2023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 30.2 二次函数的图像与性质同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2019九上·江岸月考）将抛物线 向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·怀化模拟）已知抛物线 （ ）过 ， 两点，则下列关系式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·鹿城月考）抛物线可由抛物线经过怎样的平移得到（ ）
A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位
C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位
4．（2023九上·拱墅月考）若一次函数y＝（n+1）x+n的图象过第一、三、四象限，则函数y＝nx2﹣nx（ ）
A．有最大值 B．有最大值
C．有最小值 D．有最小值
5．（2014·衢州）在同一平面直角坐标系内，将函数y=2x2+4x﹣3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到图象的顶点坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣6） B．（1，﹣4）
C．（1，﹣6） D．（﹣3，﹣4）
6．（2022·舟山）已知点A(a，b)，B(4，c)在直线y=kx+3(k为常数，k≠0)上，若ab的最大值为9，则c的值为（ ）
A． B．2 C． D．1
7．（2021九上·蜀山月考）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+a和y＝-ax2+2x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2020九上·仁寿期末）把抛物线y＝（x﹣1）2+2沿x轴向右平移2个单位后，再沿y轴向下平移3个单位，得到的抛物线解析式为（ ）
A．y＝（x﹣3）2+1 B．y＝（x+1）2﹣1
C．y＝（x﹣3）2﹣1 D．y＝（x+1）2﹣2
二、填空题
9．（2022九上·天津期中）二次函数的最小值为 ．
10．（2023九上·义乌月考）抛物线的函数表达式为，若将轴向下平移1个单位长度，将轴向左平移2个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为 .
11．（2023九上·前郭尔罗斯期中）若二次函数的图象开口向下，则的取值范围是 ．
12．（2023九上·滨江月考）已知y＝2x﹣1，且0≤x≤，若S＝xy，则S的最小值为 ．
13．（2016九上·宜城期中）如图，Rt△OAB的顶点A（﹣4，8）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为
三、解答题
14．（2023九上·义乌月考）在平面直角坐标系xOy中，有抛物线.
（1）若点在抛物线上，
①求抛物线的对称轴；
②若点也在抛物线上，求的取值范围；
（2）当时，有已知点，若抛物线与线段AB只有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围.
15．（2023九上·宣化期中）如图，某单位拟在一块空地上修建矩形植物园ABCD，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过16米，另外三边由36米长的栅栏围成，设矩形ABCD中，垂直于墙的边米，面积为y平方米.
（1）y与x之间的函数关系式为 ，自变量x的取值范围为 ；
（2）若矩形ABCD的面积为154平方米，求x的值；
（3）当矩形ABCD的面积最大时，利用的墙长是多少米？并求此时的最大面积.
四、综合题
16．（2022九上·温州期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E，F，G，H四点依次是边AB，BC，CD，DA上一点（不与各顶点重合），且AE＝AH＝CG＝CF，记四边形EFGH面积为S（图中阴影），AE＝x．
（1）求S关于x的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围．
（2）求x为何值时，S的值最大，并写出S的最大值．
17．（2023·徐州）如图，正方形纸片的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形．设的长为，四边形的面积为．
（1）求关于的函数表达式；
（2）当取何值时，四边形的面积为10？
（3）四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将 化为顶点式，得 .
将抛物线 向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛
物线的解析式为 .
故答案为：B.
【分析】首先将原方程配成顶点式，得出其顶点坐标为（1，2），然后根据点的坐标的平移规律得出平移后新函数的顶点坐标为（3，5），从而利用抛物线的顶点式即可求出新函数的解析式.
2．【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线
关于 轴对称点的坐标为 .
又
.
故答案为：C.
【分析】根据抛物线的对称性可得(2，y1)在抛物线上，然后依据二次函数的增减项解答即可.
3．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解： 抛物线 y=x2和抛物线y=(x-1)2顶点分别为（0，0）、（1，0），顶点向右平移一个单位.
故答案为：D.
【分析】找出两个抛物线解析式的顶点坐标，观察顶点坐标即可发现平移方法；此题也可以利用二次函数平移遵循法则：上加下减，左加右减；抛物线 y=x2到抛物线y=(x-1)2，x变为x-1，故向右平移1个单位；审题时还要特别留意是哪条抛物线移到哪条抛物线.
