2023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 30.2 二次函数的图像与性质同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023九上·丰南期中） 将向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：由题意得可化为，
∴ 将向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线为，
故答案为：D
【分析】先将二次函数解析式化为顶点式，进而根据平移的规律即可求解。
2．（2023九上·阜阳月考）把抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标为，
将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，
所得抛物线的顶点坐标为，即，
故答案为：C．
【分析】根据二次函数图象的平移规律求解。先确定原抛物线的顶点坐标，根据平移得到平移后抛物线的顶点坐标．
3．（2021·南通模拟）在抛物线y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0）和直线y＝﹣ x的图象上有三点（x1，m）、（x2，m）、（x3，m），则x1+x2+x3的结果是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【知识点】一次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，
在抛物线y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0）和直线y＝﹣ x的图象上有三点A（x1，m）、B（x2，m）、C（x3，m），
∵y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0）
∴抛物线的对称轴为直线x＝m+1，
∴ ＝m+1，
∴x2+x3＝2m+2，
∵A（x1，m）在直线y＝﹣ x上，
∴m＝﹣ x1，
∴x1＝﹣2m，
∴x1+x2+x3＝﹣2m+2m+2＝2，
故答案为：D.
【分析】由抛物线解析式可得＝m+1，则x2+x3=2m+2，由点A在直线上可得m＝- x1，得到x1＝-2m，据此解答.
4．（2023九上·黄浦期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（ ）
A．ac＞0 B．当x＞﹣1时，y＞0
C．b＝2a D．9a+3b+c＝0
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由图像可知：，，
∴，选项错误；
B、由对称轴可知：，
∴另一个交点为：，
从图像可得：时，，选项错误；
C、由对称轴可知：，
∴，选项错误；
D、由B选项证明可得：
当时，
，即，选项正确；
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质分析判定． 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口方向由a的正负决定，对称轴是直线。
5．（2020九上·东莞期末）抛物线y＝ x2向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式是（ ）
A．y＝ （x+1）2﹣2 B．y＝ （x﹣1）2+2
C．y＝ （x﹣1）2﹣2 D．y＝ （x+1）2+2
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】抛物线y＝ x2向左平移1个单位，再向上平移2个单位得y＝ （x+1）2+2．
故答案为：D．
【分析】根据平移的性质求抛物线的解析式即可。
6．（2019九上·天台月考）已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c都是常数，且a≠0）的图象与x轴交于点（﹣2，0）、（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴交于正半轴，且交点在（0，2）的下方，下列结论①4a﹣2b+c=0； ②a＜b＜0；③2a+c＞0；④2a﹣b+1＞0．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：图象的草图如图所示，
①根据题意画大致图象如图所示，
由y=ax2+bx+c与X轴的交点坐标为( 2，0)得：
y=a×( 2)2+b×( 2)+c=0，即4a 2b+c=0，正确；
②∵图象开口向下，∴a<0，
由y=ax2+bx+c与X轴的另一个交点坐标为(x1，0)，且1则该抛物线的对称轴为x==> ，
由a<0，两边都乘以a得：b>a，
∵a<0，对称轴x=<0，
∴b<0，
∴a③由一元二次方程根与系数的关系知x1.x2=< 2，结合a<0得2a+c>0，正确，
④由4a 2b+c=0得2a b= ，而00，正确；
故正确的选项有4个.
故答案为：D.
【分析】根据待定系数法、根与系数的关系、对称轴、结合二次函数图象的草图，数形结合逐项分析判断即可.
