浙江省2021年数学学考模拟试卷
一、单选题
1．（2020高一上·铜山期中）已知集合 ， ，则 （ ）
A．{0} B．{1} C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由题意，集合 ， ，
根据集合的交集的运算，可得 .
故答案为：C.
【分析】根据集合的交集的概念及运算，即可求解.
2．（2020高一下·上海期末）函数 ， 的最小正周期是（ ）
A．12 B．6 C． D．
【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】函数 的最小正周期为： .
故答案为：A
【分析】直接应用正弦型函数的最小正周期公式进行求解即可.
3．（2020高一上·河南月考）计算： （ ）.
A．5 B．25 C．±5 D．±25
【答案】A
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】 ，
故答案为：A.
【分析】直接根据指数的运算性质即可得结果.
4．（2020高一下·如东期末）若直线 经过点 ，则实数 的值（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】直线的一般式方程
【解析】【解答】将 代入直线 中，可得 ，解得 .
故答案为：A.
【分析】将点 的坐标代入直线方程可得结果.
5．（2020高一上·北京期中）函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． 且 D． 且
【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由函数解析式，知： ，
解之得： 且 ，
故答案为：D
【分析】根据函数解析式的性质求定义域即可.
6．（2020高二上·郓城月考）已知空间向量 ， ，且 ，则实数 （ ）
A． B．-3 C． D．6
【答案】A
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；用空间向量研究直线与直线的位置关系
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 ，即： ，
所以 ，解得 .
故答案为：A.
【分析】根据空间向量共线关系直接求解即可得答案.
7．（2020高二上·保定期中）双曲线 的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意双曲线标准方程为 ， ， ，焦点在 轴，
渐近线方程为 ，
故答案为：C．
【分析】根据双曲线方程写出 ，根据焦点位置得渐近线方程．
8．（2020高三上·台州期末）已知实数x，y满足 ，则 的最大值为（ ）
A．4 B．3 C． D．2
【答案】B
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】由题意，作出不等式组 对应的平面区域，如图所示，
目标函数 ，可化为 ，
平移直线 ，由图象可知当直线 过点 时，此时直线 的截距最大，目标函数取得最大值，
又由 ，解得 ，
所以目标函数的最大值为 ．
故答案为：B．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用 的几何意义，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可求解．
9．（2020高二上·温州期末）某几何体的三视图如图所示（单位： ），则该几何体的体积（单位： ）是（ ）
A．6 B．2 C．12 D．3
【答案】A
【知识点】由三视图还原几何体；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】根据三视图：该几何体为底面为直角梯形的四棱柱，如图所示：
故该几何体的体积为 ．
故答案为：A．
【分析】直接利用三视图的还原图求出几何体的体积．
10．（2015高三上·泰安期末）不等式|x﹣5|+|x+1|＜8的解集为（ ）
A．（﹣∞，2） B．（﹣2，6） C．（6，+∞） D．（﹣1，5）
【答案】B
【知识点】含绝对值不等式的解法
【解析】【解答】解：由于|x﹣5|+|x+1|表示数轴上的x对应点到5、﹣1对应点的距离之和，
而数轴上的﹣2和6对应点到5、﹣1对应点的距离之和正好等于8，
故不等式|x﹣5|+|x+1|＜8的解集为（﹣2，6），
故选：B．
【分析】由条件利用绝对值的意义，求得绝对值不等式|x﹣5|+|x+1|＜8的解集．
11．（2020高一上·武汉月考）下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】B
【知识点】命题的真假判断与应用；不等式的基本性质
【解析】【解答】A. 当 时， ，故是假命题；
B. 因为 ，所以 ，又 ，所以 ，故是真命题；
C. 因为 ，所以 ，故是假命题；
D. 如 ， ，故是假命题；
故答案为：B
【分析】A. 由 时判断； B. 由 ，利用不等式的乘法性质判断；C. 利用不等式的乘法性质判断；D. 利用特殊值判断；
12．（2020高三上·浙江期末）已知 是公差为 的等差数列，前 项和是 ，若 ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】 ， ， ， ， .
