：C.
【分析】连接AB，BC，CD，DE，EA，由黄金分割点可得，由圆周分成五等分可得AB=BC=CD=DE=EA，从而得出∠DAE=∠AEB，利用等角对等边可得AM=ME，即可判断A；由黄金分割点可得，再证△BCD≌△AED，可得AD=BD，即得，据此判断B；根据正五边形的性质及弧、弦、圆周角的关系可得∠BAC=∠CAD=∠DAE=36°，据此判断D；易求∠ANM=∠AMN=72°，可得AM＞MN，据此判断C.
二、填空题
9．（2021九上·富县期末）如图，正五边形 内接于 ，F是 的中点，则 的度数为 .
【答案】18°
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：设圆心为O，连接OC，OD，BD，
∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠O= =72°，
∴∠CBD= ∠O=36°，
∵F是 的中点，
∴∠CBF=∠DBF= ∠CBD=18°，
故答案为：18°.
【分析】设圆心为O，连接OC，OD，BD，先根据正n边形中心角为，得到∠O的度数，接着由圆周角定理得到∠CBD= ∠O=36°，接着F是 的中点得到∠CBF=∠DBF= ∠CBD=18°.
10．如图， 等边三角形ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD=5cm，则⊙O的半径R为
【答案】5
【知识点】圆内接正多边形；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接BO、DO，
∵ 等边三角形ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，
∴∠BOC=120°，∠BOD=30°，
∴∠COD=∠BOC-∠BOD=90°，
∴OC=OD=CD=5；
故答案为：5.
【分析】连接BO、DO，根据等边三角形及正十二边形的性质可得∠BOC=120°，∠BOD=30°，从而求出∠COD=∠BOC-∠BOD=90°，根据等腰直角三角形可得OC=OD=CD，继而得解.
11．同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距(内接圆的圆心到正多边形的边的距离)之比为 .
【答案】1 ：：
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：设圆的半径为R，边心距为r，
等边△ABC内接于圆O，
∴∠COD=60°，
∴即
解之：；
正方形ABCD内接于圆O，OB=R，
∴∠BOE=∠OBE=45°，
∴即，
解之：；
正六边形内接于圆O，OA=R，OD是边心距
∴∠AOB=60°，OA=OB=R
∴∠AOD=30°，
∴即
解之：
∴.
故答案为：.
【分析】设圆的半径为R，边心距为r，等边△ABC内接于圆O，可得到∠COD=60°，利用就直角三角形表示出OD；正方形ABCD内接于圆O，OB=R，可证得∠BOE=∠OBE=45°，利用就直角三角形表示出OE的长；正六边形内接于圆O，OA=R，OD是边心距，可证得∠AOD=30°，利用解直角三角形可表示出OD的长；然后求出它们的边心距之比即可.
12．（2022九上·下城期中）如图，边长为6的正方形内接于，点E是上的一动点（不与A，B重合，点F是上的一点，连接，分别与交于点G，H，且，有以下结论：①；②周长的最小值为；③随着点E位置的变化，四边形的面积始终为9.其中正确的是 .（填序号）
【答案】①③
【知识点】垂线段最短；三角形的面积；正方形的性质；圆内接正多边形；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：如图，连接 .
∵ ，
∴ .
∵四边形 为正方形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长为 ，
∴当 最小时， 周长的最小.
∵ ，
∴当 最小时， 最小，此时 .
如图，过点O作 于点M，作 于点N，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长的最小值为 ，故②错误；
∵ ，
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ ，故③正确.
综上可知①③正确.
故答案为：①③.
【分析】连接OC、OB，根据正方形的性质可得∠BOC=90°，OB=OC，∠OBG=∠OCH=45°，由同角的余角相等可得∠BOG=∠COH，利用ASA证明△BOG≌△COH，据此判断①；根据全等三角形的性质可得BG=CH，则BH+BG=BH+CH=BC=6，△GBH的周长为6+HG，由勾股定理可得HG=，故当OH、OG最小时，HG最小，此时OH⊥BC，OG⊥AB，过点O作OM⊥BC于点M，作ON⊥AB于点N，则OM=PN=3，利用勾股定理可得HG，据此判断②；根据全等三角形的性质可得S△BOG=S△COH，推出S△BOC=S正方形ABCD，据此判断③.