7．（2023九上·从江期中）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6 cm，BC=2 cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动.若点P，Q均以1 cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是（ ）
A．20 cm B．18 cm C．2 cm D．3 cm
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；勾股定理
【解析】【解答】 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6 cm，BC=2 cm ，设AP=CQ=tcm ∴ CP=(6-t)cm ∴PQ= ＝ ＝(cm） ∵ 0≤t≤2 ∴当t=2时，PQ的值最小，所以线段PQ的最小值为：厘米， 故答案为：C。
【分析】根据勾股定理得到：CP=(6-t)cm，PQ= ＝ ＝(cm）即可得到结论。
二、填空题
8．（2023·金山模拟）将抛物线向右平移3个单位，得到新抛物线的表达式是 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：二次函数的图象向右平移3个单位，
得：，
故答案为：．
【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。
9．（2023九上·廊坊期中） 若抛物线向下平移个单位长度后，其顶点仍在第一象限，写出一个符合条件的的正整数值 ．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】二次函数图象的几何变换；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】将抛物线向下平移个单位长度后的解析式为，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（1，4-n），
∵平移后抛物线的顶点仍在第一象限，
∴4-n>0，
解得：n<4，
∵n为正整数，
∴n的值为1，2，3，
故答案为：1（答案不唯一）.
【分析】先求出平移后的解析式的顶点坐标为（1，4-n），再根据第一象限点坐标的特征可得4-n>0，求出n的取值范围，再求解即可.
10．（2023九上·宣化期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为、、.若抛物线的图象与正方形ABCD有公共点，则a的取值范围是 .
【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；正方形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：
当抛物线经过B点时，，∴a=4
当抛物线经过D点时，，∴a=
∴a的取值范围是
故答案为：.
【分析】根据图像可知，B点和D点是抛物线与正方形相交的边界点，求出相应的a值即可得到取值范围。
11．（2023九上·杭州期中）如图，在中，为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则的面积是 ，面积的最大值为 .
【答案】10；8
【知识点】二次函数的最值；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：因为所以BC边上的高为所以
过点C作于点G，作于点H，作于点M，
因为所以易证相似于，所以可得GB=8，设BD=x，则DG=8-x，易证所以EH=DG=8-x，所以当x=4时，面积的最大值为8.
故答案为：10；8.
【分析】根据勾股定理求出三角形ABC边BC上的高，即可求其面积；过点C作于点G，作于点H，作于点M，由相似于解得BG，设BD=x，根据即可求出三角形BDE的面积表达式，利用二次函数最值即可得解。
12．（2023九上·涪城期中）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是直线x＝-1，且过点（-3，0），有以下结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③a-b≤m（am+b）（m为任意实数）；④若方程a（x+3）（1-x）＝-1的两根为x1，x2，且x1＜x2，则-3＜x1＜x2＜1，其中说法正确的有 ．
【答案】②③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】抛物线开口向上，
a>0，
抛物线对称轴为直线
b=2a>0，
c<0，
abc<0，故①错误；
抛物线对称轴为直线且过点(-3，0)，
抛物线过点（1，0），
x=2时，y>0，
4a+2b+c>0，故②正确；
抛物线对称轴为直线
当时，y有最小值，
a-b≤m（am+b）（m为任意实数），故③正确；
方程a（x+3）（1-x）＝-1的两根为x1，x2，且x1＜x2，
抛物线与直线y=-1有两个交点（x1，1），（x2，1），
由图象可知 -3＜x1＜x2＜1， 故④正确，
故答案为：②③④
【分析】根据抛物线开口方向、对称轴、与y轴的交点可判断 ① ；根据抛物线的对称性可得x=2时，y>0，可判断②；根据二次函数的性质可判断③；根据函数与方程的关系可判断④.
三、解答题
13．（2023·黄石）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，，与轴交于点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知抛物线上有一点，其中，若，求的值；
（3）若点，分别是线段，上的动点，且，求的最小值．
【答案】（1）设抛物线的表达式为：，
即，则，
故抛物线的表达式为：；
（2）在中，，
，
则，
故设直线的表达式为：，
联立得：，
解得：不合题意的值已舍去；
（3）作，
设，
，
∽且相似比为：，
则，
故当、、共线时，为最小，
在中，设边上的高为，
则，
即，
解得：，
则，
则，
过点作轴于点，
则，
即点的纵坐标为：，
同理可得，点的横坐标为：，
即点，
由点、的坐标得，，
即的最小值为．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据A、B两点坐标，利用两点式设出二次函数表达式，将C点坐标代入即可求得a，从而可得二次函数表达式；
（2）根据直线BP中已知B点坐标，可设直线的函数表达式为y=k(x-4)，利用正切函数求得直线BP的表达式中的k，求得BP的表达式与（1）的二次函数联立求解；
（3）先说明C、E、G共线时CE+2BD=CG时为最小，再借助三角函数求得G点的坐标，然后利用勾股定理求得CG的长.
