永州市2023年下期高二期末质量监测试卷
数学
注意事项：
1.本试卷共150分，考试时量120分钟.
2,全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.
3.考试结束后，只交答题卡，
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的，
1.正项等比数列{a},a,a。=16,则a=
A.8
B.4
C.2
D.1
2.直线1的方程为y-√3x+2024=0,则1的倾斜角是
A.30
B.45
C.60°
D.90°
圆的焦点在x轴上，长轴长等于4，离心率 =)，则椭圆的标准方
A.x少
=1
B.y
43
1621
C.
4+2=1
4.在空间直角坐标系Oz中，点A(1,2,3),点C是点B(2,0,1)关于z轴的对称点，则AC
A.5
B.2N2
C.17
D.3v2
5.抛物线C:y2=2px(p>0)上的点M(1,y)与焦点F的距离是2，则p=
A.1
B.2
C.3
D.2
6.如图，正三棱柱ABC-A,B,C,中，点E为正方形ABB,A的中心，点F为棱CC的中点，
月
则异面直线BF与CE所成角的正切值为
A.25
B.5
2
C.2
D.2
(第6题图)
永洲市2023年下期高二期末质量监测试卷·数学第1页（共4页）
7.双曲线CX少
。户=1如>0，b>0)的左焦点为F,点8(0，b),直线FB与C的两条渐
近线分别交于P,Q两点，且QP=2PF，则C的渐近线方程为
A.y=±2x
B.y=tv3x
C.y=±2x
D.y=±V5x
8.各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn,a=-1,a∈2,8，a228>0,
且2a2+a2=0,则S4的最小值等于
an+l an
A.2×4-
B.4506-1
c.4x4s6-
D.×4w-
3
3
·3
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求.全部远对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分
9.已知平面a与平面B平行，若平面a的一个法向量为i=(-1,2,-3),则平面B的法向
量可以是
A.(1,-2,3)
B.(-1,-2,3)
C.(2,-4,6)
D.(2,-4,-6)
10.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所
排的形状，把数分成许多类，如图1，图形中黑色小点个数：1,3,6,10，…称为
三角形数，如图2，图形中黑色小点个数：1,4,9,16，…称为正方形数，记三角
形数为数列{a},正方形数为数列bn},则
。公
出
(图1)
(图2)
A.a=15
B.b-20
C.bio ap+45
D.&,=n+)
11.在长方体ABCD-AB,CD,中，AB=8,AD=6,点E是正方形BCCB,内部或边界
上异于C的一点，则下列说法止确的是
A.若D,E∥平面ABB,4,则E∈CC
B.不存在点E,使得CE⊥AD
C.若∠D,EC=乏，则存在BE的俏为35-4
D.若直线D,E与平面BCC,B,所成角的正切值为2，则点E的轨迹长度为2π
12.已知双曲线：-
=1(a>0,b>0),过其右焦点F2(4,0)的直线1与它的右支交于
P、Q两点，PF与y轴相交于点A,△PAF的内切圆与边AF相切于点B,设AB=t,
则下列说法正确的是
A.Pg的最小值为定值
B.若1=，则啡PF-1PF,=3
C.若1=2，过点(1,3)且斜率为k的直线1与E有2个交点，则k∈(-v3,3)
D.若1=2，则△PFF,的内切圆与△QFF的内切圆的面积之和的最小值为8刀
永州市2023年下期高二期末质量监测试卷·数学“第2页（共4页）永州市 2023年下期高二期末质量监测试卷
数学参考答案及评分标准
一、单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C A C D D B D
二、多项选择题
题号 9 10 11 12
答案 AC ACD AD BCD
三、填空题
13． 14．3 15． ， ， 16．
小题部分解析：
8.由题知： an an an an ①
an an an an ②
②-①*2 得
an an an an
an an an
a a
①中当 n 时， a a a a ，
a a a a ，a
S a a a
a (
) a (
)
(a a a
a ) ( )
(a a a a )
a a a a a a a a
S ( )
16. π y将椭圆 C逆时针旋转 得到： x 为动点 B的轨迹方程
