人教版8年级下册数学第十九章 一次函数 学案
文档属性
| 名称 | 人教版8年级下册数学第十九章 一次函数 学案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 48.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-30 11:28:08 | ||
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文档简介
《一次函数中的动点问题》教学设计
一、选题背景：本题选自人教版初中数学教材八年级下册第十九章《一次函数》第108页复习题综合运用第10题。
二、题目内容：已知A（8，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=10，设△OPA的面积为S
（1）求S关于x的函数表达式；
（2）求x的取值范围；
（3）当s=12时，求P点坐标；
（4）画出函数S 的图象。
三、教学目标：
本题为一节复习课，属于一次函数中动点问题的综合题型，要求学生能从运动、变化的角度去分析问题，揭示变量间的内在联系，寻求变量间的对应规律，从而建立适当的函数关系式，并利用题目中的条件，求出自变量的取值范围。
通过构建图形、动态演示、观察探究、建立模型等活动，利用一次函数把抽象的数量关系和直观几何图形结合起来，从“数”和“形”两方面动态地分析问题，加深对“转化”思想、“数形结合”思想以及“数学建模”思想的认识，培养学生抽象、转化、建模等能力。
三、教学重难点：
重点：用一次函数解决动点问题中的面积问题；
难点：在运动过程中用等量关系表示线段的长度。
四、学情学法分析：
根据我校的为乡镇初级中学，学生基础较为薄弱，思维能力不突出。加之函数本身就是初中学生学习的难点。因此本题采用引导、启发的教学法为主，利用数形结合、几何画板动态演示的方式进行讲解。
据笔者教学经验，学生解答本题时可能会遇到的第一个困难是难以正确画出草图；第二个也是最大的困难是理解不了条件“x+y=10”的意义，进而无法将动点P的运动规律具体化、形象化；至于最后面，△OPA高的数量表示，面积S的计算，自变量的取值范围等，只要能够抽象出恰当的图形，一般都能够正确计算出结果。
五．教学过程
一．课前热身
1．问题抢答
(1) 坐标象限点的有什么特征？
(2) 三角形面积公式是怎样的？
(3)谈谈对x+y=10的理解？
2. 看图填空
（1）已知 A(8，0)及在第一象限的点P(2，3) ,设△OPA的面积为S，则S= _____
（2）已知 A(8，0)及在第四象限的点P(2，-3) ,设△OPA的面积为S，则S= _____
（3）已知 A(8，0)及在第一象限的点P(x，y) ,设△OPA的面积为S，则S= _____
（4）已知 A(8，0)及在第四象限的点P(x，y) ,设△OPA的面积为S，则S= _____
二．题目讲解
已知A（8，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=10，设△OPA的面积为S
（1）求S关于x的函数表达式；
（2）求x的取值范围；
（3）当s=12时，求P点坐标；
（4）画出函数S 的图象。
①分析题目条件：
请学生花一分钟时间看题，找出有哪些坐标系、一次函数方面的信息，这些信息大致描述了怎样的一个图形模型，该图形具有怎样的特征？
引导学生思考:
ⅰ.点A(8，0)的位置？(位于X轴正半轴)
ⅱ.第一象限内点的特征？(横坐标x﹥0,纵坐标y﹥0)
ⅲ.回忆一次函数解析式的一般表达形式(y=kx+b),对比思考条件“x+y=10”的意义，能否进行变形转换？(y=-x+10)
②画草图：
画出平面直角坐标系，标出点A(8，0)；
引导学生回忆在知道解析式的情况下，画一次函数图像的一般步骤(先求出y=-x+10与坐标轴的两个交点：B(10,0),C(0,10))。
根据“第一象限”这一条件的限制，只保留直线在第一象限内的图像，并在其上标注一点P(x,y)（这样就把动点P的轨迹具体成了一条线段），连结PA,PO。
③分析题目问题：
题目要求求出“△OPA的面积为S关于x的函数解析式”，那么就要先找出△OPA的什么与什么？（底和高，过P做PD⊥X轴于点D）；
高PD的长度怎样表示？(用P点的纵坐标y，进而得出S=4y)；
既然要求是S关于x的函数解析式，那么y要怎样转化成用含x的式子来表示？(根据x+y=10，得y=-x+10，进而得出S=-4x+40)
题目条件中，对自变量x有怎样的限制？思路一：P(x,y)在第一象限，所以有不等式组：，也即，解得；
④利用一次函数的知识解答问题并板书正确解答格式：
解：(1)∵ x+y=10
∴ y=-x+10，点P为线段BC上的动点
过点P做PD⊥X轴于点D
整理得：
(2) ∵点P(x,y)在第一象限
∴，也即
解得
自变量x的取值范围为：
(3)∵s=12 ∴-4x+40=12
解得x=7
P点坐标为（7,3）
(4)图略
三． 拓展延伸，题目变式
回顾本题做题方法并思考：本题中的动点P是在“第一象限”，若改成在“第四象限”，其他条件不变，第（1）（2）问结果有什么变化？
（高PD的长度怎样表示？用P点的纵坐标y的绝对值表示，进而得出S=-4y)；
四．学以致用，对应训练
题目 人教版初中数学教材八年级下册第十九章《一次函数》第99页综合运用第9题。
点P(x,y)在第一象限，且x+y=8，点A的坐标为(6，0).设△OPA的面积为S.