14．（2023九上·长沙月考） 在平面直角坐标系中，我们将形如，这样，纵坐标与横坐标互为相反数的点称之为“互补点”．
（1）直线上的“互补点”的坐标为 ；
（2）直线上是否有“互补点”，若有，请求出点的坐标，若没有请说明理由；
（3）若函数的图象上存在唯一的一个“互补点”，且当时，的最小值为，求的值．
【答案】（1）
（2）解：假设直线上存在“互补点”，
则由题意得：，
解得：，
时，无意义，不存在互补点，
直线上有“互补点”，点的坐标为；
（3）解：设“互补点”的坐标为，
由题意可知，方程有唯一解，
整理得：，且．
即，
整理得：．
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，取得最小函数值．
当时，此时当时，取得最小值，
由题意得，解得；
当时，此时当时，取得最小值，
由题意得，
整理得：，显然无解；
当时，此时当时，取得最小值，
由题意得，
整理得：，
解得，．
，
．
综上所述，的值为或．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数的最值；一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】（1）根据互补点的定义，设互补点坐标为（x，-x）
代入直线
得-x=2x-3
解得x=1
该点的坐标为（1，-1）
故填：（1，-1）
【分析】（1）根据互补点的定义，发现互补点坐标互为相反数，据此设互补点坐标，代入直线解析式即可求得x，进一步写出互补点坐标；（2）同（1）的思路，假设存在并设出互补点坐标，代入直线解析式，求得横纵坐标的代数式，只要表示横纵坐标的代数式有意义，就说明存在互补点；（3）根据题中“唯一的互补点”，提示判别式=0的信息，故将互补点坐标代入函数，得到判别式，整理m的函数解析式；解析式是开口向上的关于k的二次函数，函数值最小值k，因为n是动态取值，故分三种情况讨论， 当k在n的范围内即时、当k在n左侧即时、当k在n右侧即时，分别找到最小值表达式，且等于k，解方程即可求k值。
四、综合题
15．（2022九上·渝中开学考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，其对称轴直线与x轴交于点 D．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点为抛物线上第四象限内的一动点，连接，，，求四边形面积的最大值和此时点的坐标；
（3）如图2，将该抛物线向左平移得到抛物线，当抛物线经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点E，点F为抛物线对称轴上的一点，点M是平面内一点，若以点A，E，F，M为顶点的四边形是以为边的菱形，请直接写出满足条件的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．
【答案】（1）解：抛物线经过点，其对称轴为直线，
，
解得：，
该抛物线的函数表达式为
（2）解：点与点关于对称轴直线对称，
，
，其对称轴直线与x轴交于点 D．
，，
，
，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
∴直线的解析式为，
过点P作轴交于点H，如图，
设，则，
，
，
，
，，
当时，的最大值为17，此时点P的坐标为．
（3）解：点M的坐标为或或或
【知识点】坐标与图形性质；二次函数图象的几何变换；二次函数的最值
【解析】【解答】解：（3）将该抛物线向左平移得到抛物线，且抛物线经过原点，
抛物线向左平移6个单位长度得到抛物线，
抛物线过点，
设抛物线的解析式为，
，解得，
，对称轴为直线，
抛物线与原抛物线的对称轴相交于点E，
，
设，
以点A，E，F，M为顶点的四边形是以为边的菱形，
当时，
，
，
，
或，
点M的坐标为或，
当时，
，
，
，
点M的坐标为或，
综上所述，点M的坐标为或或或．
【分析】 (1)解析式中有2个未知数，题中提供2个等式条件，可用待定系数法求解；(2)设P点坐标，四边形面积转化为几个易于表达的三角形面积和：三角形BDC以CD为底，C的纵坐标是高；三角形BCP直观不易求，可继续分为2个小三角形，HP作底，2个高的和是BC横坐标的差；(3)根据题意抛物线平移，是向左平移了6个单位，开口大小不变，对称轴也向左6个单位，求出E坐标；设F点坐标，根据两点间距离公式，分别讨论AE=AF和AE=EF时，M点出现的4种可能位置，再根据坐标和图形性质计算M坐标。本题难点在于用代数式正确表达点坐标和坐标间线段的长度。
16．（2023·新疆维吾尔自治区模拟）已知抛物线与轴相交于点，，且，是方程的两个实数根，点为抛物线与轴的交点．
（1）求，的值；
（2）分别求出直线和的解析式；
