2023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 30.5 二次函数与一元二次方程的关系同步分层训练培优题

2023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 30.5 二次函数与一元二次方程的关系同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023九上·游仙月考）若函数的图象与轴只有一个交点，则的值是（　　）
A．或 B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】根据题意，函数的图象与轴只有一个交点
则
解得m=8
，函数为
函数图象与x轴有一个交点（）
故m的值有2个，3或5
故选：A
【分析】仔细读题，发现二次项系数中有未知数，题中只说函数，而没有说函数是二次函数还是一次函数，因此要都考虑到，审题是本题的关键。二次函数判别式为0时与x轴只有一个交点，只要是一次函数就会与x轴有一个交点。
2．（2023九上·苍溪期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（5，0），下列说法正确的是（　　）
A．c＜0 B．b2-4ac＜0
C．a-b+c＜0 D．图象的对称轴是直线x＝3
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、由于二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴交于正半轴，所以c＞0，故A错误；
B、二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴由2个交点，所以b2-4ac＞0，故B错误；
C、当x＝-1时，y＞0，即a-b+c＞0，故C错误；
D、因为A（1，0），B（5，0），所以对称轴为直线x＝ ＝3，故D正确.
故答案为：D.
【分析】由于二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴交于正半轴，所以c＞0，据此判断A；由二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴由2个交点，所以b2-4ac＞0，据此判断B；由图象可知当x＝-1时，y＞0，即a-b+c＞0，据此判断C；此题告知了抛物线与x轴两交点的坐标，根据抛物线的对称性，对称轴直线一定经过AB的中点，据此可得对称轴直线，从而即可判断D.
3．（2023九上·大城期中）如图，抛物线与x轴负半轴，y轴分别交于点A，B，现要在段的抛物线上找点，关于针对n的不同取值，所找点P的个数，甲、乙两人的说法如下，下列判断正确的是（　　）
甲：若，则点P的个数为2；乙：若，则点P的个数为1
A．只有甲对 B．只有乙对
C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 抛物线y=（1-x）（x+3）与x轴负半轴，y轴分别交于点A，B，
∴ y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4
∴ A（-3，0）B（0，3），顶点（-1，4）
∵ 点P（m，n）在AB段的抛物线上
∴ -3＜m＜0，0＜n≤4
∴ 当n=4时，点P为顶点，则甲错误；
若0＜n＜3，则点P的个数为1个，则乙正确；
故答案为：B
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟悉顶点坐标、与x轴的交点坐标是解题关键。根据二次函数y=（1-x）（x+3）可得A（-3，0）B（0，3），顶点（-1，4），结合图象，可得m，n的范围，则可判断甲、乙，得出结论。
4．（2023九上·宣化期中）题目：“如图，抛物线与直线相交于点和点B.点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标的取值范围.”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，丁答：，则正确的是（　　）
A．只有甲答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整
C．甲、丙答案合在一起才完整 D．甲、丁答案合在一起才完整
【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：
把A（2，0）分别代入抛物线和直线解析式中得，
，解得，
∴抛物线为，直线为y=-x+2，
联立解得，或
∴点B的坐标为（-1，3）
情形1：当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点，
∵M， N的距离为3，而A、B的水平距离是3， 若线段MN与抛物线只有一个公共点，故此时只有一个交点，即-1≤ <2；
情形2：当点M在点B的左侧时，即时，线段MN与抛物线没有公共点；
情形3：当点M在点A的右侧时，当时，抛物线和MN交于抛物线的顶点(1，-1)， 即时，线段MN与抛物线只有一个公共点。
综上，当线段MN与抛物线只有一个公共点时，-1≤<2或=3.
故答案为：B.
【分析】先根据抛物线与直线交于点4(2， 0)求出函数解析式，进而得出点B坐标，分类求解确定MN的位置。
5．（2023九上·楚雄期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（　　）
A．b2﹣4ac＞0 B．a＞0 C．c＞0 D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：A、∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△= b2﹣4ac＞0 ，故A正确；
B、由抛物线开口向上，则a＞0，故B正确；
C、由抛物线与y轴的交点在正半轴上，则c＞0，故C正确；
D、由图象知：抛物线的对称轴在y轴的右侧，则x= ， 故D错误.
故答案为：D.
【分析】由于抛物线的开口向上确定a的符号，由抛物线与y轴的交点在正半轴上确定c的符号，由抛物线与x轴有两个交点可确定b2﹣4ac的符号，由抛物线的对称轴在y轴的右侧确定的符号.
