2023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 30.4 二次函数的应用同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2020七下·砀山期末）用一段 米长的铁丝在平地上围成一个长方形，求长方形的面积 （平方米）和长方形的一边的长 （米）的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】长方形的长为x米，那么宽为 ，根据题意得
x =y，
即：
故答案为：C．
【分析】先由长方形一边的长度为x米，周长为20米，得出另外一边的长度为（10-x）米，再利用长方形的面积公式可得答案。
2．（2023九上·游仙期中）如图，一座抛物线型拱桥，桥下水面宽度是6m时，拱顶到水面的距离是3m，则当水面宽为4m时，水面上升了（ ）
A． m B．1m C． m D． m
【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：如图所示建立平面直角坐标系：
设抛物线解析式为，
由已知抛物线过点，则，
解得：，
抛物线解析式为：，
当，则，
则，
水面上升了：．
故答案为：D
【分析】先建立平面直角坐标系，进而运用待定系数法求出二次函数的解析式，进而运用二次函数的图象即可求解。
3．（2020九上·金寨期末）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放 辆单车，计划第三个月投放单车 辆，若第二个月的增长率是 ，第三个月的增长率是第二个月的两倍，那么 与 的函数关系是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】 第二个月的增长率是 ，第三个月的增长率是第二个月的两倍，
第三个月的增长率为 2x
第一个月投放 辆单车，
第二个月投放 辆
第三个月投放量
故答案为：A．
【分析】增长率问题：一般用增长后的量=增长前的量× ( 1+增长率）在根据已知条件克的函数关系式。
4．（2019·常德模拟）竖直向上发射的小球的高度h（m）关于运动时间t（s）的函数表达式为h=at2+bt，其图象如图所示，若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（ ）
A．第3秒 B．第3.5秒 C．第4.2秒 D．第6.5秒
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】由题意可知：h（2）=h（6），
即4a+2b=36a+6b，
解得b=-8a，
函数h=at2+bt的对称轴t=-=4，
故在t=4s时，小球的高度最高，
题中给的四个数据只有C第4.2秒最接近4秒，
故在第4.2秒时小球最高
故选C．
【分析】根据题中已知条件求出函数h=at2+bt的对称轴t=4，四个选项中的时间越接近4小球就越高．本题主要考查了二次函数的实际应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键，属于中档题．
5．（2023九上·安徽期中）某班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来10米长的围栏，准备围成两边靠墙（两墙垂直且足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰直角三角形（两直角边靠墙）、扇形这三种方案，如图所示．最佳方案是（ ）
A．方案1 B．方案2
C．方案1或方案2 D．方案3
【答案】D
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：方案1：设矩形的长为x米，则宽为（10-x）米，
∴，
∴当x=5时，面积最大为25平方米；
方案2：设等腰直角三角形的两直角边为m(m＞0）米，
∴，
解得：(负值舍去），
∴等腰直角三角形的面积为：；
方案3：设扇形的半径为r米，
由题意可得：，
解得：，
∴，
综上所述：方案3的面积最大，
即最佳方案是方案3，
故答案为：D.