13．（2021·孝义模拟）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率．若设⊙O的半径为R，圆内接正n边形的边长、面积分别为an，Sn，圆内接正2n边形边长、面积分别为a2n，S2n．刘徽用以下公式求出a2n和S2n． ， ．如图，若⊙O的半径为1，则⊙O的内接正八边形AEBFCGDH的面积为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接AC，四边形ABCD是圆内接正四边形，∠ADC=90°，
∴AC是圆的直径，AC=2，
∵ ，
∴ ，
，
故答案为： ．
【分析】先求出AC是圆的直径，AC=2，再求出 ，最后找出规律求解即可。
三、解答题
14．一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式各剪得一个正方形，边长都为1，求扇形纸板和圆形纸板的面积比.
【答案】解：如图，在扇形纸板中连接OF，在Rt△OCD中，∵∠COD=45°，∴△OCD是等腰直角三角形，∴OD=CD=1.∴OE=OD+DE=1+1=2，在Rt△OEF中，根据勾股定理可得：OF2=OE2+EF2=22+12=5，∴扇形的面积等于 = = .在圆形纸板中连接AC，易知AC是直径，由勾股定理得AC= ，∴OA= ，∴圆的面积等于π = .∴扇形纸板和圆形纸板的面积比是 ∶ =5∶4.
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算
【解析】【分析】在扇形纸板中连接OF，由∠COD=45°从而得出△OCD是等腰直角三角形；在Rt△OEF中，根据勾股定理得扇形半径OF=，再由扇形面积公式得扇形的面积=；在圆形纸板中连接AC，易知AC是直径，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=，由圆的面积公式得圆面积=；从而得出扇形纸板和圆形纸板的面积比是 ∶=5∶4.
15．如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧 上（不与C点重合）．
（1）求∠BPC的度数；
（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．
【答案】（1）解：连接OB，OC，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BOC=90°，∴∠BPC= ∠BOC=45°；
（2）解：过点O作OE⊥BC于点E， ∵OB=OC，∠BOC=90°，∴∠OBE=45°，∴OE=BE，∵OE2+BE2=OB2，∴BE= ∴BC=2BE=2×
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）由圆内接正方形的性质可知，正方形ABCD的中心角为90°，根据同圆或等圆中圆周角等于圆心角的一半，可以求得∠BPC的度数；
（2）由题意可知，OB=OC=8，再由解直角三角形可以求得BC的长。
四、综合题
16．（2020·金华模拟）如图，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象上边CD在x轴上，点B在y轴上，已知CD＝4.
（1）
点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由.
（2）
若该反比例函数图象与DE交于点Q，求点Q的横坐标；
（3）
平移正六边形ABCDEF，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描述平移过程.
【答案】（1）解：过点P作x轴垂线PG，连接BP，CP，
∵P是正六边形ABCDEF的对称中心，CD＝4，
∴BP＝CP＝4，G是CD的中点，
∴PG＝2 ，
∴P（4，2 ），
∵P在反比例函数y＝ 上，
∴k＝8 ，
∴y＝ ，
连接AC交PB于G，则AC⊥PB，
由正六边形的性质得A（2，4 ），
∴点A在反比例函数图象上
（2）解：过Q作QM⊥x轴于M，
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠EDM＝60°，
设DM＝b，则QM＝ b，
∴Q（b+6， b），
∵该反比例函数图象与DE交于点Q，
∴ b（b+6）＝8 ，
解得：b＝﹣3+ ，b＝﹣3﹣ （不合题意舍去），
∴点Q的横坐标为3+
（3）解：连接AP，A（2，4 ），B（0，2 ），C（2，0），D（6，0），E（8， ），F（6，4 ）， 设正六边形向左平移m个单位，向上平移n个单位，则平移后点的坐标分别为 ∴A（2﹣m，4 +n），B（﹣m，2 +n），C（2﹣m，n），D（6﹣m，n），E（8﹣m，2 +n），F（6﹣m，4 +n）， ①将正六边形向左平移4个单位后，E（4，2 ），F（2，4 ）； 则点E与F都在反比例函数图象上； ②将正六边形向右平移2个单位，再向上平移2 个单位后，C（4，2 ），B（2，4 ） 则点B与C都在反比例函数图象上
【知识点】反比例函数的性质；圆内接正多边形；坐标与图形变化﹣平移；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）过点P作x轴垂线PG，连接BP，CP，根据正六边形的性质可得BP＝CP＝4，G是CD的中点，从而求出PG＝2 ，即得P（4，2 ），将其代入y＝ 中，即可求出k值， 即得y＝ .连接AC交PB于G，则AC⊥PB， 由正六边形的性质得A（2，4 ）将点A坐标代入反比例函数解析式中进行检验即可；
（2）过Q作QM⊥x轴于M， 由正六边形的性质可得∠EDM＝60°，设DM＝b，可得QM＝ b， 即得 Q（b+6， b）将点Q的坐标代入y＝ 中，可求出b＝﹣3+ ，即得点Q的横坐标；
（3）连接AP，设正六边形向左平移m个单位，向上平移n个单位，则平移后点的坐标分别为 A（2﹣m，4 +n），B（﹣m，2 +n），C（2﹣m，n），D（6﹣m，n），E（8﹣m，2 +n），F（6﹣m，4 +n），①将正六边形向左平移4个单位后，E（4，2 ），F（2，4 ）； 则点E与F都在反比例函数图象上； ②将正六边形向右平移2个单位，再向上平移2 个单位后，C（4，2 ），B（2，4 ） 则点B与C都在反比例函数图象上 .