（3）若动直线与线段，分别相交于，两点，则在轴上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：由，得，．
，，
把，两点的坐标分别代入联立求解，
得，．
（2）解：由可得，
当时，，
．
设：，把，两点坐标分别代入，联立求得，．
直线的解析式为．
同理可求得直线的解析式是．
（3）解：假设存在满足条件的点，并设直线与轴的交点为．
当为腰时，分别过点，作轴于，作轴于，如图，
则和都是等腰直角三角形，，．
，
∽，
，即．
解得．
点的纵坐标是，
点在直线上，
，解得，
，同理可求．
当为底边时，
过的中点作轴于点，如图，
则，
由∽，
得，即，
解得．
同方法．求得，，
，
．
结合图形可知，，，
，
是，
也满足条件．
综上所述，满足条件的点共有个，即或或
【知识点】因式分解法解一元二次方程；待定系数法求一次函数解析式；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1） 由，令y=0求出x值，即得A、B的坐标，再将A、B坐标代入抛物线解析式中，即可求出a、b的值；
（2）利用待定系数法分别求出直线解析式即可；
（3） 假设存在满足条件的点，并设直线与轴的交点为． 分两种情况 当为腰时， 分别过点，作轴于，作轴于， 则和都是等腰直角三角形， 再证∽，利用相似三角形的性质求出m值，然后求出点D的纵坐标，即得点P的坐标； 当为底边时， 过的中点作轴于点， 同理求解即可.
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 30.2 二次函数的图像与性质同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023九上·丰南期中） 将向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023九上·阜阳月考）把抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·南通模拟）在抛物线y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0）和直线y＝﹣ x的图象上有三点（x1，m）、（x2，m）、（x3，m），则x1+x2+x3的结果是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
4．（2023九上·黄浦期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（ ）
A．ac＞0 B．当x＞﹣1时，y＞0
C．b＝2a D．9a+3b+c＝0
5．（2020九上·东莞期末）抛物线y＝ x2向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式是（ ）
A．y＝ （x+1）2﹣2 B．y＝ （x﹣1）2+2
C．y＝ （x﹣1）2﹣2 D．y＝ （x+1）2+2
6．（2019九上·天台月考）已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c都是常数，且a≠0）的图象与x轴交于点（﹣2，0）、（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴交于正半轴，且交点在（0，2）的下方，下列结论①4a﹣2b+c=0； ②a＜b＜0；③2a+c＞0；④2a﹣b+1＞0．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2023九上·从江期中）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6 cm，BC=2 cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动.若点P，Q均以1 cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是（ ）
A．20 cm B．18 cm C．2 cm D．3 cm
二、填空题
8．（2023·金山模拟）将抛物线向右平移3个单位，得到新抛物线的表达式是 ．
9．（2023九上·廊坊期中） 若抛物线向下平移个单位长度后，其顶点仍在第一象限，写出一个符合条件的的正整数值 ．
10．（2023九上·宣化期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为、、.若抛物线的图象与正方形ABCD有公共点，则a的取值范围是 .
11．（2023九上·杭州期中）如图，在中，为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则的面积是 ，面积的最大值为 .