【分析】结合图形，利用二次函数以及矩形，三角形和扇形的面积公式等计算求解即可。
6．（2023九上·六安期中）如图，等边的边长为4，直线l经过点A且直线，直线l从点A出发沿A-C以1cm/s的速度向点C移动，直到经过点C即停止，直线l分别与AB或BC交于点M，与AC交于点N，若的面积为y（cm），直线l的移动时间为x（s），则下面最能反映y与x之间函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D，
∵等边△ABC的边长为4cm，
∴AB=BC=AC=4cm，AD=CD=2cm，
∴，
∴，
∵直线 ，
∴，
由题意得：AN=xcm，
∴CN=AC-AN=(4-x)cm，
如图1，当时，
∴，
∴，即，
解得：，此函数图象是开口向上的抛物线的一部分；
如图2，当2∴，
∴，即，
解得：，
∴，此函数图象是开口向下的抛物线的一部分；
观察四个选项可知，只有选项C符合题意，
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的判定和性质，结合三角形的面积公式，分两种情况求出函数解析式，根据二次函数的图象及性质进行判定。
7．（2023·南通）如图，中，，，．点从点出发沿折线运动到点停止，过点作，垂足为．设点运动的路径长为，的面积为，若与的对应关系如图所示，则的值为（ ）
A．54 B．52 C．50 D．48
【答案】B
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：，
当点D在AC上时，则0≤x≤15，
∵DE⊥AB，
∴∠C=∠AED=90°，
∴△ADE∽△ABC，
∴即，
解之：，
∴，
∴，
当x=10，，
∴a=76，
当点D在BC上运动时，15＜x≤35，
∴BD=35-x，
同理可知△DBE∽△ABC，
∴即，
解之：，
∴，
当x=25时，，
∴b=24，
∴a-b=76-24=52.
故答案为：B.
【分析】利用勾股定理求出AB的长，则0≤x≤15，利用有两组对应角分别相等的两个三角形相似，可证得△ADE∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例可表示出DE，AE，BE的长，利用三角形的面积公式可表示出y与x的函数解析式，将x=10代入可求出a的值；当点D在BC上运动时，15＜x≤35，可表示出BD的长，同理可知△DBE∽△ABC，利用相似三角形的性质可表示出DE，BE的长，再利用三角形的面积公式可得到y与x的函数解析式，将x=25代入可得到b的值，然后求出a-b的值.
8．（2023·宽城模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点平行于轴的直线交抛物线于、两点，点在抛物线上且在轴的上方，连接，则面积的最大值是（ ）
A．5 B．4.5 C．6 D．4
【答案】D
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：当时，，则，
当时，，解得，则，，
，
设，
当时，面积的最大值为4．
故答案为：D．
【分析】设，求出，再利用二次函数的性质求解即可。
二、填空题
9．如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为 m2.
【答案】32
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意设围栏的长为x，则宽为，
这个围栏的面积为，
当围栏的长为x=8，宽为=4时， 围栏的面积最大为32 .
故答案为：32.
【分析】设围栏的长为x，根据矩形面积公式出函数关系式，进而根据二次函数的性质求围栏的面积最大即可.
10．（2023九上·莱芜期中）超市购进一批单价为40元的生活用品，如果按每件50元出售，那么每天可销售200件，经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件，则超市销售此生活用品每天可获得最大销售利润为 元．
【答案】2250
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设销售的单价定为x，每天获得的利润为y，
根据题意可得，y=[200-10（x-50）]×（x-40）
=-10（x-55）2+2250，
∴当x=55时，y有最大值，最大值为2250；
故答案为：2250.
【分析】根据题意列出二次函数，结合二次函数的最值作答。
11．一个小球从地面竖直向上弹出，它在空中距离地面的高度与弹出时间满足的关系式为，当小球第二次距离地面时，小球弹出的时间为 秒.
【答案】2
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：当时，可得：，
即，
解得：，，
∴在时，小球弹出上升的高度达到，小球上升至最高点后下落，在时，它的高度又为，
∴当小球第二次距离地面时，小球弹出的时间为2秒．
故答案为：2.
【分析】把代入二次函数，得出，解方程即可．
12．（2023·无锡）二次函数的图像与x轴交于点、，与轴交于点，过点的直线将分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则的值为 ．
【答案】或或
【知识点】相似三角形的判定与性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：(1)将分成一个三角形和梯形，
如图，当时，，
三角形和梯形面积相等，
，
，
，
，
，
，
当时，，
，
，
；
如图，当时，，
作轴，，
当时，，，
，，
，轴，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
此方案不成立；
当时，，
，
，，
，，
，
，轴，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
；
(2)将分成两个三角形，
如图，将分成两个三角形，
，
是的中点，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
当时，，
，
如图，将分成两个三角形，
连接，
是的中点，
，
，
，
此方案不成立，
故答案为：或或.