17．（2022·交城模拟）阅读下列材料，并按要求完成相应的任务．
黄金三角形与五角星
当等腰三角形的顶角为36°（或108°）时，它的底与腰的比（或腰与底的比）为，我们把这样的三角形叫做黄金三角形．
按下面的步骤画一个五角星（如图）：
①作一个以AB为直径的圆，圆心为O；
②过圆心O作半径OC⊥AB；
③取OC的中点D，连接AD；
④以D为圆心OD为半径画弧交AD于点E；
⑤从点A开始以AE为半径顺时针依次画弧，
正好把⊙O十等分（其中点F，G，B，H，I为五等分点）；
⑥以点F，G，B，H，I为顶点画出五角星．
任务：
（1）求出的值为 ；
（2）如图，GH与BF，BI分别交于点M，N，求证：△BMN是黄金三角形．
【答案】（1）
（2）证明：连接OH，OI，
∵点F，G，B，H，I为五等分点，
∴∠HOI=360°=72°，
∴∠G=36°，
同理∠F=∠FBI=∠GHF=∠BIG=36°，
又∵∠BMN是△MHF的外角，
∴∠BMN=∠F+∠GHF=72°，
同理∠BNM=72°，
∴∠BMN=∠BNM，
∴BM=BN，
∵∠FBI=36°，
∴△BMN是黄金三角形.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】(1)解：∵，
∴，
∵点D为OC中点，
∴OD=OC=OA，
设OD=x，则OA=2x，
在中，由勾股定理可得
，
∴，
∴AD=x，
∴AE=AD-DE=x-x，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）由垂径定理可得∠AOC=90°，由线段的中点可得OD=OC=OA，可设OD=x，则OA=2x，利用勾股定理求出AD=x，从而求出AE=AD-DE=x-x，继而求出比值；
（2）连接OH，OI， 由 点F，G，B，H，I为五等分点， 可求出∠G=∠F=∠FBI=∠GHF=∠BIG=36°， 利用三角形的外角可求出∠BMN=∠BNM=72°，可得BM=BN，根据“ 黄金三角形”的定义即证.
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 29.5 正多边形与圆同步分层训练培优题
一、选择题
1．正六边形内接于圆，它的边所对的圆周角是（ ）
A．60° B．120°
C．60°或120° D．30°或150°
2．（2020九下·沈阳月考）如图，⊙O的周长等于4πcm，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·玉环期中）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（ ）
A．，π B．，π C．， D．，2π
4．如图所示，正五边形ABCDE内接于为BC的中点，为DE的中点，则的大小为（ ）.
A． B． C． D．
5．（2023·杭州模拟）如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H，若该圆的半径为12，则线段GH的长为（ ）
A．6 B． C． D．8
6．（2023九上·期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，正方形PQRS的顶点S，R在⊙O上，则S正方形PQRS：S正方形ABCD等于( )．
A．1 ：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5
7．（2023·旌阳模拟）如图，半径为，正方形内接于，点E在上运动，连接作，垂足为F，连接.则长的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
8．（2023·天门模拟）如图，将的圆周分成五等分（分点为A、B、C、D、E），依次隔一个分点相连，即成一个正五角星形.小张在制图过程中，惊讶于图形的奇妙，于是对图形展开了研究，得到：点M是线段AD、BE的黄金分割点，也是线段NE、AH的黄金分割点.在以下结论中，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2021九上·富县期末）如图，正五边形 内接于 ，F是 的中点，则 的度数为 .
