2023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023九上·杭州期中）若二次函数y＝ax2（a≠0）的图象过点（﹣2，﹣3），则必在该图象上的点还有（ ）
A．（﹣3，﹣2） B．（2，3）
C．（2，﹣3） D．（﹣2，3）
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵二次函数 的图象过点 （﹣2，﹣3），
∴即，
∴，
∴当时，.
故答案为：C.
【分析】由待定系数法求得，即可得到答案.
2．若二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），且抛物线过（0，3），则二次函数的解析式是（ ）
A．y=﹣（x﹣2）2﹣1 B．y=﹣（x﹣2）2﹣1
C．y=（x﹣2）2﹣1 D．y=（x﹣2）2﹣1
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的三种形式
【解析】【解答】解：设这个二次函数的解析式为y=a（x﹣h）2+k
∵二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），
∴二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，
把（0，3）代入得a=1，
所以y=（x﹣2）2﹣1．
故选C．
【分析】根据二次函数的顶点式求解析式．
3．（2023·凤翔模拟）已知二次函数，其中y与x的部分对应值如下表.
… 0 1 2 3 4 5 …
… 0 5 12 …
则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．方程的两个根分别是，
【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把点代入得：
，
解得：，
∴该函数解析式为，
∴，故A选项错误，不符合题意；
∴，故B选项错误，不符合题意；
∴，故C选项错误，不符合题意；
令，则，
解得：，，故D选项正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】首先根据表格提供的数据，利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而根据a、b、c的值并结合有理数的乘法法则及除法法则可判断A、B选项；由表格提供的数据可得当x=2时，y=-3＜0，据此可判断C选项；令解析式中的y=0算出对应的自变量的值，即可判断D选项.
4．（2023·长宁模拟）某同学在用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：
x … -2 -1 0 1 2 …
y … -1 0 -3 -4 -3 …
由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（ ）
A．-1 B．-3 C．0 D．-4
【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：假设三点（0，-3），（1，-4），（2，-3）在函数图象上，
把（0，-3），（1，-4），（2，-3）代入函数解析式，得，
解得，
函数解析式为y＝x2-2x-3，
当x＝-1时，y＝0，
当x＝-2时，y＝5，
故答案为：A．
【分析】假设三点（0，-3），（1，-4），（2，-3）在函数图象上，利用待定系数法求出抛物线解析式，然后验证其他两点即可.
5．（2022九上·汽开区期末）如图，已知点，，射线绕点逆时针旋转，与轴交于点，则过，，三点的二次函数中的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点作轴于点，
∵点，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即：
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
把和代入二次函数中得：，
解得：，
故答案为：B．
【分析】过点作轴于点，先证明，可得，再求出，可得点C的坐标，再将点A、C的坐标代入求出a、b的值即可。
6．如图所示，在OABC中，AB=AC，动点D在折线段BAC上沿B- >A- ~>C方向以每秒1个单位的速度运动，过D垂直于BC的直线交BC边于点E.如果AB=5，BC=8，点D运动的时间为0秒，△BDE 的面积为S，则s关于t的函数图象的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：过点A作AH⊥BC
∵AB=AC
∴HB=HC=0.5BC=4
∴cosB=，则sinB=
当点在AB上运动时：
S=0.5×BE×DE=0.5BD×cosB×BD×sinB=，该函数开口向上的抛物线。
当点在AC上运动时
∵AB=AC，∴∠B=∠C
∴cosC=，sinC=
∵CD=10-t
∴CE=0.8（10-t），DE=0.6（10-t）
∴BE=8-0.8（10-t）
∴S=0.5（8-0.8（10-t））×0.6（10-t）=，该函数为开口向下的抛物线
故答案为：B
【分析】对D在AB上运动，D在AC上运动两种情况讨论，求出每种情况的表达式，即可求出解。
7．（2019九上·呼和浩特期中）抛物线y=x2﹣6x+5的顶点坐标为（ ）
