2023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 30.1 二次函数同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023九上·余杭期中）下列解析式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y＝2x B．y＝x2 C． D．y＝x3+1
2．（2023九上·青岛月考）下列函数中，是二次函数的有（ ）
①，②，③，④
A．个 B．个 C．个 D．个
3．已知二次函数y=ax2-2c，当x=2时，函数值等于8，则下列关于a，c的关系式中，正确的是（ ）
A．a+c=8 B．a-c=4 C．a-2c=8 D．2a-c=4
4．已知二次函数y=3(x-2)2+1，当x=3时，y的值为（ ）
A．4 B．-4 C．3 D．-3
5．若函数是二次函数，则m的值为（ ）
A．0或-1 B．0或1 C．-1 D．1
6．（2023九上·朝阳月考）下列函数中，y是x的二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·石景山模拟） 如图，在中，，点是边上一动点不与
点，重合，过点作交于点设，的长为，
的面积为，则与，与满足的函数关系分别为（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．反比例函数关系，一次函数关系
8．（2021九上·涟源期末）当函数 是二次函数时， 的取值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023九上·余姚期中）若函数是二次函数，则 ．
10．（2023九上·北京市月考）若关于的函数是二次函数，则的取值范围是 ．
11．形如y= (a，b，c都是常数，且a 0)的函数叫作二次函数，称a为 ，b为 ，c为 ．二次函数与一次函数、反比例函数都是初中阶段学习的重要的函数．
12．（2021九上·乌拉特前旗月考）如果函数 是二次函数，那么k的值一定是 ．
13．在函数式①y= ， ②y= ， ③y=x2﹣ ， ④y=（x﹣1）（x﹣3）中，二次函数是 （填序号）．
三、解答题
14．（2023九上·泸州期中）若函数是以x为自变量的二次函数．
（1）求k的值；
（2）当函数值时，求自变量x的值．
15．已知两个变量x，y之间的关系式为y=(a-2)x2+(b+2)x-3．
（1）当a，b满足什么条件时，y是关于x的二次函数？
（2）当a，b满足什么条件时，y是关于x的一次函数？
四、综合题
16．（2020九上·昌平期末）已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、 y＝2x是一次函数，故不符合题意；
B、y＝x2是二次函数，故符合题意；
C、 是反比例函数，故不符合题意；
D、 y＝x3+1不是二次函数，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】形如y=ax2+bx+c（c≠0）的函数，叫做二次函数，据此判断即可.
2．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：①，是二次函数；
②，不符合二次函数的定义，不是二次函数；
③，整理后是二次函数；
④，整理后是二次函数；
综上可得，是二次函数的是：①③④，共3个。
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的定义判定。形如（，，为常数且）就是二次函数．
3．【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：当x=2时，y=8，代入二次函数 y=ax2-2c 得 4a-2c=8，
即2a-c=4.
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的定义将x，y的值代入即可求得.
4．【答案】A
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：把x=3代入二次函数 y=3(x-2)2+1得：y=3×(3-2)2+1=4.
故答案为：A.
【分析】根据二次函数的定义将x=3代入解析式即可.
5．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得：m2+m+2=2，且m≠0，
解得：m=-1.
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的定义得m2+m+2=2，且m≠0，解出即可.
6．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】
A：，y不是x的二次函数，x的二次项还要开方，不符合题意；
B：，y不是x的二次函数，去括号后x没有二次项了，不符合题意；
C：，y是x的二次函数，符合题意；
D： ，y不是x的二次函数，y2是x的二次函数，不符合题意。
故答案为 ：C
【分析】 y是x的二次函数，与y存在对应关系的x的多项式中，最高次数应该是2次，据此只有C符号题意。
7．【答案】A
【知识点】一次函数的定义；二次函数的定义；三角形的面积；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：，，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
与是一次函数关系；
，
与是二次函数关系．
故选：．
【分析】易求△PBQ是等腰直角三角形，由CP=x则PB=10-x，BQ=PB，据此可求出y关于x的关系式；由求出S关于x的关系式，再判断即可.
8．【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵函数 是二次函数，
∴a-1≠0， =2，
∴a≠1， ，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】形如“y=ax2+bx+c （a,b,c都是常数，且a≠0）”的函数，就是二次函数，根据定义列出混合组，求解即可.
9．【答案】2
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵函数是二次函数，
∴，
∴m=2.
故答案为：2.
【分析】形如y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的函数就是二次函数，据此得出，求解即可得出m的值.
10．【答案】
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：由题得：解得a≠-1，
故答案为：a≠-1.
【分析】考查二次函数定义，明确二次项系数不为零，从而求得a的取值范围。
11．【答案】ax2+bx+c；≠；二次项系数；一次项系数；常数项
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：形如y=ax2+bx+c（a，b，c都是常数，且a≠0）的函数叫作二次函数，称a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数.