6．（2023九上·滕州开学考）已知多项式，下列说法正确的个数为（　　）
若，则代数式的值为； 当时，代数式的最小值为； 当时，若，则的取值范围是．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【知识点】多项式的概念；公式法解一元二次方程；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】
解：∵ =0
∴，x=
∴代数式则错误，不合题意；
a=-3时， M-N =（ ）- （）=-6x-5，则错误，不合题意；
当时，
∴
∴
∴，则 错误，不合题意；
综上，正确的个数是0
故答案为：A.
【分析】本题考查解一元二次方程、多项式计算、二次函数与不等式综合，理清题意，整体代入求解，熟悉一元二次方程的公式法求根，结合二次函数求不等式的解集，利用图象求解是解题关键。
7．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1，0)，顶点坐标为(1，n)，与y轴的交点在(0，1)，(0，3)之间(包含端点)．现有下列结论：
①当x<-1时，y<0；
②3a +b+2c>0；
③-1≤a≤
④3≤n≤4．
其中正确的有（　　）．
A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②④
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向下， 抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1，0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∴当x＜-1和x＞3时时，y＜0，故①错误；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴b=-2a，
∵图象经过点（-1，0），
∴a-b+c=0，
∴a+2a+c=0
∴c=-3a，
∴3a+b+2c=3a-2a-6a=-5a，
∵a＜0，
∴-5a＞0即3a+b+2c＞0，故②正确；
∵抛物线与y轴的交点在(0，1)，(0，3)之间(包含端点)，
∴1≤c≤3即-1≤-3a≤3，
解之： -1≤a≤ ，故③正确；
∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴，
∴，
∵1≤c≤3，
∴，
解之：，故④错误；
∴正确结论的序号为②③.
故答案为：B
【分析】观察图象看得到抛物线与x轴的另一个交点坐标，可得到当x＜-1和x＞3时时，y＜0，可对①作出判断；利用抛物线的对称轴，可知b=-2a，由图象经过点（-1，0），可知a-b+c=0，即可得到c=-3a，由此可推出3a+b+2c=-5a，可对②作出判断；根据抛物线与y轴的交点在(0，1)，(0，3)之间(包含端点)，可知1≤c≤3，可得到关于a的不等式组，然后求出不等式组的解集，可对③作出判断；由抛物线的顶点坐标为（1，n），可知，再由1≤c≤3，可求出n的取值范围，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
8．如图所示，二次函数的图象与轴交于A，B两点，与轴正半轴交于点，它的对称轴为直线.下列选项中，正确的是（　　）.
A． B．
C． D．当(为实数)时，
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：A、抛物线的开口向上，抛物线与y轴交点在正半轴，
∴a＞0，c＞0
对称轴在y轴的左侧，
∴b＞0，
∴abc＞0，故A不符合题意；
B、∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴b2-4ac＞0即4ac-b2＜0，故B不符合题意；
C、∵抛物线的对称轴为直线x=-1=，
∴b=2a，
∵当x=-1时y＜0即a-b+c＜0，
∴a-2a+c＜0
∴c-a＜0，故C不符合题意；
D、 当时
y=a（-n2-2）2+b（-n2-2）+c=an2（n2+2）+c，
∵a＞0，n2≥0，n2+2＞0，
∴y=an2（n2+2）+c≥c，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】观察函数图象可得到a，b，c的符号，可确定出abc的符号，可对A作出判断；利用抛物线与x轴有两个不同的交点，可对B作出判断；利用抛物线的对称轴可得到b=2a，再根据当x=-1时y＜0即a-b+c＜0，可对C作出判断；将x的值代入函数解析式，可得到y=an2（n2+2）+c，可推出an2（n2+2）+c≥c，可对D作出判断.
二、填空题
9．若函数y＝ax2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，那么那么a的值是 　 　．
【答案】或0
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；一次函数的性质
【解析】【解答】当函数为二次函数是，函数y＝ax2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，
解得：
当函数为一次函数时，求得a=0，从而求解.
【分析】分两种情况讨论：函数为二次函数时，利用列出关于a的方程，解方程得a的值；当函数为一次函数时，即可求解.
10．（2019九上·天台月考）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是　 　
【答案】-2【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：看图象可知，当 -20，
故答案为： -2【分析】 函数值y＞0时， 只要找出图象在x轴上方时自变量x的范围即可.
11．（2023九上·北京市期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，P是以点为圆心，2cm为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最大值是　 　.