A．（3，﹣4） B．（3，4）
C．（﹣3，﹣4） D．（﹣3，4）
【答案】A
【知识点】二次函数的三种形式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】利用配方法把抛物线的一般式写成顶点式，求顶点坐标；或者用顶点坐标公式求解．
【解答】∵y=x2-6x+5，
=x2-6x+9-9+5，
=（x-3)2-4，
∴抛物线y=x2-6x+5的顶点坐标为（3，-4)．
故选A．
8．如图，OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y=ax2（a＜0）的图象上，则a的值为 （ ）
A． B．-2 C．- D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；正方形的性质
【解析】 【解答】如图，连接OB，
∵四边形OABC是边长为1的正方形，
∴∠BOC=45°，OB=1×
=
过点B作BD⊥x轴于D，
∵OC与x轴正半轴的夹角为15°，
∴∠BOD=45°-15°=30°，
∴BD= OB= ，
OD= ，
∴点B的坐标为（ ，- )，
∵点B在抛物线y=ax2（a＜0)的图象上，
∴a（ )2=- ，
解得a=- ．
故答案为：C
【分析】连接OB，根据正方形的对角线平分一组对角线可得∠BOC=45°，过点B作BD⊥x轴于D，然后求出∠BOD=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD= OB，再利用勾股定理列式求出OD，从而得到点B的坐标，再把点B的坐标代入抛物线解析式求解即可．
二、填空题
9．（2023九上·萧山月考）已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，则当时， ．
【答案】1
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴当时和当时的函数值相同，
∵抛物线经过点，
∴抛物线经过点，
∴当时，，
故答案为：1.
【分析】本题主要考查了抛物线的对称性，熟知抛物线关于对称轴对称的两点的函数值相同是解题的关键．根据抛物线的对称性进行求解即可．
10．（2023九上·诸暨月考）如图，抛物线y＝ax2+1（a＜0）与过点（0，﹣3）且平行于x轴的直线相交于点A、B，与y轴交于点C，若∠ACB为直角，则a＝ ．
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：因为y＝ax2+1，所以C（0，1）
由已知：D（0，-3），所以CD=4
因为∠ACB为直角，根据二次函数图象的对称性， ABC是等腰直角三角形
BD=CD=4，故B（4，-3）
代入解析式得：-3=16a+1
解得a=
故答案为：.
【分析】要求a的值，关键是求得函数上一点的坐标；由∠ACB为直角，可推出 ABC是等腰直角三角形，且BD=CD=4，从而的B(4，-3)，代入后可求得a的值.
11．（2023九上·霍邱月考）已知二次函数其中是常数，且．
（1）若该函数的图象经过点，则的值为 ；
（2）若且当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为 ．
【答案】（1）
（2）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：（1）把点 代入，
得：，
解得：a=-4，
故答案为：-4。
（2）当 时，抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴ x<1时，y随x的增大而增大，x>1时，y随x的增大而减小，
∵当时对应的函数值均为正数，
∴x=3时，，
∴，
解得：，
则的取值范围为 ：。
故答案为：
【分析】（1）把点的坐标代入二次函数的解析式，解方程求出a的值；
（2）当 时，抛物线的开口向下，对称轴为直线， 当时对应的函数值均为正数， 就表示x=0时，y=3>0，x=3时，，据此求解即可。
12．（2021九上·思明期中）如图，将矩形OABC置于平面直角坐标系xOy中， ， .抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B，C，顶点为D.将矩形OABC绕原点顺时针旋转一个角度θ（0°＜θ＜360°），得到矩形OA'B'C'，记A'C'的中点E，连结DE，线段DE的长度最大值为 .
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形三边关系；矩形的性质；旋转的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图：
四边形 是矩形， ， ， ，
， ， ，
将 ， ， 代入 得：
，解得 ，
抛物线解析式为 ，
顶点 ， ，
，
为 的中点，
，
在 中， ，
当 、 、 构成三角形时， ，
当 、 、 不构成三角形，即 在 的延长线上时， 的长度最大，如图：
此时 .
故答案为： .
【分析】根据矩形的性质以及点A、C的坐标可得点B的坐标以及AC的值，将B、C的坐标代入y=-x2+bx+c中求出b、c，得到抛物线的解析式，求出顶点坐标，得到OD、OE的值，当D、O、E构成三角形时，根据三角形三边关系可得DE的范围，当D、O、E不构成三角形，即E在DO的延长线上时， DE的长度最大，据此求解.
