姓名
座位号
(在此卷上答题无效)
高二数学（北师大版）
本试卷共4页，22题。全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：
1.答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡
上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题
卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1.抛物线y2=x的准线方程是
1
A.x=4
1
1
1
B.y=4
C.x=-2
D.y=2
2.如图，已知随机变量X服从正态分布N(2,c2),若P(X
P(a≤X<4-a)=
0a2
A.0.68
B.0.64
C.0.36
D.0.32
3.现有6名北京冬奥会志愿者，其中4名女志感者，2名男志愿者.随机从中一次抽出2名志愿者参与花
样滑冰项目的志愿服务，则抽出的2名都是女志愿者的概率是
B号
03
4
4.若平面a外的直线1的方向向量为a=(1,0,-2),平面c的法向量为m=(8,-1,4),则
A.l⊥a
B.l∥a
C.a//m
D.1与a斜交
5已知双曲线2少
=1(6>0)的离心率是3，B,,分别是其左、右焦点，过点R,且与双曲线经过第一、
三象限的渐近线平行的直线方程是
A.8x-y-24=0
B.22x+y-62=0
C.2w2x-y-62=0
D.22x-y-2√14=0
6.设(x-2)*+441x3=ao+u1x+a2g2+…+ax°，则a5=
A.7
B.-6
C.889
D.-7
7.对于空间四点M,A,B,C,则“0i=x0+y0成+z0元且x+y+z=1”是“M,A,B,C四点共面"的，
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
高二数学试卷第1页（共4页）
&已知椭圆。+=1的左、右焦点分别为F和F,点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PP的中点见
在以原点O为圆心，IOF1为半径的圆上，则△PFF的面积为
西
B.25
C.15
D.√/17
二、进择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
Q.设a∈R,对于直线1：xsina-+y+2=0,下列说法中正确的是
A,l的斜室为sinc
B.1在y轴上的截距为-2
C. 不可能平行于x轴
D.l与直线x-ysina-1=0垂直
1Q在长方体ABCD-A,B,C,D1中，AB=2,AD=AA1=1,则
1直线B与平面4CD,所成角的余弦值为
R.直线AD与平面ACD,所成角的正弦值为
3
C.点A,到平面ACD,的距离为了
2
D.点B,到平面ACD,的距离为
1L一般地，我们把离心率相等的两个椭圆称为相似椭圆.已知椭圆之+广：1和椭圆亡-1(m>0)是
64
m
相似椭圆，则下列结论中正确的是
4椭圆兰+1与椭圆+名1相似B,m可以取2
64
Cm可以取9
D,双曲线号上-1的离心率为
3 m
3
12由直线l:x-y+1=0上的一点P向圆C:x2-6x+y2+8=0引两条切线PA,PB,A,B是切点，则
A.线段PA长的最小值为√7
B四边形PACB面积的最小值为}
C.的最大值是子
D.当点P的坐标为(0,1)时，切点弦AB所在的直线方程为3x-y-8=0
三，填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
I3.在四面体0-ABC中，Oi=a,0凉=b,0C=c,D为BC的中点，E为AD的中点，则O正=
(用
d.b,c表示).
14.从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个不同的元素作为直线方程Ax+By+C=0中的A,B,C,则所得直
线中经过原点的有
条
15,若圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B,且|AB|=2.则圆C的标准方程为
高二数学试卷第2页（共4页）】高二数学（北师大）参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C B B C D A C BD BCD ABC AD
1 p 1
1.【解析】2p 1, p .准线方程是 x .故选 A.
2 2 4
2.【解析】P(a X 4 a) 1 2P(X a) 0.36.故选 C.
C 24 4 3 23.【解析】抽出的 2 名都是女志愿者的概率是 .
C 2
故选 B.
