理科数学试卷参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D A C A B D C A C B D B
1.【答案】D
2.【答案】A
【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．
【详解】因为整数集，，所以，．
故选：A．
3 【答案】C
【分析】根据题意，结合圆锥和圆台的体积公式，求得两部分的体积，即可求解.
【详解】由题意得，茶杯杯身内部可装茶水的体积：，
杯盖内部可装茶水的体积，
因为，所以最多可倒满7杯盖.
故选：C．
4【答案】 A
5【答案】B
【分析】设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，分别求出对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出．
【详解】如图所示：
设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，其面积为．
设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，即图中的阴影部分，其面积为，所以．
故选：B.
6 【答案】D
【详解】根据题意，具有社会心理工作资格的3位专家去定点帮助5名心理特异学生，
要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学生，
则把五位同学分3组，且三组人数为2、2、1，然后分配给3位专家，
所以不同的安排方法共有种.
故选：D．
7【答案】C
【分析】取中点，连接，由已知可得是异面直线与所成角，计算即可求得结果.
【详解】如图所示，取中点，连接，由及三角形中位线性质可得
,则
是异面直线与所成角，且，
故选:C
8【答案】A
【详解】由题可得，
由直线和为函数图象的两条相邻对称轴可得，
函数的最小正周期，得，
所以，
则，
故将函数的图象至少向左平移个单位长度可得到的图象.
故选：A．
9 【答案】C
【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式求得可能的最大值，然后构造数列满足条件，即得到的最大值．
【详解】若要使n尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小，
不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为，
则，，
所以.对于，，
取数列各项为(，,
则，所以n的最大值为11．故选：C．
10 【答案】B
【分析】在中，由正弦定理边角关系得，由余弦定理求出角，由余弦定理结合基本不等式可得，进而可求出三角形面积的最大值.
【详解】在中，，
由正弦定理得：，由余弦定理得：，
因为为的内角，则，所以，
因为的外接圆的半径为，
由正弦定理得：，所以，
由余弦定理得，即，
因为，所以，当且仅当时取等号，
故的面积，所以面积的最大值为.故选：B.
11 【答案】D
【分析】先判断出，根据已知条件求得，然后利用勾股定理列方程，化简求得双曲线的离心率.
【详解】因为点四点共圆，，是圆的直径，
所以，即，
所以，即，
又因为，所以，即，
所以，又，所以，
又因为，所以，即，
所以，所以，所以.故选：D
12 【答案】B
【分析】对b放缩可得，构造，利用导数讨论单调性可得，再构造，，利用二次导数研究其单调性可比较a，c，然后可得答案.
【详解】因为，所以．
构造函数，则恒成立，
所以在上单调递增，
所以，即，即．
构造函数，，则，
令，则，
令，则，
所以在上单调递减，，
所以在上单调递增，所以，
所以在上单调递增，
所以，即，即．
综上，．故选：B．
二、填空题
13 【答案】1
【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.
【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
目标函数即：，
其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，
联立直线方程：，可得点A的坐标为：，
据此可知目标函数的最大值为：.故答案为：1．
【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.
14 【答案】
【分析】先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果.
【详解】抛物线： ()的焦点,
∵P为上一点，与轴垂直，
所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,
不妨设,因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，
又，因为，所以,
，所以的准线方程为
故答案为：.
15、【答案】
解：，，，
在中，由正弦定理得：，
，
在中，，，，由正弦定理，
，，．
故答案为 ．
16 【答案】①③
【分析】根据函数不动点与双重不动点的定义逐项判断即可得答案.
【详解】对于①，，，所以，
又，，则是的双重不动点；
对于②，，，，令，
当时，由基本初等函数图象易知，所以，当时，显然成立，
所以不存在，使得，故函数不是具有双重不动点的函数；
对于③，，，则，又，，所以是函数的双重不动点；
综上，具有双重不动点的函数是①③.
故答案为：①③.