， .
故答案为：D.
【分析】利用等差数列的通项公式求和公式可判断出数列 的单调性，并结合等差数列的求和公式可得出结论.
13．（2019·黄山模拟）设a>0且a≠1，则“b>a”是“logab>1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【知识点】充分条件；必要条件；充要条件
【解析】【解答】解：由,因此b>a是的既不充分也不必要.
故答案为：D
【分析】利用对数函数的单调性解对a分情况解出不等式即可得出结论。
14．（2020高一上·贵州期中）下列四组中的函数 与 ，是同一函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解：对于 ， ，
与 的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；
对于 ， ，与 的定义域不同，不是同一函数；
对于 ， ，与 或 的定义域不同，不是同一函数；
对于 ， ，与 的定义域不同，不是同一函数．
故答案为：A．
【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是否为同一函数即可．
15．（2020高三上·赣县期中）函数 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】因为 为偶函数，定义域为 ，故排除C，D；
当 时， ，排除B，
故答案为：A.
【分析】首先判断函数的奇偶性、特殊值，逐一排除即可求解.
16．（2020高一上·深圳期中）已知正数 ， 满足 ，则 的最小值是（ ）
A．10 B．20 C．15 D．25
【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为正数 ， 满足 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故答案为：B.
【分析】根据题中条件，由基本不等式，直接计算，即可得出结果.
17．（2020高三上·新余月考）已知动点 的坐标满足方程 ，则动点 的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
【答案】C
【知识点】圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】设点 ，由 可得出 ，
由题意可知，点 到原点的距离等于点 到直线 的距离，
由抛物线的定义可知，点 的轨迹为抛物线.
故答案为：C.
【分析】将题干中的等式变形为 ，利用距离的几何意义以及抛物线的定义可得出点 的轨迹的形状.
18．（2020高二上·抚顺期中）如图，在正方形 中，E，F分别是 的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个几何体，使 三点重合于点G，现给出下列五个结论：①SG⊥平面EFG；②SD⊥平面EFG；③GF⊥平面SEF；④EF⊥平面GSD；⑤GD⊥平面SEF．其中正确的是（ ）
A．①和③ B．②和⑤ C．①和④ D．②和④
【答案】C
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】因为SG⊥GE，SG⊥GF，GE∩GF=G，所以SG⊥平面GEF，故①正确；
过平面外一点，垂直于该平面的只有一条直线，所以②错误；
若GF⊥平面SEF，可得∠GFE=90°，但是∠GFE=45°，所以③错误；
根据①得SG⊥EF，易得GD⊥EF，又SG∩GD=G，所以EF⊥平面GSD，故④正确；
若GD⊥平面SEF，则GD⊥SD，由①SG⊥平面EFG，可知GD⊥SG，⑤显然错误．
故答案为：C．
【分析】由线面垂直的判定定理和性质定理对各个结论进行判断即可得到答案.
二、填空题
19．（2019高二下·富阳月考）若 ，则 ； ．
【答案】；2
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】 ，则
本题正确结果： ；
【分析】根据对数运算法则直接求解即可.
20．（2020高二下·衢州期末）已知椭圆 上有一点 ，F为右焦点，B为上顶点，O为坐标原点，且 ，则椭圆C的离心率为
【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意可得直线 的方程为： ，即 ，
所以M到直线 的距离 ，
因为 ，
所以 ，
而 ，
因为 ，
所以 ，
整理可得： ，
整理可得 ，解得 ，
故答案为：
【分析】由题意可得直线 的方程，求出M到直线 的距离，且求出 的值，求出 的面积及 的面积，再由题意可得a，c的关系，进而求出椭圆的离心率．
21．（2020高三上·黄冈月考）已知各项为正数的数列 的前 项和为 ，且 ， ，则数列 的通项公式为 .