【分析】分析题意可知，过点M的直线将分成两部分，这两部分可能是两个三角形，也可能是一个三角形和梯形，根据不同的情况进行分类讨论.(1)确定图形后，先利用平行的性质得到三角形相似，再通过相似三角形的性质由三角形面积得到线段之间的关系，然后通过比例求得线段长，进而得到a的值；(2)确定图形后，利用三角形中线与面积的关系求得点D坐标，再通过函数解析式求得a的值
13．（2023八下·石景山期末）如图，在矩形中，，，点P从点A出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；点Q从点B出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点A运动． P，Q两点同时出发，设点P运动的时间为（单位：秒），的面积为．则关于的函数表达式为 ．
【答案】
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】AP=t，AQ=10-2t，
10/2=5，5/1=5，故0＜t＜5。
故填：y=-t2+5t(0＜t＜5)。
【分析】考查的是函数的动点问题。
三、解答题
14．（2023九上·西山期中） 2023年亚运会已在杭州举行，在这期间某网络经销商购进一批以亚运会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件40元，当销售单价定为70元时，每天可售出50件．为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出5件，若设这款文化衫降低了x（元），每天的销售量为y（件）．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围．
（2）当销售单价为多少元时，销售每天所获得的利润为1875元？
（3）当销售单价定为多少元时，每天销售这款文化纪念册获得的利润w最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：由题意得：y＝50+5x，此时70﹣x＞40．
∴y与x之间的函数表达式为y＝5x+50，0＜x＜30．
（2）解：由题意，∵利润＝（售价﹣进价）×销售量，
∴利润＝（70﹣x﹣40）（50+5x）＝1875．
∴解得：x1＝15，x2＝5．
∵为了扩大销售，
∴x＝15．
∴销售单价为70﹣15＝55（元）．
答：销售单价为55元时，销售每天所获得的利润为1875元．
（3）解：由题意，结合（2）可得利润w与降价x的函数关系式为w＝（70﹣x﹣40）（50+5x）＝﹣5x2+100x+1500＝﹣5（x﹣10）2+2000．
∴当x＝10时，每天销售这款文化纪念册获得的利润w最大，最大利润是2000元．
∴此时销售单价为70﹣10＝60（元）．
答：销售单价为60元，每天销售这款文化纪念册获得的利润w最大，最大利润是2000元．
【知识点】二次函数的最值；列一次函数关系式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意，每天的销售数量在50件的基础上，每降低x元，可以多销售5x件，可得函数解析式；在不亏损的前提下，x的取值范围最大是30，超过30即有亏损，与“扩大销售，增加盈利”目的不符，由此可得自变量x的取值范围；
（2）根据销售利润＝单件利润×销售量的数量关系，代入单件利润和销售量的表达式，解方程即可，依据扩大销售的目的舍去不符题意的解；
（3）根据销售利润＝单件利润×销售量的数量关系写出利润y和降价x元的函数解析式，找到函数的最大值，然后再计算此时的销售定价。
四、综合题
15．（2023九上·路北期中）如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P为抛物线y＝﹣（x﹣m）2+m+2的顶点．
（1）直接写出顶点P的坐标；（用m表示）
（2）当m＝0时，判断（1，1）是否在抛物线上，并直接写出该抛物线下方（含边界）的好点个数；
（3）当m＝3时，直接写出该抛物线上的好点坐标；
（4）若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（含边界）恰好存在8个好点，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）（m，m+2）
（2）解：当m＝0时，（1，1）在抛物线上；好点有：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），共5个；
（3）（1，1），（2，4），（4，4）；
（4）≤m＜1．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣（x﹣m）2+m+2，
∴顶点P的坐标为（m，m+2）；
（2）当m＝0时，（1，1）在抛物线上，理由如下：
当m＝0时，表达式为：y＝﹣x2+2，函数图象如图1：
当x＝0时，y＝2；
当x＝1时，y＝1，