10．如图， 等边三角形ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD=5cm，则⊙O的半径R为
11．同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距(内接圆的圆心到正多边形的边的距离)之比为 .
12．（2022九上·下城期中）如图，边长为6的正方形内接于，点E是上的一动点（不与A，B重合，点F是上的一点，连接，分别与交于点G，H，且，有以下结论：①；②周长的最小值为；③随着点E位置的变化，四边形的面积始终为9.其中正确的是 .（填序号）
13．（2021·孝义模拟）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率．若设⊙O的半径为R，圆内接正n边形的边长、面积分别为an，Sn，圆内接正2n边形边长、面积分别为a2n，S2n．刘徽用以下公式求出a2n和S2n． ， ．如图，若⊙O的半径为1，则⊙O的内接正八边形AEBFCGDH的面积为 ．
三、解答题
14．一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式各剪得一个正方形，边长都为1，求扇形纸板和圆形纸板的面积比.
15．如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧 上（不与C点重合）．
（1）求∠BPC的度数；
（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．
四、综合题
16．（2020·金华模拟）如图，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象上边CD在x轴上，点B在y轴上，已知CD＝4.
（1）
点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由.
（2）
若该反比例函数图象与DE交于点Q，求点Q的横坐标；
（3）
平移正六边形ABCDEF，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描述平移过程.
17．（2022·交城模拟）阅读下列材料，并按要求完成相应的任务．
黄金三角形与五角星
当等腰三角形的顶角为36°（或108°）时，它的底与腰的比（或腰与底的比）为，我们把这样的三角形叫做黄金三角形．
按下面的步骤画一个五角星（如图）：
①作一个以AB为直径的圆，圆心为O；
②过圆心O作半径OC⊥AB；
③取OC的中点D，连接AD；
④以D为圆心OD为半径画弧交AD于点E；
⑤从点A开始以AE为半径顺时针依次画弧，
正好把⊙O十等分（其中点F，G，B，H，I为五等分点）；
⑥以点F，G，B，H，I为顶点画出五角星．
任务：
（1）求出的值为 ；
（2）如图，GH与BF，BI分别交于点M，N，求证：△BMN是黄金三角形．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】圆内接正六边形的边所对的圆心角=360°÷6=60°，根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半，边所对的圆周角的度数是60×=30°或180°﹣30°=150°．故选D．
【分析】作出图形，求出一条边所对的圆心角的度数，再根据圆周角和圆心角的关系解答．
2．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB，作OG⊥AB于点G，
∵⊙O的周长等于4πcm，
∴⊙O的半径为： ＝2cm，
∵ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴OA＝OB＝AB＝2cm，
∵OG⊥AB，
∴AG＝BG＝ AB＝1 cm，
∴OG＝ cm，
∴S△AOB＝ AB OG＝ ×2× ＝ cm2，
∴它的内接正六边形ABCDEF的面积是6S△AOB＝ cm2.
故答案为：C.
【分析】根据⊙O的周长等于4πcm，可得⊙O的半径为2，然后求出三角形AOB的面积，进而根据圆内接正六边形ABCDEF的面积等于6倍三角形AOB的面积即可解答.
3．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OB、OC，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴∠BOC=，
∵OM⊥BC，
∴∠OMB=90°，
∴∠BOM=30°，
∵OB=6，
∴BM=OB=3，
∴OM=；
【分析】连接OB、OC，由圆的内接正六边形的性质可求得圆心角∠BOC的度数，在直角三角形BOM中，由30度角所对的直角边等于斜边的一半可求得BM的值，然后用勾股定理可求得边心距OM的值；
4．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵ 正五边形ABCDE内接于为BC的中点，为DE的中点，
∴OM⊥BC，ON⊥DE，∠C=∠D=108°，
∴∠OMC=∠OND=90°，
∴∠MON=540°-∠OMC-∠OND-∠C-∠D=540°-90°-90°-108°-108°=144°.
故答案为：B.
【分析】利用正五边形的性质和垂径定理可证得OM⊥BC，ON⊥DE，∠C=∠D=108°，可求出∠OMC=∠OND=90°，再利用五边形的内角和为540°，可求出∠MON的度数.