(1)用含x的式子表示S，写出x的取值范围，画出函数S的图像.
(2)当点P的横坐标为5时，△OPA的面积为多少？
(3) △OPA的面积能大于24吗？为什么？
（学生演板，教师巡视）
五．总结解答一次函数中动点问题的解题方法:
1.解题步骤
①分析题目已知条件、所求问题
②建立平面直角坐标系，画出图形；
③找出常量、变量，在运动变化过程中寻找变量间的关系，建立一次函数模型；
④列出函数关系式并求出自变量的取值范围；
2.数学思想方法
数学思想方法：数形结合思想、动点思想、方程和函数的转化思想等等
六．布置作业
1.已知直线L:2x+y=8，点P(x,y)在L上，且x﹥0,y﹥0,点A（4，0），设△OPA的面积为S，求S关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围。
2. 已知点A（8，0）、B(0，6),对于动点，是否存在实数， 使得？若存在，请写出所有满足条件的的值，若不存在，请说明理由。
七、教学反思：
由图形中的一个或多个动点沿射线、线段或弧线运动，引起未知量与已知量间的一种变化关系，就是动点问题中的函数关系。这种函数关系是近年中考命题的热点，也是初中数学教学的重点与难点。而一次函数是学生在初中阶段学习的第一个函数，它是最基础的函数，解决一次函数中动点问题的关键是“动中求静”，在变化中寻求不变的性质，就是要在教学中逐步渗透“数形结合”重要的数学思想方法，这也为以后学生解决二次函数、反比例函数的动点问题奠定扎实的基础。
一、选题背景：本题选自人教版初中数学教材八年级下册第十九章《一次函数》第108页复习题综合运用第10题。
二、题目内容：已知A（8，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=10，设△OPA的面积为S
（1）求S关于x的函数表达式；
（2）求x的取值范围；
（3）当s=12时，求P点坐标；
（4）画出函数S 的图象。
三、教学目标：
本题为一节复习课，属于一次函数中动点问题的综合题型，要求学生能从运动、变化的角度去分析问题，揭示变量间的内在联系，寻求变量间的对应规律，从而建立适当的函数关系式，并利用题目中的条件，求出自变量的取值范围。
通过构建图形、动态演示、观察探究、建立模型等活动，利用一次函数把抽象的数量关系和直观几何图形结合起来，从“数”和“形”两方面动态地分析问题，加深对“转化”思想、“数形结合”思想以及“数学建模”思想的认识，培养学生抽象、转化、建模等能力。
三、教学重难点：
重点：用一次函数解决动点问题中的面积问题；
难点：在运动过程中用等量关系表示线段的长度。
四、学情学法分析：
根据我校的为乡镇初级中学，学生基础较为薄弱，思维能力不突出。加之函数本身就是初中学生学习的难点。因此本题采用引导、启发的教学法为主，利用数形结合、几何画板动态演示的方式进行讲解。
据笔者教学经验，学生解答本题时可能会遇到的第一个困难是难以正确画出草图；第二个也是最大的困难是理解不了条件“x+y=10”的意义，进而无法将动点P的运动规律具体化、形象化；至于最后面，△OPA高的数量表示，面积S的计算，自变量的取值范围等，只要能够抽象出恰当的图形，一般都能够正确计算出结果。
五．教学过程
一．课前热身
1．问题抢答
(1) 坐标象限点的有什么特征？
(2) 三角形面积公式是怎样的？
(3)谈谈对x+y=10的理解？
2. 看图填空
（1）已知 A(8，0)及在第一象限的点P(2，3) ,设△OPA的面积为S，则S= _____
（2）已知 A(8，0)及在第四象限的点P(2，-3) ,设△OPA的面积为S，则S= _____
（3）已知 A(8，0)及在第一象限的点P(x，y) ,设△OPA的面积为S，则S= _____
（4）已知 A(8，0)及在第四象限的点P(x，y) ,设△OPA的面积为S，则S= _____
二．题目讲解
已知A（8，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=10，设△OPA的面积为S