∴抛物线经过点（0，2）和（1，1），
即点（1，1）在抛物线上，
观察图象可知：好点有：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），共5个．
（3）当m＝3时，二次函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+5．如图2．
当x＝1时，y＝1，
当x＝2时，y＝4，
当x＝4时，y＝4，
∴抛物线经过（1，1），（2，4），（4，4），
根据图象可知，抛物线上存在好点，坐标分别为（1，1），（2，4），（4，4）；
（4）由于0＜m＜2，取m＝1开始，发现抛物线内有10个好点，不符合意思，所以抛物线向下并向左移动，如图3，
∵抛物线的顶点P（m，m+2），
∴抛物线的顶点P在直线y＝x+2上，
∵点P在正方形内部，则0＜m＜2，
如图3中，E（2，1），F（2，2），
观察图象可知，当点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段EF有交点（点F除外），
当抛物线经过点E时，﹣（2﹣m）2+m+2＝1，
解得或（不合题意，舍去），
当抛物线经过点F时，﹣（2﹣m）2+m+2＝2，
解得m＝1或4（不合题意，舍去），
∴当时，顶点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点．
【分析】（1）利用抛物线的顶点式直接写出顶点坐标即可；
（2）如图1中，当时，二次函数的表达式，画出函数图象，利用图象法解决问题即可；
（3）如图2中，当时，二次函数解析式为，如图2，结合图象即可解决问题；
（4）如图3中，抛物线顶点，推出抛物线的顶点P在直线上，由点P在正方形内部，则，如图3中，，观察图象可知，当点P在正方形内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段EF有交点（点F除外），求出抛物线经过点E或点F时m的值，即可判断．
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 30.4 二次函数的应用同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2020七下·砀山期末）用一段 米长的铁丝在平地上围成一个长方形，求长方形的面积 （平方米）和长方形的一边的长 （米）的关系式为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·游仙期中）如图，一座抛物线型拱桥，桥下水面宽度是6m时，拱顶到水面的距离是3m，则当水面宽为4m时，水面上升了（ ）
A． m B．1m C． m D． m
3．（2020九上·金寨期末）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放 辆单车，计划第三个月投放单车 辆，若第二个月的增长率是 ，第三个月的增长率是第二个月的两倍，那么 与 的函数关系是 （ ）
A． B．
C． D．
4．（2019·常德模拟）竖直向上发射的小球的高度h（m）关于运动时间t（s）的函数表达式为h=at2+bt，其图象如图所示，若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（ ）
A．第3秒 B．第3.5秒 C．第4.2秒 D．第6.5秒
5．（2023九上·安徽期中）某班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来10米长的围栏，准备围成两边靠墙（两墙垂直且足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰直角三角形（两直角边靠墙）、扇形这三种方案，如图所示．最佳方案是（ ）
A．方案1 B．方案2
C．方案1或方案2 D．方案3
6．（2023九上·六安期中）如图，等边的边长为4，直线l经过点A且直线，直线l从点A出发沿A-C以1cm/s的速度向点C移动，直到经过点C即停止，直线l分别与AB或BC交于点M，与AC交于点N，若的面积为y（cm），直线l的移动时间为x（s），则下面最能反映y与x之间函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·南通）如图，中，，，．点从点出发沿折线运动到点停止，过点作，垂足为．设点运动的路径长为，的面积为，若与的对应关系如图所示，则的值为（ ）
A．54 B．52 C．50 D．48
8．（2023·宽城模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点平行于轴的直线交抛物线于、两点，点在抛物线上且在轴的上方，连接，则面积的最大值是（ ）
A．5 B．4.5 C．6 D．4
二、填空题
9．如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为 m2.