【答案】3.5
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理的应用；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接BP
∵当y=0时，x2-4=0，解得x1=4，x2=-4，
∴A(-4，0)，B(4，0)，
∵Q是线段PA的中点，
∴OQ为△ABP的中位线，
∴OQ=BP，
当BP最大时，OQ最大.而BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P'位置时，BP最大.
∴ BC==5，
∴BP'=5+2=7，
∴线段OQ的最大值是3.5.
【分析】连接BP，根据抛物线y=x2-4与x轴交于A 、B两点，可求得A、B两点坐标，根据抛物线的对称性可知，点O为AB的中点，结合Q是PA的中点，得到OQ是△ABP的中位线，进而得到OQ=BP，利用点与圆的位置关系可知当BP过圆心C，即B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，计算出此时PB，即可得到OQ的最大值，
12．（2023九上·安吉期中）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标为-5和1，则方程ax2－bx＋c=0的解为　 　．
【答案】5或-1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线y= ax2+bx+c（a≠0） 的图象与x轴交点的横坐标为-5和1，
又∵抛物线y= ax2+bx+c的对称轴是，而抛物线y=ax2－bx＋c的对称轴是，
∴两抛物线开头方向，形状都相同，又关于y轴对称，
∴两抛物线与x轴的交点也关于y轴对称，
∴抛物线y=ax2－bx＋c的图象与x轴交点的横坐标为5和-1，
即方程 ax2－bx＋c=0 的解为x1=5，x2=-1.
故答案为：5或-1.
【分析】抛物线的图像与x轴的交点就是对应一元二次方程的两个根，所以本题只需要知道抛物线y=ax2－bx＋c的图象与x轴交点就能求出.
13．（2023·赤峰）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点在抛物线上，点E在直线上，若，则点E的坐标是　 　．
【答案】或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；等腰三角形的判定与性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，
把 代入 ，
得 ，
，
当时，，
，
当时，，
，，
，，
设直线的解析式为，
得，解得，
直线的解析式为，
设，
， ，
，
，
，
，
当时，，
，
在直线上找一点，使得，
，
设，
，
，(舍去)，
当时，，
，
综上所述，或，
故答案为：或.
【分析】本题的解题关键在于由角的倍数关系推断出等腰三角形，再利用距离公式求出点E坐标.
三、解答题
14．（2023九上·新昌期中）如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（－1，0）和B（m，0），与y轴相交于点C，且经过点D（3，3），过点D作DE⊥BD，交y轴于点E，连结BE．
（1）当m＝6时，求这个二次函数的表达式．
（2）试用含m的代数式表示点C的坐标．
（3）作点D关于BE的对称点D′，连结OD′，ED′．当△OD′E的面积等于1时，请直接写出m的值．
【答案】（1）解：设此函数的表达式为y=a(x+1)(x-6)，
将D（3，3）代入，得3=-12a，
∴a=，
∴此函数的表达式为y=(x+1)(x-6)，
即.
（2）解：设此函数的表达式为y=a(x+1)(x-m)，
将D（3，3）代入，得3=4a(3-m)，
∴，
∴，
当x=0时，，
∴点C的坐标为.
（3）解：如下图，作垂足为H，点D为（3，3），点B为（m，0），
则再作交DH的延长线于点，
∵∴
因为所以
在和中，
∴则
故为等腰直角三角形，又因为点D与点 D′ 关于BE的对称，所以
设纵坐标为为n，则故因为E与的纵坐标相同，
故为，B为，E为，故BE中点为设点横坐标为t，因为点D横坐标为3，所以(D、关于BE中点对称），则设 △OD′E 的高为h，由题意知h=t，
故即
解得：
m的值为4或5
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式、二次函数的图象及性质、二次函数与几何问题的综合运用，（1）运用两点式设函数的表达式为y=a(x+1)(x-6)，将D（3，3）代入，解出a即可；（2）设此函数的表达式为y=a(x+1)(x-m)，把将D（3，3）代入，得3=4a(3-m)，即，令x=0，即可求出点C的坐标；（3），作垂足为H，点D为（3，3），点B为（m，0），则再作交DH的延长线于点，可证得：则故为等腰直角三角形，根据对称性可得到：设纵坐标为为n，则故因为E与的纵坐标相同，故为，B为，E为，故BE中点为设点横坐标为t，因为点D横坐标为3，所以(D、关于BE中点对称），则设 △OD′E 的高为h，由题意知h=t，
解出m即可求解.