【答案】
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解： ， ，
当 时，由 ，可得 ，
即 .
是以 为首项，公差为 的等差数列.
.
.
当 时， .
当 时，上式成立.
故数列 的通项公式为 .
故答案为： .
【分析】先由题干求出 是以 为首项，公差为 的等差数列，并且求得 ，进而写出数列 的通项公式.
22．（2020高三上·福建月考）在面积为2的 中， ， 分别是 ， 的中点，点 在直线 上，则 的最小值是 .
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的数量积运算；余弦定理
【解析】【解答】因为 、 分别是 、 的中点，
所以 到 的距离等于点 到 的距离的一半，
所以 ，
又 ，所以 ，
因此 ，所以 ；
又由余弦定理可得：
，
当且仅当 时，取等号；
所以 ，
令 ， ， ；
又 ，
由 得 ，所以 ；由 得 ，所以 ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增；
所以 ，
因此 的最小值是 .
故答案为： .
【分析】由平面几何的知识结合三角形面积公式可得 ，由平面向量数量积的运算可得 ，由余弦定理结合基本不等式可得 ，进而可得 ，令 ，利用导数求得 的最小值后即可得解.
三、解答题
23．（2020高三上·赣县期中）在 中，已知向量 ，且 ，记角 的对边依次为 .
（1）求角C的大小；
（2）若 ，且 是锐角三角形，求 的取值范围.
【答案】（1）解：依题意：即 ，
即 ，又 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由正弦定理得 ，
得 ， ，
所以 ，
，
，
，
，
因为三角形是锐角三角形，
所以 ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
即 .
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的余弦公式；正弦定理
【解析】【分析】（1）根据向量 ，且 ，结合二倍角的余弦公式化简得到 ，再由 求解.（2）利用正弦定理得到 ， ，则 ，利用二倍角公式和两角和与差的三角函数的正用和逆用，化简得到 ，再利用正弦函数的性质求解.
24．（2020高三上·如东月考）已知椭圆 （ ）的焦距为2，离心率为 ，右顶点为 .
（I）求该椭圆的方程；
（II）过点 作直线 交椭圆于两个不同点 ，求证：直线 ， 的斜率之和为定值.
【答案】解：（I）由题意可知 ，故 ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴椭圆方程为 ．
（II）由题意得，当直线 的斜率不存在时，不符合题意；
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，即 .
由 消去y整理得 ，
∵直线与椭圆交于两点，
∴ ，
解得 ．
设 ， ，
则 ， ，
又 ，
∴ .
即直线 ， 的斜率之和为定值.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（I）由椭圆的焦距和离心率可得 ， ，故 ，从而可得椭圆的方程．（II）讨论直线 的斜率，当斜率存在时设其方程为 ，与椭圆方程联立消元后得到二次方程，结合根与系数的关系及题意可求得 ，即得结论成立．
25．（2019高一上·衢州期中）已知函数 为偶函数.
（1）求实数 的值；
（2）求不等式 的解集；
（3）若不等式 有实数解，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解：∵ 是偶函数，
，
即 ，
即 恒成立，
则 ，
得
（2）解：∵ ，
∴ ，
不等式 等价为 ，
即 ，
得 ，
得 ，
即不等式的解集为
（3）解：不等式 等价为 ，
即 ，
，当且仅当 时，取等号，
则 ，
∵函数 在 上是增函数，
则 的最小值为3，
即 ，
故实数 的取值范围是
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质；有理数指数幂的运算性质
【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义建立方程即可求实数 的值；（2）求出 的表达式，结合指数函数的运算法则转化为一元二次不等式进行求解即可求不等式 的解集；（3）利用参数分离法，结合基本不等式的性质进行转化求解即可．
1 / 1浙江省2021年数学学考模拟试卷
一、单选题
1．（2020高一上·铜山期中）已知集合 ， ，则 （ ）
A．{0} B．{1} C． D．
2．（2020高一下·上海期末）函数 ， 的最小正周期是（ ）
A．12 B．6 C． D．
3．（2020高一上·河南月考）计算： （ ）.
