南平市2023—2024学年第一学期高二年级期末质量检测
数学试题
（满分：150分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3．全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．经过，两点的直线的倾斜角为
A． B． C． D．
2．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的正弦值为
A． B． C． D．
3．下列求导运算正确的是
A． B．
C． D．
4．已知椭圆：的离心率为，则椭圆的长轴长为
A． B． C． D．
5．在等比数列中，，是方程两根，若，则m的值为
A． B． C． D．
6．已知正数满足，则的最小值为
A． B． C． D．
7．已知双曲线的左右焦点分别为，，为双曲线左支上一点，若直线垂直平分线段，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
8．若圆与圆 外切，则的取值范围是
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知直线：，直线：，则
A．当时， B．当时，
C．当时，与之间的距离为 D．直线过定点
10．已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于两点，则
A．的周长为4
B．的取值范围是
C．的最小值是
D．若线段中点为，则直线的斜率为
11．如图，在三棱柱中，底面△为等边三角形，为△的重心，，若，，则
A．
B．
C．
D．
12．已知函数，其中，则
A．函数的极大值点为2
B．若关于的方程有且仅有两个实根，则的取值范围为
C．方程共有4个实根
D．关于的不等式不可能只有1个整数解
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量，，若，则__________．
已知函数在处的切线为，则直线的方程为__________．
已知双曲线：的左、右焦点分别为，为上一点且，，则该双曲线渐近线的斜率为 ．
16．《算学启蒙》作者是元代著名数学家朱世杰，这是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作．里面涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题． 某同学模仿“堆垛”问题，将根相同的铅笔刚好全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于，且从上往下，每一层比下一层少根，则该“等腰梯形垛”最多可以堆放___________层．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）
已知数列为等差数列，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
18．（本题满分12分）
已知圆的圆心在直线上且圆与轴相切于点．
（1）求圆的方程；
（2）已知直线与圆相交于两点，求△的面积．
19．（本题满分12分）
如图，在四棱锥中，平面，，，
，为的中点．
（1）证明：；
（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求线段的长．
20．（本题满分12分）
已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，且数列的前项和为，若都有不等式恒成立，求的取值范围．
21．在平面直角坐标系中，动点到点的距离比它到直线的距离少，记动点的轨迹为．
（1）求曲线的方程；
（2）将曲线按向量平移得到曲线（即先将曲线上所有的点向右平移个单位，得到曲线；再把曲线上所有的点向上平移个单位，得到曲线），求曲线的焦点坐标与准线方程；
（3）证明二次函数的图象是抛物线．
22．（本题满分12分）
已知函数，．
（1）当时，比较与的大小；
（2）若，比较与的大小．南平市2023—2024学年第一学期高二年级期末质量检测
数学参考答案及评分标准
说明：
1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3、只给整数分数． 选择题和填空题不给中间分
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．
1．A 2．A 3．D 4．C 5．C 6．B 7．B 8．D
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．BC 10．BCD 11．ABD 12．ACD
三、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．
13． 14． 15． 16．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）
【解】设数列的首项为，公差为，
依题意得 …………………………………………………2分
解得 …………………………………………………………………………3分
故．
所以数列的通项公式为． …………………………………………5分
（2）由（1）知，……………………7分
则
………………………………………………………………………9分
．………………………………………………………………………10分
18．（本题满分12分）
解】法：（1）设圆心坐标为，