4．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y＝（n+1）x+n的图象过第一、三、四象限
∴，解得-1==
∵-1∴二次函数的开口向下，有最大值，当x=时，y值最大=
故答案为：B.
【分析】根据一次函数图像与象限的关系，可得一次函数的系数和常数项与0的大小关系，进而可得n的取值范围；
根据二次函数的系数和顶点式，可直接判断函数的最值.
5．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：函数y=2x2+4x﹣3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到图象y=2（x﹣2）2+4（x﹣2）﹣3﹣1，
即y=2（x﹣1）2﹣6，
顶点坐标是（1，﹣6），
故选：C．
【分析】根据函数图象向右平移减，向下平移减，可得目标函数图象，再根据顶点坐标公式，可得答案．
6．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵点A（a，b），B（4，c）在直线y=kx+3(k为常数，k≠0)上，
∴ak+3=b，4k+3=c，
∴ab=a（ak+3）=a2k+3a=k（a+）2-，
又∵ab的最大值为9，
∴k＜0，且-=9，
∴k=-，
∴4×（-）+3=c，
∴c=2.
故答案为：B.
【分析】把点A（a，b），B（4，c）分别代入一次函数解析式可得ak+3=b，4k+3=c，再表示出ab的乘积为ab=a（ak+3）=k（a+）2-，根据ab的最大值为9，可得k＜0，且-=9，从而求得k-，再代入4k+3=c中计算，即可求出c值.
7．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：当 时，函数 的图象经过一、二、三象限；函数 的开口向下，对称轴在y轴的右侧；
当 时，函数 的图象经过二、三、四象限；函数 的开口向上，对称轴在y轴的左侧，故B符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据 函数y＝ax+a和y＝-ax2+2x+2 ，再对每个选项一一判断即可。
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：把抛物线y＝（x﹣1）2+2沿x轴向右平移2个单位后，再沿y轴向下平移3个单位，得到的抛物线解析式为y＝（x﹣1﹣2）2+2﹣3，即y＝（x﹣3）2﹣1．
故答案为：C．
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
9．【答案】-4
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】∵ ，
∴二次函数 的最小值为-4．
故答案为：-4．
【分析】先求出，再求最值即可。
10．【答案】y=3（x-3）2+2
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解： 根据题意知，将抛物线y=3（x-1）2+1向下平移1个单位长度，再向右移2个单位长度所得抛物线解析式为：y=3（x-3）2+2．
故答案为：y=3（x-3）2+2．
【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．此题可以转化为求将抛物线“向下平移1个单位长度，再向右移2个单位长度”后所得抛物线解析式，将抛物线直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
11．【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象开口向下，
∴2a-6<0，
解得：a＜3，
故答案为：.
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得2a-6<0，再求出a的取值范围即可.
12．【答案】
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵y=2x-1，
∴S=xy=2x2-x，
整理得：，
故当时，函数S有最小值为 ；
故答案为： .
【分析】根据题意列出函数关系式，根据x的取值范围求得最值即可 .
13．【答案】（2 ，4）
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵Rt△OAB的顶点A（﹣4，8）在抛物线y=ax2上，
∴8=16a，解得a= ，
∴抛物线为y= x2，
∵点A（﹣4，8），
∴B（﹣4，0），
∴OB=4，
∵将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，
∴D点在y轴上，且OD=OB=4，
∴D（0，4），
∵DC⊥OD，
∴DC∥x轴，
∴P点的纵坐标为4，
代入y= x2，得4= x2，
解得x=±2 ，
∴P（2 ，4）．
故答案为（2 ，4）．
【分析】先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后根据题意求得D（0，4），且DC∥x轴，从而求得P的纵坐标为4，代入求得的解析式即可求得P的坐标．
14．【答案】（1）①点在抛物线上，，
，
抛物线的对称轴为直线；
②抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线顶点坐标为，
点在抛物线上，
当时，，解得；
当时，，解得
综上所述，或.