5．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB，OB交AC于点N，
∵正六边形ABCDEF内接于圆O，
∴AB=AF=BC=CD，∠BAF=∠BCD=∠ABC=120°，∠AOB=60°，
∴∠AFB=∠ABF=∠BAC=∠ACB=∠CBD=∠BDC=30°，OB⊥AC，AC=2AN，
∴AG=BG，BH=CH，∠GBH=∠BGH=∠BHG=60°，
∴AG=GH=BG=BH=CH，
∵OA=12，
∴，
∴AC=2AN=，
∴GH=AC=.
故答案为：B.
【分析】连接OA、OB，OB交AC于点N，由正六边形性质得AB=AF=BC=CD，∠BAF=∠BCD=∠ABC=120°，∠AOB=60°，由等边对等角及三角形内角和定理得∠AFB=∠ABF=∠BAC=∠ACB=∠CBD=∠BDC=30°，由垂径定理得OB⊥AC，AC=2AN，由等角对等边得AG=BG，BH=CH，由角的和差及三角形外角性质得∠GBH=∠BGH=∠BHG=60°，推出AG=GH=BG=BH=CH，在Rt△AON中，由∠O得正弦函数可求出AN，从而即可解决此题.
6．【答案】D
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，过点O作OF⊥SR，连接OD，OR.
∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，正方形PQRS的顶点S，R在⊙O上，
∴OD = OR，DE =OE =CD，OF= RS = 2FR.
在Rt△ODE中，OD2=DE2 +OE2=2DE2 =CD2，即CD2=2OD2；
在Rt△OFR中，OR2=FR2 +OF2=OF2 +OF2=OF2，即OF2=OR2.
∴S正方形PQRS：S正方形ABCD =OF2：CD2=OR2：2OD2=2：5.
故答案为：D.
【分析】以圆的半径为突破点，并利用勾股定理，将S正方形PQRS和S正方形ABCD表示为关于圆的半径的关系式即可得到答案.
7．【答案】A
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接，取的中点K，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵正方形的外接圆的半径为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴CF的最小值为.
故答案为：A.
【分析】连接，取的中点K，连接，由直角三角形斜边中线的性质及 半径为 ，可得KF=AK=BK=1，由勾股定理求出CK=，根据即可求解.
8．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形；黄金分割
【解析】【解答】解：如图，连接AB，BC，CD，DE，EA，
∵点M是线段AD、BE的黄金分割点，也是线段NE、AH的黄金分割点，
∴，
∵AB=BC=CD=DE=EA，
∴∠DAE=∠AEB，
∴AM=ME，
∴，
∴A正确，不符合题意；
∵点M是线段AD、BE的黄金分割点，也是线段NE、AH的黄金分割点，
∴点F是线段BD的黄金分割点，
∴，
∵AB=BC=CD=DE=EA，∠BCD=∠AED，
∴△BCD≌△AED，
∴AD=BD，
∴，
∴B正确，不符合题意；
∵AB=BC=CD=DE=EA， ∠BAE=108°，
∴∠BAC=∠CAD=∠DAE，
∴∠CAD=36°，
∴D正确，不符合题意；
∵∠CAD=36°， AN=BN=AM=ME，
∴∠ANM=∠AMN=72°，
∴AM＞MN，
∴C错误，符合题意；
故答案为：C.
【分析】连接AB，BC，CD，DE，EA，由黄金分割点可得，由圆周分成五等分可得AB=BC=CD=DE=EA，从而得出∠DAE=∠AEB，利用等角对等边可得AM=ME，即可判断A；由黄金分割点可得，再证△BCD≌△AED，可得AD=BD，即得，据此判断B；根据正五边形的性质及弧、弦、圆周角的关系可得∠BAC=∠CAD=∠DAE=36°，据此判断D；易求∠ANM=∠AMN=72°，可得AM＞MN，据此判断C.
9．【答案】18°
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：设圆心为O，连接OC，OD，BD，
∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠O= =72°，
∴∠CBD= ∠O=36°，
∵F是 的中点，
∴∠CBF=∠DBF= ∠CBD=18°，
故答案为：18°.
【分析】设圆心为O，连接OC，OD，BD，先根据正n边形中心角为，得到∠O的度数，接着由圆周角定理得到∠CBD= ∠O=36°，接着F是 的中点得到∠CBF=∠DBF= ∠CBD=18°.