10．（2023九上·莱芜期中）超市购进一批单价为40元的生活用品，如果按每件50元出售，那么每天可销售200件，经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件，则超市销售此生活用品每天可获得最大销售利润为 元．
11．一个小球从地面竖直向上弹出，它在空中距离地面的高度与弹出时间满足的关系式为，当小球第二次距离地面时，小球弹出的时间为 秒.
12．（2023·无锡）二次函数的图像与x轴交于点、，与轴交于点，过点的直线将分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则的值为 ．
13．（2023八下·石景山期末）如图，在矩形中，，，点P从点A出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；点Q从点B出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点A运动． P，Q两点同时出发，设点P运动的时间为（单位：秒），的面积为．则关于的函数表达式为 ．
三、解答题
14．（2023九上·西山期中） 2023年亚运会已在杭州举行，在这期间某网络经销商购进一批以亚运会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件40元，当销售单价定为70元时，每天可售出50件．为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出5件，若设这款文化衫降低了x（元），每天的销售量为y（件）．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围．
（2）当销售单价为多少元时，销售每天所获得的利润为1875元？
（3）当销售单价定为多少元时，每天销售这款文化纪念册获得的利润w最大？最大利润是多少元？
四、综合题
15．（2023九上·路北期中）如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P为抛物线y＝﹣（x﹣m）2+m+2的顶点．
（1）直接写出顶点P的坐标；（用m表示）
（2）当m＝0时，判断（1，1）是否在抛物线上，并直接写出该抛物线下方（含边界）的好点个数；
（3）当m＝3时，直接写出该抛物线上的好点坐标；
（4）若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（含边界）恰好存在8个好点，直接写出m的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】长方形的长为x米，那么宽为 ，根据题意得
x =y，
即：
故答案为：C．
【分析】先由长方形一边的长度为x米，周长为20米，得出另外一边的长度为（10-x）米，再利用长方形的面积公式可得答案。
2．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：如图所示建立平面直角坐标系：
设抛物线解析式为，
由已知抛物线过点，则，
解得：，
抛物线解析式为：，
当，则，
则，
水面上升了：．
故答案为：D
【分析】先建立平面直角坐标系，进而运用待定系数法求出二次函数的解析式，进而运用二次函数的图象即可求解。
3．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】 第二个月的增长率是 ，第三个月的增长率是第二个月的两倍，
第三个月的增长率为 2x
第一个月投放 辆单车，
第二个月投放 辆
第三个月投放量
故答案为：A．
【分析】增长率问题：一般用增长后的量=增长前的量× ( 1+增长率）在根据已知条件克的函数关系式。
4．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】由题意可知：h（2）=h（6），
即4a+2b=36a+6b，
解得b=-8a，
函数h=at2+bt的对称轴t=-=4，
故在t=4s时，小球的高度最高，
题中给的四个数据只有C第4.2秒最接近4秒，
故在第4.2秒时小球最高
故选C．
【分析】根据题中已知条件求出函数h=at2+bt的对称轴t=4，四个选项中的时间越接近4小球就越高．本题主要考查了二次函数的实际应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键，属于中档题．
5．【答案】D
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：方案1：设矩形的长为x米，则宽为（10-x）米，
∴，
∴当x=5时，面积最大为25平方米；
方案2：设等腰直角三角形的两直角边为m(m＞0）米，
∴，
解得：(负值舍去），
∴等腰直角三角形的面积为：；
方案3：设扇形的半径为r米，
由题意可得：，
解得：，
∴，
综上所述：方案3的面积最大，
即最佳方案是方案3，
故答案为：D.