（2）当时，，
点在抛物线与轴围成的图象的内部，
当时，，
当时，点在第一象限内，
点在抛物线与轴围成的图象的内部，
线段AB只有和在左侧的抛物线相交，
抛物线与线段AB恰有一个公共点，
当时，点在第一象限内，
点在抛物线与轴围成的图象的内部，
线段AB只有和在右侧的抛物线相交，
抛物线与线段AB恰有一个公共点，
或
即满足条件的的范围为或.
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1） ① 把（2,3）代入抛物线解析式： 可得到：b=-2a，，由抛物线的对称轴，得x=1；②先求出抛物线的顶点坐标（1,3-a），再进行讨论，当抛物线开口向上时，函数有最小值，即3-a≤-3，解得a≥6；当当抛物线开口向下时，函数有最大值，即3-a≥6，解得a≤-3.综上所述，或；（2）根据题意可知抛物线的开口向下，当x=b时，y=3，当x=-b时，y=-2b2+3，所以可知点A在抛物线与x轴围成的图像内部，线段AB只有和在在x=b的左侧的抛物线相交，，且由抛物线与线段AB只有一个公共点可知分两种情况，当b≥0时，可知，解得b≥1；当吧＜0时，线段AB只有和在右侧的抛物线相交，可知，解得b≤-3，综上所述，满足条件的的范围为或.本题的关键就是判断出点A的位置和分类讨论确定b的取值范围.
15．【答案】（1）；
（2）解：由题意得∶，
解得：，
∵，
∴不符合题意，
∴
（3）解：∵
∵，
∴当时，有最大值
∴墙长，
∴矩形空地的面积最大为时，利用的墙长是
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】
解：(1)∵AB＝x，则BC＝36-2x。
∴y=x(36-2x)=-2x2+36x
∵0＜BC≤16，∴0＜36-2x≤16，∴10≤x＜18
故答案为： 和
【分析】
（1）AB＝x，则BC＝36-2x，根据面积公式可得出关系式，根据 可利用的墙长不超过16米， 得出0＜BC≤16，列不等式可求出x的范围；
（2） 矩形ABCD的面积为154平方米 ，即y=154，可列方程求出x，注意结果要取符合题意的x值；
（3）先确定函数图象的对称轴，再结合x的取值范围得出在这个范围内y随x的变化情况，得出y随x的增大而减小。即x最小时，y最大。
16．【答案】（1）解：在矩形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D，AB＝CD，AD＝BC，
∵AE＝AH＝CG＝CF，
∴BE＝DG，BF＝DH，
∴△AEH≌△CFG（SAS），△EBF≌△HDG（SAS），
所以S＝S矩形ABCD-2S△AEH-2S△EFB＝2×4-2× x2-2× （4-x）（2-x）＝-2x2+6x（0＜x≤2）．
（2）解：S＝-2x2+6x＝-2（x- ）2+ ．
所以当x＝ 时，S的值最大，最大值为 ．
【知识点】二次函数的最值；三角形的面积；矩形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1） 根据矩形的性质可得∠A＝∠B＝∠C＝∠D，AB＝CD，AD＝BC，结合AE＝AH＝CG＝CF得BE＝DG，BF＝DH，利用SAS证明△AEH≌△CFG，△EBF≌△HDG，然后根据S＝S矩形ABCD-2S△AEH-2S△EFB就可得到S与x的关系式；
（2）根据S与x的关系式结合二次函数的性质进行解答.
17．【答案】（1）解：在正方形纸片上剪去4个全等的直角三角形，
，
，四边形为正方形，
在中，，
，
正方形的面积；
不能为负，
，
故关于的函数表达式为
（2）解：令，得，
整理，得，
解得，
故当取1或3时，四边形的面积为10；
（3）解：存在．
正方形的面积；
当时，y有最小值8，即四边形的面积最小为8．
【知识点】二次函数的最值；三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质以及全等三角形的性质可得∠AHE=∠DGH，HG=HE，∠DGH+∠DHG=90°，根据平角的概念可得∠EHG=180°-∠AHE-∠DHG=90°，易得AH=BE=AB-AE=4-x，由勾股定理可得HE2，据此解答；
（2）令（1）关系式中的y=10，求出x的值即可；
（3）根据（1）中的关系式结合二次函数的性质可得最小值.