故答案为：ax2+bx+c；≠；二次项系数；一次项系数；常数项
【分析】根据二次函数的一般式和定义进行解答，即可得出答案.
12．【答案】0
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】根据二次函数的定义，得：
k2 3k＋2＝2，
解得k＝0或k＝3；
又∵k 3≠0，
∴k≠3．
∴当k＝0时，这个函数是二次函数．
故答案为：0．
【分析】根据二次函数的定义可以得到k2 3k＋2＝2，求出k的值，再结合k 3≠0，即可得到答案。
13．【答案】②④
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】①y= ，右边不是整式，不是二次函数；
②y= ，是二次函数；
③ ，右边不是整式，不是二次函数
④y=(x-1)(x-3)，是二次函数
故答案为：②④
【分析】利用二次函数的定义解答即可。
14．【答案】（1）解：依题意有，
解得：，∴k的值为3
（2）解：把代入函数解析式中得：，
当，时，，
【知识点】二次函数的定义
【解析】【分析】（1）根据二次函数的定义得出，求出k的值即可；
（2）把代入函数解析式中得出，再把代入得出，解关于x的方程即可．
15．【答案】（1）解：∵两个变量x，y之间的关系式y=(a-2)x2+(b+2)x-3是y关于x的二次函数，
∴a-2≠0，
∴a≠2，
∴当a≠2，b为任意实数时，y是关于x的二次函数；
（2）解：∵两个变量x，y之间的关系式y=(a-2)x2+(b+2)x-3是y关于x的一次函数，
∴a-2=0，b+2≠0，
∴a=2，b≠-2，
∴.当a=2，b≠-2时，y是关于c的一次函数.
【知识点】一次函数的定义；二次函数的定义
【解析】【分析】（1）利用二次函数定义中的二次项的系数不为0，可得到a，b的取值范围.
（2）利用一次函数的定义：含自变量的式子是一次式，可得到a-2=0，b+2≠0，分别求解，可得到a，b满足的条件.
16．【答案】（1）解：根据一次函数的定义，得：m2﹣m=0
解得m=0或m=1
又∵m﹣1≠0即m≠1；
∴当m=0时，这个函数是一次函数
（2）解：根据二次函数的定义，得：m2﹣m≠0
解得m1≠0，m2≠1
∴当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数．
【知识点】一次函数的定义；二次函数的定义
【解析】【分析】根据一次函数与二次函数的定义求解．
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 30.1 二次函数同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023九上·余杭期中）下列解析式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y＝2x B．y＝x2 C． D．y＝x3+1
【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、 y＝2x是一次函数，故不符合题意；
B、y＝x2是二次函数，故符合题意；
C、 是反比例函数，故不符合题意；
D、 y＝x3+1不是二次函数，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】形如y=ax2+bx+c（c≠0）的函数，叫做二次函数，据此判断即可.
2．（2023九上·青岛月考）下列函数中，是二次函数的有（ ）
①，②，③，④
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：①，是二次函数；
②，不符合二次函数的定义，不是二次函数；
③，整理后是二次函数；
④，整理后是二次函数；
综上可得，是二次函数的是：①③④，共3个。
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的定义判定。形如（，，为常数且）就是二次函数．
3．已知二次函数y=ax2-2c，当x=2时，函数值等于8，则下列关于a，c的关系式中，正确的是（ ）
A．a+c=8 B．a-c=4 C．a-2c=8 D．2a-c=4
【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：当x=2时，y=8，代入二次函数 y=ax2-2c 得 4a-2c=8，
即2a-c=4.
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的定义将x，y的值代入即可求得.
4．已知二次函数y=3(x-2)2+1，当x=3时，y的值为（ ）
A．4 B．-4 C．3 D．-3
【答案】A
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：把x=3代入二次函数 y=3(x-2)2+1得：y=3×(3-2)2+1=4.
故答案为：A.
【分析】根据二次函数的定义将x=3代入解析式即可.
5．若函数是二次函数，则m的值为（ ）
A．0或-1 B．0或1 C．-1 D．1
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得：m2+m+2=2，且m≠0，
解得：m=-1.
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的定义得m2+m+2=2，且m≠0，解出即可.
6．（2023九上·朝阳月考）下列函数中，y是x的二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】
A：，y不是x的二次函数，x的二次项还要开方，不符合题意；
B：，y不是x的二次函数，去括号后x没有二次项了，不符合题意；
C：，y是x的二次函数，符合题意；
D： ，y不是x的二次函数，y2是x的二次函数，不符合题意。
故答案为 ：C
【分析】 y是x的二次函数，与y存在对应关系的x的多项式中，最高次数应该是2次，据此只有C符号题意。
7．（2023·石景山模拟） 如图，在中，，点是边上一动点不与
点，重合，过点作交于点设，的长为，
的面积为，则与，与满足的函数关系分别为（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．反比例函数关系，一次函数关系
【答案】A
【知识点】一次函数的定义；二次函数的定义；三角形的面积；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：，，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
与是一次函数关系；
，
与是二次函数关系．
故选：．
【分析】易求△PBQ是等腰直角三角形，由CP=x则PB=10-x，BQ=PB，据此可求出y关于x的关系式；由求出S关于x的关系式，再判断即可.