设与已知直线的平行直线为： y x t
y
x
得 x
tx t
y x t
相切时满足： t (t ) ， t
两条平行直线最短距离为所求 d
永州市 2023年下期高二期末质量监测试卷参考答案及评分标准·数学 第 1页（共 6页）
{#{QQABJQQEggiAABJAAAgCUwVICEMQkBEACIoGxFAAIAIAyBNABAA=}#}
四、解答题
17．（本题满分 10分）
解：
（1）由题可知， A( ， )，B( ， )
k ( )AB …………………………2分 ( )
设边 AB上的高所在直线的斜率 k
k …………………………3分
所以边 AB上的高所在直线的为：
y (x )
即为， x y …………………………5分
（2）设圆的方程为 x y Dx Ey F …………………………6分
将点 A( ， )，B( ， )，C( ，, )代入圆方程
F
D E F …………………………8分
D E F
D 6
解得 E 8 ………………………9分
F 0
圆方程为： x2 y2 6x 8y 0 ………………………10分
18．（本题满分 12分）
解：
（1）作 DE的中点，记为点G，连接 AG，HG
HG //DC ，且 HG 1 DC 2…………………………………………………1分
2
又 AB //DC ，且 AB 2
AB //HG，且 AB HG，则四边形 ABHG为平行四边形………………2分
即 BH // AG ………………………………………………………………………3分
又 AG 平面 ADEF， BH 平面 ADEF……………………………………4分
BH //平面 ADEF ……………………………………………………………5分
（2）以D为原点， DA、 DC、DE分别为 x轴、 y轴、 z轴建立空间直角坐标系，
C(0,4,0)， E(0,0,4)， F (2,0,3)， B(2,2,0) ……………………………………6分
CF (2, 4,3)，CE (0, 4,4) …………………………………………………7分
设平面CEF的法向量为 n (x, y, z)，由CF n，CE n得：
永州市 2023年下期高二期末质量监测试卷参考答案及评分标准·数学 第 2页（共 6页）
{#{QQABJQQEggiAABJAAAgCUwVICEMQkBEACIoGxFAAIAIAyBNABAA=}#}
2x 4y 3z 0
，令 y 2，得 x 1， z 2，即 n (1,2,2) …………………9分
4y 4z 0
又 BF (0, 2,3)…………………………………………………………………10分
设点 B到平面CEF的距离为 d
BF n 2
则 d ………………………………………………………………12分
n 3
19．（本题满分 12分）
解：
（1）设等差数列 an 的公差为 d，由题知 a 23 a1a7
得 (2 2d)2 2(2 6d) ……………3分
化简得 d(d 1) 0 ……………4分
又因为 d 0，得 d 1 ……………5分
所以 an 2 n 1 n 1 ……………6分
（2）由题bn (n 1)(n 3) ……………7分
1 1 1
则 ( 1 1 ) ……………8分
bn (n 1)(n 3) 2 n 1 n 3
T 1 1 1所以 n ……………9分b1 b2 bn
1 (1 1) (1 1) (1 1 ) (
1 1 ) (1 1 ) ( 1 1 )
2 2 4 3 5 4 6 n 1 n 1 n n 2 n 1 n 3
……………10分
1 1 1 1 1
( ) ……………11分
2 2 3 n 2 n 3
5 2n 5
……………12分
12 2(n 2)(n 3)
20．（本题满分 12分）
解：
（1） A是圆弧 BC上的中点
AO BC ……………………………………………………………………2分
永州市 2023年下期高二期末质量监测试卷参考答案及评分标准·数学 第 3页（共 6页）
{#{QQABJQQEggiAABJAAAgCUwVICEMQkBEACIoGxFAAIAIAyBNABAA=}#}
又 平面 BCC1B1是圆柱的轴截面
BB1 AO ……………………………………………………………………4分
又 BB1 BC B，且 BB1 平面 BCC1B1， BC 平面 BCC1B1
AO 平面 BCC1B1 …………………………………………………………5分
（2）连接OO1，以O为原点，OA、OB、OO1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则O(0,0,0)， A(2 3, 2,0)，B1(0,4,4)，E(0, 2,2) …………………6分