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 30.2 二次函数的图像与性质同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2019九上·江岸月考）将抛物线 向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将 化为顶点式，得 .
将抛物线 向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛
物线的解析式为 .
故答案为：B.
【分析】首先将原方程配成顶点式，得出其顶点坐标为（1，2），然后根据点的坐标的平移规律得出平移后新函数的顶点坐标为（3，5），从而利用抛物线的顶点式即可求出新函数的解析式.
2．（2021·怀化模拟）已知抛物线 （ ）过 ， 两点，则下列关系式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线
关于 轴对称点的坐标为 .
又
.
故答案为：C.
【分析】根据抛物线的对称性可得(2，y1)在抛物线上，然后依据二次函数的增减项解答即可.
3．（2023九上·鹿城月考）抛物线可由抛物线经过怎样的平移得到（ ）
A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位
C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解： 抛物线 y=x2和抛物线y=(x-1)2顶点分别为（0，0）、（1，0），顶点向右平移一个单位.
故答案为：D.
【分析】找出两个抛物线解析式的顶点坐标，观察顶点坐标即可发现平移方法；此题也可以利用二次函数平移遵循法则：上加下减，左加右减；抛物线 y=x2到抛物线y=(x-1)2，x变为x-1，故向右平移1个单位；审题时还要特别留意是哪条抛物线移到哪条抛物线.
4．（2023九上·拱墅月考）若一次函数y＝（n+1）x+n的图象过第一、三、四象限，则函数y＝nx2﹣nx（ ）
A．有最大值 B．有最大值
C．有最小值 D．有最小值
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y＝（n+1）x+n的图象过第一、三、四象限
∴，解得-1==
∵-1∴二次函数的开口向下，有最大值，当x=时，y值最大=
故答案为：B.
【分析】根据一次函数图像与象限的关系，可得一次函数的系数和常数项与0的大小关系，进而可得n的取值范围；
根据二次函数的系数和顶点式，可直接判断函数的最值.
5．（2014·衢州）在同一平面直角坐标系内，将函数y=2x2+4x﹣3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到图象的顶点坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣6） B．（1，﹣4）
C．（1，﹣6） D．（﹣3，﹣4）
【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：函数y=2x2+4x﹣3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到图象y=2（x﹣2）2+4（x﹣2）﹣3﹣1，
即y=2（x﹣1）2﹣6，
顶点坐标是（1，﹣6），
故选：C．
【分析】根据函数图象向右平移减，向下平移减，可得目标函数图象，再根据顶点坐标公式，可得答案．
6．（2022·舟山）已知点A(a，b)，B(4，c)在直线y=kx+3(k为常数，k≠0)上，若ab的最大值为9，则c的值为（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵点A（a，b），B（4，c）在直线y=kx+3(k为常数，k≠0)上，
∴ak+3=b，4k+3=c，
∴ab=a（ak+3）=a2k+3a=k（a+）2-，
又∵ab的最大值为9，
∴k＜0，且-=9，
∴k=-，
∴4×（-）+3=c，
∴c=2.
故答案为：B.
【分析】把点A（a，b），B（4，c）分别代入一次函数解析式可得ak+3=b，4k+3=c，再表示出ab的乘积为ab=a（ak+3）=k（a+）2-，根据ab的最大值为9，可得k＜0，且-=9，从而求得k-，再代入4k+3=c中计算，即可求出c值.