6 6 5 5
4.【解析】因为a (1, 0, 2), m (8, 1, 4), 所以a m 0 ，即a m，因此 l / / .故选 B.
c y2
5.【解析】由3 1 b2 得，b2 8 .双曲线 x2 1的右焦点是F（2 3,0），经过第
a 8
一、三象限的渐近线方程是 y 2 2x .于是所求的直线方程是 y 0 2 2(x 3)，即2 2x y 6 2 0 .
故选 C.
6.【解析】(x 2)8 3 3的展开式中，含 x5 项的系数是C8 ( 2) 448，因此 (x 2)
8 441x5 的展开式中含 x5
项的系数a5 448 441 7.故选 D.
7.【解析】OM xOA yOB zOC OM xOA yOB (1 x y)OC
OM OC x(OA OC) y(OB OC) CM xCA yCB CM ,CA,CB共面 M ,A,B,C
四点共面 .反之，若 “ M , A,B,C 四点共面 ”，当 A,B,C 三点共线，但点 M 不在此直线上时，
OM xOA yOB zOC且 x y z 1不成立 .因此“OM xOA yOB zOC且 x y z 1 ”是
“M , A,B,C四点共面”的充分不必要条件.故选 A.
8.【解析】因为 F Q垂直平分线段 PF ，所以 FF PF 4. 又因为 PF PF 6, 所以 PF 2,
QF 1. 在 直 角 三 角 形 FQF 中 ， QF 16 1 15. 于 是 PFF 的 面 积 为
1 1
PF QF 2 QF 15.故选 C.
2 2
9.【解析】l的斜率为 sin ,A 错. x sin y 2 0就是 y xsin 2 ，l在轴 y上的截距为 2，B
对.当 sin 0 时，直线 l : y 2 0 ，平行于 x轴，C 错.当 sin 0 时，两条直线分别为 y 2 0和
1
{#{QQABZQSEggggAhBAAQhCQw16CEAQkACACKoGQEAEIAAAiRNABAA=}#}
1
x 1 0，显然垂直.当sin 0 时， sin 1, 也垂直.D 对.故选 BD.
sin
z
10【. 解析】如图，建立空间直角坐标系，AB 0, 2,0 ，DA 1,0,0 ,平面 ACD1 D1 C1
1 A1 B1
的 法 向 量 为 n 1, ,1 . 设 直 线 AB 与 平 面 ACD1 所 成 角 为 ， 则 D
2 C y
A B
1
2 2
x
sin cos AB,n ， cos ，A 错.直线 AD与平面 ACD1 所成角
3 3
2 AA n 2
为 ，则sin cos DA,n ，B 对.点 A1到平面 ACD
1
1 的距离为 ，C 正确.点B1到平面
3 n 3
DB n 4
ACD 11 的距离为 ，D 正确.故选 BCD.
n 3
6 4 6 4 6 4 9
11【. 解析】 , A 对.当0 m 3时， ,m 2.B 对.当m 3时， ,m .C 对.m 2时，
12 8 3 m m 3 2
c 15 9 9 c 10
a 3,c 3 2 5, e . m 时,a 3,c 3 , e ，D 错.故选 ABC.
a 3 2 2 a 2
12.【解析】 x2 6x y2 8 0就是（x 3）2 y2 1，圆心为（3,0），半径是1.
2 3 0 1
PA CP 1，CP 2 2,线段PA长的最小值为 7, A 对.四边形PACB面积的最小值min 2
1 2 1
为2 7 1 7, B 错.因为cos APB 2cos APC 1 2(1 ) 12 ，所以cos APB的最小
2 CP
1 3
值为2(1 ) 1 .C 错.当点 P 的坐标为（0，1）时，切点弦 AB所在的直线方程为 (0 3（) x 3） y 1，即
8 4
3x y 8 0. D 对.故选 AD.
1 1 1 1 1 1 1 1
13.【答案】 a b c .【解析】OE a OD a b c.
2 4 4 2 2 2 4 4
2
14.【答案】30【解析】直线过原点则 c=0, A6 30 .