【分析】结合图形，利用二次函数以及矩形，三角形和扇形的面积公式等计算求解即可。
6．【答案】C
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D，
∵等边△ABC的边长为4cm，
∴AB=BC=AC=4cm，AD=CD=2cm，
∴，
∴，
∵直线 ，
∴，
由题意得：AN=xcm，
∴CN=AC-AN=(4-x)cm，
如图1，当时，
∴，
∴，即，
解得：，此函数图象是开口向上的抛物线的一部分；
如图2，当2∴，
∴，即，
解得：，
∴，此函数图象是开口向下的抛物线的一部分；
观察四个选项可知，只有选项C符合题意，
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的判定和性质，结合三角形的面积公式，分两种情况求出函数解析式，根据二次函数的图象及性质进行判定。
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：，
当点D在AC上时，则0≤x≤15，
∵DE⊥AB，
∴∠C=∠AED=90°，
∴△ADE∽△ABC，
∴即，
解之：，
∴，
∴，
当x=10，，
∴a=76，
当点D在BC上运动时，15＜x≤35，
∴BD=35-x，
同理可知△DBE∽△ABC，
∴即，
解之：，
∴，
当x=25时，，
∴b=24，
∴a-b=76-24=52.
故答案为：B.
【分析】利用勾股定理求出AB的长，则0≤x≤15，利用有两组对应角分别相等的两个三角形相似，可证得△ADE∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例可表示出DE，AE，BE的长，利用三角形的面积公式可表示出y与x的函数解析式，将x=10代入可求出a的值；当点D在BC上运动时，15＜x≤35，可表示出BD的长，同理可知△DBE∽△ABC，利用相似三角形的性质可表示出DE，BE的长，再利用三角形的面积公式可得到y与x的函数解析式，将x=25代入可得到b的值，然后求出a-b的值.
8．【答案】D
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：当时，，则，
当时，，解得，则，，
，
设，
当时，面积的最大值为4．
故答案为：D．
【分析】设，求出，再利用二次函数的性质求解即可。
9．【答案】32
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意设围栏的长为x，则宽为，
这个围栏的面积为，
当围栏的长为x=8，宽为=4时， 围栏的面积最大为32 .
故答案为：32.
【分析】设围栏的长为x，根据矩形面积公式出函数关系式，进而根据二次函数的性质求围栏的面积最大即可.
10．【答案】2250
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设销售的单价定为x，每天获得的利润为y，
根据题意可得，y=[200-10（x-50）]×（x-40）
=-10（x-55）2+2250，
∴当x=55时，y有最大值，最大值为2250；
故答案为：2250.
【分析】根据题意列出二次函数，结合二次函数的最值作答。
11．【答案】2
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：当时，可得：，
即，
解得：，，
∴在时，小球弹出上升的高度达到，小球上升至最高点后下落，在时，它的高度又为，
∴当小球第二次距离地面时，小球弹出的时间为2秒．
故答案为：2.
【分析】把代入二次函数，得出，解方程即可．
12．【答案】或或
【知识点】相似三角形的判定与性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：(1)将分成一个三角形和梯形，
如图，当时，，
三角形和梯形面积相等，
，
，
，
，
，
，
当时，，
，
，
；
如图，当时，，
作轴，，
当时，，，
，，
，轴，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
此方案不成立；
当时，，
，
，，
，，
，
，轴，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
；
(2)将分成两个三角形，
如图，将分成两个三角形，
，
是的中点，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
当时，，
，
如图，将分成两个三角形，
连接，
是的中点，
，
，
，
此方案不成立，
故答案为：或或.