13．（2022·南浔模拟）如图，一组x轴正半轴上的点 ， ，… 满足条件 ，抛物线的顶点 ， ，… 依次是反比例函数 图象上的点，第一条抛物线以 为顶点且过点O和 ；第二条抛物线以 为顶点且经过点 和 ；……第n条抛物线以 为顶点且经过点 ， ，依次连结抛物线的顶点和与x轴的两个交点，形成 、 、…、 .
（1）请写出所有满足三角形面积为整数的n的值 ；
（2）若三角形是一个直角三角形，它相对应的抛物线的函数表达式为 .
【答案】（1）1或2或5
（2）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；等腰三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）∵第n条抛物线以An（xn，yn）为顶点且经过点Bn 1（2n 2，0），Bn（2n，0），等腰△AnBn 1Bn为第n个三角形.
∴抛物线的对称轴为：x＝2n 1，
∵点An（xn，yn）（n为正整数）在反比例函数 图象上，
∴An的坐标为（2n 1， ），
∴△AnBn 1Bn的面积＝ ×2× ＝ ，
∴△AnBn 1Bn的面积为整数的n的值1或2或5，
故答案为：1或2或5；
（2）∵三角形是一个直角三角形，且底边长为2，
∴其底边上的高为1，
中，令y=1，得x=9，
∴抛物线顶点为（9，1），且与x轴交点为（8，0），（10，0），
设抛物线解析式为 ，
把（8，0）代入，得a=-1，
故抛物线解析式为： ，
故答案为： .
【分析】（1）可得等腰△AnBn 1Bn为第n个三角形，从而求出抛物线的对称轴为：x＝2n 1，将点An（xn，yn）（n为正整数）代入 中，可得An的坐标为（2n 1， ），可得△AnBn 1Bn的面积＝ ×2× ＝ ， 据此求出三角形面积为整数的n值即可；
（2）由于三角形是一个直角三角形，且底边长为2，可知其底边上的高为1，当y=1时=9，可得
抛物线顶点为（9，1），且与x轴交点为（8，0），（10，0），可设抛物线解析式（顶点式）为，将（8，0）代入求出a值即可.
三、解答题
14．（2023九上·北京市月考）已知抛物线与轴交于点，顶点为，与直线交于，两点，其中点坐标为．
（1）求抛物线和直线解析式；
（2）直接写出抛物线关于对称的抛物线的解析式；
（3）求的面积．
【答案】（1）解：抛物线过、两点
代入抛物线解析式可得：，
解得：，
抛物线解析式为；
直线过点，
，
，
直线为，
（2）解：，
抛物线的顶点，
顶点关于直线的对应点的坐标为，
抛物线关于对称的抛物线的解析式为，
（3）解：由，解得或，
，
抛物线的顶点，
把代入，得，
的面积．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【分析】⑴、待定系数法求二次函数和一次函数解析式，把已知的点A和点C的坐标代入抛物线解析式，得b和c的二元一次方程组，解方程组求得b和c的值，求得二次函数解析式；把点A的坐标代入一次函数解析式，得k的一元一次方程，解方程求得k的值，进而求得一次函数解析式。
⑵、由对称可知两抛物线形状大小完全相同，改变的只是位置，故只要确定已知抛物线顶点关于对称轴直线x=-1的对称点即可，然后再写出对称的抛物线解析式（顶点式）即可。
⑶、求三角形ABT面积，先观察三角形形状特点；已知点A和T的坐标，缺点B坐标，所以先求点B的坐标，可知三角形ABT三边都和坐标轴不平行，故利用割补法求面积，过点T作x轴垂线交AB于点D，可求DT长，这时三角形ABT的面积就是DT和A、B两点水平距离积的一半。
15．（2023九上·北京市期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点A，与直线交于点B.
（1）若轴，求抛物线的解析式；
（2）记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点），若对于图象G上任意一点，都有，求a的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，点.
轴，且点B在直线上，
点，抛物线的对称轴为直线，
，抛物线的表达式为；
（2）解：①当时，，
要使时，始终满足.
只需使抛物线的对称轴与直线重合或在直线的左侧.
；
②当时，在时，恒成立.
综上所述，a的取值范围是或.
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1)根据题意求得点B的坐标，然后利用对称轴公式得到a=-2，即可求得抛物线的解析式；
(2)分a>0及a<0两种情况考虑，依照题意画出函数图象，利用数形结合即可得出a的取值范围.
