天津北京师范大学静海附属学校2023-2024学年高二上学期1月第三次月考数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
1.本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。答卷时，考生务必将答案填写在答题卡上，答在试卷上无效。
3.祝各位考生考试顺利！
第I卷（选择题）
注意事项：
1.每小题选出答案后，请填写在答题卡上，答在本试卷上无效。
2.本卷共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
一、单选题（共45分）
1．已知空间向量，且，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
2．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
3．圆与圆公共弦所在直线恒过点（ ）
A． B． C． D．
4．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中描述过如图所示的“三角垛”，最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层的球数构成一个数列，即，，，…，且满足，则第六层球的个数为（ ）
A．28 B．21 C．15 D．10
5．在等差数列中,,,则公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．在等差数列中，若 ，则 的值等于（ ）
A．8 B．10 C．13 D．26
7．若双曲线与椭圆有公共焦点，且离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线（，）的离心率为，O为坐标原点，右焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足为P，的周长为12，则双曲线的实轴长为（ ）
A．8 B．4 C． D．2
9．已知双曲线，抛物线的焦点为，抛物线的准线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若为正三角形，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题）
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．
2．本卷共11小题，共105分．
二、填空题
10．在等差数列中，若，，则 ．
11．在长方体中，，，点E为AB的中点，则点B到平面的距离为 ．
12．若直线与圆相交所得的弦长为，则 ．
13．在数列中，若，则 .
14．若等差数列与等差数列的前n项和分别为和，且，则 ．
15．已知抛物线C：的焦点为F，O为原点，点M是抛物线C准线上的一动点，点A在抛物线C上，且，则的最小值为 .
三、解答题
16．（本题15分）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是等边三角形，平面，E，F，G，O分别是PC，PD，BC，AD的中点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的大小；
(3)线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面所成角为，若存在，求线段PM的长；若不存在，说明理由.
17.（本题15分）设数列是等差数列，且，．
（1）求数列的通项与前项和；
（2）若从数列中，依次取出第2项，第4项，第6项，……，第项，组成一个新数列，试求出的通项公式.
18．（本题15分）已知椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，左、右焦点分别为，，且，点在该椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)过的直线与椭圆相交于，两点，若的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程．
19.（本题15分）已知在非零数列中，，数列的前项和．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)若数列满足，求数列的前项和．
20．（本题15分） 已知是椭圆的两个焦点，过的直线交于两点，当垂直于轴时，且的面积是.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的左顶点为，当不与轴重合时，直线交直线于点，若直线上存在另一点，使，求证：三点共线.参考答案：
1．C
【分析】现根据空间向量数量积的坐标表示求出，进而根据模长公式求得，进而根据向量与向量的夹角公式求解即可.
【详解】因为，所以，即，
则有，
所以，又因为，
所以向量与的夹角为.
故选：C.
2．C
【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解.
【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意，
又因为直线过点，所以直线的斜率为，
所以直线方程为，即，
当直线不过原点时，设直线方程为，
因为点在直线上，
所以，解得，
所以直线方程为，
故所求直线方程为或.故C项正确.
故选：C.
3．A
【分析】根据两个圆的方程求出公共弦的直线方程，然后利用直线方程求解定点即可.
【详解】圆与圆，
两圆的方程相减得：，即公共弦所在的直线方程.
且，即，
故直线恒过点.
故选：A
4．B
【分析】利用递推公式进行累加法求解.
【详解】由题意得，，，，，
以上式子累加可得，
因为，所以，
故选:B.
5．C
【分析】设公差为,根据题意将已知条件化为和的形式,解方程组即可得到结果.
【详解】设公差为,则
,
解得.
故选:C.
6．C
【分析】根据等差数列的性质求出，然后根据等差数列前项和公式结合等差数列的性质即可求出答案.
【详解】因为，所以，即，
所以.
故选：C.
7．D
【分析】根据椭圆确定双曲线焦点，再由离心率求出，即可求出双曲线渐近线方程.
【详解】由椭圆知，其焦点坐标为，
所以双曲线的焦点坐标为，即，
又，所以，所以，
所以双曲线的渐近线方程为，
故选：D
8．A
【分析】利用点到直线的距离公式计算出，从而得到，再根据周长为12，得到，最后结合离心率求得，即可得出结果.
【详解】因为双曲线（，）的渐近线方程为，右焦点为，
不妨令点P位于第一象限，则的长度为点到直线的距离，
即，所以，
又的周长为12，所以得到，
因为该双曲线的离心率为，即，得，
又，即，解得，即双曲线的实轴长为8.
故选：A.
9．C
【分析】根据双曲线方程，把渐近线表示出来，推出两点坐标，利用为正三角形，列方程解系数既可.