12．（2023九上·涪城期中）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是直线x＝-1，且过点（-3，0），有以下结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③a-b≤m（am+b）（m为任意实数）；④若方程a（x+3）（1-x）＝-1的两根为x1，x2，且x1＜x2，则-3＜x1＜x2＜1，其中说法正确的有 ．
三、解答题
13．（2023·黄石）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，，与轴交于点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知抛物线上有一点，其中，若，求的值；
（3）若点，分别是线段，上的动点，且，求的最小值．
14．（2023九上·长沙月考） 在平面直角坐标系中，我们将形如，这样，纵坐标与横坐标互为相反数的点称之为“互补点”．
（1）直线上的“互补点”的坐标为 ；
（2）直线上是否有“互补点”，若有，请求出点的坐标，若没有请说明理由；
（3）若函数的图象上存在唯一的一个“互补点”，且当时，的最小值为，求的值．
四、综合题
15．（2022九上·渝中开学考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，其对称轴直线与x轴交于点 D．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点为抛物线上第四象限内的一动点，连接，，，求四边形面积的最大值和此时点的坐标；
（3）如图2，将该抛物线向左平移得到抛物线，当抛物线经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点E，点F为抛物线对称轴上的一点，点M是平面内一点，若以点A，E，F，M为顶点的四边形是以为边的菱形，请直接写出满足条件的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．
16．（2023·新疆维吾尔自治区模拟）已知抛物线与轴相交于点，，且，是方程的两个实数根，点为抛物线与轴的交点．
（1）求，的值；
（2）分别求出直线和的解析式；
（3）若动直线与线段，分别相交于，两点，则在轴上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：由题意得可化为，
∴ 将向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线为，
故答案为：D
【分析】先将二次函数解析式化为顶点式，进而根据平移的规律即可求解。
2．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标为，
将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，
所得抛物线的顶点坐标为，即，
故答案为：C．
【分析】根据二次函数图象的平移规律求解。先确定原抛物线的顶点坐标，根据平移得到平移后抛物线的顶点坐标．
3．【答案】D
【知识点】一次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，
在抛物线y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0）和直线y＝﹣ x的图象上有三点A（x1，m）、B（x2，m）、C（x3，m），
∵y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0）
∴抛物线的对称轴为直线x＝m+1，
∴ ＝m+1，
∴x2+x3＝2m+2，
∵A（x1，m）在直线y＝﹣ x上，
∴m＝﹣ x1，
∴x1＝﹣2m，
∴x1+x2+x3＝﹣2m+2m+2＝2，
故答案为：D.
【分析】由抛物线解析式可得＝m+1，则x2+x3=2m+2，由点A在直线上可得m＝- x1，得到x1＝-2m，据此解答.
4．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由图像可知：，，
∴，选项错误；
B、由对称轴可知：，
∴另一个交点为：，
从图像可得：时，，选项错误；
C、由对称轴可知：，
∴，选项错误；
D、由B选项证明可得：
当时，
，即，选项正确；
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质分析判定． 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口方向由a的正负决定，对称轴是直线。
5．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】抛物线y＝ x2向左平移1个单位，再向上平移2个单位得y＝ （x+1）2+2．
故答案为：D．
【分析】根据平移的性质求抛物线的解析式即可。
6．【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：图象的草图如图所示，
①根据题意画大致图象如图所示，
由y=ax2+bx+c与X轴的交点坐标为( 2，0)得：
y=a×( 2)2+b×( 2)+c=0，即4a 2b+c=0，正确；
②∵图象开口向下，∴a<0，
由y=ax2+bx+c与X轴的另一个交点坐标为(x1，0)，且1则该抛物线的对称轴为x==> ，
由a<0，两边都乘以a得：b>a，
∵a<0，对称轴x=<0，
∴b<0，
∴a③由一元二次方程根与系数的关系知x1.x2=< 2，结合a<0得2a+c>0，正确，
④由4a 2b+c=0得2a b= ，而00，正确；
故正确的选项有4个.
故答案为：D.
【分析】根据待定系数法、根与系数的关系、对称轴、结合二次函数图象的草图，数形结合逐项分析判断即可.