15．（2023九上·张北期中）如图．取某一位置的水平线为x轴．建立平面直角坐标系后，小山坡AB可近似地看成抛物线：的一部分．小球在离点A3m的点C处抛出．落在山坡的点D处（点D在小山坡AB的坡顶的右侧），小球的运动轨迹为抛物线：的一部分．
（1）求小山坡AB的坡顶高度；
（2）若测得点D的高度为3m，求抛物线的函数解析式（不要求写自变量x的取值范围）；
（3）当小球运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，请直接写出b的取值范围．
【答案】（1）解：，∴小山坡AB的坡顶高度为m；
（2）解：∵点D的高度为3m，∴点D的纵坐标为3．令，解得，．
∵点D在小山坡AB的坡顶的右侧，∴，即点D的坐标为．
当时，，即，∴，∴点C的坐标为．
将，代入，解得
∴抛物线的函数解析式为；
（3）解：b的取值范围是．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：（3）由（1）得小山坡AB的坡顶高度为m；由（2）知C（0，4）则c=4，则当小球运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时 ，当x=7， ＞ ，解得b＞；
【分析】本题考查二次函数最值、与坐标轴的交点和综合问题、解不等式、待定系数法求二次函数解析式和二次函数的应用。熟练掌握二次函数的相关知识是解题关键。
（1）把 化成顶点式或根据顶点坐标（）或求出对称轴x=，再代入函数解析式可得答案；
（2）求出点D、C的坐标，再代入二次函数 可得b，c值，则函数解析式可知；（3）由(1)得小山坡AB的坡顶高度为m；由(2)知c=4，则x=7， ＞ ，解得b＞.
四、综合题
16．（2023九上·贵州期末） 如图，在平面直角坐标系中，已知点B坐标为，且，抛物线图像经过A，B，C三点．
（1）求A，C两点的坐标；
（2）求抛物线解析式；
（3）若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求此时点P的坐标及的最大值．
【答案】（1）解：∵点B的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，；
（2）解：设该抛物线的表达式为，
把点代入得：，
把点代入得：，
解得：，
∴该抛物线的解析式为：，
（3）解：设直线函数表达式为：，
将点，代入得：
，解得：，
∴直线的表达式为：，
过点P作y轴的平行线交于点H，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
设点，则点，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，其最大值为，
此时点．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）根据点B的坐标结合 ， 从而求解；
（2） 设该抛物线的表达式为， 利用待定系数法将A、B、C的坐标代入即可求解；
（3）先求得直线AC的解析式， 过点P作y轴的平行线交于点H， 利用等腰直角三角形的性质和平行线的性质求得 ，设点，则点， 表示出线段 ， 利用二次函数的性质即可求解.
17．（2023九上·德州月考） 如图，已知抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点。
（1）求出两点的坐标。
（2）求点的坐标，连接并求线段所在直线的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：A（-2，0），B（8，0）
（2）解：在中，令x=0，得y=4， ∴C（0，4）；
令y=0，即，整理得x2-6x-16=0，解得：x=8或x=-2，
∴A（-2，0），B（8，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得：
， 解得，
∴直线BC的解析式为：y= x+4．
（3）解：∵抛物线的对称轴方程为：x=3，可设点Q（3，t），则可求得：
AC=， AQ=，
CQ=．
①当AQ=CQ时，有，
25+t2=t2-8t+16+9， 解得t=0， ∴Q1（3，0）；
②当AC=AQ时，有 t2=-5，此方程无实数根，
∴此时△ACQ不能构成等腰三角形；
③当AC=CQ时，有， 整理得：t2-8t+5=0，
解得：t=4±， ∴点Q坐标为：Q2（3，4+），Q3（3，4-）．
综上所述，存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：
Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4-）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意， 抛物线与x轴相交于A、B两点，
x轴上点的纵坐标为0
即
整理得
解得x=8或x=-2
A点坐标为（-2，0），B点坐标为（8，0）
故答案为： A（-2，0），B（8，0）
【分析】（1）令y=0，求解方程即可得到两点横坐标，纵坐标均为0；
（2）令x=0，求得函数值就是C的纵坐标，横坐标为0；用待定系数法求直线的解析式；
（3）设出对称轴上的Q点坐标，任意两边都可能是等腰，因此区分三种情况，根据两点间距离公式进行计算，能解出实数根就是存在符合条件的Q点，否则不存在。
1 / 12023-2024学年冀教版初中数学九年级下册 30.5 二次函数与一元二次方程的关系同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023九上·游仙月考）若函数的图象与轴只有一个交点，则的值是（　　）
A．或 B． C． D．
2．（2023九上·苍溪期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（5，0），下列说法正确的是（　　）
A．c＜0 B．b2-4ac＜0
C．a-b+c＜0 D．图象的对称轴是直线x＝3