三、解答题
17 详解】（1）根据图2可知，模型①的残差波动性很大，说明拟合关系较差；
模型②的残差波动性很小，基本分布在0的附近，说明拟合关系很好，所以选择模型②更适宜.---------------------------4分
（2）（i）设，所以，
所以，，
所以关于的经验回归方程为---------------------------8分
（ii）由题设可得，
当取对称轴即，即时，年利润L有最大值，
故该公司2028年的年利润最大.----------------------------12分
18 【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用平面和平面平行可证线面平行或者
（2）利用线面角求出线段的长度，建立坐标系，求出法向量可求二面角
【详解】（1）解法一：取线段OB的中点N，连接MN，PN．
因为，，所以且，
因此四边形PCBN是平行四边形，所以．
又平面CDB，平面CDB，所以平面CDB．
因为，，所以．
又平面CDB，平面CDB，所以平面CDB．
而平面PMN，
所以平面平面CDB，
又平面PMN，所以平面CDB．
解法二:在线段BD上取点E，使得，连接CE，ME，
又，所以，且，
又，且，所以，且．
所以四边形PCEM是平行四边形，所以，
又平面CDB，平面CDB，所以平面CDB．----------------------------6分
（2）由圆锥的对称性不妨取点D为如图所示位置，在圆锥底面内过点D作于点F，连接PF，
因为平面平面ABD，平面平面，所以平面PAB，
所以就是直线PD与平面PAB所成的角，所以，
因为，
所以．
连接OD，则，即点F为OB的中点．
以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OP所在直线为
z轴，建立空间直角坐标系，
则，
于是．
设平面APD的法向量为，则，得，
取，可得．
设平面PDB的法向量为，则，得，
取，可得．
所以，
故二面角的正弦值为----------------------12分
19 【详解】（1）解：因为，，为等差数列，所以，所以，两式相减得，
即，所以数列是以2为公比的等比数列，
又，，所以，解得，所以，，
所以.----------------------------6分
（2）解：由（1）得不等式为，整理得，
令，则，
所以当，时，，即，
当，时，，即，所以当时，取得最大值，
所以，即，解得.
所以实数m的取值范围为.----------------------------12分
20 【答案】(1)
【详解】（1）由已知条件得，
在点处的切线斜率为，
即，此时，所以
所以切线方程为，即----------------------------4分
（2）由得，
整理得，
当时，，即
令，则.
令，恒成立，函数在上单调递增，
其中，，
∵由零点存在性定理可知在上存在唯一的零点，即，
∴在上，在上，
∴在上，在上，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴在上的最小值为，
又∵，∴，即，∴，且为整数，
∴的最大值.----------------------------12分
21 解：设椭圆的半焦距为，则，，
由得，所以．
又由的面积等于和的面积之和，
设点到轴的距离为，由是过椭圆的中心的弦，则到轴的距离也为，
所以和面积相等，所以，由的最大值为，
所以的最大面积为．----------------------------4分
由知椭圆：．
设，，，
将：代入，整理得．
则有，．
直线与直线的斜率之和
为与无关的常数，
可知当，时斜率的和恒为，解得
综上所述，所有满足条件的定点的坐标为． ---------------------------12分
22 【详解】（1）因为曲线的参数方程为（t为参数），
则，，
两式相减，得的普通方程为：；
因为
曲线的极坐标方程为化为直角坐标方程为：.-------------------5分
（2）因为，
所以曲线的极坐标方程为，即，
联立，得，
所以射线与曲线交于A，
曲线的极坐标方程为，联立，得，
所以射线与曲线交于B，
又点，所以，
则．-------------------10分
23 【详解】（1）解：由题意，可得，
当时，不等式，即为，此时不等式无解；
当时，不等式，即为，解得；
当时，不等式，即为，解得，
综上，不等式的解集为．-------------------5分
（2）解：由（1）知，当时，函数为递减函数，可得；
当时，函数为递减函数，可得；
当时，函数为递增函数，可得，
故的最小值，所以，
解法1：令，，
则（其中）．
解法2：由柯西不等式得，即，
当且仅当，即，时取等号，所以．-------------------10分石嘴山市大武口区2023-2024学年第一学期高三年级期末考试
理科数学试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
第I卷（选择题）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知复数z＝，则＝
A.＋i B．－－i C．－＋i D．－i
2．设全集,集合，
A． B．
C． D．
3．中国是世界上著名的文明古国之一，为世界文化和科技繁荣谱写了绚丽的篇章，陶瓷的制作工艺及发展，更是其中闪耀的一颗明珠．随着近代科学技术的发展，近百年来又出现了许多新的陶瓷品种．如图为一款陶瓷茶杯，杯盖可以使水温瞬间变成左右并保持恒温状态，将茶杯里面的茶水倒入杯盖中即可饮用到的温水．该款茶杯的杯身内部空间可看作上、下底面直径分别为，，高为的圆台；杯盖内部空间可看作底面直径为，高为的圆锥．若茶杯中装满茶水，则最多可倒满几杯盖
A．5 B．6 C．7 D．8