7．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；勾股定理
【解析】【解答】 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6 cm，BC=2 cm ，设AP=CQ=tcm ∴ CP=(6-t)cm ∴PQ= ＝ ＝(cm） ∵ 0≤t≤2 ∴当t=2时，PQ的值最小，所以线段PQ的最小值为：厘米， 故答案为：C。
【分析】根据勾股定理得到：CP=(6-t)cm，PQ= ＝ ＝(cm）即可得到结论。
8．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：二次函数的图象向右平移3个单位，
得：，
故答案为：．
【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。
9．【答案】（答案不唯一）
【知识点】二次函数图象的几何变换；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】将抛物线向下平移个单位长度后的解析式为，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（1，4-n），
∵平移后抛物线的顶点仍在第一象限，
∴4-n>0，
解得：n<4，
∵n为正整数，
∴n的值为1，2，3，
故答案为：1（答案不唯一）.
【分析】先求出平移后的解析式的顶点坐标为（1，4-n），再根据第一象限点坐标的特征可得4-n>0，求出n的取值范围，再求解即可.
10．【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；正方形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：
当抛物线经过B点时，，∴a=4
当抛物线经过D点时，，∴a=
∴a的取值范围是
故答案为：.
【分析】根据图像可知，B点和D点是抛物线与正方形相交的边界点，求出相应的a值即可得到取值范围。
11．【答案】10；8
【知识点】二次函数的最值；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：因为所以BC边上的高为所以
过点C作于点G，作于点H，作于点M，
因为所以易证相似于，所以可得GB=8，设BD=x，则DG=8-x，易证所以EH=DG=8-x，所以当x=4时，面积的最大值为8.
故答案为：10；8.
【分析】根据勾股定理求出三角形ABC边BC上的高，即可求其面积；过点C作于点G，作于点H，作于点M，由相似于解得BG，设BD=x，根据即可求出三角形BDE的面积表达式，利用二次函数最值即可得解。
12．【答案】②③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】抛物线开口向上，
a>0，
抛物线对称轴为直线
b=2a>0，
c<0，
abc<0，故①错误；
抛物线对称轴为直线且过点(-3，0)，
抛物线过点（1，0），
x=2时，y>0，
4a+2b+c>0，故②正确；
抛物线对称轴为直线
当时，y有最小值，
a-b≤m（am+b）（m为任意实数），故③正确；
方程a（x+3）（1-x）＝-1的两根为x1，x2，且x1＜x2，
抛物线与直线y=-1有两个交点（x1，1），（x2，1），
由图象可知 -3＜x1＜x2＜1， 故④正确，
故答案为：②③④
【分析】根据抛物线开口方向、对称轴、与y轴的交点可判断 ① ；根据抛物线的对称性可得x=2时，y>0，可判断②；根据二次函数的性质可判断③；根据函数与方程的关系可判断④.
13．【答案】（1）设抛物线的表达式为：，
即，则，
故抛物线的表达式为：；
（2）在中，，
，
则，
故设直线的表达式为：，
联立得：，
解得：不合题意的值已舍去；
（3）作，
设，
，
∽且相似比为：，
则，
故当、、共线时，为最小，
在中，设边上的高为，
则，
即，
解得：，
则，
则，
过点作轴于点，
则，
即点的纵坐标为：，
同理可得，点的横坐标为：，
即点，
由点、的坐标得，，
即的最小值为．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据A、B两点坐标，利用两点式设出二次函数表达式，将C点坐标代入即可求得a，从而可得二次函数表达式；
（2）根据直线BP中已知B点坐标，可设直线的函数表达式为y=k(x-4)，利用正切函数求得直线BP的表达式中的k，求得BP的表达式与（1）的二次函数联立求解；
（3）先说明C、E、G共线时CE+2BD=CG时为最小，再借助三角函数求得G点的坐标，然后利用勾股定理求得CG的长.