3．（2023九上·大城期中）如图，抛物线与x轴负半轴，y轴分别交于点A，B，现要在段的抛物线上找点，关于针对n的不同取值，所找点P的个数，甲、乙两人的说法如下，下列判断正确的是（　　）
甲：若，则点P的个数为2；乙：若，则点P的个数为1
A．只有甲对 B．只有乙对
C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对
4．（2023九上·宣化期中）题目：“如图，抛物线与直线相交于点和点B.点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标的取值范围.”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，丁答：，则正确的是（　　）
A．只有甲答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整
C．甲、丙答案合在一起才完整 D．甲、丁答案合在一起才完整
5．（2023九上·楚雄期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（　　）
A．b2﹣4ac＞0 B．a＞0 C．c＞0 D．
6．（2023九上·滕州开学考）已知多项式，下列说法正确的个数为（　　）
若，则代数式的值为； 当时，代数式的最小值为； 当时，若，则的取值范围是．
A．个 B．个 C．个 D．个
7．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1，0)，顶点坐标为(1，n)，与y轴的交点在(0，1)，(0，3)之间(包含端点)．现有下列结论：
①当x<-1时，y<0；
②3a +b+2c>0；
③-1≤a≤
④3≤n≤4．
其中正确的有（　　）．
A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②④
8．如图所示，二次函数的图象与轴交于A，B两点，与轴正半轴交于点，它的对称轴为直线.下列选项中，正确的是（　　）.
A． B．
C． D．当(为实数)时，
二、填空题
9．若函数y＝ax2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，那么那么a的值是 　 　．
10．（2019九上·天台月考）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是　 　
11．（2023九上·北京市期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，P是以点为圆心，2cm为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最大值是　 　.
12．（2023九上·安吉期中）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标为-5和1，则方程ax2－bx＋c=0的解为　 　．
13．（2023·赤峰）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点在抛物线上，点E在直线上，若，则点E的坐标是　 　．
三、解答题
14．（2023九上·新昌期中）如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（－1，0）和B（m，0），与y轴相交于点C，且经过点D（3，3），过点D作DE⊥BD，交y轴于点E，连结BE．
（1）当m＝6时，求这个二次函数的表达式．
（2）试用含m的代数式表示点C的坐标．
（3）作点D关于BE的对称点D′，连结OD′，ED′．当△OD′E的面积等于1时，请直接写出m的值．
15．（2023九上·张北期中）如图．取某一位置的水平线为x轴．建立平面直角坐标系后，小山坡AB可近似地看成抛物线：的一部分．小球在离点A3m的点C处抛出．落在山坡的点D处（点D在小山坡AB的坡顶的右侧），小球的运动轨迹为抛物线：的一部分．
（1）求小山坡AB的坡顶高度；
（2）若测得点D的高度为3m，求抛物线的函数解析式（不要求写自变量x的取值范围）；
（3）当小球运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，请直接写出b的取值范围．
四、综合题
16．（2023九上·贵州期末） 如图，在平面直角坐标系中，已知点B坐标为，且，抛物线图像经过A，B，C三点．
（1）求A，C两点的坐标；
（2）求抛物线解析式；
（3）若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求此时点P的坐标及的最大值．
17．（2023九上·德州月考） 如图，已知抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点。
（1）求出两点的坐标。
（2）求点的坐标，连接并求线段所在直线的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】根据题意，函数的图象与轴只有一个交点
则
解得m=8
，函数为
函数图象与x轴有一个交点（）
故m的值有2个，3或5
故选：A
【分析】仔细读题，发现二次项系数中有未知数，题中只说函数，而没有说函数是二次函数还是一次函数，因此要都考虑到，审题是本题的关键。二次函数判别式为0时与x轴只有一个交点，只要是一次函数就会与x轴有一个交点。
2．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、由于二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴交于正半轴，所以c＞0，故A错误；
B、二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴由2个交点，所以b2-4ac＞0，故B错误；
C、当x＝-1时，y＞0，即a-b+c＞0，故C错误；
D、因为A（1，0），B（5，0），所以对称轴为直线x＝ ＝3，故D正确.