四、综合题
16．（2023九上·茶山期中）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（-1，0）和B（0，3），其顶点的横坐标为1．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若直线x＝m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得AN+MN有最大值，并求出最大值．
（3）若点P为抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q为平移后抛物线上一动点．在（2）的条件下求得的点M，是否能与A、P、Q构成平行四边形？若能构成，求出Q点坐标；若不能构成，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线的顶点横坐标为1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1．
∵点A的坐标为（-1，0），
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0）．
将（-1，0），（3，0），（0，3）代入y＝ax2+bx+c得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝-x2+2x+3；
（2）解：∵直线x＝m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，
∴点M的坐标为（m，-m2+2m+3），点N的坐标为（m，0），
∴MN＝-m2+2m+3，AN＝m+1，
∴AN+MN＝m+1+（-m2+2m+3）＝-m2+3m+4＝-（m-）2+，
∵-1＜0，且0＜m＜3，
∴当m＝时，AN+MN有最大值，最大值为；
（3）解：∵y＝-x2+2x+3＝-（x-1）2+4，
∴抛物线向左平移1个单位长度后的表达式为y＝-x2+4．
当x＝时，y＝-（）2+2×+3＝，
∴点M的坐标为（，）．
假设存在以A，P，Q，M为顶点的平行四边形，设点P的坐标为（1，m），点Q的坐标为（n，-n2+4）．
①当AM为对角线时，对角线AM，PQ互相平分，
∴，
解得：n＝-，
∴点Q的坐标为（-，）；
②当AP为对角线时，对角线AP，MQ互相平分，
∴＝，
解得：n＝-，
∴点Q的坐标为（-，）；
③当AQ为对角线时，对角线AQ，PM互相平分，
∴＝，
解得：n＝，
∴点Q的坐标为（，-）．
综上所述，存在以A，P，Q，M为顶点的平行四边形，点Q的坐标为（-，）或（-，）或（，-）．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称性得出抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0），把点 A（-1，0）、B（0，3）和点（3，0）的坐标代入y＝ax2+bx+c，求出a，b，c的值，即可得出答案；
（2）求出点M和点N的坐标，得出MN和AN的值，从而得出AN+MN=-（m-）2+，再根据二次函数的性质即可得出答案；
（3）把m的值代入抛物线的解析式求出y的值，得出点M的坐标；根据平移的规律得出平移后的抛物线的解析式，设点Q的坐标为（n，-n2+4），分三种情况讨论：①当AM为对角线时，②当AP为对角线时，③当AQ为对角线时，根据对角线互相平分分别列出关于n的等式，求出n的值，即可得出答案．
17．（2023九上·仪陇期中）如图，已知抛物线交x轴于两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一动点，连接．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使最大？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接，若，求点P的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线交x轴于两点，
∴ ，解得： ，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：存在点Q．理由如下：
如图：延长交对称轴于点Q，连接，则最大，
令，则
∴，
∵，
∴运用待定系数法可得直线的解析式为
∵对称轴为，
∴当时，，
∴点Q的坐标为 ． ……
（3）解：如图：过点P作轴交于点F，连接，
∵，
∴运用待定系数法可得直线BC的解析式为，
设点P的坐标为(m，)，则点F的坐标为(m， )
∴，
∵，
∴，即，整理得：，
∴，
由得，
∴此时点P的坐标为(，)，
由得 ，，
∴此时点P的坐标为(，)或(，)，
综上所述，点P的坐标为(，)或(，)或(，)．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式、二次函数线段最值、铅锤法求三角形面积、解一元二次方程等知识，熟悉二次函数中三角形面积的常用方法”铅锤法“是关键。
（1）把点A，B代入函数解析式，组成方程组求解a，b值；
（2）求出函数与y轴交点C坐标，求出直线AC解析式，根据函数对称性可知 最大，求出点Q；
（3）铅锤法求三角形面积，过点P作轴交于点F，连接PC，PB，求出直线BC解析式；
设点P(m，)， F(m， )，计算，
根据得，求解可得P(，)或(，)或(，)．
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023九上·杭州期中）若二次函数y＝ax2（a≠0）的图象过点（﹣2，﹣3），则必在该图象上的点还有（ ）
A．（﹣3，﹣2） B．（2，3）
C．（2，﹣3） D．（﹣2，3）
2．若二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），且抛物线过（0，3），则二次函数的解析式是（ ）
A．y=﹣（x﹣2）2﹣1 B．y=﹣（x﹣2）2﹣1
C．y=（x﹣2）2﹣1 D．y=（x﹣2）2﹣1
3．（2023·凤翔模拟）已知二次函数，其中y与x的部分对应值如下表.