4．已知函数，则是
A．奇函数，且在(0，e)上是增函数 B．奇函数，且在(0，e)上是减函数
C．偶函数，且在(0，e)上是增函数 D．偶函数，且在(0，e)上是减函数
5．在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为
A． B． C． D．
6. 加强学生心理健康工作已经上升为国家战略，为响应国家号召，W区心理协会派遣具有社会心理工作资格的3位专家去定点帮助5名心理特异学生.若要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学生，则不同的安排方法共有
A．243种 B．125种 C．180种 D．90种
7. 已知三棱锥中，中点为中点为，则异面直线与所成角的余弦值为
A． B． C． D．
8．已知函数，直线和为函数图象的两条相邻对称轴，为了得到函数的图象，则将函数的图象至少
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
9．已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为
A．9 B．10 C．11 D．12
10．在中，角，，所对的边分别为，，，若，且的外接圆半径为，则面积的最大值为
A． B． C． D．
11．已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线与轴交于点，与的右支交于点，且满足，若点四点共圆（为坐标原点），则双曲线的离心率为 A． B． C． D．
12．已知，则
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若x，y满足约束条件则z=x+7y的最大值为 .
14．已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则抛物线的准线方程为 .
15.如图所示，在一个坡度一定的山坡的顶上有一高度为的建筑物，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角，在山坡的处测得，沿山坡前进到达处，又测得，根据以上数据可得 .
16. 拓扑空间中满足一定条件的图象连续的函数，如果存在点，使得，那么我们称函数为“不动点”函数，而称为该函数的不动点．类比给出新定义：若不动点满足，则称为的双重不动点．则下列函数中，①；②；③具有双重不动点的函数为 ．（将你认为正确的序号填在横线上）
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分12分）为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入.下图1是该公司2013年至2022年的年份代码x和年研发投入y（单位：亿元）的散点图，其中年份代码1 10分别对应年份2013 2022.
根据散点图，分别用模型①，②作为年研发投入y（单位：亿元）关于年份代码x的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图.结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值：
75 2.25 82.5 4.5 120 28.35
表中，.
(1)根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入y（单位：亿元）关于年份代码x的经验回归方程模型 并说明理由；
(2)（i）根据（1）中所选模型，求出y关于x的经验回归方程；
（ii）设该科技公司的年利润（单位：亿元）和年研发投入y（单位：亿元）满足（且），问该科技公司哪一年的年利润最大
附：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
18.（本小题满分12分）如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，AB为底面直径，四边形POBC是梯形，且，，，D为圆O上一点．
(1)若点M在线段AD上，且，求证：∥平面CDB；
(2)当直线PD与平面PAB所成的角为30°时，求二面角的正弦值．
19．（本小题满分12分）已知数列的前n项和为，且，，为等差数列；数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若对于，总有成立，求实数m的取值范围.
20. （本小题满分12分）设函数
(1)若曲线在点处的切线斜率为，求实数的值及该切线方程；
(2)若，为整数，且当时，恒成立，求的最大值.
21.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，为椭圆的右焦点，为过椭圆中心的弦．
求面积的最大值
动直线与椭圆交于，两点，证明：在第一象限内存在定点，使得当直线与直线的斜率均存在时，其斜率之和是与无关的常数，并求出所有满足条件的定点的坐标．
请考生在第22、23两题中任选一题作答．考生只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为（为参数），曲线极坐标方程为．
(1)将曲线的参数方程化为普通方程,曲线极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．若射线与曲线分别交于两点（异于极点），点，求的面积．
23.（本小题满分10分） 选修4-5：不等式选讲
已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)记函数的最小值为m，正实数a，b满足，证明：．