故答案为：D.
【分析】由于二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴交于正半轴，所以c＞0，据此判断A；由二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴由2个交点，所以b2-4ac＞0，据此判断B；由图象可知当x＝-1时，y＞0，即a-b+c＞0，据此判断C；此题告知了抛物线与x轴两交点的坐标，根据抛物线的对称性，对称轴直线一定经过AB的中点，据此可得对称轴直线，从而即可判断D.
3．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 抛物线y=（1-x）（x+3）与x轴负半轴，y轴分别交于点A，B，
∴ y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4
∴ A（-3，0）B（0，3），顶点（-1，4）
∵ 点P（m，n）在AB段的抛物线上
∴ -3＜m＜0，0＜n≤4
∴ 当n=4时，点P为顶点，则甲错误；
若0＜n＜3，则点P的个数为1个，则乙正确；
故答案为：B
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟悉顶点坐标、与x轴的交点坐标是解题关键。根据二次函数y=（1-x）（x+3）可得A（-3，0）B（0，3），顶点（-1，4），结合图象，可得m，n的范围，则可判断甲、乙，得出结论。
4．【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：
把A（2，0）分别代入抛物线和直线解析式中得，
，解得，
∴抛物线为，直线为y=-x+2，
联立解得，或
∴点B的坐标为（-1，3）
情形1：当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点，
∵M， N的距离为3，而A、B的水平距离是3， 若线段MN与抛物线只有一个公共点，故此时只有一个交点，即-1≤ <2；
情形2：当点M在点B的左侧时，即时，线段MN与抛物线没有公共点；
情形3：当点M在点A的右侧时，当时，抛物线和MN交于抛物线的顶点(1，-1)， 即时，线段MN与抛物线只有一个公共点。
综上，当线段MN与抛物线只有一个公共点时，-1≤<2或=3.
故答案为：B.
【分析】先根据抛物线与直线交于点4(2， 0)求出函数解析式，进而得出点B坐标，分类求解确定MN的位置。
5．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：A、∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△= b2﹣4ac＞0 ，故A正确；
B、由抛物线开口向上，则a＞0，故B正确；
C、由抛物线与y轴的交点在正半轴上，则c＞0，故C正确；
D、由图象知：抛物线的对称轴在y轴的右侧，则x= ， 故D错误.
故答案为：D.
【分析】由于抛物线的开口向上确定a的符号，由抛物线与y轴的交点在正半轴上确定c的符号，由抛物线与x轴有两个交点可确定b2﹣4ac的符号，由抛物线的对称轴在y轴的右侧确定的符号.
6．【答案】A
【知识点】多项式的概念；公式法解一元二次方程；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】
解：∵ =0
∴，x=
∴代数式则错误，不合题意；
a=-3时， M-N =（ ）- （）=-6x-5，则错误，不合题意；
当时，
∴
∴
∴，则 错误，不合题意；
综上，正确的个数是0
故答案为：A.
【分析】本题考查解一元二次方程、多项式计算、二次函数与不等式综合，理清题意，整体代入求解，熟悉一元二次方程的公式法求根，结合二次函数求不等式的解集，利用图象求解是解题关键。
7．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向下， 抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1，0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∴当x＜-1和x＞3时时，y＜0，故①错误；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴b=-2a，
∵图象经过点（-1，0），
∴a-b+c=0，
∴a+2a+c=0
∴c=-3a，
∴3a+b+2c=3a-2a-6a=-5a，
∵a＜0，
∴-5a＞0即3a+b+2c＞0，故②正确；
∵抛物线与y轴的交点在(0，1)，(0，3)之间(包含端点)，
∴1≤c≤3即-1≤-3a≤3，
解之： -1≤a≤ ，故③正确；
∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴，
∴，
∵1≤c≤3，
∴，
解之：，故④错误；
∴正确结论的序号为②③.