A．5 B．25 C．±5 D．±25
4．（2020高一下·如东期末）若直线 经过点 ，则实数 的值（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2020高一上·北京期中）函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． 且 D． 且
6．（2020高二上·郓城月考）已知空间向量 ， ，且 ，则实数 （ ）
A． B．-3 C． D．6
7．（2020高二上·保定期中）双曲线 的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020高三上·台州期末）已知实数x，y满足 ，则 的最大值为（ ）
A．4 B．3 C． D．2
9．（2020高二上·温州期末）某几何体的三视图如图所示（单位： ），则该几何体的体积（单位： ）是（ ）
A．6 B．2 C．12 D．3
10．（2015高三上·泰安期末）不等式|x﹣5|+|x+1|＜8的解集为（ ）
A．（﹣∞，2） B．（﹣2，6） C．（6，+∞） D．（﹣1，5）
11．（2020高一上·武汉月考）下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
12．（2020高三上·浙江期末）已知 是公差为 的等差数列，前 项和是 ，若 ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
13．（2019·黄山模拟）设a>0且a≠1，则“b>a”是“logab>1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．（2020高一上·贵州期中）下列四组中的函数 与 ，是同一函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（2020高三上·赣县期中）函数 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
16．（2020高一上·深圳期中）已知正数 ， 满足 ，则 的最小值是（ ）
A．10 B．20 C．15 D．25
17．（2020高三上·新余月考）已知动点 的坐标满足方程 ，则动点 的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
18．（2020高二上·抚顺期中）如图，在正方形 中，E，F分别是 的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个几何体，使 三点重合于点G，现给出下列五个结论：①SG⊥平面EFG；②SD⊥平面EFG；③GF⊥平面SEF；④EF⊥平面GSD；⑤GD⊥平面SEF．其中正确的是（ ）
A．①和③ B．②和⑤ C．①和④ D．②和④
二、填空题
19．（2019高二下·富阳月考）若 ，则 ； ．
20．（2020高二下·衢州期末）已知椭圆 上有一点 ，F为右焦点，B为上顶点，O为坐标原点，且 ，则椭圆C的离心率为
21．（2020高三上·黄冈月考）已知各项为正数的数列 的前 项和为 ，且 ， ，则数列 的通项公式为 .
22．（2020高三上·福建月考）在面积为2的 中， ， 分别是 ， 的中点，点 在直线 上，则 的最小值是 .
三、解答题
23．（2020高三上·赣县期中）在 中，已知向量 ，且 ，记角 的对边依次为 .
（1）求角C的大小；
（2）若 ，且 是锐角三角形，求 的取值范围.
24．（2020高三上·如东月考）已知椭圆 （ ）的焦距为2，离心率为 ，右顶点为 .
（I）求该椭圆的方程；
（II）过点 作直线 交椭圆于两个不同点 ，求证：直线 ， 的斜率之和为定值.
25．（2019高一上·衢州期中）已知函数 为偶函数.
（1）求实数 的值；
（2）求不等式 的解集；
（3）若不等式 有实数解，求实数 的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由题意，集合 ， ，
根据集合的交集的运算，可得 .
故答案为：C.
【分析】根据集合的交集的概念及运算，即可求解.
2．【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】函数 的最小正周期为： .
故答案为：A
【分析】直接应用正弦型函数的最小正周期公式进行求解即可.
3．【答案】A
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】 ，
故答案为：A.
【分析】直接根据指数的运算性质即可得结果.
4．【答案】A
【知识点】直线的一般式方程
【解析】【解答】将 代入直线 中，可得 ，解得 .
故答案为：A.
【分析】将点 的坐标代入直线方程可得结果.