8．（2021九上·涟源期末）当函数 是二次函数时， 的取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵函数 是二次函数，
∴a-1≠0， =2，
∴a≠1， ，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】形如“y=ax2+bx+c （a,b,c都是常数，且a≠0）”的函数，就是二次函数，根据定义列出混合组，求解即可.
二、填空题
9．（2023九上·余姚期中）若函数是二次函数，则 ．
【答案】2
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵函数是二次函数，
∴，
∴m=2.
故答案为：2.
【分析】形如y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的函数就是二次函数，据此得出，求解即可得出m的值.
10．（2023九上·北京市月考）若关于的函数是二次函数，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：由题得：解得a≠-1，
故答案为：a≠-1.
【分析】考查二次函数定义，明确二次项系数不为零，从而求得a的取值范围。
11．形如y= (a，b，c都是常数，且a 0)的函数叫作二次函数，称a为 ，b为 ，c为 ．二次函数与一次函数、反比例函数都是初中阶段学习的重要的函数．
【答案】ax2+bx+c；≠；二次项系数；一次项系数；常数项
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：形如y=ax2+bx+c（a，b，c都是常数，且a≠0）的函数叫作二次函数，称a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数.
故答案为：ax2+bx+c；≠；二次项系数；一次项系数；常数项
【分析】根据二次函数的一般式和定义进行解答，即可得出答案.
12．（2021九上·乌拉特前旗月考）如果函数 是二次函数，那么k的值一定是 ．
【答案】0
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】根据二次函数的定义，得：
k2 3k＋2＝2，
解得k＝0或k＝3；
又∵k 3≠0，
∴k≠3．
∴当k＝0时，这个函数是二次函数．
故答案为：0．
【分析】根据二次函数的定义可以得到k2 3k＋2＝2，求出k的值，再结合k 3≠0，即可得到答案。
13．在函数式①y= ， ②y= ， ③y=x2﹣ ， ④y=（x﹣1）（x﹣3）中，二次函数是 （填序号）．
【答案】②④
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】①y= ，右边不是整式，不是二次函数；
②y= ，是二次函数；
③ ，右边不是整式，不是二次函数
④y=(x-1)(x-3)，是二次函数
故答案为：②④
【分析】利用二次函数的定义解答即可。
三、解答题
14．（2023九上·泸州期中）若函数是以x为自变量的二次函数．
（1）求k的值；
（2）当函数值时，求自变量x的值．
【答案】（1）解：依题意有，
解得：，∴k的值为3
（2）解：把代入函数解析式中得：，
当，时，，
【知识点】二次函数的定义
【解析】【分析】（1）根据二次函数的定义得出，求出k的值即可；
（2）把代入函数解析式中得出，再把代入得出，解关于x的方程即可．
15．已知两个变量x，y之间的关系式为y=(a-2)x2+(b+2)x-3．
（1）当a，b满足什么条件时，y是关于x的二次函数？
（2）当a，b满足什么条件时，y是关于x的一次函数？
【答案】（1）解：∵两个变量x，y之间的关系式y=(a-2)x2+(b+2)x-3是y关于x的二次函数，
∴a-2≠0，
∴a≠2，
∴当a≠2，b为任意实数时，y是关于x的二次函数；
（2）解：∵两个变量x，y之间的关系式y=(a-2)x2+(b+2)x-3是y关于x的一次函数，
∴a-2=0，b+2≠0，
∴a=2，b≠-2，
∴.当a=2，b≠-2时，y是关于c的一次函数.
【知识点】一次函数的定义；二次函数的定义
【解析】【分析】（1）利用二次函数定义中的二次项的系数不为0，可得到a，b的取值范围.
（2）利用一次函数的定义：含自变量的式子是一次式，可得到a-2=0，b+2≠0，分别求解，可得到a，b满足的条件.
四、综合题
16．（2020九上·昌平期末）已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
【答案】（1）解：根据一次函数的定义，得：m2﹣m=0
解得m=0或m=1
又∵m﹣1≠0即m≠1；
∴当m=0时，这个函数是一次函数
（2）解：根据二次函数的定义，得：m2﹣m≠0
解得m1≠0，m2≠1
∴当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数．
【知识点】一次函数的定义；二次函数的定义
【解析】【分析】根据一次函数与二次函数的定义求解．
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