15.【答案】（x 1）2 (y 2)2 2【解析】因为圆C的半径为 1 1 2,圆心C的坐标是 (1, 2),
所以圆C的标准方程为（x 1）2 (y 2)2 2 .
2
{#{QQABZQSEggggAhBAAQhCQw16CEAQkACACKoGQEAEIAAAiRNABAA=}#}
y2
x2 1
16. 【答案】 3 1 【解析】由题意可设 l 的方程为 y kx 1. 联立 2 消去 y 得，
y kx 1
2 2k(2 k )x2 2kx 3 0 . 显 然 2 k 2 0. 设 P1(x1, y1), P2 (x2 , y2 ), 则 x1 x2 1 ， 解 得
2 k 2
k 1 3.由 ＞0 得， 3 k 3 ,显然 k 1 3 不适合， k 1 3 适合.
4
17.【解析】（1）因为直线2x y 3 0 的斜率为 2, x1 x2 , x1x2 1,
5
于是由弦长公式 AB 1 k 2
2 145
x x 得,1 2 EF 1 4 (x x )
2 4x x . 1 2 1 2
5
2 145
即弦 EF 的长为 . ····································································································· 4 分
5
4 3 3 4
（2）圆心C(2, 3) 到直线2x y 3 0 的距离d . ······································· 6 分
5 5
r, r 2
1
d 2 ( EF )2
16 145
设圆 C 的半径为 则 9.因此圆 C 的半径长为3. ······················· 8 分
2 5 25
于是圆 C 的标准方程是 (x 2)2 (y 3)2 9, 即 x2 y 2 4x 6y 4 0, ·························· 10 分
18.【解析】(1)连接 AG 并延长，交 BC 于 F，则 F 是 BC 的中点. ··············································· 2 分
→ → → → → 2 → → 3 → 1 → →
因此GE＝AE－AG＝(AS＋SE)－3AF＝AS＋4SD－3(AB＋AC)
→ 3 → → 1 → → → 2 → 5 → 1 →
＝AS＋4(AD－AS)－3(AB＋AB＋AD)＝－3AB＋12AD＋4AS.……………6 分
→ → → → → →
(2)由题意知，AB·AD＝AB·AS＝AD·AS＝0.…………………………………8 分
→ → → 2 → 5 → 1 → 2 → 5 → 1 →
于是|GE|2＝GE·GE＝ －3AB＋12AD＋4AS
· －3AB＋12AD＋4AS
4 → → 25 → → 1 → → 4 25 1 125 → 5 5
＝9AB·AB＋144AD·AD＋16AS·AS＝9＋144＋4＝144，所以|GE|＝ 12 ······································· 12 分
19.【解析】（1）设动圆圆心D的坐标为（ x, y），则 (x 0)2 (y 4)2 42 y2.整理得, x2 8y
故所求动圆圆心的轨迹C的方程为 x2 8y . ·········································································· 5 分
(2)设 S (x1, y )
2 2
1 ，T (x
2
2 , y2 )，则有m 8n, x1 8y1, x2 8y . 2
3
{#{QQABZQSEggggAhBAAQhCQw16CEAQkACACKoGQEAEIAAAiRNABAA=}#}
y1 y2 x1 x2 m
直线 ST 的斜率为 ，所以 x1 x2 2m. ················································ 7 分 x1 x2 8 4
1 2 1 2 1 1x m x2 m2
于是 y1 n y2 n
1 2
k k 8 8 8 8 PS PT
x1 m x2 m x1 m x2 m
x1 m x2 m x1 x2 2m
0.故直线PS,PT 的倾斜角互补 ····································· 12 分
8 8 8
20.【解析】（1）在图中，因为 AC=BC，D 是 AB 的中点，所以CD AB .
又V AC B为直二面角,VC AC ,所以VC 底面 ABC ····················································· 2 分
而 AB 平面 ABC ,所以VC AB ,且VC CD C ,
因此 AB 平面VCD .
而 AB 平面VAB，故平面VAB 平面VCD ······································································· 5 分
（2）以 C 为坐标原点，CA、CB、CV 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz.