5．【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由函数解析式，知： ，
解之得： 且 ，
故答案为：D
【分析】根据函数解析式的性质求定义域即可.
6．【答案】A
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；用空间向量研究直线与直线的位置关系
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 ，即： ，
所以 ，解得 .
故答案为：A.
【分析】根据空间向量共线关系直接求解即可得答案.
7．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意双曲线标准方程为 ， ， ，焦点在 轴，
渐近线方程为 ，
故答案为：C．
【分析】根据双曲线方程写出 ，根据焦点位置得渐近线方程．
8．【答案】B
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】由题意，作出不等式组 对应的平面区域，如图所示，
目标函数 ，可化为 ，
平移直线 ，由图象可知当直线 过点 时，此时直线 的截距最大，目标函数取得最大值，
又由 ，解得 ，
所以目标函数的最大值为 ．
故答案为：B．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用 的几何意义，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可求解．
9．【答案】A
【知识点】由三视图还原几何体；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】根据三视图：该几何体为底面为直角梯形的四棱柱，如图所示：
故该几何体的体积为 ．
故答案为：A．
【分析】直接利用三视图的还原图求出几何体的体积．
10．【答案】B
【知识点】含绝对值不等式的解法
【解析】【解答】解：由于|x﹣5|+|x+1|表示数轴上的x对应点到5、﹣1对应点的距离之和，
而数轴上的﹣2和6对应点到5、﹣1对应点的距离之和正好等于8，
故不等式|x﹣5|+|x+1|＜8的解集为（﹣2，6），
故选：B．
【分析】由条件利用绝对值的意义，求得绝对值不等式|x﹣5|+|x+1|＜8的解集．
11．【答案】B
【知识点】命题的真假判断与应用；不等式的基本性质
【解析】【解答】A. 当 时， ，故是假命题；
B. 因为 ，所以 ，又 ，所以 ，故是真命题；
C. 因为 ，所以 ，故是假命题；
D. 如 ， ，故是假命题；
故答案为：B
【分析】A. 由 时判断； B. 由 ，利用不等式的乘法性质判断；C. 利用不等式的乘法性质判断；D. 利用特殊值判断；
12．【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】 ， ， ， ， .
， .
故答案为：D.
【分析】利用等差数列的通项公式求和公式可判断出数列 的单调性，并结合等差数列的求和公式可得出结论.
13．【答案】D
【知识点】充分条件；必要条件；充要条件
【解析】【解答】解：由,因此b>a是的既不充分也不必要.
故答案为：D
【分析】利用对数函数的单调性解对a分情况解出不等式即可得出结论。
14．【答案】A
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解：对于 ， ，
与 的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；
对于 ， ，与 的定义域不同，不是同一函数；
对于 ， ，与 或 的定义域不同，不是同一函数；
对于 ， ，与 的定义域不同，不是同一函数．
故答案为：A．
【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是否为同一函数即可．
15．【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】因为 为偶函数，定义域为 ，故排除C，D；
当 时， ，排除B，
故答案为：A.
【分析】首先判断函数的奇偶性、特殊值，逐一排除即可求解.
16．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为正数 ， 满足 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故答案为：B.
【分析】根据题中条件，由基本不等式，直接计算，即可得出结果.
17．【答案】C
【知识点】圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】设点 ，由 可得出 ，
由题意可知，点 到原点的距离等于点 到直线 的距离，
由抛物线的定义可知，点 的轨迹为抛物线.
故答案为：C.
【分析】将题干中的等式变形为 ，利用距离的几何意义以及抛物线的定义可得出点 的轨迹的形状.