… 0 1 2 3 4 5 …
… 0 5 12 …
则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．方程的两个根分别是，
4．（2023·长宁模拟）某同学在用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：
x … -2 -1 0 1 2 …
y … -1 0 -3 -4 -3 …
由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（ ）
A．-1 B．-3 C．0 D．-4
5．（2022九上·汽开区期末）如图，已知点，，射线绕点逆时针旋转，与轴交于点，则过，，三点的二次函数中的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，在OABC中，AB=AC，动点D在折线段BAC上沿B- >A- ~>C方向以每秒1个单位的速度运动，过D垂直于BC的直线交BC边于点E.如果AB=5，BC=8，点D运动的时间为0秒，△BDE 的面积为S，则s关于t的函数图象的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2019九上·呼和浩特期中）抛物线y=x2﹣6x+5的顶点坐标为（ ）
A．（3，﹣4） B．（3，4）
C．（﹣3，﹣4） D．（﹣3，4）
8．如图，OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y=ax2（a＜0）的图象上，则a的值为 （ ）
A． B．-2 C．- D．
二、填空题
9．（2023九上·萧山月考）已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，则当时， ．
10．（2023九上·诸暨月考）如图，抛物线y＝ax2+1（a＜0）与过点（0，﹣3）且平行于x轴的直线相交于点A、B，与y轴交于点C，若∠ACB为直角，则a＝ ．
11．（2023九上·霍邱月考）已知二次函数其中是常数，且．
（1）若该函数的图象经过点，则的值为 ；
（2）若且当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为 ．
12．（2021九上·思明期中）如图，将矩形OABC置于平面直角坐标系xOy中， ， .抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B，C，顶点为D.将矩形OABC绕原点顺时针旋转一个角度θ（0°＜θ＜360°），得到矩形OA'B'C'，记A'C'的中点E，连结DE，线段DE的长度最大值为 .
13．（2022·南浔模拟）如图，一组x轴正半轴上的点 ， ，… 满足条件 ，抛物线的顶点 ， ，… 依次是反比例函数 图象上的点，第一条抛物线以 为顶点且过点O和 ；第二条抛物线以 为顶点且经过点 和 ；……第n条抛物线以 为顶点且经过点 ， ，依次连结抛物线的顶点和与x轴的两个交点，形成 、 、…、 .
（1）请写出所有满足三角形面积为整数的n的值 ；
（2）若三角形是一个直角三角形，它相对应的抛物线的函数表达式为 .
三、解答题
14．（2023九上·北京市月考）已知抛物线与轴交于点，顶点为，与直线交于，两点，其中点坐标为．
（1）求抛物线和直线解析式；
（2）直接写出抛物线关于对称的抛物线的解析式；
（3）求的面积．
15．（2023九上·北京市期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点A，与直线交于点B.
（1）若轴，求抛物线的解析式；
（2）记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点），若对于图象G上任意一点，都有，求a的取值范围.
四、综合题
16．（2023九上·茶山期中）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（-1，0）和B（0，3），其顶点的横坐标为1．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若直线x＝m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得AN+MN有最大值，并求出最大值．
（3）若点P为抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q为平移后抛物线上一动点．在（2）的条件下求得的点M，是否能与A、P、Q构成平行四边形？若能构成，求出Q点坐标；若不能构成，请说明理由．
17．（2023九上·仪陇期中）如图，已知抛物线交x轴于两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一动点，连接．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使最大？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接，若，求点P的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵二次函数 的图象过点 （﹣2，﹣3），
∴即，
∴，
∴当时，.
故答案为：C.
【分析】由待定系数法求得，即可得到答案.