则C 0,0,0 , A(1,0,0) ,B(0,1,0) ,V (0,0,1)，CV (0,0,1)
1 1 3 1 3
因为BE BA，所以E( , ,0) ,那么CE ( , ,0) .
4 4 4 4 4
设平面 VCE 的法向量 t (m,n, p)，
由CV t 0得， p 0 ····································································································· 7 分
1 3
由CE t 0得， m n 0.所以取 t ( 3,1,0) .
4 4
同理可以求得平面VAB的一个法向量 s (1,1,1) ···································································· 9 分
s t 3 1 2
于是cos s, t .
s t 10 3 30
2 2 195
故二面角C VE A的正弦值为 1 ( ) . ························································ 12 分
30 15
21.【解析】(1)由题意可知， 的可能取值是0，1,2，3.
C 3 1 C 2C1 3 C1C 2 1 C 3 1
P( 0) 4 ,P( 1) 4 6 , P( 2) 4 6 ,P( 3) 6 .
C3 310 30 C10 10 C
3
10 2 C
3
10 6
4
{#{QQABZQSEggggAhBAAQhCQw16CEAQkACACKoGQEAEIAAAiRNABAA=}#}
因此 ξ 的分布列是
0 1 2 3
1 3 1 1
P
30 10 2 6
···································································································································· 4 分
1 3 1 1 9
故 ξ 的数学期望E( ) 0 1 2 3 . ······················································ 6 分
30 10 2 6 5
（2）设B 任取一人新药对其有效 ，Ai 患者来自第i组 ，i 1,2,3, 分别对应甲、乙、丙.
则 A1 A2 A3,且 A1, A2 , A3 两两互斥。由题意知，
P(A1) 0.4,P(A2 ) 0.32,P(A3 ) 0.28,P(B / A1) 0.64,P(B / A2 ) 0.75,P(B / A3 ) 0.8. ········· 7 分
因此P(B) P(A1)P(B / A1) P(A2 )P(B / A2 ) P(A3 )P(B / A3 )
0.4 0.64 0.32 0.75 0.28 0.8 0.72. ········································································· 10 分
P(A2B) P(A2 )P(B / A2 ) 0.32 0.75 1
于是P(A2 / B) .
P(B) P(B) 0.72 3
1
故从中任意选取一人，发现新药对其有效，他来自乙组的概率为 . ············································ 12 分
3
22.【解析】（1） | F F | 2c 2 t 1 .设 | PF2 | n,则 | PF1 | 3n. 1 2
| PF1 | | PF2 | 2 t 3n n 2 t
由题意得， ,即 ,解得 t 2. ····································· 4 分 2
| PF |
2 | PF |2 F F 9n
2 n2 4(t 1)
1 2 1
x2
（2）由（1）知，椭圆C的方程为 y2 1.
2
x2 2y2 2 0
设 A(x1, y1), B(x2 , y2),联立 消去 y得到，
y kx m
x2 2(kx m)2 2 0，
即（1 2k 2 )x2 4kmx 2m2 2 0 .
4km 2m
则 x1 x2 , y1 y2 k(x1 x2 ) 2m . ····················································· 6 分
1 2k 2 1 2k 2
2km m
弦 AB中点M 的坐标是 ( , ) ········································································· 8 分
1 2k 2 1 2k 2
1 1 2km m
因为直线PM 的方程是 y x ，点M ( , ) 在此直线上，
k 2 1 2k 2 1 2k 2
5
{#{QQABZQSEggggAhBAAQhCQw16CEAQkACACKoGQEAEIAAAiRNABAA=}#}
m 1 2km 1
所以 ( ) .整理得，2m 1 2k 2 .
1 2k 2 k 1 2k 2 2
2 1
故 k m 为定值 ··································································································· 12 分
2
6
{#{QQABZQSEggggAhBAAQhCQw16CEAQkACACKoGQEAEIAAAiRNABAA=}#}