10．【答案】5
【知识点】圆内接正多边形；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接BO、DO，
∵ 等边三角形ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，
∴∠BOC=120°，∠BOD=30°，
∴∠COD=∠BOC-∠BOD=90°，
∴OC=OD=CD=5；
故答案为：5.
【分析】连接BO、DO，根据等边三角形及正十二边形的性质可得∠BOC=120°，∠BOD=30°，从而求出∠COD=∠BOC-∠BOD=90°，根据等腰直角三角形可得OC=OD=CD，继而得解.
11．【答案】1 ：：
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：设圆的半径为R，边心距为r，
等边△ABC内接于圆O，
∴∠COD=60°，
∴即
解之：；
正方形ABCD内接于圆O，OB=R，
∴∠BOE=∠OBE=45°，
∴即，
解之：；
正六边形内接于圆O，OA=R，OD是边心距
∴∠AOB=60°，OA=OB=R
∴∠AOD=30°，
∴即
解之：
∴.
故答案为：.
【分析】设圆的半径为R，边心距为r，等边△ABC内接于圆O，可得到∠COD=60°，利用就直角三角形表示出OD；正方形ABCD内接于圆O，OB=R，可证得∠BOE=∠OBE=45°，利用就直角三角形表示出OE的长；正六边形内接于圆O，OA=R，OD是边心距，可证得∠AOD=30°，利用解直角三角形可表示出OD的长；然后求出它们的边心距之比即可.
12．【答案】①③
【知识点】垂线段最短；三角形的面积；正方形的性质；圆内接正多边形；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：如图，连接 .
∵ ，
∴ .
∵四边形 为正方形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长为 ，
∴当 最小时， 周长的最小.
∵ ，
∴当 最小时， 最小，此时 .
如图，过点O作 于点M，作 于点N，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长的最小值为 ，故②错误；
∵ ，
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ ，故③正确.
综上可知①③正确.
故答案为：①③.
【分析】连接OC、OB，根据正方形的性质可得∠BOC=90°，OB=OC，∠OBG=∠OCH=45°，由同角的余角相等可得∠BOG=∠COH，利用ASA证明△BOG≌△COH，据此判断①；根据全等三角形的性质可得BG=CH，则BH+BG=BH+CH=BC=6，△GBH的周长为6+HG，由勾股定理可得HG=，故当OH、OG最小时，HG最小，此时OH⊥BC，OG⊥AB，过点O作OM⊥BC于点M，作ON⊥AB于点N，则OM=PN=3，利用勾股定理可得HG，据此判断②；根据全等三角形的性质可得S△BOG=S△COH，推出S△BOC=S正方形ABCD，据此判断③.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接AC，四边形ABCD是圆内接正四边形，∠ADC=90°，
∴AC是圆的直径，AC=2，
∵ ，
∴ ，
，
故答案为： ．
【分析】先求出AC是圆的直径，AC=2，再求出 ，最后找出规律求解即可。
14．【答案】解：如图，在扇形纸板中连接OF，在Rt△OCD中，∵∠COD=45°，∴△OCD是等腰直角三角形，∴OD=CD=1.∴OE=OD+DE=1+1=2，在Rt△OEF中，根据勾股定理可得：OF2=OE2+EF2=22+12=5，∴扇形的面积等于 = = .在圆形纸板中连接AC，易知AC是直径，由勾股定理得AC= ，∴OA= ，∴圆的面积等于π = .∴扇形纸板和圆形纸板的面积比是 ∶ =5∶4.
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算
【解析】【分析】在扇形纸板中连接OF，由∠COD=45°从而得出△OCD是等腰直角三角形；在Rt△OEF中，根据勾股定理得扇形半径OF=，再由扇形面积公式得扇形的面积=；在圆形纸板中连接AC，易知AC是直径，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=，由圆的面积公式得圆面积=；从而得出扇形纸板和圆形纸板的面积比是 ∶=5∶4.