2．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的三种形式
【解析】【解答】解：设这个二次函数的解析式为y=a（x﹣h）2+k
∵二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），
∴二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，
把（0，3）代入得a=1，
所以y=（x﹣2）2﹣1．
故选C．
【分析】根据二次函数的顶点式求解析式．
3．【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把点代入得：
，
解得：，
∴该函数解析式为，
∴，故A选项错误，不符合题意；
∴，故B选项错误，不符合题意；
∴，故C选项错误，不符合题意；
令，则，
解得：，，故D选项正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】首先根据表格提供的数据，利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而根据a、b、c的值并结合有理数的乘法法则及除法法则可判断A、B选项；由表格提供的数据可得当x=2时，y=-3＜0，据此可判断C选项；令解析式中的y=0算出对应的自变量的值，即可判断D选项.
4．【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：假设三点（0，-3），（1，-4），（2，-3）在函数图象上，
把（0，-3），（1，-4），（2，-3）代入函数解析式，得，
解得，
函数解析式为y＝x2-2x-3，
当x＝-1时，y＝0，
当x＝-2时，y＝5，
故答案为：A．
【分析】假设三点（0，-3），（1，-4），（2，-3）在函数图象上，利用待定系数法求出抛物线解析式，然后验证其他两点即可.
5．【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点作轴于点，
∵点，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即：
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
把和代入二次函数中得：，
解得：，
故答案为：B．
【分析】过点作轴于点，先证明，可得，再求出，可得点C的坐标，再将点A、C的坐标代入求出a、b的值即可。
6．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：过点A作AH⊥BC
∵AB=AC
∴HB=HC=0.5BC=4
∴cosB=，则sinB=
当点在AB上运动时：
S=0.5×BE×DE=0.5BD×cosB×BD×sinB=，该函数开口向上的抛物线。
当点在AC上运动时
∵AB=AC，∴∠B=∠C
∴cosC=，sinC=
∵CD=10-t
∴CE=0.8（10-t），DE=0.6（10-t）
∴BE=8-0.8（10-t）
∴S=0.5（8-0.8（10-t））×0.6（10-t）=，该函数为开口向下的抛物线
故答案为：B
【分析】对D在AB上运动，D在AC上运动两种情况讨论，求出每种情况的表达式，即可求出解。
7．【答案】A
【知识点】二次函数的三种形式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】利用配方法把抛物线的一般式写成顶点式，求顶点坐标；或者用顶点坐标公式求解．
【解答】∵y=x2-6x+5，
=x2-6x+9-9+5，
=（x-3)2-4，
∴抛物线y=x2-6x+5的顶点坐标为（3，-4)．
故选A．
8．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；正方形的性质
【解析】 【解答】如图，连接OB，
∵四边形OABC是边长为1的正方形，
∴∠BOC=45°，OB=1×
=
过点B作BD⊥x轴于D，
∵OC与x轴正半轴的夹角为15°，
∴∠BOD=45°-15°=30°，
∴BD= OB= ，
OD= ，
∴点B的坐标为（ ，- )，
∵点B在抛物线y=ax2（a＜0)的图象上，
∴a（ )2=- ，
解得a=- ．
故答案为：C
【分析】连接OB，根据正方形的对角线平分一组对角线可得∠BOC=45°，过点B作BD⊥x轴于D，然后求出∠BOD=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD= OB，再利用勾股定理列式求出OD，从而得到点B的坐标，再把点B的坐标代入抛物线解析式求解即可．
9．【答案】1
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴当时和当时的函数值相同，
∵抛物线经过点，
∴抛物线经过点，
∴当时，，
故答案为：1.
【分析】本题主要考查了抛物线的对称性，熟知抛物线关于对称轴对称的两点的函数值相同是解题的关键．根据抛物线的对称性进行求解即可．
10．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：因为y＝ax2+1，所以C（0，1）
由已知：D（0，-3），所以CD=4
因为∠ACB为直角，根据二次函数图象的对称性， ABC是等腰直角三角形
BD=CD=4，故B（4，-3）
代入解析式得：-3=16a+1
解得a=
故答案为：.
【分析】要求a的值，关键是求得函数上一点的坐标；由∠ACB为直角，可推出 ABC是等腰直角三角形，且BD=CD=4，从而的B(4，-3)，代入后可求得a的值.