OA (2 3, 2,0)，OB1 (0,4,4) ……………………………………………7分
设平面 AOB1的法向量为 n (x, y, z)，由OA n，OB1 n得：
2 3x 2y 0
，令 y 3，得 x 1， z 1，即 n (1, 3, 3) ………9分
4y 4z 0
又 AE ( 2 3,0,2) ………………………………………………………10分
设直线 AE与平面 AOB1所成的角为
AE n
sin 21则 ………………………………………………………12分
AE n 7
21．（本题满分 12分）
解：
（1）由题 n 1，得 2S 1 a 21 1 1，即 a1(a1 2) 0
又 an 0，得 a1 2 ………………2分
当 n 2，得 2S 1 a 2n 1 n 1 (n 1)且 2S 1 a
2
n n n
得 2a 2n an a
2
n 1 1即 (an 1)
2 a 2n 1 0 ………………3分
得 an an 1 1或 an an 1 1 ………………4分
永州市 2023年下期高二期末质量监测试卷参考答案及评分标准·数学 第 4页（共 6页）
{#{QQABJQQEggiAABJAAAgCUwVICEMQkBEACIoGxFAAIAIAyBNABAA=}#}
所以 an 是以 2为首项，1为公差的等差数列
所以 an n 1 ………………5分
n， n为偶数
（2）由题 bn ………………6分
( 2)n 1 n, n为奇数
又 b n2n-1 2 (2n 1)
T2n b1 b2 b3 b4 b2n-1 b2n
(b1 b3 b2n-1) (b2 b4 b2 n)
(2
1 1) (22 3) (2 n 2n 1) 2 ( 4) ( 2n)
(21 22 2n) 1 ( 3) (2n 1) 2 ( 4) ( 2n)
(21 22 2n) 1 2 (2n 1) 2n ………………8分
2n 1 2 n(2n 1) ………………9分
由T2n b 得 2
n 1 2 n(2n 1) 2n2n 1 (2n 1)即 2
n 2n2 n 3
2n2 n 3 1 c 2n
2 n 3
即 n 记 n n ………………10分2 2
2(n 1)2 (n 1) 3 2n2 n 3 (2n 1)(n 2)
得 cn 1 cn n 1 n …………11分2 2 2n 1
69
所以 n 3, cn 单调递减，又 c6 1,c
94 47
64 7
1
128 64
所以T2n b2n 1的正整数 n的最大值为 6. …………12分
22．（本题满分 12分）
解：
（1）解（1）设圆 M半径为 r ,圆心M x，y ……………1分
圆 M过 A，B两点，连接圆心 O
r x y ……………2分
圆 M 与直线 y 相切
永州市 2023年下期高二期末质量监测试卷参考答案及评分标准·数学 第 5页（共 6页）
{#{QQABJQQEggiAABJAAAgCUwVICEMQkBEACIoGxFAAIAIAyBNABAA=}#}
r y ， ……………3分
r y y ……………4分
即曲线Γ的方程 x y ……………5分
（2）当 P( ， )时，设C(x ，x
)，D(x ，x
)
切线 l : y x x，切线 l : y x x ……………6分
由对称性可知CD : y x
t
x
由： ，解得 t ……………7分
x t
下面证明在任意情况下结论成立。
设 P(a，a )， kPC k ，kPD k
由对称性将切线 lPC，l
PD统一为 y k(x a) a
则G到直线的距离为 1
ka a
由 得， (a )k (a )ak (a ) ……………8分
k
k (a
)a (a )
k ，k ka
a
, y k (x a) a
另一方面 联立 ，得 x k (x a) a
……………9分
x y
a，x 是方程 x
k (x a) a
的两个根
a x k ， a x
ak a
同理 a，x 是方程 x k (x a) a 的两个根
a x k ， a x ak a
直线 CD方程： y x x x (x x )化简为 y x x x x x ……………10分x x
x x a a k k a ， x x k k a(ka
k ) a a
将上式代入直线 CD方程中，得到
(a )y ax a ……………11分
圆心到直线距离为：
(a ) a a
d
(a ) a a
综上，t=2时，对任意的动点 P，都有直线 CD与圆 G相切 ……………12分
永州市 2023年下期高二期末质量监测试卷参考答案及评分标准·数学 第 6页（共 6页）
{#{QQABJQQEggiAABJAAAgCUwVICEMQkBEACIoGxFAAIAIAyBNABAA=}#}