15．【答案】（1）解：连接OB，OC，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BOC=90°，∴∠BPC= ∠BOC=45°；
（2）解：过点O作OE⊥BC于点E， ∵OB=OC，∠BOC=90°，∴∠OBE=45°，∴OE=BE，∵OE2+BE2=OB2，∴BE= ∴BC=2BE=2×
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）由圆内接正方形的性质可知，正方形ABCD的中心角为90°，根据同圆或等圆中圆周角等于圆心角的一半，可以求得∠BPC的度数；
（2）由题意可知，OB=OC=8，再由解直角三角形可以求得BC的长。
16．【答案】（1）解：过点P作x轴垂线PG，连接BP，CP，
∵P是正六边形ABCDEF的对称中心，CD＝4，
∴BP＝CP＝4，G是CD的中点，
∴PG＝2 ，
∴P（4，2 ），
∵P在反比例函数y＝ 上，
∴k＝8 ，
∴y＝ ，
连接AC交PB于G，则AC⊥PB，
由正六边形的性质得A（2，4 ），
∴点A在反比例函数图象上
（2）解：过Q作QM⊥x轴于M，
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠EDM＝60°，
设DM＝b，则QM＝ b，
∴Q（b+6， b），
∵该反比例函数图象与DE交于点Q，
∴ b（b+6）＝8 ，
解得：b＝﹣3+ ，b＝﹣3﹣ （不合题意舍去），
∴点Q的横坐标为3+
（3）解：连接AP，A（2，4 ），B（0，2 ），C（2，0），D（6，0），E（8， ），F（6，4 ）， 设正六边形向左平移m个单位，向上平移n个单位，则平移后点的坐标分别为 ∴A（2﹣m，4 +n），B（﹣m，2 +n），C（2﹣m，n），D（6﹣m，n），E（8﹣m，2 +n），F（6﹣m，4 +n）， ①将正六边形向左平移4个单位后，E（4，2 ），F（2，4 ）； 则点E与F都在反比例函数图象上； ②将正六边形向右平移2个单位，再向上平移2 个单位后，C（4，2 ），B（2，4 ） 则点B与C都在反比例函数图象上
【知识点】反比例函数的性质；圆内接正多边形；坐标与图形变化﹣平移；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）过点P作x轴垂线PG，连接BP，CP，根据正六边形的性质可得BP＝CP＝4，G是CD的中点，从而求出PG＝2 ，即得P（4，2 ），将其代入y＝ 中，即可求出k值， 即得y＝ .连接AC交PB于G，则AC⊥PB， 由正六边形的性质得A（2，4 ）将点A坐标代入反比例函数解析式中进行检验即可；
（2）过Q作QM⊥x轴于M， 由正六边形的性质可得∠EDM＝60°，设DM＝b，可得QM＝ b， 即得 Q（b+6， b）将点Q的坐标代入y＝ 中，可求出b＝﹣3+ ，即得点Q的横坐标；
（3）连接AP，设正六边形向左平移m个单位，向上平移n个单位，则平移后点的坐标分别为 A（2﹣m，4 +n），B（﹣m，2 +n），C（2﹣m，n），D（6﹣m，n），E（8﹣m，2 +n），F（6﹣m，4 +n），①将正六边形向左平移4个单位后，E（4，2 ），F（2，4 ）； 则点E与F都在反比例函数图象上； ②将正六边形向右平移2个单位，再向上平移2 个单位后，C（4，2 ），B（2，4 ） 则点B与C都在反比例函数图象上 .
17．【答案】（1）
（2）证明：连接OH，OI，
∵点F，G，B，H，I为五等分点，
∴∠HOI=360°=72°，
∴∠G=36°，
同理∠F=∠FBI=∠GHF=∠BIG=36°，
又∵∠BMN是△MHF的外角，
∴∠BMN=∠F+∠GHF=72°，
同理∠BNM=72°，
∴∠BMN=∠BNM，
∴BM=BN，
∵∠FBI=36°，
∴△BMN是黄金三角形.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】(1)解：∵，
∴，
∵点D为OC中点，
∴OD=OC=OA，
设OD=x，则OA=2x，
在中，由勾股定理可得
，
∴，
∴AD=x，
∴AE=AD-DE=x-x，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）由垂径定理可得∠AOC=90°，由线段的中点可得OD=OC=OA，可设OD=x，则OA=2x，利用勾股定理求出AD=x，从而求出AE=AD-DE=x-x，继而求出比值；
（2）连接OH，OI， 由 点F，G，B，H，I为五等分点， 可求出∠G=∠F=∠FBI=∠GHF=∠BIG=36°， 利用三角形的外角可求出∠BMN=∠BNM=72°，可得BM=BN，根据“ 黄金三角形”的定义即证.
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