故答案为：B
【分析】观察图象看得到抛物线与x轴的另一个交点坐标，可得到当x＜-1和x＞3时时，y＜0，可对①作出判断；利用抛物线的对称轴，可知b=-2a，由图象经过点（-1，0），可知a-b+c=0，即可得到c=-3a，由此可推出3a+b+2c=-5a，可对②作出判断；根据抛物线与y轴的交点在(0，1)，(0，3)之间(包含端点)，可知1≤c≤3，可得到关于a的不等式组，然后求出不等式组的解集，可对③作出判断；由抛物线的顶点坐标为（1，n），可知，再由1≤c≤3，可求出n的取值范围，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：A、抛物线的开口向上，抛物线与y轴交点在正半轴，
∴a＞0，c＞0
对称轴在y轴的左侧，
∴b＞0，
∴abc＞0，故A不符合题意；
B、∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴b2-4ac＞0即4ac-b2＜0，故B不符合题意；
C、∵抛物线的对称轴为直线x=-1=，
∴b=2a，
∵当x=-1时y＜0即a-b+c＜0，
∴a-2a+c＜0
∴c-a＜0，故C不符合题意；
D、 当时
y=a（-n2-2）2+b（-n2-2）+c=an2（n2+2）+c，
∵a＞0，n2≥0，n2+2＞0，
∴y=an2（n2+2）+c≥c，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】观察函数图象可得到a，b，c的符号，可确定出abc的符号，可对A作出判断；利用抛物线与x轴有两个不同的交点，可对B作出判断；利用抛物线的对称轴可得到b=2a，再根据当x=-1时y＜0即a-b+c＜0，可对C作出判断；将x的值代入函数解析式，可得到y=an2（n2+2）+c，可推出an2（n2+2）+c≥c，可对D作出判断.
9．【答案】或0
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；一次函数的性质
【解析】【解答】当函数为二次函数是，函数y＝ax2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，
解得：
当函数为一次函数时，求得a=0，从而求解.
【分析】分两种情况讨论：函数为二次函数时，利用列出关于a的方程，解方程得a的值；当函数为一次函数时，即可求解.
10．【答案】-2【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：看图象可知，当 -20，
故答案为： -2【分析】 函数值y＞0时， 只要找出图象在x轴上方时自变量x的范围即可.
11．【答案】3.5
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理的应用；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接BP
∵当y=0时，x2-4=0，解得x1=4，x2=-4，
∴A(-4，0)，B(4，0)，
∵Q是线段PA的中点，
∴OQ为△ABP的中位线，
∴OQ=BP，
当BP最大时，OQ最大.而BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P'位置时，BP最大.
∴ BC==5，
∴BP'=5+2=7，
∴线段OQ的最大值是3.5.
【分析】连接BP，根据抛物线y=x2-4与x轴交于A 、B两点，可求得A、B两点坐标，根据抛物线的对称性可知，点O为AB的中点，结合Q是PA的中点，得到OQ是△ABP的中位线，进而得到OQ=BP，利用点与圆的位置关系可知当BP过圆心C，即B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，计算出此时PB，即可得到OQ的最大值，
12．【答案】5或-1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线y= ax2+bx+c（a≠0） 的图象与x轴交点的横坐标为-5和1，
又∵抛物线y= ax2+bx+c的对称轴是，而抛物线y=ax2－bx＋c的对称轴是，
∴两抛物线开头方向，形状都相同，又关于y轴对称，
∴两抛物线与x轴的交点也关于y轴对称，
∴抛物线y=ax2－bx＋c的图象与x轴交点的横坐标为5和-1，
即方程 ax2－bx＋c=0 的解为x1=5，x2=-1.
故答案为：5或-1.
【分析】抛物线的图像与x轴的交点就是对应一元二次方程的两个根，所以本题只需要知道抛物线y=ax2－bx＋c的图象与x轴交点就能求出.
13．【答案】或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；等腰三角形的判定与性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，
把 代入 ，
得 ，
，
当时，，
，
当时，，
，，
，，
设直线的解析式为，
得，解得，
直线的解析式为，
设，
， ，
，
，
，
，
当时，，
，
在直线上找一点，使得，
，
设，
，
，(舍去)，
当时，，
，
综上所述，或，
故答案为：或.
【分析】本题的解题关键在于由角的倍数关系推断出等腰三角形，再利用距离公式求出点E坐标.
14．【答案】（1）解：设此函数的表达式为y=a(x+1)(x-6)，
将D（3，3）代入，得3=-12a，
∴a=，
∴此函数的表达式为y=(x+1)(x-6)，
即.
（2）解：设此函数的表达式为y=a(x+1)(x-m)，
将D（3，3）代入，得3=4a(3-m)，
∴，
∴，
当x=0时，，
∴点C的坐标为.