11．【答案】（1）
（2）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：（1）把点 代入，
得：，
解得：a=-4，
故答案为：-4。
（2）当 时，抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴ x<1时，y随x的增大而增大，x>1时，y随x的增大而减小，
∵当时对应的函数值均为正数，
∴x=3时，，
∴，
解得：，
则的取值范围为 ：。
故答案为：
【分析】（1）把点的坐标代入二次函数的解析式，解方程求出a的值；
（2）当 时，抛物线的开口向下，对称轴为直线， 当时对应的函数值均为正数， 就表示x=0时，y=3>0，x=3时，，据此求解即可。
12．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形三边关系；矩形的性质；旋转的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图：
四边形 是矩形， ， ， ，
， ， ，
将 ， ， 代入 得：
，解得 ，
抛物线解析式为 ，
顶点 ， ，
，
为 的中点，
，
在 中， ，
当 、 、 构成三角形时， ，
当 、 、 不构成三角形，即 在 的延长线上时， 的长度最大，如图：
此时 .
故答案为： .
【分析】根据矩形的性质以及点A、C的坐标可得点B的坐标以及AC的值，将B、C的坐标代入y=-x2+bx+c中求出b、c，得到抛物线的解析式，求出顶点坐标，得到OD、OE的值，当D、O、E构成三角形时，根据三角形三边关系可得DE的范围，当D、O、E不构成三角形，即E在DO的延长线上时， DE的长度最大，据此求解.
13．【答案】（1）1或2或5
（2）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；等腰三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）∵第n条抛物线以An（xn，yn）为顶点且经过点Bn 1（2n 2，0），Bn（2n，0），等腰△AnBn 1Bn为第n个三角形.
∴抛物线的对称轴为：x＝2n 1，
∵点An（xn，yn）（n为正整数）在反比例函数 图象上，
∴An的坐标为（2n 1， ），
∴△AnBn 1Bn的面积＝ ×2× ＝ ，
∴△AnBn 1Bn的面积为整数的n的值1或2或5，
故答案为：1或2或5；
（2）∵三角形是一个直角三角形，且底边长为2，
∴其底边上的高为1，
中，令y=1，得x=9，
∴抛物线顶点为（9，1），且与x轴交点为（8，0），（10，0），
设抛物线解析式为 ，
把（8，0）代入，得a=-1，
故抛物线解析式为： ，
故答案为： .
【分析】（1）可得等腰△AnBn 1Bn为第n个三角形，从而求出抛物线的对称轴为：x＝2n 1，将点An（xn，yn）（n为正整数）代入 中，可得An的坐标为（2n 1， ），可得△AnBn 1Bn的面积＝ ×2× ＝ ， 据此求出三角形面积为整数的n值即可；
（2）由于三角形是一个直角三角形，且底边长为2，可知其底边上的高为1，当y=1时=9，可得
抛物线顶点为（9，1），且与x轴交点为（8，0），（10，0），可设抛物线解析式（顶点式）为，将（8，0）代入求出a值即可.
14．【答案】（1）解：抛物线过、两点
代入抛物线解析式可得：，
解得：，
抛物线解析式为；
直线过点，
，
，
直线为，
（2）解：，
抛物线的顶点，
顶点关于直线的对应点的坐标为，
抛物线关于对称的抛物线的解析式为，
（3）解：由，解得或，
，
抛物线的顶点，
把代入，得，
的面积．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【分析】⑴、待定系数法求二次函数和一次函数解析式，把已知的点A和点C的坐标代入抛物线解析式，得b和c的二元一次方程组，解方程组求得b和c的值，求得二次函数解析式；把点A的坐标代入一次函数解析式，得k的一元一次方程，解方程求得k的值，进而求得一次函数解析式。
⑵、由对称可知两抛物线形状大小完全相同，改变的只是位置，故只要确定已知抛物线顶点关于对称轴直线x=-1的对称点即可，然后再写出对称的抛物线解析式（顶点式）即可。
⑶、求三角形ABT面积，先观察三角形形状特点；已知点A和T的坐标，缺点B坐标，所以先求点B的坐标，可知三角形ABT三边都和坐标轴不平行，故利用割补法求面积，过点T作x轴垂线交AB于点D，可求DT长，这时三角形ABT的面积就是DT和A、B两点水平距离积的一半。
15．【答案】（1）解：当时，，点.