7．（2021九上·蜀山月考）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+a和y＝-ax2+2x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：当 时，函数 的图象经过一、二、三象限；函数 的开口向下，对称轴在y轴的右侧；
当 时，函数 的图象经过二、三、四象限；函数 的开口向上，对称轴在y轴的左侧，故B符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据 函数y＝ax+a和y＝-ax2+2x+2 ，再对每个选项一一判断即可。
8．（2020九上·仁寿期末）把抛物线y＝（x﹣1）2+2沿x轴向右平移2个单位后，再沿y轴向下平移3个单位，得到的抛物线解析式为（ ）
A．y＝（x﹣3）2+1 B．y＝（x+1）2﹣1
C．y＝（x﹣3）2﹣1 D．y＝（x+1）2﹣2
【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：把抛物线y＝（x﹣1）2+2沿x轴向右平移2个单位后，再沿y轴向下平移3个单位，得到的抛物线解析式为y＝（x﹣1﹣2）2+2﹣3，即y＝（x﹣3）2﹣1．
故答案为：C．
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
二、填空题
9．（2022九上·天津期中）二次函数的最小值为 ．
【答案】-4
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】∵ ，
∴二次函数 的最小值为-4．
故答案为：-4．
【分析】先求出，再求最值即可。
10．（2023九上·义乌月考）抛物线的函数表达式为，若将轴向下平移1个单位长度，将轴向左平移2个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为 .
【答案】y=3（x-3）2+2
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解： 根据题意知，将抛物线y=3（x-1）2+1向下平移1个单位长度，再向右移2个单位长度所得抛物线解析式为：y=3（x-3）2+2．
故答案为：y=3（x-3）2+2．
【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．此题可以转化为求将抛物线“向下平移1个单位长度，再向右移2个单位长度”后所得抛物线解析式，将抛物线直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
11．（2023九上·前郭尔罗斯期中）若二次函数的图象开口向下，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象开口向下，
∴2a-6<0，
解得：a＜3，
故答案为：.
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得2a-6<0，再求出a的取值范围即可.
12．（2023九上·滨江月考）已知y＝2x﹣1，且0≤x≤，若S＝xy，则S的最小值为 ．
【答案】
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵y=2x-1，
∴S=xy=2x2-x，
整理得：，
故当时，函数S有最小值为 ；
故答案为： .
【分析】根据题意列出函数关系式，根据x的取值范围求得最值即可 .
13．（2016九上·宜城期中）如图，Rt△OAB的顶点A（﹣4，8）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为
【答案】（2 ，4）
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵Rt△OAB的顶点A（﹣4，8）在抛物线y=ax2上，
∴8=16a，解得a= ，
∴抛物线为y= x2，
∵点A（﹣4，8），
∴B（﹣4，0），
∴OB=4，
∵将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，
∴D点在y轴上，且OD=OB=4，
∴D（0，4），
∵DC⊥OD，
∴DC∥x轴，
∴P点的纵坐标为4，
代入y= x2，得4= x2，
解得x=±2 ，
∴P（2 ，4）．
故答案为（2 ，4）．
【分析】先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后根据题意求得D（0，4），且DC∥x轴，从而求得P的纵坐标为4，代入求得的解析式即可求得P的坐标．
三、解答题
14．（2023九上·义乌月考）在平面直角坐标系xOy中，有抛物线.
（1）若点在抛物线上，
①求抛物线的对称轴；
②若点也在抛物线上，求的取值范围；
（2）当时，有已知点，若抛物线与线段AB只有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围.
【答案】（1）①点在抛物线上，，
，
抛物线的对称轴为直线；
②抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线顶点坐标为，
点在抛物线上，
当时，，解得；
当时，，解得
综上所述，或.
（2）当时，，
点在抛物线与轴围成的图象的内部，
当时，，
当时，点在第一象限内，
点在抛物线与轴围成的图象的内部，
线段AB只有和在左侧的抛物线相交，
抛物线与线段AB恰有一个公共点，
当时，点在第一象限内，
点在抛物线与轴围成的图象的内部，
线段AB只有和在右侧的抛物线相交，
抛物线与线段AB恰有一个公共点，
或
即满足条件的的范围为或.
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1） ① 把（2,3）代入抛物线解析式： 可得到：b=-2a，，由抛物线的对称轴，得x=1；②先求出抛物线的顶点坐标（1,3-a），再进行讨论，当抛物线开口向上时，函数有最小值，即3-a≤-3，解得a≥6；当当抛物线开口向下时，函数有最大值，即3-a≥6，解得a≤-3.综上所述，或；（2）根据题意可知抛物线的开口向下，当x=b时，y=3，当x=-b时，y=-2b2+3，所以可知点A在抛物线与x轴围成的图像内部，线段AB只有和在在x=b的左侧的抛物线相交，，且由抛物线与线段AB只有一个公共点可知分两种情况，当b≥0时，可知，解得b≥1；当吧＜0时，线段AB只有和在右侧的抛物线相交，可知，解得b≤-3，综上所述，满足条件的的范围为或.本题的关键就是判断出点A的位置和分类讨论确定b的取值范围.