（3）解：如下图，作垂足为H，点D为（3，3），点B为（m，0），
则再作交DH的延长线于点，
∵∴
因为所以
在和中，
∴则
故为等腰直角三角形，又因为点D与点 D′ 关于BE的对称，所以
设纵坐标为为n，则故因为E与的纵坐标相同，
故为，B为，E为，故BE中点为设点横坐标为t，因为点D横坐标为3，所以(D、关于BE中点对称），则设 △OD′E 的高为h，由题意知h=t，
故即
解得：
m的值为4或5
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式、二次函数的图象及性质、二次函数与几何问题的综合运用，（1）运用两点式设函数的表达式为y=a(x+1)(x-6)，将D（3，3）代入，解出a即可；（2）设此函数的表达式为y=a(x+1)(x-m)，把将D（3，3）代入，得3=4a(3-m)，即，令x=0，即可求出点C的坐标；（3），作垂足为H，点D为（3，3），点B为（m，0），则再作交DH的延长线于点，可证得：则故为等腰直角三角形，根据对称性可得到：设纵坐标为为n，则故因为E与的纵坐标相同，故为，B为，E为，故BE中点为设点横坐标为t，因为点D横坐标为3，所以(D、关于BE中点对称），则设 △OD′E 的高为h，由题意知h=t，
解出m即可求解.
15．【答案】（1）解：，∴小山坡AB的坡顶高度为m；
（2）解：∵点D的高度为3m，∴点D的纵坐标为3．令，解得，．
∵点D在小山坡AB的坡顶的右侧，∴，即点D的坐标为．
当时，，即，∴，∴点C的坐标为．
将，代入，解得
∴抛物线的函数解析式为；
（3）解：b的取值范围是．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：（3）由（1）得小山坡AB的坡顶高度为m；由（2）知C（0，4）则c=4，则当小球运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时 ，当x=7， ＞ ，解得b＞；
【分析】本题考查二次函数最值、与坐标轴的交点和综合问题、解不等式、待定系数法求二次函数解析式和二次函数的应用。熟练掌握二次函数的相关知识是解题关键。
（1）把 化成顶点式或根据顶点坐标（）或求出对称轴x=，再代入函数解析式可得答案；
（2）求出点D、C的坐标，再代入二次函数 可得b，c值，则函数解析式可知；（3）由(1)得小山坡AB的坡顶高度为m；由(2)知c=4，则x=7， ＞ ，解得b＞.
16．【答案】（1）解：∵点B的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，；
（2）解：设该抛物线的表达式为，
把点代入得：，
把点代入得：，
解得：，
∴该抛物线的解析式为：，
（3）解：设直线函数表达式为：，
将点，代入得：
，解得：，
∴直线的表达式为：，
过点P作y轴的平行线交于点H，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
设点，则点，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，其最大值为，
此时点．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）根据点B的坐标结合 ， 从而求解；
（2） 设该抛物线的表达式为， 利用待定系数法将A、B、C的坐标代入即可求解；
（3）先求得直线AC的解析式， 过点P作y轴的平行线交于点H， 利用等腰直角三角形的性质和平行线的性质求得 ，设点，则点， 表示出线段 ， 利用二次函数的性质即可求解.
17．【答案】（1）解：A（-2，0），B（8，0）
（2）解：在中，令x=0，得y=4， ∴C（0，4）；
令y=0，即，整理得x2-6x-16=0，解得：x=8或x=-2，
∴A（-2，0），B（8，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得：
， 解得，
∴直线BC的解析式为：y= x+4．
（3）解：∵抛物线的对称轴方程为：x=3，可设点Q（3，t），则可求得：
AC=， AQ=，
CQ=．
①当AQ=CQ时，有，
25+t2=t2-8t+16+9， 解得t=0， ∴Q1（3，0）；
②当AC=AQ时，有 t2=-5，此方程无实数根，
∴此时△ACQ不能构成等腰三角形；
③当AC=CQ时，有， 整理得：t2-8t+5=0，
解得：t=4±， ∴点Q坐标为：Q2（3，4+），Q3（3，4-）．
综上所述，存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：
Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4-）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意， 抛物线与x轴相交于A、B两点，
x轴上点的纵坐标为0
即
整理得
解得x=8或x=-2
A点坐标为（-2，0），B点坐标为（8，0）
故答案为： A（-2，0），B（8，0）
【分析】（1）令y=0，求解方程即可得到两点横坐标，纵坐标均为0；
（2）令x=0，求得函数值就是C的纵坐标，横坐标为0；用待定系数法求直线的解析式；
（3）设出对称轴上的Q点坐标，任意两边都可能是等腰，因此区分三种情况，根据两点间距离公式进行计算，能解出实数根就是存在符合条件的Q点，否则不存在。
1 / 1