18．【答案】C
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】因为SG⊥GE，SG⊥GF，GE∩GF=G，所以SG⊥平面GEF，故①正确；
过平面外一点，垂直于该平面的只有一条直线，所以②错误；
若GF⊥平面SEF，可得∠GFE=90°，但是∠GFE=45°，所以③错误；
根据①得SG⊥EF，易得GD⊥EF，又SG∩GD=G，所以EF⊥平面GSD，故④正确；
若GD⊥平面SEF，则GD⊥SD，由①SG⊥平面EFG，可知GD⊥SG，⑤显然错误．
故答案为：C．
【分析】由线面垂直的判定定理和性质定理对各个结论进行判断即可得到答案.
19．【答案】；2
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】 ，则
本题正确结果： ；
【分析】根据对数运算法则直接求解即可.
20．【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意可得直线 的方程为： ，即 ，
所以M到直线 的距离 ，
因为 ，
所以 ，
而 ，
因为 ，
所以 ，
整理可得： ，
整理可得 ，解得 ，
故答案为：
【分析】由题意可得直线 的方程，求出M到直线 的距离，且求出 的值，求出 的面积及 的面积，再由题意可得a，c的关系，进而求出椭圆的离心率．
21．【答案】
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解： ， ，
当 时，由 ，可得 ，
即 .
是以 为首项，公差为 的等差数列.
.
.
当 时， .
当 时，上式成立.
故数列 的通项公式为 .
故答案为： .
【分析】先由题干求出 是以 为首项，公差为 的等差数列，并且求得 ，进而写出数列 的通项公式.
22．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的数量积运算；余弦定理
【解析】【解答】因为 、 分别是 、 的中点，
所以 到 的距离等于点 到 的距离的一半，
所以 ，
又 ，所以 ，
因此 ，所以 ；
又由余弦定理可得：
，
当且仅当 时，取等号；
所以 ，
令 ， ， ；
又 ，
由 得 ，所以 ；由 得 ，所以 ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增；
所以 ，
因此 的最小值是 .
故答案为： .
【分析】由平面几何的知识结合三角形面积公式可得 ，由平面向量数量积的运算可得 ，由余弦定理结合基本不等式可得 ，进而可得 ，令 ，利用导数求得 的最小值后即可得解.
23．【答案】（1）解：依题意：即 ，
即 ，又 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由正弦定理得 ，
得 ， ，
所以 ，
，
，
，
，
因为三角形是锐角三角形，
所以 ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
即 .
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的余弦公式；正弦定理
【解析】【分析】（1）根据向量 ，且 ，结合二倍角的余弦公式化简得到 ，再由 求解.（2）利用正弦定理得到 ， ，则 ，利用二倍角公式和两角和与差的三角函数的正用和逆用，化简得到 ，再利用正弦函数的性质求解.
24．【答案】解：（I）由题意可知 ，故 ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴椭圆方程为 ．
（II）由题意得，当直线 的斜率不存在时，不符合题意；
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，即 .
由 消去y整理得 ，
∵直线与椭圆交于两点，
∴ ，
解得 ．
设 ， ，
则 ， ，
又 ，
∴ .
即直线 ， 的斜率之和为定值.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（I）由椭圆的焦距和离心率可得 ， ，故 ，从而可得椭圆的方程．（II）讨论直线 的斜率，当斜率存在时设其方程为 ，与椭圆方程联立消元后得到二次方程，结合根与系数的关系及题意可求得 ，即得结论成立．
25．【答案】（1）解：∵ 是偶函数，
，
即 ，
即 恒成立，
则 ，
得
（2）解：∵ ，
∴ ，
不等式 等价为 ，
即 ，
得 ，
得 ，
即不等式的解集为
（3）解：不等式 等价为 ，
即 ，
，当且仅当 时，取等号，
则 ，
∵函数 在 上是增函数，
则 的最小值为3，
即 ，
故实数 的取值范围是
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质；有理数指数幂的运算性质
【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义建立方程即可求实数 的值；（2）求出 的表达式，结合指数函数的运算法则转化为一元二次不等式进行求解即可求不等式 的解集；（3）利用参数分离法，结合基本不等式的性质进行转化求解即可．
1 / 1