15．（2023九上·宣化期中）如图，某单位拟在一块空地上修建矩形植物园ABCD，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过16米，另外三边由36米长的栅栏围成，设矩形ABCD中，垂直于墙的边米，面积为y平方米.
（1）y与x之间的函数关系式为 ，自变量x的取值范围为 ；
（2）若矩形ABCD的面积为154平方米，求x的值；
（3）当矩形ABCD的面积最大时，利用的墙长是多少米？并求此时的最大面积.
【答案】（1）；
（2）解：由题意得∶，
解得：，
∵，
∴不符合题意，
∴
（3）解：∵
∵，
∴当时，有最大值
∴墙长，
∴矩形空地的面积最大为时，利用的墙长是
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】
解：(1)∵AB＝x，则BC＝36-2x。
∴y=x(36-2x)=-2x2+36x
∵0＜BC≤16，∴0＜36-2x≤16，∴10≤x＜18
故答案为： 和
【分析】
（1）AB＝x，则BC＝36-2x，根据面积公式可得出关系式，根据 可利用的墙长不超过16米， 得出0＜BC≤16，列不等式可求出x的范围；
（2） 矩形ABCD的面积为154平方米 ，即y=154，可列方程求出x，注意结果要取符合题意的x值；
（3）先确定函数图象的对称轴，再结合x的取值范围得出在这个范围内y随x的变化情况，得出y随x的增大而减小。即x最小时，y最大。
四、综合题
16．（2022九上·温州期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E，F，G，H四点依次是边AB，BC，CD，DA上一点（不与各顶点重合），且AE＝AH＝CG＝CF，记四边形EFGH面积为S（图中阴影），AE＝x．
（1）求S关于x的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围．
（2）求x为何值时，S的值最大，并写出S的最大值．
【答案】（1）解：在矩形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D，AB＝CD，AD＝BC，
∵AE＝AH＝CG＝CF，
∴BE＝DG，BF＝DH，
∴△AEH≌△CFG（SAS），△EBF≌△HDG（SAS），
所以S＝S矩形ABCD-2S△AEH-2S△EFB＝2×4-2× x2-2× （4-x）（2-x）＝-2x2+6x（0＜x≤2）．
（2）解：S＝-2x2+6x＝-2（x- ）2+ ．
所以当x＝ 时，S的值最大，最大值为 ．
【知识点】二次函数的最值；三角形的面积；矩形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1） 根据矩形的性质可得∠A＝∠B＝∠C＝∠D，AB＝CD，AD＝BC，结合AE＝AH＝CG＝CF得BE＝DG，BF＝DH，利用SAS证明△AEH≌△CFG，△EBF≌△HDG，然后根据S＝S矩形ABCD-2S△AEH-2S△EFB就可得到S与x的关系式；
（2）根据S与x的关系式结合二次函数的性质进行解答.
17．（2023·徐州）如图，正方形纸片的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形．设的长为，四边形的面积为．
（1）求关于的函数表达式；
（2）当取何值时，四边形的面积为10？
（3）四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：在正方形纸片上剪去4个全等的直角三角形，
，
，四边形为正方形，
在中，，
，
正方形的面积；
不能为负，
，
故关于的函数表达式为
（2）解：令，得，
整理，得，
解得，
故当取1或3时，四边形的面积为10；
（3）解：存在．
正方形的面积；
当时，y有最小值8，即四边形的面积最小为8．
【知识点】二次函数的最值；三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质以及全等三角形的性质可得∠AHE=∠DGH，HG=HE，∠DGH+∠DHG=90°，根据平角的概念可得∠EHG=180°-∠AHE-∠DHG=90°，易得AH=BE=AB-AE=4-x，由勾股定理可得HE2，据此解答；
（2）令（1）关系式中的y=10，求出x的值即可；
（3）根据（1）中的关系式结合二次函数的性质可得最小值.
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