由于圆的圆心在直线上且圆与轴相切于点，
可得解得即圆心坐标为 ，…………………………3分
由于圆与轴相切于点，则半径．…………………………4分
所以圆的方程为．…………………………………………6分
（2）依题意，圆心到直线的距离
，…………………………………………………………8分
因为直线与圆相交于两点，
所以弦长，…………………………………10分
所以．………………………………………12分
法：（1）根据题意，圆与轴相切于点，
可得圆心的横坐标为，又圆的圆心在直线上，
则将代入方程解得，即圆心坐标为， ………………………3分
由于圆与轴相切于点，则半径．…………………………4分
所以圆的方程为．…………………………………………6分
（2）同法1．
19．（本题满分12分）
【解】法：（1）证明：因为平面，且平面，
所以，又，即，
以分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，…2分
设，由，为的中点，
得，，，，
所以，，……………………………………………………3分
所以，，…………………………………………5分
所以． …………………………………………………………6分
由（1）可得，，，，
，所以，，，
． ……………………………………………7分
设平面的法向量为，
所以即令，得，
所以平面的一个法向量为， …………………………………………9分
同理可得平面的一个法向量为． ……………………………………10分
因为平面与平面夹角的余弦值为，
所以，解得或（舍）
即线段的长为． ……………………………………………………………………12分
法:（1）证明：连接，过点作的平行线交于点，则，
又，则四边形为平行四边形，因为，
所以，
因为平面，平面，
所以，则，所以，
又因为，所以，即，…2分
因为平面，，且平面，
所以，因为，
所以平面，又因为平面，
所以，……………………………………………………………………………4分
又，所以平面， ……………………………………………5分
因为平面，所以，所以为直角三角形，
又为的中点，所以． ………………………………………………6分
（2）由（1）知，两两垂直，以分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，由，为的中点，
得，，，，，
所以，，， ． ………7分
以下同法．
20．（本题满分12分）
【解】（1）因为，①
当时可得，即．……………………………………………………1分
当时，，②
由①-②得即，…………………………………2分
即是以为首项，为公比的等比数列， ………………………………………3分
所以．…………………………………………………………4分
（2）因为，
所以，
，………………………5分
两式相减得，，………………6分
即，
， ……………………………………………………………7分
故 ． ………………………………………………………8分
由，得，即．
依题意，不等式恒成立，…………………………………………9分
因为随着增大而减小， ………………………………………………………10分
所以，即的取值范围为． ………………………………………12分
21．（本题满分12分）
【解】法:（1）设动点，依题意，动点与定点的距离和动点到的距离相等，………………………………………………………………………1分
所以动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，………………2分
即曲线的方程为． ……………………………………………………………4分
（2）曲线的焦点坐标为，准线方程为，……………………………5分
因为是由曲线上的所有点向右平移个单位，再向上平移个单位得到的，所得曲线的焦点为，准线为． ………………………………………………7分
（3）因为是抛物线的标准方程，其对应的曲线是焦点为，准线为的抛物线． ………………………………………………………………………8分
即函数的图象是抛物线，其焦点为，准线为．……………9分
将的图象按向量平移可得到的图象，即的图象，……………………………………………………11分
又因为平移变换只改变曲线的位置，不改变曲线的形状，
所以的图象是抛物线．…………………………………………………12分
法2：（1）设动点，由题意可知，………………1分
当在下方时，动点到定点的距离将大于动点到的距离，所以必在的上方，……………………………………2分
所以可化为，化简得 …4分
（2）同法1．……… ………………………………………………………………………7分
（3）设是上任意一点，则，
即，
所以．
因为点到点的距离为
…………………………………………………8分
，……………………………………………………………………11分
又因为点到直线的距离为，
所以点到定点的距离和它到定直线的距离相等，所以的轨迹是抛物线，即二次函数的图象是抛物线．……12分
22．（本题满分12分）
【解】（1）设函数，………………………………1分
则， ……………………………………………………………2分
当时，，则在上单调递增，
所以，从而，即．………………………………4分
（2）设函数，
当时，，，则即恒成立，………5分
所以，，……………………………………………6分
又，所以，………………………………………………7分
因为，所以，
令，则恒成立，
所以在上单调递增，则，
所以在上单调递增，又，，所以，即，………9分
设函数，则，
所以在上单调递增，
因为，所以，所以，所以，…………………11分
所以，从而．……………………………12分