（1）求S关于x的函数表达式；
（2）求x的取值范围；
（3）当s=12时，求P点坐标；
（4）画出函数S 的图象。
①分析题目条件：
请学生花一分钟时间看题，找出有哪些坐标系、一次函数方面的信息，这些信息大致描述了怎样的一个图形模型，该图形具有怎样的特征？
引导学生思考:
ⅰ.点A(8，0)的位置？(位于X轴正半轴)
ⅱ.第一象限内点的特征？(横坐标x﹥0,纵坐标y﹥0)
ⅲ.回忆一次函数解析式的一般表达形式(y=kx+b),对比思考条件“x+y=10”的意义，能否进行变形转换？(y=-x+10)
②画草图：
画出平面直角坐标系，标出点A(8，0)；
引导学生回忆在知道解析式的情况下，画一次函数图像的一般步骤(先求出y=-x+10与坐标轴的两个交点：B(10,0),C(0,10))。
根据“第一象限”这一条件的限制，只保留直线在第一象限内的图像，并在其上标注一点P(x,y)（这样就把动点P的轨迹具体成了一条线段），连结PA,PO。
③分析题目问题：
题目要求求出“△OPA的面积为S关于x的函数解析式”，那么就要先找出△OPA的什么与什么？（底和高，过P做PD⊥X轴于点D）；
高PD的长度怎样表示？(用P点的纵坐标y，进而得出S=4y)；
既然要求是S关于x的函数解析式，那么y要怎样转化成用含x的式子来表示？(根据x+y=10，得y=-x+10，进而得出S=-4x+40)
题目条件中，对自变量x有怎样的限制？思路一：P(x,y)在第一象限，所以有不等式组：，也即，解得；
④利用一次函数的知识解答问题并板书正确解答格式：
解：(1)∵ x+y=10
∴ y=-x+10，点P为线段BC上的动点
过点P做PD⊥X轴于点D
整理得：
(2) ∵点P(x,y)在第一象限
∴，也即
解得
自变量x的取值范围为：
(3)∵s=12 ∴-4x+40=12
解得x=7
P点坐标为（7,3）
(4)图略
三． 拓展延伸，题目变式
回顾本题做题方法并思考：本题中的动点P是在“第一象限”，若改成在“第四象限”，其他条件不变，第（1）（2）问结果有什么变化？
（高PD的长度怎样表示？用P点的纵坐标y的绝对值表示，进而得出S=-4y)；
四．学以致用，对应训练
题目 人教版初中数学教材八年级下册第十九章《一次函数》第99页综合运用第9题。
点P(x,y)在第一象限，且x+y=8，点A的坐标为(6，0).设△OPA的面积为S.
(1)用含x的式子表示S，写出x的取值范围，画出函数S的图像.
(2)当点P的横坐标为5时，△OPA的面积为多少？
(3) △OPA的面积能大于24吗？为什么？
（学生演板，教师巡视）
五．总结解答一次函数中动点问题的解题方法:
1.解题步骤
①分析题目已知条件、所求问题
②建立平面直角坐标系，画出图形；
③找出常量、变量，在运动变化过程中寻找变量间的关系，建立一次函数模型；
④列出函数关系式并求出自变量的取值范围；
2.数学思想方法
数学思想方法：数形结合思想、动点思想、方程和函数的转化思想等等
六．布置作业
1.已知直线L:2x+y=8，点P(x,y)在L上，且x﹥0,y﹥0,点A（4，0），设△OPA的面积为S，求S关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围。
2. 已知点A（8，0）、B(0，6),对于动点，是否存在实数， 使得？若存在，请写出所有满足条件的的值，若不存在，请说明理由。
七、教学反思：
由图形中的一个或多个动点沿射线、线段或弧线运动，引起未知量与已知量间的一种变化关系，就是动点问题中的函数关系。这种函数关系是近年中考命题的热点，也是初中数学教学的重点与难点。而一次函数是学生在初中阶段学习的第一个函数，它是最基础的函数，解决一次函数中动点问题的关键是“动中求静”，在变化中寻求不变的性质，就是要在教学中逐步渗透“数形结合”重要的数学思想方法，这也为以后学生解决二次函数、反比例函数的动点问题奠定扎实的基础。