14．【答案】（1）
（2）解：假设直线上存在“互补点”，
则由题意得：，
解得：，
时，无意义，不存在互补点，
直线上有“互补点”，点的坐标为；
（3）解：设“互补点”的坐标为，
由题意可知，方程有唯一解，
整理得：，且．
即，
整理得：．
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，取得最小函数值．
当时，此时当时，取得最小值，
由题意得，解得；
当时，此时当时，取得最小值，
由题意得，
整理得：，显然无解；
当时，此时当时，取得最小值，
由题意得，
整理得：，
解得，．
，
．
综上所述，的值为或．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数的最值；一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】（1）根据互补点的定义，设互补点坐标为（x，-x）
代入直线
得-x=2x-3
解得x=1
该点的坐标为（1，-1）
故填：（1，-1）
【分析】（1）根据互补点的定义，发现互补点坐标互为相反数，据此设互补点坐标，代入直线解析式即可求得x，进一步写出互补点坐标；（2）同（1）的思路，假设存在并设出互补点坐标，代入直线解析式，求得横纵坐标的代数式，只要表示横纵坐标的代数式有意义，就说明存在互补点；（3）根据题中“唯一的互补点”，提示判别式=0的信息，故将互补点坐标代入函数，得到判别式，整理m的函数解析式；解析式是开口向上的关于k的二次函数，函数值最小值k，因为n是动态取值，故分三种情况讨论， 当k在n的范围内即时、当k在n左侧即时、当k在n右侧即时，分别找到最小值表达式，且等于k，解方程即可求k值。
15．【答案】（1）解：抛物线经过点，其对称轴为直线，
，
解得：，
该抛物线的函数表达式为
（2）解：点与点关于对称轴直线对称，
，
，其对称轴直线与x轴交于点 D．
，，
，
，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
∴直线的解析式为，
过点P作轴交于点H，如图，
设，则，
，
，
，
，，
当时，的最大值为17，此时点P的坐标为．
（3）解：点M的坐标为或或或
【知识点】坐标与图形性质；二次函数图象的几何变换；二次函数的最值
【解析】【解答】解：（3）将该抛物线向左平移得到抛物线，且抛物线经过原点，
抛物线向左平移6个单位长度得到抛物线，
抛物线过点，
设抛物线的解析式为，
，解得，
，对称轴为直线，
抛物线与原抛物线的对称轴相交于点E，
，
设，
以点A，E，F，M为顶点的四边形是以为边的菱形，
当时，
，
，
，
或，
点M的坐标为或，
当时，
，
，
，
点M的坐标为或，
综上所述，点M的坐标为或或或．
【分析】 (1)解析式中有2个未知数，题中提供2个等式条件，可用待定系数法求解；(2)设P点坐标，四边形面积转化为几个易于表达的三角形面积和：三角形BDC以CD为底，C的纵坐标是高；三角形BCP直观不易求，可继续分为2个小三角形，HP作底，2个高的和是BC横坐标的差；(3)根据题意抛物线平移，是向左平移了6个单位，开口大小不变，对称轴也向左6个单位，求出E坐标；设F点坐标，根据两点间距离公式，分别讨论AE=AF和AE=EF时，M点出现的4种可能位置，再根据坐标和图形性质计算M坐标。本题难点在于用代数式正确表达点坐标和坐标间线段的长度。
16．【答案】（1）解：由，得，．
，，
把，两点的坐标分别代入联立求解，
得，．
（2）解：由可得，
当时，，
．
设：，把，两点坐标分别代入，联立求得，．
直线的解析式为．
同理可求得直线的解析式是．
（3）解：假设存在满足条件的点，并设直线与轴的交点为．
当为腰时，分别过点，作轴于，作轴于，如图，
则和都是等腰直角三角形，，．
，
∽，
，即．
解得．
点的纵坐标是，
点在直线上，
，解得，
，同理可求．
当为底边时，
过的中点作轴于点，如图，
则，
由∽，
得，即，
解得．
同方法．求得，，
，
．
结合图形可知，，，
，
是，
也满足条件．
综上所述，满足条件的点共有个，即或或
【知识点】因式分解法解一元二次方程；待定系数法求一次函数解析式；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1） 由，令y=0求出x值，即得A、B的坐标，再将A、B坐标代入抛物线解析式中，即可求出a、b的值；
（2）利用待定系数法分别求出直线解析式即可；
（3） 假设存在满足条件的点，并设直线与轴的交点为． 分两种情况 当为腰时， 分别过点，作轴于，作轴于， 则和都是等腰直角三角形， 再证∽，利用相似三角形的性质求出m值，然后求出点D的纵坐标，即得点P的坐标； 当为底边时， 过的中点作轴于点， 同理求解即可.
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