【详解】双曲线的两条渐近线方程为，
抛物线的焦点为，准线方程为，不妨取，，
为正三角形，由对称性可知，直线的倾斜角为，则，解得，
所以双曲线的两条渐近线方程为.
故选：C
10．60
【分析】由已知结合等差数列的性质先求出d，，然后结合等差数列的求和公式即可求解．
【详解】因为等差数列中，，，
所以，，则．
故答案为：60．
11．
【解析】以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用即可求解.
【详解】∵在长方体 中,,，
点为的中点，
以为原点，建立空间直角坐标系，如图：
∴, ,,，
即，，
设平面的法向量，
则，即，
令，则，所以
∴点 到平面的距离：
故答案为：
12．
【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于的等式，即可解得的值.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离为，
由勾股定理可得，因为，解得.
故答案为：.
13．
【分析】通过取倒数的方法，证得数列是等差数列，求得，进而求得.
【详解】取倒数得:，
所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，
所以，所以.
故答案为：
14．
【分析】根据给定条件结合等差数列项的性质、等差数列前n项和公式计算作答.
【详解】等差数列与等差数列的前n项和分别为和，且，
于是得，
所以.
故答案为：
15．
【分析】根据条件先确定点坐标和准线方程，然后通过作关于准线的对称点结合三点共线求解出线段和的最小值.
【详解】因为，所以，所以，所以，
不妨取，，准线，
作关于准线的对称点，则，
所以的最小值即为，
当且仅当三点共线时取最小值，
所以的最小值为，
故答案为：.
16．(1)证明见解析
(2)
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）先证、，即可由线线垂直证线面垂直；
（2）以O点为原点分别以OA OG OP所在直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面、平面的法向量，即可由法向量的夹角得出两平面的夹角；
（3）设，，求出，可得，整理得，由，方程无解，即可得不存在这样的点M
【详解】（1）证明：因为是正三角形，O是AD的中点，所以.
又因为平面，平面，所以.
，AD，平面，所以面.
（2）如图，以O点为原点分别以OA OG OP所在直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系.
则，，，，，，，，，，
设平面的法向量为，
所以，即，
令，则，
又平面的法向量，
所以.
所以平面与平面所成角为.
（3）假设线段PA上存在点M，使得直线GM与平面所成角为，则直线GM与平面法向量所成的夹角为，
设，，，，
所以，
所以，
整理得，，方程无解，所以，不存在这样的点M.
17．（1），；（2）.
【分析】（1）根据等差数列的通项公式列方程求解公差与首项，进而根据公式求解即可；
（2）根据题意可得，进而借助（1）求解即可.
【详解】解：（1）因为数列是等差数列，且，，
设等差数列的公差为，
所以，解得，
所以数列的通项为：
前项和为.
（2）从数列中，依次取出第2项，第4项，第6项，……，第项分别为：， 所以.
18．(1)；
(2).
【分析】（1）依题意可得，从而得到，的坐标，再根据椭圆的定义求出，最后求出，即可得到椭圆方程；
（2）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，当斜率存在时设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式表示出，再利用点到直线的距离公式得到圆的半径，最后根据的面积得到方程，即可求出，从而求出圆的方程.
【详解】（1）解：由题意知，所以，，
所以，由椭圆定义知：，
则，，
故椭圆的方程为．
（2）解：①当直线轴时，令，可得，解得，
可取，，此时的面积，与题设矛盾，舍去．
②当直线与轴不垂直时，
设直线的方程为，代入椭圆方程得，
成立，
设，，则，，
可得．
又圆的半径，
∴的面积为，
化简得，解得，
∴，
∴圆的方程为．
19．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）已知等式两边同除以，由等差数列的定义得证；
（2）由及可得通项公式；
（3）求出后，由等差数列前项和公式计算．
(1)
证明 因为在非零数列中，，
两边同时除以，
可得，
所以．
又，所以，
所以是以1为首项．以为公差的等差数列．
(2)
解 因为数列的前项和，所以，
当时，
，
又对也成立，
所以．
(3)
解 由（1）可知，，
又由（2）可知，
所以，
可知为等差数列，
所以．
20．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知条件及椭圆的定义求得a、b的值即可.
（2）设直线PQ方程，联立其与椭圆方程可得，，联立直线的方程与直线m方程可得点M坐标，求出的斜率，得到直线的斜率，求出直线的方程，得到点N坐标，再证明即可.
【详解】（1）依题意知，，所以.
因为的面积是，即，解得，
所以，
从而，解得，
所以，椭圆的标准方程为.
（2）由（1）知，.
依题意，设直线方程为，
由消去得，
则，
直线的斜率，直线的方程：，
而直线，所以.
直线的斜率，
而，即，
所以直线的斜率.
因此直线的方程：，则点，
所以直线的斜率.
又直线的斜率，
则，
而，即，
所以三点共线.