【分析】分析题意可知，过点M的直线将分成两部分，这两部分可能是两个三角形，也可能是一个三角形和梯形，根据不同的情况进行分类讨论.(1)确定图形后，先利用平行的性质得到三角形相似，再通过相似三角形的性质由三角形面积得到线段之间的关系，然后通过比例求得线段长，进而得到a的值；(2)确定图形后，利用三角形中线与面积的关系求得点D坐标，再通过函数解析式求得a的值
13．【答案】
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】AP=t，AQ=10-2t，
10/2=5，5/1=5，故0＜t＜5。
故填：y=-t2+5t(0＜t＜5)。
【分析】考查的是函数的动点问题。
14．【答案】（1）解：由题意得：y＝50+5x，此时70﹣x＞40．
∴y与x之间的函数表达式为y＝5x+50，0＜x＜30．
（2）解：由题意，∵利润＝（售价﹣进价）×销售量，
∴利润＝（70﹣x﹣40）（50+5x）＝1875．
∴解得：x1＝15，x2＝5．
∵为了扩大销售，
∴x＝15．
∴销售单价为70﹣15＝55（元）．
答：销售单价为55元时，销售每天所获得的利润为1875元．
（3）解：由题意，结合（2）可得利润w与降价x的函数关系式为w＝（70﹣x﹣40）（50+5x）＝﹣5x2+100x+1500＝﹣5（x﹣10）2+2000．
∴当x＝10时，每天销售这款文化纪念册获得的利润w最大，最大利润是2000元．
∴此时销售单价为70﹣10＝60（元）．
答：销售单价为60元，每天销售这款文化纪念册获得的利润w最大，最大利润是2000元．
【知识点】二次函数的最值；列一次函数关系式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意，每天的销售数量在50件的基础上，每降低x元，可以多销售5x件，可得函数解析式；在不亏损的前提下，x的取值范围最大是30，超过30即有亏损，与“扩大销售，增加盈利”目的不符，由此可得自变量x的取值范围；
（2）根据销售利润＝单件利润×销售量的数量关系，代入单件利润和销售量的表达式，解方程即可，依据扩大销售的目的舍去不符题意的解；
（3）根据销售利润＝单件利润×销售量的数量关系写出利润y和降价x元的函数解析式，找到函数的最大值，然后再计算此时的销售定价。
15．【答案】（1）（m，m+2）
（2）解：当m＝0时，（1，1）在抛物线上；好点有：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），共5个；
（3）（1，1），（2，4），（4，4）；
（4）≤m＜1．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣（x﹣m）2+m+2，
∴顶点P的坐标为（m，m+2）；
（2）当m＝0时，（1，1）在抛物线上，理由如下：
当m＝0时，表达式为：y＝﹣x2+2，函数图象如图1：
当x＝0时，y＝2；
当x＝1时，y＝1，
∴抛物线经过点（0，2）和（1，1），
即点（1，1）在抛物线上，
观察图象可知：好点有：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），共5个．
（3）当m＝3时，二次函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+5．如图2．
当x＝1时，y＝1，
当x＝2时，y＝4，
当x＝4时，y＝4，
∴抛物线经过（1，1），（2，4），（4，4），
根据图象可知，抛物线上存在好点，坐标分别为（1，1），（2，4），（4，4）；
（4）由于0＜m＜2，取m＝1开始，发现抛物线内有10个好点，不符合意思，所以抛物线向下并向左移动，如图3，
∵抛物线的顶点P（m，m+2），
∴抛物线的顶点P在直线y＝x+2上，
∵点P在正方形内部，则0＜m＜2，
如图3中，E（2，1），F（2，2），
观察图象可知，当点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段EF有交点（点F除外），
当抛物线经过点E时，﹣（2﹣m）2+m+2＝1，
解得或（不合题意，舍去），
当抛物线经过点F时，﹣（2﹣m）2+m+2＝2，
解得m＝1或4（不合题意，舍去），
∴当时，顶点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点．
【分析】（1）利用抛物线的顶点式直接写出顶点坐标即可；
（2）如图1中，当时，二次函数的表达式，画出函数图象，利用图象法解决问题即可；
（3）如图2中，当时，二次函数解析式为，如图2，结合图象即可解决问题；
（4）如图3中，抛物线顶点，推出抛物线的顶点P在直线上，由点P在正方形内部，则，如图3中，，观察图象可知，当点P在正方形内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段EF有交点（点F除外），求出抛物线经过点E或点F时m的值，即可判断．
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