轴，且点B在直线上，
点，抛物线的对称轴为直线，
，抛物线的表达式为；
（2）解：①当时，，
要使时，始终满足.
只需使抛物线的对称轴与直线重合或在直线的左侧.
；
②当时，在时，恒成立.
综上所述，a的取值范围是或.
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1)根据题意求得点B的坐标，然后利用对称轴公式得到a=-2，即可求得抛物线的解析式；
(2)分a>0及a<0两种情况考虑，依照题意画出函数图象，利用数形结合即可得出a的取值范围.
16．【答案】（1）解：∵抛物线的顶点横坐标为1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1．
∵点A的坐标为（-1，0），
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0）．
将（-1，0），（3，0），（0，3）代入y＝ax2+bx+c得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝-x2+2x+3；
（2）解：∵直线x＝m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，
∴点M的坐标为（m，-m2+2m+3），点N的坐标为（m，0），
∴MN＝-m2+2m+3，AN＝m+1，
∴AN+MN＝m+1+（-m2+2m+3）＝-m2+3m+4＝-（m-）2+，
∵-1＜0，且0＜m＜3，
∴当m＝时，AN+MN有最大值，最大值为；
（3）解：∵y＝-x2+2x+3＝-（x-1）2+4，
∴抛物线向左平移1个单位长度后的表达式为y＝-x2+4．
当x＝时，y＝-（）2+2×+3＝，
∴点M的坐标为（，）．
假设存在以A，P，Q，M为顶点的平行四边形，设点P的坐标为（1，m），点Q的坐标为（n，-n2+4）．
①当AM为对角线时，对角线AM，PQ互相平分，
∴，
解得：n＝-，
∴点Q的坐标为（-，）；
②当AP为对角线时，对角线AP，MQ互相平分，
∴＝，
解得：n＝-，
∴点Q的坐标为（-，）；
③当AQ为对角线时，对角线AQ，PM互相平分，
∴＝，
解得：n＝，
∴点Q的坐标为（，-）．
综上所述，存在以A，P，Q，M为顶点的平行四边形，点Q的坐标为（-，）或（-，）或（，-）．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称性得出抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0），把点 A（-1，0）、B（0，3）和点（3，0）的坐标代入y＝ax2+bx+c，求出a，b，c的值，即可得出答案；
（2）求出点M和点N的坐标，得出MN和AN的值，从而得出AN+MN=-（m-）2+，再根据二次函数的性质即可得出答案；
（3）把m的值代入抛物线的解析式求出y的值，得出点M的坐标；根据平移的规律得出平移后的抛物线的解析式，设点Q的坐标为（n，-n2+4），分三种情况讨论：①当AM为对角线时，②当AP为对角线时，③当AQ为对角线时，根据对角线互相平分分别列出关于n的等式，求出n的值，即可得出答案．
17．【答案】（1）解：∵抛物线交x轴于两点，
∴ ，解得： ，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：存在点Q．理由如下：
如图：延长交对称轴于点Q，连接，则最大，
令，则
∴，
∵，
∴运用待定系数法可得直线的解析式为
∵对称轴为，
∴当时，，
∴点Q的坐标为 ． ……
（3）解：如图：过点P作轴交于点F，连接，
∵，
∴运用待定系数法可得直线BC的解析式为，
设点P的坐标为(m，)，则点F的坐标为(m， )
∴，
∵，
∴，即，整理得：，
∴，
由得，
∴此时点P的坐标为(，)，
由得 ，，
∴此时点P的坐标为(，)或(，)，
综上所述，点P的坐标为(，)或(，)或(，)．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式、二次函数线段最值、铅锤法求三角形面积、解一元二次方程等知识，熟悉二次函数中三角形面积的常用方法”铅锤法“是关键。
（1）把点A，B代入函数解析式，组成方程组求解a，b值；
（2）求出函数与y轴交点C坐标，求出直线AC解析式，根据函数对称性可知 最大，求出点Q；
（3）铅锤法求三角形面积，过点P作轴交于点F，连接PC，PB，求出直线BC解析式；
设点P(m，)， F(m， )，计算，
根据得，求解可得P(，)或(，)或(，)．
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